MINIMALIZACE NÁKLADŮ A AUTOMATICKÉ ŘÍZENÍ THE COST MINIMIZATION AND AUTOMATIC CONTROL

Transkript

1 Ročník 3, Číslo 5, 8 IIALIACE ÁKLADŮ A AUOAICKÉ ŘÍEÍ HE COS IIIAIO AD AUOAIC COROL František Dšek, Daniel Honc Anotace: Řízení vcházející z ekonomických kritérií se požívá obvkle až ve všších úrovních řízení a probíhá za přímé účasti člověka tj nejde o atomatické řízení v reálném čase V článk je kázáno, že za rčitých okolností lze čistě ekonomické kritérim (minimalizace nákladů na dosažení a držení požadovaného stav) zařadit jako sočást cíle plně atomatického řízení tj požít ekonomické kritérim i na nižších úrovních řízení ákladním předpokladem je, ab řízený sstém měl více ovládaných vstpů než řízených výstpů Dalším požadavkem je mět stanovit náklad na realizaci jednotlivých ovládaných vstpů Je kázán princip řešení formlace problém jako úloh hledání vázaného extrém Jso veden dva příklad návrh řízení s rozšířením cíle řízení o další požadavek minimalizace nákladů na řízení Jeden příklad se zabývá doplněním požadavk na nákladovo minimalizaci do návrh jednodchého decentralizovaného řízení (fiktivního) sstém s čtřmi vstp a třemi výstp Drhý případ kazje způsob přidání požadavk minimalizace nákladů do sofistikovaného prediktivního řízení ideálního termostat Klíčová slova: atomatické řízení, vícerozměrové sstém, náklad na řízení Smmar: he control based on economical cost fnction is sed in general in higher control level and rns over direct hman participation ie it isn t real time atomatic control In article it is shon that (nder some circmstances) it is possible to incorporate the economical cost fnction (minimm of costs to reaching and maintenance of control goal) into fll atomatic control ie to se economical cost in lo level control he basic presmption is a controlled sstem ith more inpts than ot-pts An additional demand is to kno the cost for ever maniplated inpts It is shon the soltion principle problem formlation as a task of constrained extreme finding here are introdced to examples of control design that inclde control cost minimization he first one deals ith a design of simple decentralized control of a (fictional) sstem ith for inpts and three otpts inclding cost minimization he second one shos the a ho to incorporate the cost minimization into an advanced predictive control of an ideal thermostat Ke ords: atomatic control, mlti inpts mlti otpts sstems, control costs ÚVOD Řízení složitějších sstémů (výrobní cele bývá rozčleněno do několika hierarchických úrovní a nejnižší (nlté) úrovni je instrmentace tj čidla, akční člen, zobrazovače a zapisovače, lokální ovládání atd Cílem je jednak získat informace o sledovaném sstém a jednak zajistit realizaci požadavků na změn stav sstém doc Ing František Dšek, CSc, Univerzita Pardbice, Faklta elektrotechnik a informatik, Katedra řízení procesů, nám Čs legií, 53 Pardbice, tel: , fax , frantisekdsek@pcecz Ing Daniel Honc, PhD, Univerzita Pardbice, Faklta elektrotechnik a informatik, Katedra řízení procesů, nám Čs legií, 53 Pardbice, tel: , fax , danielhonc@pcecz Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 8

2 Ročník 3, Číslo 5, 8 První úrovní řízení je atomatické řízení (tj průběžné ovlivňování sstém na základě aktálních informací o stav sstém bez bezprostřední účasti člověka) s cílem dosažení a držení kvalit vjádřené požadovanými hodnotami (nebo časovými průběh hodnot) technologických veličin jako jso otáčk, hladina, teplota, tlak, koncentrace apod Jde o tpické řízení v reálném čase s požadovanými dobami odezv řádově miliseknd až desítk seknd a drhé úrovni řízení se začínají platňovat ekonomická kritéria jako je minimalizace nákladů a maximalizace cen (kvalit) Ještě na této úrovni může jít o atomatické řízení v reálném čase bť již více závislé na sbjektivním zadání požadavků Požadované dob odezv jso řádově seknd až desítk mint Obvkle jde o krátkodobé (seknd až hodin) plánování s objektivním (matematic formlovaným kritériem Výstpem řízení drhé úrovně jso časové průběh technologických veličin, které jso zajišťován nižší úrovní řízení ejčastějším cílem je minimalizace nákladů é může být dosaženo mimo jiné i tím, že se rovnoměrně zatěžjí zdroje apř máme-li link s několika paralelně pracjícími dávkovými (fáze plnění / vpoštění bez spotřeb energie a fáze činnosti se spotřebo energie) zařízeními je výhodné zajistit, ab fáze spotřeb energie neprobíhala všech najedno a první pohled se zdá, že to lze zajistit prostým jednorázovým naplánováním spštění zařízení Avšak ve sktečnosti vžd jednotlivé fáze v závislosti na konkrétních podmínkách trvají různě dloho a tto dob lze v první úrovni řízení v rčitém rozsah ovlivňovat Řízení ted spočívá v průběžném plánování start jednotlivých zařízení a zadávaní poknů k prodložení / zkrácení fází činnosti jednotlivých zařízení s cílem dosáhnot co nejrovnoměrnější zátěž na zdroje energií (srovin) a zároveň maximalizovat výkon celé link Příkladem atomatického řízení s čistě ekonomickým cílem řízení je např sitace, kd je normo dané rozmezí vlastností výrobk (která lze převést na technologické veličin) Ideální je, kdž přímo v normě je vedeno, že rčité procento výrobků může tto meze překračovat Řízení pak spočívá v průběžném vhodnocování aktálního rozptl sledované veličin a posn její střední hodnot ( žádaná hodnota veličin v nižší úrovni) směrem k ekonomick výhodnější hranici tak, ab poze normo povolené procento tto hranici statistick překračovalo Předpokladem je kvalitní řízení v nižší úrovni minimalizjící za daných podmínek (porch atd) rozptl sledované veličin a další (třetí) úrovni již začíná plně ekonomické řízení s masivním zastopením sbjektivního rozhodování člověka i kdž s podporo analtických nástrojů Většino jde o dlohodobější plánování od desítek hodin až po několik roků Do této úrovně se zahrnje jak řízení lidských zdrojů, plánování investic atd tak i řízení sovisející přímo s výrobo jako je operativní řízení Do operativního řízení se zahrnje např plánování odstávek částí technologie (vprázdnění kapacit před a naopak vtvoření zásob za odstaveno částí tak, ab zbtek technologie mohl pracovat) nebo skladové hospodářství (minimalizace skladových zásob, zajištění dodávek srovin v závislosti na plán výrob atd) V článk se bdeme zabývat tím, že za rčitých okolností lze zahrnot čistě ekonomický požadavek minimální náklad do řízení v první úrovni Hlavním cílem řízení zůstává dosažení požadované kvalit vjádřené jako požadované hodnot výstpů ákladním Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 8

3 Ročník 3, Číslo 5, 8 předpokladem pro rozšíření o nákladovo optimalizaci je, ab řízený sstém měl větší počet vstpů něž výstpů Dalším předpokladem je znát cen vstpů Postp bde demonstrován na dvo příkladech První na složitější sostavě s čtřmi vstp, třemi výstp a jednodchým decentralizovaným řízením pomocí tří PID reglátorů a drhý na nejjednodšší skoro reálné sostavě (ideální termostat) se dvěmi vstp s omezeními, jedním výstpem a sofistikovaným prediktivním reglátorem PRICIP ŘEŠEÍ Jak již blo řečeno, základním předpokladem je, že řízená sostava má větší počet vstpů než výstpů V tom případě je principiálně možné dosáhnot v stáleném stav stejné hodnot výstpů (požadovaná kvalita) různými kombinacemi vstpů (různé náklad) Jestliže má každý vstp jino cen, je zřejmé, že mezi všemi kombinacemi vstpů msí existovat jedna, která má nejmenší náklad Kdb neexistoval požadavek na dosažení rčitých hodnot výstpů, blo b řešení triviální Optimální hodnot vstpů b bl nlové tj bez ohled na cen jednotlivých vstpů b celkové náklad bl nlové V případě požadavk dodržet požadované hodnot výstpů sostav a so-časně minimalizovat náklad, lze celý problém formlovat jako standardní matematicko úloh hledání vázaného extrém Pokd zvolíme kvadratické kritérim jako účelovo fnkci a vstp nejso omezené, lze nalézt i analtické řešení atematická formlace úloh Vztah popisjící chování řízené sostav (n vstpů a n výstpů) v stáleném stav je dán maticovo rovnicí () () kde slopcový vektor výstpů sostav v stáleném stav o rozměr n slopcový vektor vstpů sostav v stáleném stav o rozměr n matice zesílení o rozměr n n Pokd jako kritérim přiblížení zvolíme sm kvadrátů odchlek hledaného vektor vstpů od technologick optimálních hodnot vstpů, můžeme úloh zapsat v maticové formě jako min () ( ) ( ) kde je čtvercová váhová matice o rozměr n n definjící váh jednotlivých vstpů (diagonální prv či kombinace vstpů (mimodiagonální prv Řešení je v tomto případě možné získat v analtické podobě (5) Pokd chceme dosáhnot nákladové optimalizace je potřeba vjádřit váhovo matici v rovnici () pomocí cen vstpů Předpokládejme znalost jednotkové cenové matice C přiřazjící nějako cen každém prvk (a případně každé kombinaci prvků) vektor vstpů tj výsledný vektor cen vstpů je dán vztahem C C (a) Potom lze jednodše modifikovat původní váhovo matici tak, ab kritérim () vjadřovalo nákladovo optimalizaci Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 83

4 Ročník 3, Číslo 5, 8 Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 84 ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C C C 443 (b) Řešení Přepišme rovnici () jako minimalizaci s vázaným extrémem tj zavedeme vektor Lagrangeových mltiplikátorů a kritérim zapíšeme ve tvar ( ) ( ) ( ) ( ), J + (3) Rovnici (3) již můžeme řešit standardním způsobem tj položit parciální derivace podle hledaných vektorů rovné nle a řešit vzniklo sostav lineárních rovnic ( ) ( ) ( ) + + J J (4) Vzhledem k tom, že nás zajímá poze vektor vstpů, požijme poze část inverze matice (čtvercovo sbmatici R o rozměr n n a obdélníkovo sbmatici K o rozměr n n ) Pomocí těchto matic pak zapíšeme hledaný vektor vstpů (minimálně vzdálený od a zajišťjící výstp ) jako K R X X K R + (5) 3 Decentralizované řízení ahrntí požadavk na nákladovo optimalizaci dokonce možňje (blíže viz [] a []) realizovatelnost decentralizovaného řízení v případě že je větší počet vstpů než výstpů Schéma zapojení decentralizovaného řízení je na obrázk Obr - Decentralizované řízení s kompenzátorem Požadavek statické atonomnost s jednotkovým zesílením tj rovnost vektor výstpů reglátor r a výstp sostav v stáleném stav můžeme zapsat jako r (6)

5 Ročník 3, Číslo 5, 8 Výsledkem pak je rovnice (7) tj rovnice statického kompenzátor, který zajišťje jak maximální možné přiblížení k optimální kombinaci vstpů tak i transformaci výstpů reglátor r (rozměr n r ) na vstp sostav (rozměr n ), je potom dána vztahem R + K (7) r 4 Prediktivní reglátor V případě požití prediktivního reglátor je sitace složitější Předpokládá se znalost dnamického chování řízené sostav ve tvar stavového diskrétního model (8) x( k + ) A x( + B ( ( C x( (8) a z něj odvozených maticových rovnic (9) popisjících jednak stav x(k+) na konci horizont řízení a jednak vektor bdocích výstpů sostav v závislosti na stav x( a vstp ( v čase k a vektor známých vstpů, (vše na bdocím na horizont řízení délk kroků) x( k + ) S xxx( + S x S xx( + S, + Δ (9) kde horizont řízení a sledování (počet kroků řízení) x(k+) stav sostav na konci horizont řízení vektor predikovaných (očekávaných) výstpů sostav vektor předpokládaných (známých) vstpů sostav, Δ vektor změn předpokládaných vstpů (řízení) S xx, S x, S x, S konstantní matice závislé na A, B a C Požadavk na řízení lze formlovat jako kvadratické maticové kritérim () doplněné o omezení J ( ) Δx( ) Q Δx( ) x min,, ( k + ) x( k + ) Δx( ) + e Qe + Δ + Δ max, e RΔ kde x (k+) stálený stav sostav odpovídající žádané (k+) vektor bdocích hodnot žádané ávrh řízení představje vhledání vektor Δ, který minimalizje kritérim () ákladová optimalizace (optimalizace v stáleném stav) se v kritéri () projeví zahrntím koncového stav jako odchlk od žádaného stav stáleného stav odpovídajícího žádané na konci horizont řízení Výpočet tohoto stáleného stav x (k+) je možný přes pomocný výpočet stálených vstpů zajišťjících jednak dosažení požadované hodnot stálených výstpů a jednak maximální přiblížení k optimální kombinaci minimální náklad Jde o modifikaci rovnice (3) doplnění o omezení vpočtených vstpů a výpočet matice zesílení na základě dnamického stavového popis (8) [( ) ( )] C( I A) ( ) ( ) + [ ( k + ) ] min x ( k + ) ( I A) B B 443 min ( k + ) max () () Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 85

6 Ročník 3, Číslo 5, 8 kde (k+) žádaná na konci horizont řízení vektor optimálních hodnot vstpů (nejmenší náklad) matice cenových nákladů vstpů min, max omezení na akčních veličinách vektor optimálních stálených hodnot vstpů (minimm kritéria) x (k+) hledaný stálený stav Při minimalizaci kritéria () ted probíhá výpočet Δ jak z pohled optimalizace dnamického průběh tak i optimalizace stáleného stav na konci horizont řízení () V obo případech jde o úloh hledání vázaného extrém za existence omezení Vzhledem k tvar kritéria a lineárnosti omezení lze obě řešení převést na úloh kvadratického programování 5 Příklad řízení sostav 4x3 ento příklad kazje vliv nákladové optimalizace při decentralizovaném řízení fiktivní sostav o čtřech vstpech a třech výstpech popsané blokovým schématem na obr s přenos v ablce ablka kazje jak se změní stálené kombinace vstpů při změně cen jednotlivých vstpů a konstantním požadavk na hodnot výstp Slopec Velikost A kazje velikosti jednotlivých vstpů při stejné váze a ceně všech vstpů Slopec Velikost B kazje velikosti při ceně zahrnto jako diagonála matice C rovnice (b) vedené ve slopci Jednotková cena V obo případech jso výstp sostav stejné ale celková cena vstpů klesne na cca 3% Obr - Blokové schéma sostav 4x3,3 F s + ( ) 3 F ab - Dílčí přenos sostav,3, F3 F,7 3 s + s + 4 s + F ( ) 3 5,3 5 s + F 6,5 3 s + Výstp sostav ab - Vstp sostav pro různé váh vstpů Hodnot Vstp Velikost Velikost Jednotková sostav A B cena 3, 57 5,, ,5 3, , , Cena vstpů Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 86

7 Ročník 3, Číslo 5, 8 6 Příklad prediktivního řízení ideálního termostat ento příklad řízení ideálního termostat (viz schéma na obr 3) kazje jak při měnícím se požadavk na kvalit výstp (teplota objekt D ponořeného v kapalině C) se zároveň atomatick minimalizje spotřeba energie tj jak topení tak chlazení se blíží k ekonomick výhodné hranici omezení topení má co nejmenší příkon a vstpní teplota chladicí vod je co nejvšší (minimalizjí se náklad na její ochlazování) Vstpními veličinami ideálního termostat na obr 3 jso teplota okolí o, teplota vstpní vod B, průtok chladicí vod Q a příkon topení E; stavové veličin jso teplota vod C, střední teplota topné spirál A, střední teplota chladicí vod B a teplota vloženého tělesa D Reglovano veličino je teplota vloženého tělesa a akčními veličinami jso příkon topení ( až W) a vstpní teplota chladicí vod (5 až C) O B, Q B A E D C Obr 3 - Schéma termostat Vzhledem ke složitosti řešení (rovnice, parametr i návrh řízení viz článek [3]) je veden poze výsledek reglace tj časové průběh požadované a výsledné reglované teplot a akčních veličin teplota chladicí vod a příkon topení Kromě časových průběhů je vedena i hodnota kritéria kvalit (střední kvadratická odchlka žádané a sktečné teplot) a odhad nákladů na topení a chlazení a obr 4 je kázána simlace řízení na známý průběh žádané teplot tělesa D Reglace začíná z stáleného stav (prvních cca 8 min), kd reglovaná teplota je sice shodná s žádano teploto, ale chlazení a topení není nákladově optimální V této fázi dochází k postpném atomatickém přechod na optimální kombinaci chlazení a topení při držení žádané teplot V dalších fázích dochází ke změně žádané teplot a reglátor zajišťje v rámci možností její sledování včetně průběžné nákladové optimalizace, která se projeví tak, že po odeznění přechodových dějů přejdo vstp rovno do nákladově optimální kombinace (co nejvšší teplota chladicí vod a co nejnižší příkon topení) áklad na topení a chlazení jso za daných podmínek při nezahrntí nákladové optimalizace 4,8 Kč a při zahrntí jso,93 Kč tj dojde k cca 3% úsporám na energie Kritérim kvalit je v obo případech praktick stejné 3 ÁVĚR V text je kázáno, jak lze kromě standardního požadavk na atomatické řízení (dosažení a držení požadované kvalit) zahrnot i ekonomické kritérim minimalizaci Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 87

8 Ročník 3, Číslo 5, 8 nákladů na dosažení požadované kvalit oto rozšíření je možné poze za předpoklad, že řízený sstém má více vstpů než výstpů Je kázána základní matematická formlace problém tj převod na řešení standardní úloh hledání vázaného extrém Dále je na příkladě fiktivní sostav se čtřmi vstp a třemi výstp kázáno zahrntí nákladové optimalizace do návrh decentralizovaného řízení a dosažené výsledk oproti řešení bez važování znalosti cen vstpů Drhý vedený příklad kazje principiální způsob zahrntí nákladové optimalizace do návrh sofistikovaného prediktivního reglátor ideálního termostat Vliv nákladové optimalizace je kázán na časovém průběh teplot chladicí vod, příkon topení a teplot tělesa vloženého do termostat při simlovaném řízení,: měřená a žádaná teplota D teplota ( o C) D D Kritérim: 499 áklad (Kč): : příkon topení E příkon (W) : vstpní teplota chladicí vod B teplota ( o C) čas (min) Obr 4 - Reglace ideálního termostat Příspěvek vznikl za podpor Institcionálního výzkm S 6755 eorie dopravních sstémů Univerzit Pardbice POUŽIÁ LIERAURA [] DUŠEK, F; HOC, D Static compensator for non-sqare IO sstems In: 8 th International Scientific-echnical Conference Process Control 8, Kot nad Desno 9-, Jne 8, Czech Repblic, Universit of Pardbice, 8, p 3, ISB (plný text 7 stran na doprovodném CD) [] DUŠEK, F; HOC, D ransformace sostav s různým počtem vstpů a výstpů pro decentralizované řízení Atomatizace (5)7-8, 8, Atomatizace sro Praha, s , ISS 5-5X Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 88

9 Ročník 3, Číslo 5, 8 [3] DUŠEK, F; HOC, D ávrh a simlace řízení nesmetrického sstém Atomatizace (5), 7, Atomatizace sro Praha, s636-64, ISS 5-5X Recenzent: prof Ing Ivan afer, DrSc Univerzita Pardbice, FEI, Katedra řízení procesů Dšek, Honc - inimalizace nákladů a atomatické řízení 89