Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Transkript

1 . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou velčnu popsují, a číselné charakterstky náhodné velčny. Předpokládané znalost Pojmy z pravděpodobnost, dervace, ntegrál. Cíle Cílem této kaptoly je objasnt pojmy náhodná velčna, pravděpodobnostní funkce, hustota pravděpodobnost, dstrbuční funkce, střední hodnota, rozptyl, koefcent škmost, koefcent špčatost, p-kvantl, medán, modus. Výklad.. Výsledky některých pokusů (elementární jevy) jsou přímo vyjádřeny číselně (padne ), u jných tomu tak není (padne líc). Také u těchto pokusů je účelné přřadt elementárním jevům čísla. Čísla přřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná velčna (označujeme X, Y, Z,...) Defnce... X je reálná funkce defnovaná na množně všech elementárních jevů, která každému jevu přřadí reálné číslo.

2 Např.: Hod mncí Podle oboru hodnot M rozdělujeme náhodné velčny na: dskrétní... obor hodnot M je konečná nebo nekonečná posloupnost spojté... obor hodnot M je otevřený nebo uzavřený nterval.. Dskrétní náhodná velčna... Pravděpodobnostní funkce Nechť X je dskrétní náhodná velčna s oborem možných hodnot {x, x,..., e n }, která tyto hodnoty nabývá s pravděpodobností {p, p,..., p n }. Údaje sestavíme do tabulky: x x x... x n p p p... p n Každé hodnotě x je přřazena právě jedna hodnota p a pravděpodobnostní tabulku lze tedy chápat jako tabulkové určení funkce, kterou nazýváme pravděpodobnostní funkcí. Defnce... Pravděpodobnostní funkcí náhodné velčny X nazýváme funkc p(x) = P(X = x)

3 Poznámka Funkční hodnota v x představuje pravděpodobnost, že náhodná velčna X nabude hodnotu x. Vlastnost pravděpodobnostní funkce: a) p(x ) 0 n b) p x = = Poznámka První vlastnost plyne přímo z defnce pravděpodobnostní funkce. Druhé tvrzení plyne z toho, že náhodné velčně X je přřazeno číslo x právě tehdy, když nastane jev s hodnotou x (stručněj jev X ). Přtom jevy X, X,..., X n tvoří úplnou skupnu vzájemně dsjunktních jevů, protože v jednom pokusu nabývá náhodná velčna X právě jedné hodnoty z oboru M. Sečteme-l všechny možné výsledky pokusu, dostáváme jev jstý I s pravděpodobností P(I) =.... Dstrbuční funkce dskrétní náhodné velčny Často nás nezajímá jen pravděpodobnost toho, že X nabude určtou hodnotu x, ale potřebujeme určt pravděpodobnost, se kterou X nabude hodnoty menší než jstá mez: Defnce... Reálná funkce, která přřazuje každé hodnotě x náhodné velčny X pravděpodobnost, že X nabude hodnoty menší než toto x, se nazývá dstrbuční funkce F(x). Je defnována vztahem: F(x) = P(X < x) = P( X = x ) x < x Poznámka Vlastnost dstrbuční funkce budou souhrnně popsány u spojté náhodné velčny.

4 Řešené úlohy Příklad... Hod kostkou. Řešení: X je defnována na množně elementárních jevů: padne, padne,..., padne 6. Obor hodnot M jsou reálná čísla {,,...,6} přřazená elementárním jevům E, E,..., E 6 s pravděpodobností {p, p,..., p 6 }, kde p = 6. Pravděpodobnostní funkce p(x) = P(X = x) = 6 Příklad... V osudí je 5 bílých a 7 červených míčků. X představuje počet bílých míčků mez pět vybraným. Vytvořte pravděpodobnostní a dstrbuční funkc této náhodné velčny. Řešení: X nabývá hodnot {0,,,,4,5}. Z teore pravděpodobnost víme, že se jedná o opakované závslé pokusy. Můžeme tedy sestavt pravděpodobnostní funkc: p x 5 7. x 5 x = 5 Dosazením do pravděpodobnostní funkce vytvoříme pravděpodobnostní tabulku: x p Např p = p( x) = p( 0) = = =

5 Možnost grafckého znázornění: Bodový graf: Úsečkový dagram:

6 Hstogram: Tabulka pro dstrbuční funkc: x p F(x ) Graf:

7 .. Spojtá náhodná velčna Také u spojté náhodné velčny se užívá k jejímu popsu dstrbuční funkce F(x), která je defnovaná stejně jako u dskrétní náhodné velčny vztahem: F(x ) = P(X < x ) Vlastnost F(x) (společné pro spojtou dskrétní náhodnou velčnu): 0 F(x) P(x X < x ) = F(x ) - F(x ) pro x < x F(x) je neklesající funkce F(- ) = 0, F( ) = F(x) je zleva spojtá v bodech x = x, =,,..., dskrétní náhodné velčny a spojtá v ostatních bodech. Druhou vlastnost je možné zapsat také: P(x X < x + h) = F(x + h) - F(x). Pro h 0 levá strana P(X = x) a pravá 0 (tedy P(X = x) = 0). Proto nemá smysl defnovat pro spojtou náhodnou velčnu pravděpodobnostní funkc p(x) = P(X = x). Zavádíme tedy jnou funkc, která se nazývá hustota pravděpodobnost: Defnce... Hustota pravděpodobnost náhodné velčny X defnované na ntervalu ab, je nezáporná, reálná funkce defnovaná vztahem: f ( x) ( < + ) P x X x h = lm, h 0 h kde pro x ab, je f(x) = 0; x, x+h ab,

8 Vlastnost f(x) a F(x) spojté náhodné velčny pro x R platí: f(x) 0 b f ( x) dx = (obecně f ( x) dx= a je f(x) různá od nuly) f(x) = F ' (x) (F(x) je prmtvní funkcí f(x)) x F(x) = P(X < x) = f ( x) dx resp. = f P(x X < x ) = F(x ) - F(x ) = f a x x x ); a, b jsou krajní meze ntervalu, ve kterém x dx x dx Řešené úlohy Příklad... X je dána dstrbuční funkcí: F x 0 x 0 x = 0< x 4 x > Určete f(x), znázorněte grafcky F(x), f(x), vypočtěte P(0,4 X <,6) Řešení: Hustotu pravděpodobnost získáme zdervováním dstrbuční funkce: 0 x 0 x f ( x) = 0< x 0 x > Graf dstrbuční funkce:

9 Graf hustoty pravděpodobnost: P(0,4 X <,6) = F(,6) - F(0,4) = 0,64-0,04 = 0,6 Příklad... Hustota pravděpodobnost náhodné velčny X má tvar: 0 x < 0 f ( x) = a.sn x 0 x< π 0 x π π Určete koefcent a, dstrbuční funkc F(x) a P < X < π. Řešení: Nejdříve určíme koefcent a: π 0 a.sn xdx= [ x] π a. cos = 0 a. = a = F(x) je prmtvní funkcí f(x). Jestlže ntegrujeme f(x), obdržíme: C x< 0 F( x) = cos x+ C 0 x< π C x π Hodnoty konstant C, C zjstíme z okrajových podmínek dstrbuční funkce: F(- ) = 0, F( ) =. Takže C = 0, C =. Pro vypočtení konstanty C využjeme spojtost dstrbuční funkce. Víme, že: F 0 = 0 cos 0 + C = 0 C =

10 Dstrbuční funkce má tedy tvar: 0 x < 0 F( x) = cos x+ 0 x< π x π Výpočet hledané pravděpodobnost: π π ( π P < X < π = F π F = cos + ) = Příklad... Určete konstanty A, B tak, aby funkce F(x) = A + B.arctanx, defnovaná pro všechna reálná čísla, byla dstrbuční funkcí rozložení náhodné velčny. Řešení: F F = 0 = A+ B.arctan = 0 A+ B.arctan = π A+ B. = 0 π A+ B. = A = B = π Poznámka Rozdělení určené dstrbuční funkcí z předchozího příkladu se nazývá Cauchyho rozdělení náhodné velčny. Pro získání komplexnějšího pohledu na problematku náhodné velčny, doporučujeme, přečíst s Úvod do teore nformací. Zde se dozvíte více o pojmu neurčtost.

11 .4. Číselné charakterstky náhodné velčny X je jednoznačně určena rozdělením pravděpodobnost pomocí pravděpodobnostní funkce nebo dstrbuční funkce (popř. hustoty pravděpodobnost). Tyto funkce jsou však často poměrně složté a jejch určení pracné. Proto je výhodné shrnout nformace o náhodné velčně do několka čísel, které j dostatečně charakterzují. Tato čísla nazýváme číselné charakterstky a dělíme je: a) podle způsobu konstrukce na charakterstky: momentové kvantlové ostatní b) podle toho, které vlastnost rozdělení pravděpodobnost charakterzují na charakterstky: polohy varablty škmost špčatost.4.. Momentové charakterstky náhodné velčny Jsou konstruovány na základě počátečního momentu μ k nebo centrálního momentu ν k : Defnce.4.. Počáteční (obecný) moment k-tého stupně μ k náhodné velčny X je střední hodnota k-té mocnny náhodné velčny: μk = k x. p x pro dskrétní náhodnou velčnu k x. f x dx pro spojtou náhodnou velčnu

12 Centrální moment k-tého stupně ν k náhodné velčny X je: k ( x μ ) p( x ). pro dskrétní náhodnou velčnu υk =, k ( x μ ). f ( x) dx pro spojtou náhodnou velčnu kde μ = μ je počáteční moment. stupně náhodné velčny X. Poznámka Praktcký význam mají čtyř momentové charakterstky: μ, ν, ν, ν 4 První počáteční moment μ představuje střední hodnotu náhodné velčny X Bývá označován: μ = E(X) = μ tedy: x. p x pro dskrétní náhodnou velčnu E( X) = μ = xf. ( x) dx pro spojtou náhodnou velčnu Pro střední hodnotu platí:. E(c) = c, kde c je konstanta. E(c.X) = c.e(x). E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 4. E(X.Y) = E(X).E(Y), jsou-l X a Y nezávslé Druhý centrální moment ν představuje rozptyl (dsperz, varanc) Označujeme: ν = D(X) = σ D X = σ = ( x μ ) p( x ) ( μ ). pro dskrétní náhodnou velčnu x. f x dx pro spojtou náhodnou velčnu

13 Pro rozptyl platí:. D(c) = 0, kde c je konstanta. D(c.X) = c.d(x). D(X + Y) = D(X) + D(Y), jsou-l X a Y nezávslé 4. D( X) = σ = σ... se nazývá směrodatná odchylka Rozptyl a směrodatná odchylka charakterzují rozptýlenost hodnot náhodné velčny X kolem střední hodnoty μ. Další dvě číselné charakterstky jsou vyjádřeny pomocí normovaných momentů. Normovaný moment r-tého stupně ν r náhodné velčny X je určen vztahem ν r ν r =, r σ v němž ν r značí centrální moment r-tého stupně a náhodné velčny X. r σ je r-tá mocnna směrodatné odchylky Třetí centrální moment ν slouží k určení koefcentu asymetre, který označujeme ν = A υ A = υ =, kde σ ( x μ ) p( x ). pro dskrétní náhodnou velčnu υ = ( x μ ). f ( x) dx pro spojtou náhodnou velčnu Vyjadřuje, do jaké míry a na kterou stranu je rozložení zeškmeno, nebo jestl je symetrcké: A = 0

14 zeškmení vlevo: A < 0 zeškmení vpravo: A > 0 Čtvrtý centrální moment ν 4 slouží k výpočtu koefcentu špčatost (excesu), který značíme e. υ4 e = υ4 =, kde 4 σ 4 ( x μ ) p( x ). pro dskrétní náhodnou velčnu υ4 = 4 ( x μ ). f ( x) dx pro spojtou náhodnou velčnu Informuje o koncentrovanost hodnot dané velčny kolem její střední hodnoty.

15 Výpočet centrálních momentů lze provádět podle výše uvedeného a nebo s využtím vztahů mez μ k a ν k : ν = μ - μ ν = μ - μ μ + μ ν 4 = μ 4-4μ μ + 6μ μ 4 - μ k k k k k k υk μμ k μk μ μk μ μ 0 k 0 = ( ) Řešené úlohy Příklad.4.. X je dána tabulkou. Určete její číselné charakterstky x 4 p 0, 0, 0,4?

16 Řešení: p 4 = - (p + p + p ) = 0, μ x p( x ) E X 4 = =. =.0, +.0,+.0, , =,5 = 4 σ ( μ). D X = = x p x = = =,5.0, +,5.0,+,5.0, 4 + 4,5.0, =, 5 Další charakterstky vypočteme pomocí následující tabulky: x 4 Σ p 0, 0, 0,4 0, - x.p(x ) 0, 0,, 0,8,5 x.p(x ) 0, 0,4,6, 7,5 x.p(x ) 0, 0,8 0,8,8 4,7 x 4.p(x ) 0,,6,4 5, 85,5 Tedy: 4, 7.,5.7,5.,5 A ν μ μ μ + μ + = = = = 0, σ σ (, 5 ) 4 ν 4 μ4 4μμ+ 6μμ μ e = = = =,6 4 4 σ σ Příklad.4.. X má hustotu pravděpodobnost: f ( x) x pro x 0, = 0 pro ostatní x Určete její číselné charakterstky Řešení: x E( X) = μ = x.xdx= = = 0, x μ = x.xdx= = = 0,5 0 0

17 5 x μ = x.xdx= = = 0, x μ4 = x.xdx= = = 0, D( X) = μ μ = = = 0, A ν μ μ μ + = = μ = = 0, 4 σ σ 4 ν 4 μ4 4μμ+ 6μμ μ e = = = = 0,4 4 4 σ σ o o.4.. Kvantlové charakterstky náhodné velčny jsou obvykle odvozeny pomocí dstrbuční funkce F(x) jsou určovány pro spojtou náhodnou velčnu, pro dskrétní náhodnou velčnu nebývá jejch určení jednoznačné Defnce.4.. Nechť F(x) je dstrbuční funkce spojté náhodné velčny X. Pak hodnota x p, pro kterou platí F(x p ) = p, kde p 0,, se nazývá p-kvantl p-kvantl dělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobnost v poměru p:(-p)

18 Nejužívanější kvantly: kvartly: x 0,5, x 0,50, x 0,75 - rozdělí obor možných hodnot na čtyř část, v nchž se náhodná velčna nachází s pravděpodobností 0,5 decly: x 0,, x 0,,..., x 0,9 - rozdělí obor možných hodnot na deset částí se stejnou pravděpodobností výskytu percently: x 0,0, x 0,0,..., x 0,99 - rozdělí obor možných hodnot na sto částí se stejnou pravděpodobností výskytu x 0,5 = Me... medán: dělí plochu pod křvkou hustoty pravděpodobnost na dvě stejné část Řešené úlohy Příklad.4.. Určete první decl x 0, a třetí kvartl x 0,75 pro f ( x) Řešení: pro x 0, = 0 pro ostatní x F x ( 0, ) F x x x 0 pro x, x = pro x 0, pro x (, ) 0, 0, ( 0,75 ) = 0, F x = 0, x = 0, x 0,75 0,75 = 0,75 = 0,75 =, 5 Modus: Mo - je hodnota, v níž nabývá frekvenční funkce maxma: u dskrétní náhodné velčny je to hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce p(x ) dosahuje maxma u spojté náhodné velčny je to hodnota, v níž hustota pravděpodobnost f(x) nabývá lokálního maxma

19 Řešené úlohy Příklad.4.4. X má hustotu pravděpodobnost: f ( x) ( ) x xe pro x 0, = 0 pro x 0,. Určete modus. Řešení: Modus je hodnota, v níž frekvenční funkce (v našem případě hustota pravděpodobnost) nabývá maxma. Maxmum funkce vypočteme pomocí první dervace: x f x = xe. x. e x První dervace položíme rovnu nule: ( x) x xe. =0 Tato rovnce má dvě řešení: x = 0... toto řešení není přípustné, nula neleží v defnčním oboru x =... lehce ověříme, že se skutečně jedná o maxmum Mo =.4.. Shrnutí Charakterstky polohy E(X), Me, Mo, kvantly. Určují jakýs "střed", kolem něhož kolísají hodnoty náhodné velčny X. Charakterstky varablty D(X), σ,.... Ukazují rozptýlenost hodnot náhodné velčny kolem střední hodnoty Charakterstky škmost a špčatost Charakterzují průběh rozdělení náhodné velčny X

20 Úlohy k samostatnému řešení.. Třkrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu př každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkc počtu zásahů př třech nezávslých výsledcích, b) dstrbuční funkc a její graf... Hážeme třkrát kostkou. Nechť náhodná velčna X znamená počet padnutí šestky. Určete: a) pravděpodobnostní funkc a její graf, b) sestrojte graf dstrbuční funkce... X je dána dstrbuční funkcí: F ( 0 x x ) = pro x < pro x < 6 pro x 6 Určete f(x), znázorněte grafcky f(x), F(x) a P(,5 X 4)..4. Hustota pravděpodobnost náhodné velčny X má tvar: f ( 0 x ) = x 0 pro x < pro x < pro x Určete dstrbuční funkc.5. Hustota pravděpodobnost náhodné velčny X má tvar: f ( 0 x ) = cx( x ) 0 pro x < 0 pro 0 x < pro x Určete koefcent c, dstrbuční funkc F(x) a P(X > 0,)..6. Dstrbuční funkce náhodné velčny X má tvar: F( x ) = + arctgx π pro < x <. Určete pravděpodobnost, že náhodná velčna X nabývá hodnot z ntervalu (0,).

21 .7. Dva hráč hrají společenskou hru. Pravděpodobnost výhry hráče A je /, hráče B /. Hráč opakují hru tolkrát, až vyhraje hráč A. Určete zákon rozložení náhodné velčny, která značí počet uskutečněných her..8. Určete zákon rozložení náhodné velčny, která značí součet ok př hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkam, c) třem kostkam..9. Střelec střílí 0-krát na cíl. Za každý zásah získává body, nezasáhne-l, ztrácí bod. Pravděpodobnost zásahu př jednom výstřelu daného střelce je /. Určete zákon rozložení počtu bodů, které střelec může získat..0. Pokus spočívá ve třech nezávslých hodech mncí. Pro náhodnou velčnu značící počet padnutí líců sestrojte funkc rozložení... Hrací kostkou házíme n-krát. Najít funkce rozložení počtu padnuvších šestek... Dokažte, že pro n =,, je výraz p = n n n + zákonem rozložení dskrétní náhodné velčny. Určete pravděpodobnost P(X < ), P( X 0)... Výsledkem určtého pokusu je celé kladné číslo n s pravděpodobností nepřímo úměrnou n. Určete zákon rozložení náhodné velčny..4. Je dána funkce rozložení: 0 pro x < F( x) = x pro x<. pro x Určete k této funkc a) hustotu rozložení f(x), b) pravděpodobnost.5. Určete, 6 P X < 5.

22 a) pro jaká A, B bude F( x) A x ( 0, ), b) příslušnou hustotu rozložení..6. Určete, B = + funkcí rozložení náhodné proměnné pro + x a) pro jaké C bude funkce F x = Cx funkcí rozložení náhodné proměnné pro x 0, π, b) příslušnou hustotu rozložení, sn c) pravděpodobnost π π P X <..7. Určete a) konstanty A, B tak, aby funkce F( x) = A+ Be. x byla funkcí rozložení náhodné velčny pro x ( 0, ), b) pravděpodobnost P X < 4, c) hustotu rozložení f(x)..8. Která z uvedených funkcí je pravděpodobnostní funkcí náhodné velčny X, která nabývá hodnot 0,, 4, 6: a) f ( x) b) f ( x) = x c = x + c) f ( x) = x 4.9. X je určena tabulkou: X p 0,? 0, 0, 0, Určete hodnotu pravděpodobnost pro X = 0, dstrbuční funkc a pravděpodobnost jevu, že náhodná velčna nabude kladných hodnot..0. Cauchyho rozdělení náhodné velčny X defnované pro všechna reálná čísla má

23 dstrbuční funkc.arctan F x = a+ b x. Určete konstanty a, b, hustotu pravděpodobnost a pravděpodobnost, že X leží v ntervalu ;... Dstrbuční funkce Rayleghova rozdělení spojté náhodné velčny má tvar: x σ, F x = C e x>0. Určete konstantu C a hustotu pravděpodobnost f(x)... Dstrbuční funkce arkussnového rozložení pravděpodobnost má tvar: 0 pro x < F( x) = a+ b.arcsn x pro - x. Určete konstanty a, b a hustotu pravděpodobnost pro x > f(x)... Je funkce F( x) sn a) 0,π, = xdstrbuční funkcí náhodné velčny X v ntervalu b) 0, π,?.4. X je určena dstrbuční funkcí: 0 pro x < F ( x ) = x 4 pro x ;, 5. pro x >, 5 Vypočítejte hustotu pravděpodobnost náhodné velčny X, pravděpodobnost toho, že X je menší než 7 / a nakreslete grafy pravděpodobnostní a dstrbuční funkce..5. Hustota pravděpodobnost náhodné velčny má tvar: 0 pro x < 0 f( x) = x Cxe.. pro x 0 Určete konstantu C, P(0 X < ) a dstrbuční funkc.

24 Číselné charakterstky náhodné velčny.6. X je dána tabulkou rozdělení pravděpodobnost: x 0 p 0, 0, 0, 0,4 Určete střední hodnotu, rozptyl, koefcent asymetre a špčatost..7. Pravděpodobnost zásahu cíle př každém ze čtyř výstřelů je 0,8. Nechť náhodná velčna X představuje počet zásahů cíle. a) určete rozdělení pravděpodobnost náhodné velčny b) vypočtěte její střední hodnotu, dsperz a směrodatnou odchylku.8. V městě byl po dobu 60 dnů evdován počet dopravních nehod v průběhu každého dne a podle počtu nehod v jednom dn vytvořena následující tabulka: počet nehod / den počet dnů s uvedeným počtem nehod Pro počet nehod v jednom dn jako náhodnou proměnnou sestrojt zákon rozložení, střední hodnotu a dsperz. (řešení v excelu).9. Výsledkem náhodného pokusu je náhodná velčna nabývající hodnot / n (n je přrozené číslo) s pravděpodobnostm nepřímo úměrným n. Určt střední hodnotu této náhodné velčny. (řešení v excelu) (jná realzace řešení v excelu).0. X má hustotu pravděpodobnost: f ( Určete E(x), D(x) ( 0, ) ( 0) x pro x x ) = 0 pro x,.. X má hustotu pravděpodobnost: f ( 4 x ) = x 0 pro x pro x (, ) (, ) Určete F(x), E(x), D(x), směrodatnou odchylku.

25 .. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné velčny X, jejíž dstrbuční funkce má tvar: F ( 0 x x ) = π pro x < 0 pro x 0, π pro x > π.. Hážeme dvěma hracím kostkam. Určete rozdělení pravděpodobnost součtu hozených bodů a modus..4. Hážeme třkrát mncí. X znamená hození líce. Určete rozdělení pravděpodobnost a modus..5. X má hustotu pravděpodobnost: f ( - x x e x ) = 0 pro x pro x ( 0, ) ( 0, ). Určete modus..6. X má hustotu pravděpodobnost: f ( x x ) = 0 pro x 0,. Určete kvartly. pro x 0,.7. X má dstrbuční funkc: F ( 0 x ) = x 4 pro x < pro x pro x >, 5 ;, 5. Určete první tř decly..8. Funkce f ( x) C( x x ) Určete a) konstantu C, b) funkc rozložení F(x), = má být hustotou rozložení pravděpodobnost pro x 0,. c) střední hodnotu příslušné náhodné velčny, d) dsperz a směrodatnou odchylku, e) pravděpodobnost P(X<)..9. Funkce f ( x) Axsn Určete a) konstantu A = xje funkcí hustoty rozložení pravděpodobnost pro x 0, π.

26 b) funkc F(x), c) střední hodnotu E(X) d) dsperz D(X).40. Funkce rozložení náhodné velčny X má tvar 0 pro x < F( x) = A+ B.arcsn x pro - x<. Určete pro x a) konstanty A, B b) hustotu rozložení f(x) c) střední hodnotu E(X) d) dsperz D(X).4. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné velčny, která má hustotu rozložení ve tvaru f ( x) =. e x (Laplaceovo rozložení)..4. Trolejbusy městské dopravy odjíždějí ze stance v pětmnutových ntervalech. Cestující přšel ke stanc v lbovolný okamžk. Určete střední hodnotu a dsperz doby jeho čekání na odjezd ze stance..4. Mějme náhodnou velčnu X, jejíž hustota rozložení je dána π π k k funkcí. f ( x ) = A.cos kx, x,, k > 0 Určete konstantu A, střední hodnotu a dsperz.

27 Výsledky úloh k samostatnému řešení.... p x p x.0,7 x.0, = x x x 5 =.. x 6 6 x.. pro 6 x < f( x) = 0 jnde P (, 5) X 4 =.4. 0 pro x < x F( x) = pro x, pro x ).5. c = 6 0 pro x < 0 F x = x x x pro x pro 0, P(X > 0,) = 0,896 ).6. π 4.7. p k = / k.8. a) 6.p k = (,,,,, ) b) 6.p k = (,,, 4, 5, 6, 5, 4,,, ) c) 6.p k = (,,6,0,5,,5,7,7,5,,5,0,6,,).9. x k p k p k = C k (). /.. p k = / 6 n.c k (n).5 n-k, k = 0,...,n.. P(X<) = / ; P(X<=0) = 0 /

28 .. f 6 π n ( n) = pro x < a) f( x) = pro x, 0 pro x b) 0 A=, B =, f x = x ( + x ) a) C = 4 0 pro x < 0 x b) f( x) = cos pro x 0, π ) pro x π ) c) = 0,54.7. a) A=, B = e b) P( X < 4) = 4 e c) f x e, x x = ( 0, ).8. pouze b) pro c = 5 / 9.9. P( X ) = 0 = 0,, P X > 7 = 0, a =, b, f ( x)., p = π = π + x = x x C =, f ( x) =. e σ σ. - x a=, b=, f( x) = π x π 0 jnde

29 .. pouze b).4. pro x,5 f( x) =, 0 jnde P X 7 < =.5. x 0 0 jnde x e pro = F( x) = C =, P 0 X < e,.6. ; ; -0,6; -0, a).0,8 x.0, 4 x x b),; 0, ,75; 0,075.. E(x) =,5; D(x) = 0,75.. π E(x) = π, D(x) =.. Mo(x) = ,5 x.0,5 x p x =, x= 0,,,; Mo( x) =, x.5. Mo(x) =.6. x 0,5 = 0,5 x = 0,5 x = 0,75.7. x 0, =,05; x 0, =,; x 0, =,5.8. C = / 4, F(x) = / 4 (x - x / ), x stř =, D(X) = / 5, σ = (/5) = 0,447, p = /.9. A = /π, F(x) = /π(sn(x)-x cos(x)), E(X) = π - 4/π, D(X) = - 6/π.40. A = /, B = /π, f(x) = / π ( - x ), E(X) = 0, D(X) = /, M = 0, M 4 = / 8

30 .4. x stř = 0, σ =.4. f(x) = / 5, x n <0, 5>, x stř = 5 / (mn) = 50(s), D = 5 / (mn ).4. A = k /, E(X) = 0, D(X) = (π - 8) / 4 k 0,467 / k