Vyměníme druhý řádek s posledním a vynulujeme 2. sloupec pod diagonálou:

Transkript

1 Příklad : Gassovo eliminační metodo řešte sostav rovnic: Řešení: Napíšeme rozšířeno matici sostavy tj matici tvořeno koeficienty neznámýc ke kterým přidáme slopec pravýc stran: R Tto matici převedeme ekvivalentními úpravami na stpňový tvar V prvním slopci bdo pod diagonálo nlové prvky když ke drém řádk přičteme násobek prvnío řádk a ke třetím řádk první přičteme: / b Vyměníme drý řádek s posledním a vynljeme slopec pod diagonálo: : / Zbývá pravit poslední řádek Třetí řádek vydělíme a v dalším krok vynljeme slopec pod diagonálo Kdybycom ctěli získat v posledním řádk místo čísla nl přímo mseli bycom násobit řádek čtvrtý a sečíst je Nyní máme stpňovo matici můžeme tedy provést rozbor řešení Protože R má sostava podle Frobeniovy věty řešení protože počet neznámýc n sostava má řešení právě jedno Při dalším výpočt bdeme postpovat zdola naor Víme že stpňové matici máme přiřadit sostav ekvivalentní s původní Jednodše řečeno: řádky matice zapíšeme opět jako rovnice Postpjeme od poslední směrem k první a z každé rovnice vypočítáme jedn neznámo

2 Poslední rovnice z poslednío řádk: Předposlední rovnice: Hodnot známe po dosazení dostaneme Napíšeme další rovnici dosadíme ž vypočítané neznámé a dostaneme : Z první rovnice dopočítáme : Vektor řešení r Příklad : Gassovo eliminační metodo řešte sostav rovnic: Řešení: Protože jde o sostav omogenní řešení jistě eistje Pokd je právě jedno je nlové Při výpočt postpjeme stejně jako sostav neomogenníc Napíšeme rozšířeno matici sostavy ned při vypisování vyměníme první a drý řádek Potom bdeme převádět na matici stpňovo / Zaměníme pořadí řádků Drý řádek posneme na poslední místo třetí řádek bde drý a poslední řádek pravíme: Poznámka: Řádek jeož všecny prvky jso nlové jsme vynecali Pokd bycom si závislosti dréo a třetío řádk povšimli moli jsme jeden z nic vyškrtnot ned a k získání stpňové matice stačilo pravit pořadí řádků

3 Rozbor řešení: R n Sostava má řešení a protože n < má jic nekonečně mnoo Řešení bdo záviset na n parametr Dopočítávat začneme od poslední rovnice: Zde jso neznámé a jen jedn z nic můžeme eplicitně vyjádřit Ta drá msí být parametrem Zvolíme-li za parametr potom Další rovnice Z první: Řešením sostavy je r kde R Příklad : Řešte omogenní sostav Řešení : V rozšířené matici sostavy vyměníme první a drý řádek a pravíme ji / b / Vzledem k tom že R má podle Frobeniovy věty sostava řešení Protože a n má sostava nekonečně mnoo řešení závislýc na n parametrec

4 Neznámé které volíme za parametry můžeme přeznačit aby bylo vidět co jso parametry Za parametry bdeme volit a označíme například v kde R v Poslední rovnice v Drá v v Řešení má tvar v v v v kde R v Příklad : Řešte sostav lineárníc rovnic : Řešení: Z koeficientů sostavy a pravýc stran rovnic vytvoříme rozšířeno matici sostavy přitom zaměníme pořadí řádků Potom ji pomocí ekvivalentníc úprav převedeme na matici stpňovo / / : V předposledním krok je vidět že poslední dva řádky jso lineárně závislé Můžeme tedy jeden z nic vynecat a koeficienty si ještě pravit dělením Tím jsme získali stpňovo matici a můžeme provést rozbor řešení Protože R sostava má podle Frobeniovy věty řešení Vzledem k tom že a n má sostava nekonečně mnoo řešení která bdo záviset na parametrec

5 V tomto případě není možné volit za parametry neznámé Z každé rovnice msíme vypočítat jedn neznámo a poslední rovnice je To znamená že neznámá je nezávislá na ostatníc a není možné ji volit za parametr Napišme na základě řádk stpňové matice další rovnici: Zde jso zastopeny neznámé jedn bdeme počítat a za jedn si ž můžeme dosadit Zbývají tedy dvě a ty bdo parametry Zvolme například parametry a vyjádřeme v závislosti na nic neznámo Z rovnice vyjádříme Dosadíme Z první rovnice vypočítáme : r Řešením sostavy je kde R Poznámka: Za parametry v příklad jsme moli zvolit také a nebo a Potom má samozřejmě vektor řešení jiný tvar r r v prvním případě ve drém Můžete si vyzkošet Příklad : Jordanovo metodo úplné eliminace řešte sostav lineárníc rovnic: Řešení : Moli bycom postpovat tak že při úpravě rozšířené matice sostavy vyjdeme vždy z prvk na diagonále a pomocí něj vynljeme ostatní prvky ve slopci Tedy pomocí a nljeme prvky v slopci ve drém krok pomocí a prvky pod i nad diagonálo ve drém slopci atd Tento postp se dá snadno požít pokd má sostava rovnic právě jedno řešení Jestliže o řešitelnosti zadané sostavy nevíme nic je vodnější pravit rozšířeno matici sostavy na stpňovo a provést rozbor řešení Teprve potom pravit prvky nad diagonálo a vytvořit matici jednotkovo

6 : Matice je ve stpňovém tvar provedeme rozbor řešení: R sostava má řešení Protože n > má sostava nekonečně mnoo řešení závislýc na parametr Z poslednío řádk matice je vidět že neznámá je nezávislá na ostatníc a není možné ji volit za parametr Parametrem může být nebo Zvolme To znamená že jednotkovo sbmatici bdeme vytvářet ve slopcíc Vynljeme prvky v těcto slopcíc nad diagonálo Upravíme nejdříve slopec potom třetí a nakonec drý: / : Po vytvoření jednotkové sbmatice jsme napsali řešení přímo Slopec který do sbmatice nepatří se převede na pravo stran Řešením sostavy je r kde R

7 Příklad : Pomocí Cramerovýc vzorců řešte sostav lineárníc rovnic y z y z y z Řešení : Determinant matice sostavy D sostava má tedy právě jedno řešení Determinant D dostaneme z D narazením prvnío slopce slopcem pravýc stran rovnic: D D Tedy první neznámá D Determinant D dostaneme z D narazením dréo slopce slopcem pravýc stran rovnic: D D Drá neznámá y D Determinant D dostaneme z D narazením třetío slopce slopcem pravýc stran: D D Poslední neznámá z D Obecné řešení zadané sostavy má tvar r