21 Diskrétní modely spojitých systémů

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "21 Diskrétní modely spojitých systémů"

Miloš Staněk
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení

2 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent, 1. Pro pojitý model outavy navrneme pojitý regulátor, přičemž vezmeme v úvau, že bude outava řízena dikrétně 2. Aproximujeme o dikrétním/čílicovým ytémem 3. Dikrétní analýzou, imulacemi a experimenty ověříme návr Pozor: Digitální implementace pojitéo regulátoru je vždy jen aproximace, neboť čílicový regulátor pracuje jen e vzorky! Metody aproximace pojitéo regulátoru dikrétním Nárada derivace diferencí Tutinova metoda Matced pole zero najdete v učebnici Matlab CSTbx: funkce c2d Micael Šebek ARI

3 Jednoducé metody: numerická integrace Nárada derivace přímou diferencí (Eulerova metoda, přímá obdélníková aproximace) dxt () xt ( + ) xt () z 1 x x dt formálně naradíme Tomu odpovídá aproximace řady z = e 1+ z 1 Nárada derivace zpětnou diferencí (zpětná obdélníková aproximace) dxt () xt () xt ( ) z 1 z 1 x x dt z z Tomu odpovídá aproximace řady z 1 = e 1 Micael Šebek ARI

4 neboli licoběžníková aproximace či bilineární tranformace Vycází z numerické integrace odezvy licoběžníkovou metodou Naradíme, což odpovídá aproximaci řady 2 z z = e z Mnemotecnická pomůcka: 2 = e = 2 e V Matlabu-CSTbx funkce: c2d(f,,'tutin') Tutinova metoda Obecný potup V přenou pojitéo regulátoru protě naradíme výrazem podle zvolené metody Vodné pro ruční počítání V Matlabu-CSTbx různá volní funkce: c2d(f,) z e 4

5 Aproximace pojitýc P, I a D regulátorů PID regulátor je zvláštním případem dynamické výtupní ZV a může být aproximován libovolnou z výše uvedenýc metod Na drué traně je to čato používaným peciální regulátor, a v literatuře najdeme mnoo peciálníc aproximací Standardní aproximace jednotlivýc členů jou P - bez aproximace u() t = Ke() t u() = Ke() u( z) = Ke( z) u( k) = Ke( k) I: přímá diference K t K K ut () = e( ) d T τ τ u () = e () uz ( ) = ez ( ) 0 I T I TI z 1 K D: zpětná diference uk ( + 1) = uk ( ) + ek ( ) TI u() t = KTDe () t u() = KTDe() z 1 KT u( z) = KTD e( z) uk ( + 1) = D ( ek ( + 1) ek ( )) z 5

6 Aproximace celéo PID Aproximace celéo PID regulátoru e pak čato protě loží 1 TD z 1 uz ( ) = K ez ( ) TI z 1 z Říká e jim proporcionálně umačně diferenční: PSD Jinou cetou je naopak aproximovat celý PID najednou 1 u () = K T D e () T I z TD z 1 uz ( ) = K ez ( ) TI z 1 z z+ 1 2TD z 1 uz ( ) = K ez ( ) 2TI z 1 z+ 1 Podobným způobem e aproximují ložitější (ne-školní) verze PID regulátoru 6

7 Aproximace pojité tavové ZV Automatické řízení - Kybernetika a robotika Když pro pojitou outavu e tavovým modelem x = Ax + Buy, = Cx navrneme nejprve pojitými metodami tavovou ZV u() t = Mu () t Kx() t muíme ji pro dikrétní implementaci také upravit aby lépe eděly póly uzavřené myčky a její cování Pro ZV vezmeme (přibližně) di Podobně přímou větev upravíme na M = I KB 2 M C ( ( ) 2) K = K I + A BK di ( ) 7

8 Spojitý návr jako příprava pro dikrétní řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika První krokem při metodě emulace (aproximace) je pojitý návr Při něm ale už můžeme vzít v úvau, že konečné řešení bude dikrétní Pro pojitý návr k outavě přidáme model tvarovacío členu Možnoti Nebrat v úvau GZOH () = 1 Gde () = G () Lepší je, ale to není G ZOH 1 e () = Aproximujeme (Padé 1. řádu) naradí ZOH členem e zpožděním 1.řádu G () de G ZOH () G () racionální funkce e = GZOH () = Nebo bereme G () ZOH = e a aproximace téož: 2 e ( n) ( ) , e n n n 8

9 Dikrétní model pojité outavy Automatické řízení - Kybernetika a robotika rz ( ) Dz ( ) rt () r( k) e( k) Diferenční rovnice outava u( k ) ut () yt () D/A a tvarovač G () odiny A/D y( k) yt () enzor 1 Gz ( ) 9

10 Dikrétní popi outavy - ZOH Dikrétní přeno outavy + tvarovacío členu 0. řádu (Zero-Order Hold) u () y () Y() ZOH G () u( k ) ut () yt () y( k) uz ( ) u( k) Gz ( ) yz ( ) y( k) dikrétní přeno je z-obraz dikrétní odezvy na dikrétní jednotkový pul u( k ) = 1 pro k = 0 a u( k ) = 0 pro k 0 odezva ZOH na tento ignál je pojitý pul ut ( ) = 1( t) 1( t ) L-obrazem 1 1 e odezva (pojité) outavy na tento pojitý ignál je G () Y() = ( 1 e ) z čeož bycom vypočetli yt () a po vzorkování y( k) impulní carakteritika ZOH 10

11 Tedy rnuto Gz ( ) = y ( kt ) { } 1 { Y() } { } { Y() } = = { } označíme takto Dikrétní popi outavy u () y () Y() ZOH G () u( k ) ut () yt () y( k) G () = ( 1 e ) uz ( ) Gz ( ) Výledek rozdělíme na rozdíl dvou čátí: u( k) { G ()} { } G () Gz ( ) = e Druý člen přeně o jednu periodu zpožděný první člen, tedy { () } { } 1 () G G e = z Takže ledaný dikrétní přeno je ( ) { } 1 G () Gz ( ) = 1 z yz ( ) y( k) c2d(g,,'zo') c2d(g,) 11

12 Dikrétní přeno outavy + tvarovacío členu 1. řádu (Firt-Order Hold) nekauzální FOH, trojúelníkový old u () y () Y() FOH G () u( k ) ut () yt () y( k) dikrétní přeno je z-obraz dikrétní odezvy na dikrétní jednotkový pul odezva FOH na tento ignál je pojitý pul t t t ut ( ) = 1( t+ ) 2 1( t) + 1( t ) L-obrazem e 2 + e Dikrétní popi outavy: FOH uz ( ) u( k) Gz ( ) 2 odezva (pojité) outavy e 2 + e G () Y() = na tento pojitý ignál je 2 z čeož bycom vypočetli yt () a po vzorkování y( k) yz ( ) y( k) impulní carakteritika FOH 12

13 Tedy rnuto 1 { } { y ()} { } { } Gz ( ) = y ( k) = = y() e 2 + e G () = 2 Výledek rozdělíme na oučet tří čátí: { G} { G} { G} 1 () () () Gz ( ) = e 2 e Dikrétní popi outavy: FOH u () y () Y() FOH G () u( k ) ut () yt () y( k) uz ( ) u( k) Gz ( ) první člen o jednu periodu předbíá druý, třetí je o jednu zpožděný { G ()} { G ()} z + z z z+ Gz ( ) = = z Takže ledaný dikrétní přeno je V Matlabu yz ( ) y( k) Gz ( ) { G} = z 2 ( z 1) () 2 c2d(g,,'fo') 13

14 Dikretizace tavovéo modelu e ZOH Automatické řízení - Kybernetika a robotika Dikrétní tavový model vzorkované pojité outavy tvarovacím členem 0. řádu u( k) ZOH ut () x = Ax + Bu y = Cx + Du yt () Y() y( k) u( k) x = + Fx + Gu y = Cx + Du k 1 k k k k k y( k) je x( tk+ 1) = Fx( tk) + Gut ( k) y( t ) = ( t ) + Du( t ) Cx ( ) A G e ν dν k k k F = e A = 0 B V Matlabu+CSTbx: funkce c2d aplikovaná na objekt Speciálně maticová exponenciála: např. expm Odvození a další metody jou v příkladovýc lajdec 14

Podobné dokumenty

Příklady k přednášce 20 - Číslicové řízení

Příklady k přednášce 20 - Číslicové řízení Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )