Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Moderní geometrie Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz

2 Přehled Motivace a praktické aplikace Studium geometrie Deskriptivní geometrie Klasické úlohy deskriptivní geometrie s využitím počítačových programů a aplikace geometrie v praxi promítací metody speciálně lineární perspektiva konstruktivní fotogrammetrie, fotografování geometrické osvětlení plochy stavební praxe, užití v architektuře konstrukce kuželoseček Geometrie v rovině a v prostoru konstrukční úlohy Praktická část programy GeoGebra, Rhinoceros

3 Motivace a praktické aplikace Geometrie celá řada geometrických disciplín diferenciální, analytická, počítačová geometrie, základ moderních aplikací stavební obory počítačové projektování navrhování architektonických a designových prvků výrobní průmysl

4 Motivace a praktické aplikace Geometrie přenos reálných interiérů a exteriérů do virtuálních světů - např. virtuální procházka městem nebo domem počítačové hry

5 Motivace a praktické aplikace Geometrie digitalizace skutečných objektů rekonstrukce povrchů 3D skenováním replikace tvarů skutečných předmětů pomocí 3D tisku počítačová grafika geometrické algoritmy základem elementární geometrické principy

6 Motivace a praktické aplikace Geometrie moderní aplikace společným základem geometrické principy a poznatky užité metody mnohdy vycházejí z elementární geometrie matematický obor vyžadující logické myšlení, prostorovou představivost studium většiny geometrických oborů velmi náročné Deskriptivní geometrie zobrazování reálných objektů nezastupitelná role v řadě odvětvích, ve kterých je správná vizualizace rozhodující v aplikacích, které jsme uvedli, hraje názorné zobrazení prostoru důležitou roli Geometrie v rovině a v prostoru nezbytná součást všech jmenovaných oblastí tedy i základ DG klasické rýsování neprávem považováno za přežitek, je ale nutné přizpůsobit se nárokům moderní doby

7 Studium geometrie Všeobecně velmi náročné malá úspěšnost studentů, nezájem se geometrii učit na ZŠ i SŠ někdy opomíjena pokud nezbývá ve výuce čas, bývá redukována nebo dokonce zcela vynechávána právě geometrie především v nižších ročnících by však geometrie měla být v matematice na prvním místě Prostorovou představivost se můžeme do jisté míry naučit, rozvíjet ji a zdokonalovat Nutné začít včas v raném dětském věku lze promeškat vhodnou dobu učení prostorového vidění klást důraz na výuku geometrie již na ZŠ podstatná a nenahraditelná později je obtížné mezery dohnat na SŠ náročné, na VŠ téměř nemožné

8 Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie dříve ukázky rysů precizní zpracování, tuš, kvalitní výtvarná stránka Deskriptivní geometrie a rýsování dnes považováno za přežitek po nástupu počítačů zbytečné? má smysl vypracovávat rysy podobné těm starším? nutné přizpůsobit se reálné praxi

9 Deskriptivní geometrie Moderní počítačové programy CAD systémy - pokročilé grafické programy běžné ve výrobních procesech při konstruování, navrhování či modelování nejrůznějších objektů velmi účinný nástroj ALE POZOR! geometrické zákonitosti je nutné v každém případě znát, i když rýsujeme nebo modelujeme prostorové situace na počítači projekce skutečných reálných objektů a situací, jejich zakreslování, navrhování objektů nových - neobejde se bez znalostí prostorových vztahů musíme rozumět principům vzniku prostorových objektů

10 Deskriptivní geometrie Správné črtání, rýsování dnes neoprávněně považováno za zbytečné (v praxi přece nic rýsovat nebudeme) samozřejmě elektronická tvorba je dnes běžný standard ale představuje nenahraditelnou roli ve fázi navrhování žádný software nemůže nahradit tužku a papír v okamžiku, kdy má např. architekt nápad a potřebuje jej rychle vyjádřit, zaznamenat a rozvíjet Geometrie nás učí preciznosti, přesnosti, trpělivosti nezáleží na daném tématu nelze zcela opustit

11 Deskriptivní geometrie Klasická disciplína okruhy promítací metody Mongeovo a kosoúhlé promítání, pravoúhlá a kosoúhlá axonometrie, středové promítání (speciálně lineární perspektiva) křivky a plochy aplikace promítání reliéfy, konstruktivní fotogrammetrie v rámci všech témat poznatky z geometrie v rovině a v prostoru sice hovoříme o DG, ale některá témata a oblasti využitelné i při výuce geometrie na SŠ v rámci planimetrie a stereometrie navíc se nemusí jednat o konkrétní téma, spíše jde o způsob pojetí a využité prostředky

12 Klasické úlohy DG s využitím počítačových programů Rýsování na počítači a počítačové 3D modelování lze používat v rámci všech klasických geometrických témat geometrie v rovině a v prostoru, deskriptivní geometrie Program Rhinoceros (NURBS modeling for Windows) 3D modelovací komerční program (existují alternativy) GeoGebra software dynamické 2D (3D) geometrie a matematiky motivace studentů podpora prostorové představivosti inovace vyučování geometrie zlepšení výsledků žáků a studentů

13 Lineární perspektiva Speciální případ středového promítání určeno průmětnou (rovina nebo obecná plocha, na kterou promítáme) a středem promítání, který v průmětně neleží středový obraz bodu A v prostoru (různý od středu promítání ) = s průsečík paprsku (SA) s průmětnou (bod ) S A promítací přímka s A A

14 Lineární perspektiva Vhodně zvolené středové promítání vzdálenost středu promítání od průmětny nejméně cm - distance minimální vzdálenost, ze které jsme schopni zřetelně pozorovat objekty pozorovaný objekt uvnitř zorného kužele rotační kuželová plocha - vrchol ve středu promítání, osa kolmá k průmětně, vrcholový úhel 20 až 45 objekty mimo zorný kužel velké zkreslení d O střed promítání - oko p A A

15 Lineární perspektiva další možné podmínky a pojmy zobrazované předměty stojí na základní rovině za průmětnou oko (střed promítání) nad základní rovinou výška 1,5 až 2 m hlavní bod, obzorová rovina, horizont, O d hlavní bod H p A h horizont obzorová rovina A výška oka p A1 z A 1 základnice

16 Lineární perspektiva Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty

17 Lineární perspektiva Přechod do průmětny

18 Lineární perspektiva Nalezení správné konstrukce pavimenta se v historii vždy věnovala značná pozornost situace v průmětně pavimentum v průčelné poloze U H V h z

19 Lineární perspektiva Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty

20 Lineární perspektiva Přechod do průmětny

21 Lineární perspektiva situace v průmětně pavimentum v neprůčelné poloze U H W V h z

22 Lineární perspektiva Perspektivní obraz 3D objektu O H h z

23 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru

24 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači a 3D počítačový model

25 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru princip lineární perspektivy

26 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - 3D počítačový model

27 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači

28 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zadání pro studenty pomocí pravoúhlých průmětů 35

29 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru

30 Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie vkreslení nového objektu do fotografie, vymodelování prostorové situace

31 Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie

32 Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie

33 Konstruktivní fotogrammetrie Jak z daného středového průmětu vymodelovat prostorovou situaci? používají se metody konstruktivní fotogrammetrie Co všechno musíme znát, aby byl středový průmět jednoznačný? Jaké těleso může mít tento průmět?

34 Konstruktivní fotogrammetrie příklad tělesa a lineární perspektivy O H h z

35 Konstruktivní fotogrammetrie Předpokládejme nyní, že jde o krychli v průčelné poloze stojící na základní rovině dokážeme tak najít horizont, střed promítání známe-li velikost hrany krychle, lze k perspektivními průmětu jednoznačně přiřadit prostorový model O H h z

36 Konstruktivní fotogrammetrie Dnes se fotogrammetrické metody mohou využívat k rekonstrukci fotografie pro vymodelovaní prostorové situace je nutné znát další informace které přímky jsou rovnoběžné, známe úhly, poměry délek,... takto nalezneme horizont a střed promítání nutné znát nějaký rozměr objektu, abychom získali přesný prostorový model objektu

37 Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku situace v prostoru

38 Konstruktivní fotogrammetrie Lze rovněž využít k rekonstrukcím malířských děl a posoudit tak geometrické metody použité při zobrazování prostoru Pouze jedna stránka výtvarného díla způsoby zobrazování trojrozměrného prostoru na ploše obrazu toto hledisko není jediným měřítkem, podle kterého lze hodnotit velikost a kvalitu výtvarného díla (někdy dokonce nedůležité) perspektiva - nemusí být nutně použita, je pouze jednou ze složek výtvarného projevu každá historická epocha má své estetické normy, své vlastní způsoby uměleckého vyjadřování v minulosti ve většině kultur šlo o jiné priority než realistické zobrazování prostoru (nemluvě o soudobém výtvarném umění) Tři okruhy problémů, s nimiž se malíři potýkali zobrazení postavy zachycení vztahů mezi postavami znázornění prostoru, do něhož jsou postavy umístěny

39 Ambrogio Lorenzetti ( ) Zvěstování kolem r.1344 čtvercový obraz, hlavní bod umístěn do průsečíku úhlopříček víra ve správnost souměrné kompozice symetrie je zdůrazněna stejnými výklenky a symetrií postav

40 Tommaso di Ser Giovanni di Mone Cassai ( ) zvaný Masaccio, italský malíř považován za průkopníka renesanční malby Svatá Trojice kolem r. 1427, freska Santa Maria Novella, Florencie, Itálie dokonalá perspektivní konstrukce, lidé zprvu mysleli, že umělec udělal do zdi otvor zobrazení imaginární architektury, výklenku, valené klenby (typické pro Brunelleschiho) Bůh Otec podpírá ukřižovaného Ježíše, u jehož nohou se nacházejí Panna Maria a sv. Jan u paty kříže na sarkofágu Adamova kostra symbol lidstva vně obrazu donátoři mimo boží prostor, v prostoru pozemském

41 Jan van Eyck ( ) z Nizozemí Podobizna manželů Arnolfiniových r. 1434, olej na dřevě National Gallery, Londýn údajně se jedná o zobrazení sňatku pes symbol věrnosti nad zrcadlem napsáno,,jan van Eyck byl při tom. lustr hoří jediná svíce symbolizující Kristovu přítomnost pozoruhodné - vypuklé zrcadlo, ve kterém se odráží strop, zahrada, podlaha a dvě další postavy malíř a zřejmě svědek

42 Leonardo da Vinci ( ) prototyp tvůrčího renesančního člověka Poslední večeře , olej a tempera na sádrové desce velmi brzy poničené Santa Maria delle Grazie (refektář), Milán, Itálie

43 Geometrické osvětlení Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu

44 Geometrické osvětlení Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu

45 Geometrické osvětlení Lze měnit pohled na modelovaný objekt velká výhoda modelovacího softwaru

46 Geometrické osvětlení Ručně narýsovaný rys osvětlení kulové plochy v lineární perspektivě poměrně těžký geometrický problém

47 Geometrické osvětlení půdorys nárys S S

48 Geometrické osvětlení S Osvětlení situace v prostoru zadání lineární perspektivy průmět kulové plochy a stínů do perspektivní průmětny zobrazeny promítací kužele 3D modelování na počítači může pomoci nejen k řešení prostorové situace, ale také k pochopení principů zobrazování celé situace ve zvolené lineární perspektivě

49 Geometrické osvětlení Skupina těles pravoúhlá axonometrie podhled! úkol studentů narýsovat ručně osvětlení skupiny těles v daném směru z s W p p 2 x V s 1 U y

50 Geometrické osvětlení

51 Plochy stavební praxe Vznik rotační plochy

52 Plochy stavební praxe Vznik rotační plochy

53 Plochy stavební praxe Vznik šroubové plochy

54 Plochy stavební praxe Vznik šroubové plochy

55 Plochy stavební praxe Vznik přímého parabolického konoidu

56 Plochy stavební praxe Plocha jednodílného rotačního hyperboloidu

57 Plochy stavební praxe Frézierův cylindroid

58 Plochy stavební praxe Přímé kruhové konoidy

59 Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid

60 Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid

61 Plochy stavební praxe Cyklická šroubová plocha Přímková šroubová plocha

62 Plochy stavební praxe Translační plocha

63 Plochy stavební praxe Válcová plocha jako klenba

64 Plochy stavební praxe St. Mary s Cathedral San Francisco, USA Hyperbolický paraboloid

65 Plochy stavební praxe St. Mary s Cathedral - Tokyo, Japonsko Hyperbolický paraboloid

66 Aplikace geometrie v praxi Geometrie vždy vycházela z praktických potřeb k rozvíjení geometrických znalostí nejvíce přispívala stavitelská činnost platí i obráceně nejpevnějším základem, na kterém se mohla architektura vyvinout, byla znalost geometrických zákonitostí vyměřování pozemků, stavba obydlí, opevnění Využití geometrie v praxi je nejviditelnější a nejhmatatelnější v architektuře Ukázky architektonických děl geometrické plochy, které se využívají v architektuře nebo v technické praxi ukázky využití těchto ploch v architektuře v minulosti i dnes, některé architektonické zajímavosti geometrie staveb

67 Geometrie v architektuře Rotační plochy

68 Geometrie v architektuře Použití části kulové plochy a pendentivů k zaklenutí Bazilika sv. Petra Vatikán

69 Geometrie v architektuře Placková klenba Vatikánská muzea

70 Geometrie v architektuře Nika u Fontana di Trevi Řím, Itálie

71 Geometrie v architektuře tzv. koncha Model niky výklenek poloválcového tvaru zakončený čtvrtinou kulové plochy

72 Geometrie v architektuře Kulová plocha jako kupole Bazilika sv. Petra Vatikán

73

74

75 Geometrie v architektuře ( Kulová plocha jako kupole - Bazilika sv. Petra Vatikán

76 Geometrie v architektuře Rotační jednodílný hyperboloid Planetárium (zakladatel James S. McDonnell ) St. Louis, USA ( Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada Katedrála (architekt Oscar Niemeyer) Brasília, Brazílie (

77 Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada

78 City Hall - Toronto, Kanada

79 Geometrie v architektuře Fuji Television Building in Odaiba (architekt Kenzo Tange) Tokyo, Japonsko

80 Geometrie v architektuře ( Televizní vysílač na Ještědu část věže ve tvaru rotačního jednodílného hyperboloidu - ČR (

81 Geometrie v architektuře Přímkové rozvinutelné plochy

82 Geometrie v architektuře a ) b) c ) d ) Valená klenba u Negrelliho viaduktu Praha, ČR S S S S1

83 Geometrie v architektuře Křížové klenby

84 Geometrie v architektuře Bazilika sv. Petra - Vatikán Vatikánská muzea - Vatikán

85 Geometrie v architektuře Oblouky akvaduktů a viaduktů Akvadukt Avre - Verneuil-sur-Avre, Francie ( Akvadukt Pont du Gard - Francie ( Viadukt Ribble Head Hawes, Velká Británie (

86 Geometrie v architektuře ( Válcové plochy na Palmovém pavilonu v Kew Gardens Londýn, Anglie (

87 Geometrie v architektuře Použití eliptické válcové plochy a částí anuloidů u stanice metra Praha, ČR

88 Geometrie v architektuře Válcové a kuželové skořepiny ( Kostel v Belo Horizonte (architekt Oscar Niemeyer) - Brazílie (

89 Geometrie v architektuře Válcová skořepina ( Niterói (architekt Oscar Niemeyer) - Brazílie (

90 Geometrie v architektuře Přímkové zborcené plochy

91 Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid chránící vchod do budovy ( Kostel Sv. Athanasia Reading, Massachusetts, USA (

92 Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid ( Tenká skořepina ve formě průniku hyperbolických paraboloidů Restaurace v oceánografickém parku Valencie, Španělsko

93 Geometrie v architektuře Konoidy Oxford Road Station - Manchester, Anglie ( Soudní budova - Boston, Massachusetts, USA (

94 Geometrie v architektuře Plocha šikmého průchodu na Negrelliho viaduktu Praha, ČR

95 Geometrie v architektuře Šroubové plochy

96 Geometrie v architektuře Přímá uzavřená přímková šroubová plocha Praha, ČR

97 Geometrie v architektuře Přímková šroubová plocha Muzeum Louvre - Paříž, Francie

98 Geometrie v architektuře Další zajímavé stavby ( Katedrála v Independence Missouri, USA (

99 Geometrie v architektuře ( Muzeum umění ( architekt Oscar Nimeyer) - Rio de Janeiro, Brazílie (

100 Geometrie v architektuře ( Oceánografický park a muzeum (Město umění a vědy, architekt Santiago Calatrava) Valencie, Španělsko (

101 Geometrie v architektuře ( Biodome - Montreal, Kanada (

102 Geometrie v architektuře Walt Disney Concert Hall (architekt Frank Gehry) Los Angeles, California, USA

103 Konstrukce kuželoseček Příklad využití dynamického programu GeoGebra obraz kružnice ve středové kolineaci kuželosečka určená pěti prvky tři body a dvě tečny celkem čtyři různá řešení (zjišťuje se algebraicky), obtížná úloha, vychází osm různých středových kolineací, které převádějí zvolenou kružnici na kuželosečku danou těmito pěti prvky, vždy dvě dávají stejný výsledek součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji dva body a tři tečny analogie, opět čtyři různá řešení součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji dva body, dvě tečny, parabola asymptota, tři body, hyperbola K programu GeoGebra lze namodelovat všechna řešení navíc lze dynamicky měnit zadání a sledovat, jaké typy kuželoseček vycházejí

104 Konstrukce kuželoseček Obraz kružnice ve středové kolineaci

105 Konstrukce kuželoseček Kuželosečka určená pěti prvky

106 Geometrie v rovině Vepsaná a opsaná kružnice trojúhelníku

107 Geometrie v rovině Pythagorova a Euklidovy věty

108 Geometrie v rovině Tětivový a tečnový čtyřúhelník

109 Geometrie v rovině Středový, obvodový a úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice

110 Shrnutí a závěr Existuje celá řada výukových metod a postupů jak zvýšit zájem o studium geometrie a úspěšnost v jejím absolvování Počítače mohou být jednou z možností, jak dát výuce geometrie nový rozměr geometrii znovu chápat jako nezbytnou součást technického vzdělání Velmi kladný ohlas u studentů vnímají geometrii jako zajímavou a moderní disciplínu počítačové modelování se zdá být vhodnou didaktickou pomůckou Důraz na propojení geometrie a praxe

111 Praktická část Ukázky modelování v programu Rhinoceros tvorba rysů 3D modelování práce studentů užití na SŠ technické zaměření, na VŠ hodiny DG Užití programu GeoGebra seznámení s GeoGebrou základní ovládání konstrukční úlohy užití na všech stupních vzdělávání