Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

Transkript

1 Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému. Je zřejmé, že můžeme odhadovat pouze ty stavy, které se projeví na výstupu systému (pozorovatelný systém). Uvažujeme-li model spojitého systému ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) () y(t) = Cx(t) + Du(t), pak můžeme rovnice pozorovatele zapsat ve tvaru ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + Le y (t) (2) ŷ(t) = C ˆx(t) + Du(t), kde e y je chyba odhadu výstupu e y (t) = y(t) ŷ(t) = y(t) C ˆx(t) Du(t). (3) Zavedeme-li chybu odhadu stavu jako e x (t) = x(t) ˆx(t) pak platí ė x (t) = ( A LC ) e x (t). (4) Chceme-li, aby chyba odhadu stavu e x (t) konvergovala k nule pro jakoukoli počáteční podmínku e x (t ), musí být vlastní čísla matice A LC asymptoticky stabilní.

2 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 2 Poznámka: Volba vlastních čísel matice A LC je kompromis mezi rychlostí konvergence chyby pozorování stavů a chybou pozorovatele způsobenou nepřesností měření výstupu y. Stavová zpětná vazba (stavový regulátor) slouží k řízení stavů systému. Je zřejmé, že můžeme řídit jen ty stavy, které je možné pomocí vstupu ovlivňovat (dosažitelný systém). Uvažujeme-li model diskrétního systému (), pak stavová zpětná vazba má tvar u(t) = Kx(t). (5) Rovnice systému () spolu se stavovou zpětnou vazbou (5) jsou ẋ(t) = ( A BK ) x(t). (6) Chceme-li, aby stav x(t) konvergoval k nule pro jakoukoli počáteční podmínku x(t ), musí být vlastní čísla matice A BK asymptoticky stabilní. Poznámka: Volba vlastních čísel matice A BK je kompromis mezi rychlostí odezvy systému a velikostí řídicích veličin u. Poznámka: Pro použití stavového regulátoru musíme měřit stavy systému x nebo je nějak odhadovat, například pomocí pozorovatele stavu. Separační princip říká, že návrh pozorovatele stavu (matice L) a návrh stavového regulátoru (matice K) můžeme provádět odděleně. Poznámka: Uvedené vztahy platí samozřejmě i pro diskrétní systémy. 2 Příklady Příklad 2.: Navrhněte stavový regulátor pro systém [ ] [ 3 ẋ(t) = x(t) ] u(t), tak, aby póly uzavřené smyčky byly { 5; 6}. Návrh proved te dvěma způsoby a)bez převedení, b) s převedením do kanonické formy vzhledem k řízení. Řešení: Navrhnout stavový regulátor dle zadání znamená určit matici K = [k k 2 ] tak, aby vlastní čísla matice A BK byly { 5; 6}, tedy det ( si (A BK) ) = (s + 5)(s + 6). Z této rovnice získáme K = [ 3].

3 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 3 Nyní provedeme návrh stavového regulátoru na základě kanonické formy vzhledem k řízení. Transformační matice, která převede stavový popis do dané formy je rovna matici dosažitelnosti T = [B, AB]. Transformované matice pak jsou A = T AT, B = T B. Navržený stavový regulátor je K = [4 82]. Převedeme-li ho zpět do původní realizace, obdržíme samozřejmě původní regulátor K = KT = [ 3]. Průběhy regulačních veličin pro počáteční podmínku stavu x = [ ] T jsou na obr.. 2 Ridici velicina.2 Stav systemu stav x stav x u x (a) Řídicí veličina (b) Stavové veličiny Obrázek : Průběh řídicí veličiny a stavových veličin v uzavřené regulační smyčce %---- System A = [ 3; 4 2]; B = [; ]; %---- Navrh stavoveho regulatoru K = place(a,b,[-5-6]) Příklad 2.2: Vztah mezi napětím motoru u(t) a úhlem natočení hřídele ϕ(t) stejnosměrného motoru s permanentním magnetem a zanedbatelnou indukčností lze popsat přenosem G(s) = ϕ(s) U(s) = 5 s(s + 5). Nalezněte stavovou realizaci systému, kde stavové proměnné jsou x (t) = ϕ(t) a x 2 (t) = ϕ(t). Navrhněte stavový regulátor K tak, aby systém v uzavřené smyčce měl tlumení ζ n =,77

4 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 4 a frekvenci vlastních kmitů ω n = rad/s. Navrhněte pozorovatel stavu tak, aby pozorovatel sám měl tlumení ζ o =,5 a vlastní frekvenci ω o = 2 rad/s. Řešení: Stavová realizace je ẋ(t) = [ y(t) = [ 5 ] x(t) + ] x(t). [ 5 Návrh pozorovatele stavu a stavového regulátoru jsme provedli pomocí Matlabu. ] u(t) %---- System A = [ ; -5]; B = [; -5]; C = [ ]; D = []; %---- Navrh pozorovatele stavu zo =.5; wo = 2; L = place(a,c,[-wo*zo+wo*sqrt(zo^ 2-), -wo*zo-wo*sqrt(zo^ 2-)]) %---- Navrh stavoveho regulatoru zn =.77; wn = ; K = place(a,b,[-wn*zn+wn*sqrt(zn^ 2-), -wn*zn-wn*sqrt(zn^ 2-)]) Průběhy regulačních veličin v uzavřené smyčce pro počáteční podmínku x = [ ] T jsou na obrázcích 2 a 3. V tomto případě předpokládáme, že počáteční hodnotu stavu neznáme a nastavíme počáteční stav pozorovatele na nulu. poté budeme předpokládat, že počáteční hodnotu stavu známe a nastavíme počáteční stav pozorovatele na tuto hodnotu. Průběhy regulačních veličin jsou na obrázcích 4 a Ridici velicina 2.5 u Obrázek 2: Průběh řídicí veličiny v uzavřené regulační smyčce

5 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 5.2 Stav x stav odhad stavu 6 Stav x 2 stav odhad stavu x.4 x (a) Stav x (b) Stav x 2 Obrázek 3: Průběh stavů systému a jejich odhadů v uzavřené regulační smyčce 2.5 Ridici velicina 2.5 u Obrázek 4: Průběh řídicí veličiny v uzavřené regulační smyčce.2 Stav x stav odhad stavu Stav x 2 stav odhad stavu.8.6 x x (a) Stav x (b) Stav x 2 Obrázek 5: Průběh stavů systému a jejich odhadů v uzavřené regulační smyčce

6 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 6 Z obrázků 2 až 5 vidíme, že se regulační odezva zlepšila právě díky tomu, že zde není přechodový děj, který v prvním případě odpovídal odeznění neznámé počáteční podmínky stavu x. 3 Domácí úlohy Příklad 3.: Zvolte stabilní nepozorovatelný, ale detekovatelný systém třetího řádu a navrhněte pro tento systém pozorovatele stavu. Vykreslete průběhy stavů s jejich odhady pro nenulové počáteční podmínky x a libovolný vstup u. Vysvětlete proč se skutečné a odhadované stavy liší. Konverguje chyba odhadu stavu e x k nule? Vysvětlete. Bude chyba odhadu stavu e x konvergovat k nule pro L =. Příklad 3.2: Zvolte nestabilní nepozorovatelný, ale detekovatelný systém třetího řádu a navrhněte pro tento systém pozorovatele stavu. Vykreslete průběhy stavů s jejich odhady pro nenulové počáteční podmínky x a libovolný vstup u. Vysvětlete proč se skutečné a odhadované stavy liší. Konverguje chyba odhadu stavu e x k nule? Vysvětlete. Bude chyba odhadu stavu e x konvergovat k nule pro L =. Příklad 3.3: Zvolte nedetekovatelný systém třetího řádu a navrhněte pro tento systém pozorovatele stavu. Vykreslete průběhy stavů s jejich odhady pro nenulové počáteční podmínky x a libovolný vstup u. Vysvětlete proč se skutečné a odhadované stavy liší. Konverguje chyba odhadu stavu e x k nule? Vysvětlete. Příklad 3.4: Zvolte stabilní nedosažitelný, ale stabilizovatelný systém třetího řádu a navrhněte pro tento systém stavový regulátor. Vykreslete průběhy stavů pro nenulové počáteční podmínky x. Konvergují stavy x k nule? Vysvětlete. Budou stavy x konvergovat k nule i pro K =. Příklad 3.5: Zvolte nestabilní nedosažitelný, ale stabilizovatelný systém třetího řádu a navrhněte pro tento systém stavový regulátor. Vykreslete průběhy stavů pro nenulové počáteční podmínky x. Konvergují stavy x k nule? Vysvětlete. Budou stavy x konvergovat k nule i pro K =. Příklad 3.6: Uvažujte stavový popis systému ẋ (t) = a x (t) + x 2 (t), ẋ 2 (t) = a x 2 (t) + x 3 (t) + b u(t), (7) ẋ 3 (t) = a 2 x 3 (t), y(t) = c x (t).

7 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 7 Zvolte libovoné konstanty a i, b a c. Navrhněte pro tento systém stavový regulátor. Nejprve uvažujte, že je možno měřit všechny stavy systému. Pak uvažujte, že je možné měřit jen výstup systému. Porovnejte průběhy stavů v obou uzavřených regulačních smyčkách. Příklad 3.7: Uvažujte stavový popis z příkladu 3.6 s konstantami a =, a = 5, a 2 =, b =, c =, a =, a = 5, a 2 =, b =, c =, a =, a = 5, a 2 =, b =, c =. Navrhněte pro tento systém stavový regulátor s pozorovatelem stavu. Porovnejte průběhy stavů v uzavřených regulačních smyčkách. Příklad 3.8: Uvažujte stavový popis systému ẋ (t) = a x (t) + x 2 (t), ẋ 2 (t) = a x 2 (t) + x 3 (t), (8) ẋ 3 (t) = a 2 x 3 (t) + b u(t), y(t) = c x 2 (t). Zvolte libovoné konstanty a i, b a c. Navrhněte pro tento systém stavový regulátor. Nejprve uvažujte, že je možno měřit všechny stavy systému. Pak uvažujte, že je možné měřit jen výstup systému. Porovnejte průběhy stavů v obou uzavřených regulačních smyčkách. Příklad 3.9: Uvažujte stavový popis z příkladu 3.8 s konstantami a =, a = 5, a 2 =, b =, c =, a =, a = 5, a 2 =, b =, c =, a =, a = 5, a 2 =, b =, c =. Navrhněte pro tento systém stavový regulátor s pozorovatelem stavu. Porovnejte průběhy stavů v uzavřených regulačních smyčkách. Příklad 3.: Uvažujte stavový popis systému ẋ (t) = a x (t) + x 2 (t), ẋ 2 (t) = a x 2 (t) + x 3 (t) + b u(t), (9) ẋ 3 (t) = a 2 x 3 (t), y(t) = c x 2 (t).

8 TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Pozorovatel, Stavová zpětná vazba 8 Zvolte libovoné konstanty a i, b a c. Navrhněte pro tento systém stavový regulátor. Nejprve uvažujte, že je možno měřit všechny stavy systému. Pak uvažujte, že je možné měřit jen výstup systému. Porovnejte průběhy stavů v obou uzavřených regulačních smyčkách. Reference [] Štecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamických systémů. Praha: Vydavatelstní ČVUT, 999. [2] Roubal, J., Hurák, Z. a Hromčík, M.; Teorie dynamických systémů [online]. Poslední revize [cit ],