Neurčitost a provázanost kvantový svět

Transkript

1 Pavel Cejnar Ústav částcové a jaderné fyzky MFF UK Přednáška 6 Neurčtost a provázanost kvantový svět Fyzka jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 5

2 Q-svět Nanofyzka Fyzka kondenzované fáze tomová, molekulová fyzka Fyzka pevných látek Optka Kvantová mechanka Kvantová teore pole Jaderná fyzka Částcová fyzka strofyzka Kosmologe Struny, sjednocení polí

3 Jsme jen bídní makroskopčtí tvorové naše představvost a ntuce se utvářely jen v nterakc s klasckým makroskopckým světem. Ve světě atomů a kvantových částc, kde platí radkálně jné zákony, tápeme. Přesto zde pro nás exstuje spolehlvé vodítko abstraktní matematka. Nejnepochoptelnější věcí na světě je, že svět je pochoptelný *. Ensten * zatím Inspratvní četba: E. Wgner: The Unreasonable Effectveness of Mathematcs n the Natural Scences, Commun. n Pure and ppled Mathematcs, vol. 3, No. I (Feb. 96)

4 ) Neurčtost, superpozce, nterference ) Provázanost, měření, nelokalta

5 Kvantová úroveň Varační prncp klascké mechanky S f ( t [ q t) ] dt L[ q( t), q( t), t t ] akce S S trajektore

6 Kvantová úroveň Varační prncp klascké mechanky S tf ( S t] akce [ q t) ] dt L[ q( t), q( t), t Max Planck ( ).5 34 Js.66 ev fs Škála Planckovy konstanty S Charakterstcká změna akce na škále rozlštelnost S trajektore Škála rozlštelnost trajektorí Krtérum pro platnost klascké mechanky: S Kvantová jursdkce nastupuje když: S

7 Stav kvantového systému Renčín Stav fyzkálního systému: zobrazení realty (jejího sledovaného výseku) v jednom konkrétním okamžku do prostoru vhodně zvolených matematckých entt. Požadavek, aby stav v čase t umožňoval odvodt stavy (ne nutně výsledky pozorování) v lb.časech (t + Δt ). z 6 4 D Klascká mechanka Stavovým prostorem pro N částc je 6N-rozměrný fázový prostor všech souřadnc a hybností. Př zachování energe je pohyb omezen na (6N )-rozměrnou varetu ve fázovém prostoru. x 3 Polohy (x, y, z) a hybnost (p x,p y,p z ) pro N = 7 částc y

8 Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčtostí: an dokonalá znalost stavu systému neumožňuje determnstcké předpověd výsledků měření. Entty odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny překrývají se! Renčín P (a) měření velčny a??? výsledek P (a) měření velčny a a

9 Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčtostí: an dokonalá znalost stavu systému neumožňuje determnstcké předpověd výsledků měření. Entty odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny překrývají se!??????????

10 Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčtostí: an dokonalá znalost stavu systému neumožňuje determnstcké předpověd výsledků měření. Entty odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny překrývají se! To jsou vlastnost vektorů: H ) vektory v komplexním vektorovém prostoru D

11 Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčtostí: an dokonalá znalost stavu systému neumožňuje determnstcké předpověd výsledků měření. Entty odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny překrývají se! To jsou vlastnost vektorů: H ) vektory v komplexním vektorovém prostoru normalzace Schwarzova nerovnost D C ) skalární součn aby bylo možné počítat pravděpodobnost Pravděpodobnost záměny stavových vektorů: P( ) [,]

12 Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčtostí: an dokonalá znalost stavu systému neumožňuje determnstcké předpověd výsledků měření. Entty odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny překrývají se! To jsou vlastnost vektorů: D H John von Neumann (93-957) ) vektory v komplexním vektorovém prostoru C Davd Hlbert (86-943) normalzace Schwarzova nerovnost 3) úplnost každá konvergující posloupnost má lmtu uvntř prostoru (bezpečnostní opatření) ) skalární součn aby bylo možné počítat pravděpodobnost Prostorem kvantových stavů je Hlbertův prostor Pravděpodobnost záměny stavových vektorů: P( ) [,]

13 Hlbertovy prostory a operátory Prostor kvadratcky ntegrovatelných funkcí L (R) Funkce splňující podmínku Skalární součn g f dx f (x) dx g* ( x) f ( x) Každá lneární kombnace vektorů leží v H Prostor nekonečných sekvencí l Posloupnost komplexních čísel Splňující podmínku a Skalární součn H b H a H Davd Hlbert (86-943) a b * b* a John von Neumann (93-957)

14 Hlbertovy prostory a operátory Prostor kvadratcky ntegrovatelných funkcí L (R) Funkce splňující podmínku Skalární součn Prostor nekonečných sekvencí g f dx f (x) dx g* ( x) f ( x) Každá lneární kombnace vektorů leží v H Posloupnost komplexních čísel Splňující podmínku a Oˆ H Lneární operátory v Hlbertových prostorech Zobrazení H na sebe: (příp. jen husté podmnožny H) l podmínka lnearty Skalární součn b Oˆ H a Ô : H H H Oˆ Davd Hlbert (86-943) a b * b* a Dferencální operátory v L (R) Matce v l d dx const

15 Prncp superpozce Obecný vektor lze zapsat jako lneární kombnac vektorů ortogonální báze Příklad: kvantový bt = pst naměření systému ve stavu j j 3 4

16 Prncp superpozce Obecný vektor lze zapsat jako lneární kombnac vektorů ortogonální báze Příklad: kvantový bt = pst naměření systému ve stavu j j Schrödngerova kočka E. Schrödnger, Naturwssenschaften 3 (935) 87 8; De gegenwärtge Stuaton n der Quantenmechank Erwn Schrödnger (887 96)

17 Prncp superpozce Obecný vektor lze zapsat jako lneární kombnac vektorů ortogonální báze Příklad: kvantový bt = pst naměření systému ve stavu j j Spojtá množna bázových vektorů např. stavy odpovídající určtým hodnotám souřadnce/hybnost částce dx ( x) (x) (x) x vlnová funkce hustota pst naměření polohy x x x dx ( x) x ( x x) Erwn Schrödnger (887 96)

18 Prncp superpozce Obecný vektor lze zapsat jako lneární kombnac vektorů ortogonální báze Příklad: kvantový bt = pst naměření systému ve stavu j j Spojtá množna bázových vektorů např. stavy odpovídající určtým hodnotám souřadnce/hybnost částce dp ~ ( p) ~ ( p) ~ ( p ) p p ( p p) vlnová funkce p hustota pst naměření hybnost p ~ dp ( p) Erwn Schrödnger (887 96) p ~ ( p ) p (x ) x

19 Kvantování fyzkálních velčn Werner Hesenberg (95), Zetschrft für Physk Über quantentheoretshe Umdeutung knematsher und mechanscher ezehungen Erwn Schrödnger (96), nnalen der Physk 79, ; 79, ; 8, ; 8, 9 39 Quantserung als Egenwertproblem (Erste, Zwete, Drtte, Verte Mttelung ) matcová mechanka vlnová mechanka Paul Drac, The Prncples of Quantum Mechancs (Oxford Unv.Press 93 ) John von Neumann, Mathematsche Grundlagen der Quantenmechank (Sprnger 93 ) Co jsme přeskočl: 9 Max Planck vysvětluje spektrum černého tělesa kvantováním záření 95 lbert Ensten potvrzuje kvantovou povahu elmg. záření fotony 93 Nels ohr kooptuje představy kvantování do klascké mechanky, aby vysvětll stabltu atomů 94 Lous de rogle zavádí hmotné vlny 3 vysvětlení stablty hmoty vlnové funkce a energe elektronu v atomu vodíku E E 3s,3p,3d s,p s Erwn Schrödnger (887 96)

20 Kvantování fyzkálních velčn Jak určt výsledky pozorování lbovolné velčny na daném stavu? Výsledky mají náhodný charakter, ale jejch statstcké charakterstky jsou určeny kvantovou teorí. Klíčem je přechod Velčny Operátory n ˆ ˆ ˆ n střední hodnota střední hodnota P (a) momenty náhodné velčny Dsperze vlastní vektory a a Vlastní čísla a představují naměřtelné hodnoty velčny (často dskrétní množna) je rovna pro ˆ vlnové funkce a energe elektronu v atomu vodíku a E 3s,3p,3d s,p a 3 E s Erwn Schrödnger (887 96)

21 Kvantování fyzkálních velčn Jak určt výsledky pozorování lbovolné velčny na daném stavu? Výsledky mají náhodný charakter, ale jejch statstcké charakterstky jsou určeny kvantovou teorí. Klíčem je přechod Velčny Operátory Hˆ E E E Dsperze vlastní vektory je rovna pro ˆ a a Vlastní čísla a představují naměřtelné hodnoty velčny (často dskrétní množna) a Sluneční spektrum ve vdtelné oblast (zdroj: Natonal Optcal stronomy Observatory) E Danel Špaček pro ČT:D

22 Kvantová dynamka I Časový vývoj kvantového systému H x t Spontánní evoluce ( t) Uˆ ( t) () exp ( Ht ˆ / ) e determnstcká pohybová rovnce Evolučního operátor ˆ = exponencála hamltonánu Ht ˆ ˆ ( ) ( ) ( ˆ ˆ Ht Ht Ht 3!! 3! ) Schrödngerova rovnce d dt ( t) Hˆ ( t)

23 Interference Dvouštěrbnový experment Konstruktvní č destruktvní skládání vln z obou štěrbn je možné proto, že vlnová funkce obsahuje fázovou nformac nepopsuje tedy jen hustotu pravděpodobnost, ale ještě něco navíc... Im abs. hodnota (x ) ( x) ( x) e (x ) fáze Re ( x)

24 Interference Dvouštěrbnový experment pro elektrony / p elektronový mkroskop elektrony 5 kev vlnová délka pro částc s hybností p Pro elektron o knetcké energ 5 kev λ.55 nm d ~ μm, l ~ m peroda obrazce x l ~ μm d dvouštěrbna 3 d l obrazovka nterferenční obrazec kra Tonamura (94-). Tonomura et al., m. J. Phys. 57 (989) 7 7

25 Interference Dvouštěrbnový experment pro elektrony Každý elektron je v přístroj sám, tedy musí nterferovat sám se sebou 3 Charles ddams, the New Yorker 94. Tonomura et al., m. J. Phys. 57 (989) 7 7

26 ) Neurčtost, superpozce, nterference ) Provázanost, měření, nelokalta

27 Stavy složených systémů Prostor stavů složeného kvantového systému je ztotožněn se součnem stavových prostorů jednotlvých podsystémů Příklad: N = q-bty H () () () H H Obecný stavový vektor: áze (dmenze 4) Normalzace:, j j q-bt q-bt nterakce

28 () () () H H H () () () ) ( N N N H H H H áze (dmenze 4) Obecný stavový vektor: Příklad: N > q-btů (lbovolný počet) áze (dmenze N ) N N N N N N N N N N N N N n n n Obecný stavový vektor: Kvantový regstr může obsahovat lbovolnou superpozc přrozených čísel v ntervalu [, N ]. Lbovolný kvantový výpočet na tomto regstru pak probíhá se všem hodnotam najednou kvantový paralelsmus! Příklad: N = q-bty Stavy složených systémů Prostor stavů složeného kvantového systému je ztotožněn se součnem stavových prostorů jednotlvých podsystémů

29 Kvantová provázanost entanglement Prostor stavů složeného kvantového systému je ztotožněn se součnem stavových prostorů jednotlvých podsystémů Příklad: N = q-bty H () () () H H áze (dmenze 4) Obecný stavový vektor: Otázka faktorzace stavu: Kdy se obecný stavový vektor dá zapsat jako součn stavových vektorů jednotlvých q-btů, tj.ve tvaru: Musí být splněna podmínka: reálné podmínky (Re a Im část) Obecný stavový vektor: 4 komplexní koefcenty vázané normalzační podmínkou koefcenty tvoří (8 )-rozměrnou nadplochu v 8-rozměrném reálném prostoru Faktorzovaný stavový vektor: koefcenty tvoří jen (8 3)-rozměrnou varetu, tedy množnu míry nula?

30 Kvantová provázanost entanglement Prostor stavů složeného kvantového systému je ztotožněn se součnem stavových prostorů jednotlvých podsystémů Příklad: N = q-bty H () () () H H áze (dmenze 4) Obecný stavový vektor: Otázka faktorzace stavu: Kdy se obecný stavový vektor dá zapsat jako součn stavových vektorů jednotlvých q-btů, tj.ve tvaru: Faktorzace obecného stavu nastává velm zřídka (skoro nkdy)!? Závěr: Složený kvantový systém se obecně nachází ve stavu, v němž stavy jednotlvých podsystémů nejsou defnovány! Dá se mluvt jen o celkovém stavu systému, ale ne o stavech podsystémů! To je podstata provázanost

31 Kvantová dynamka II Časový vývoj kvantového systému má zásadně odlšné podoby: H ) Spontánní evoluce ( t) Uˆ ( t) () exp ( Ht ˆ / ) e ) Kvantové měření a Pro obecný stav nedetermnstcký proces! Pravděpodobnost naměření výsledku a velčny pro stav je P ( a) a kde je a vlastní stav operátoru  Měřením se systém dostane do stavu odpovídajícímu změřenému výsledku: determnstcká pohybová rovnce Evolučního operátor ˆ = exponencála hamltonánu Ht ˆ ˆ ( ) ( ) ( ˆ ˆ Ht Ht Ht 3!! 3! ) Schrödngerova rovnce d dt ( t) Hˆ ( t) a a

32 Kvantová dynamka II Časový vývoj kvantového systému má zásadně odlšné podoby: H ) Kvantové měření a Pro obecný stav nedetermnstcký proces! Pravděpodobnost naměření výsledku a velčny pro stav je P ( a) a kde je a vlastní stav operátoru  Měřením se systém dostane do stavu odpovídajícímu změřenému výsledku: Redukce ( kolaps ) vlnové funkce Untární evoluce a a

33 Kvantová nelokalta lbert Ensten ( ) Paradox EPR (Ensten, Podolsky, Rosen; 935): lce provede měření na částc : výsledek => výsledek => Tím lce ovlvnla stav částce, a to na jakoukolv vzdálenost. Pokud na částc bude ob měřt, jeho výsledky jsou jž předem dány.. Ensten,. Podolsky, N. Rosen, Physcal Revew 47 (935) "Can Quantum-Mechancal Descrpton of Physcal Realty be Consdered Complete? D. ohm, Quantum Theory (95)

34 ) Nevěřím, že ůh hraje v kostky. Neraďte ohu, co má dělat! ) Fyzka zkoumá skutečné jevy v přírodě. Žádný jev není jevem, dokud není zaznamenaným jevem! 3) Kvantová mechanka obsahuje skrytý předpoklad okamžtého působení na dálku. Nels ohr (885-96) cca foto Paul Ehrenfest

35 Kvantová nelokalta lbert Ensten ( ) Paradox EPR (Ensten, Podolsky, Rosen; 935): lce provede měření na částc : výsledek => výsledek => Spooky acton at a dstance! Tím lce ovlvnla stav částce, a to na jakoukolv vzdálenost. Pokud na částc bude ob měřt, jeho výsledky jsou jž předem dány. Můj generátor náhodných čísel vytvořl sekvenc To je úžasné, můj generátor napsal stejnou řadu

36 Paradox EPR (Ensten, Podolsky, Rosen; 935): John ell (98-99),, b a ),,, ( ),,, ( ),,, ( Korelace mez výsledky lce a oba nejsou strktním důkazem nelokalty: obě částce vznkly společně a pozorovatelé provádějí měření v předem domluvené báz. Nechť jsou obě měření prováděna v náhodných bázích, určených úhly φ a φ. Výsledkům měření přřadíme hodnoty {,+}: Dále defnujeme velčnu: pro každou lokální teor klasckého typu (může být pravděpodobnostní) pro kvantovou teor Kvantová nelokalta Pak se dají dokázat následující nerovnost [ell 964]:

37 Kvantová nelokalta John ell (98-99) Paradox EPR (Ensten, Podolsky, Rosen; 935): (,,, ) (,,, ) (,,, ) Kvantová nelokalta je skutečná! le nedá se využít Korelace mez výsledky lce a oba nejsou strktním důkazem nelokalty: obě částce vznkly společně a pozorovatelé provádějí měření v předem domluvené báz. Nechť jsou obě měření prováděna v náhodných bázích, určených úhly φ a φ. Výsledkům měření přřadíme hodnoty {,+}: Dále defnujeme velčnu: Pak se dají dokázat následující nerovnost [ell 964]: a b,, pro každou lokální teor klasckého typu (může být pravděpodobnostní) pro kvantovou teor

38 Kvantová nelokalta John ell (98-99) Paradox EPR (Ensten, Podolsky, Rosen; 935): Korelace mez výsledky lce a oba nejsou strktním důkazem nelokalty: obě částce vznkly společně a pozorovatelé provádějí Ledaže měření v předem by domluvené báz. Nechť jsou obě měření prováděna v náhodných bázích, určených úhly φ a φ. Výsledkům měření přřadíme hodnoty {,+}: Dále defnujeme velčnu: a,, (,,, ) Pak se dají dokázat následující nerovnost [ell 964]: (,,, ) (,,, ) Kvantová nelokalta je skutečná! le nedá se využít b pro každou lokální teor klasckého typu (může být pravděpodobnostní) pro kvantovou teor

39 To, co nazýváme realta se skládá z propracované papírové konstrukce představ a teorí upevněné mez několka železným plíř pozorování. John rchbald Wheeler (9-8) Hra dvacet otázek: Jeden účastník hry je poslán ven z místnost, ostatní se domluví na nějakém slově, dotyčný se vrátí a začne se ptát: Je to žvé? Ne. Je to na Zem? no. Otázky jdou od jednoho k druhému, dokud slovo není uhodnuto. Nakonec se zeptáte, jestl to slovo je mrak. no, zní odpověď a všchn se smějí. Vysvětlují, že se dohodl nedomlouvat dopředu žádné slovo. Každý mohl na jakoukolv vaš otázku odpovědět ano ne, jak se mu chtělo. Ncméně když odpověděl, musel mít na mysl nějaké konkrétní slovo slučtelné s odpověďm na všechny předchozí otázky.. Cestovatel a automobl: Setkat se s kvantovým světem je cítt se jako cestovatel z daleké země, který poprvé v žvotě vdí automobl. Ta věc má zjevně dávat nějaký užtek, a to podstatný, jenže jaký? Člověk může otevřít dveře, stáhnout a vytáhnout okénko, zapnout a vypnout světla a snad protočt startér, to všechno bez znalost hlavního smyslu. Svět kvant je ten automobl. Používáme ho v tranzstoru k řízení strojů, v molekule k přípravě anestetka, v supravodč k vytvoření magnetu. Je možné, že celou dobu postrádáme to hlavní, totž rol kvantových prncpů v konstrukc vesmíru?

40 To, co nazýváme realta se skládá z propracované papírové konstrukce představ a teorí upevněné mez několka železným plíř pozorování. Další čtení: P. Cejnar, M. Dušek: Kvantové hlavolamy I-V Vesmír 77 (998) R. Feynman, Feynmanovy přednášky o fyzce (966, slov.98, čes.) R. Penrose, Shadows of the Mnd (Oxford Unv. Press, 994) The Road to Realty: Complete Gude to the Laws of the Unverse (Jonathan Cape, London, 4) J. ell, Speakable and Unspeakable n Quantum Mechancs (Cambrdge Unv. Press, 988)