3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc

Podobné dokumenty
Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

8. Relácia usporiadania

Kvadratické funkcie, rovnice, 1

Zvyškové triedy podľa modulu

Iracionálne rovnice = 14 = ±

Numerické metódy matematiky I

Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku

M úlohy (vyriešené) pre rok 2017

RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.

MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová

i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

Matematika Postupnosti

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.

ZÁKLADY TEÓRIE GRAFOV

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Nikdy nie je na škodu vedieť urobiť si najprv s mínuskami aspoň trochu poriadok. Ak viete vypočítať nasledujúce príklady, nebude to pre vás ťažké.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Riešenie nelineárnych rovníc I

Kontrola väzieb výkazu Súvaha a Výkaz ziskov a strát Príručka používateľa

Operace s maticemi. 19. února 2018

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

Pracovné prostredie MS EXCEL 2003.

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

CVIČENIE 1 : ZÁKLADNÉ VÝPOČTY PRAVDEPODOBNOSTI

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Rozklad mnohočlenov na súčin

Matematika B101MA1, B101MA2

Množiny, relácie, zobrazenia

Základy algoritmizácie a programovania

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

je zmena operácie ktorou z nelineárneho systému môže spraviť lineárny. Týmto krokom sme získali signál ktorý môžeme spracovať pomocou LDKI sústavy.

Imagine. Popis prostredia:

Číselné vektory, matice, determinanty

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Ako započítať daňovú licenciu

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť

Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Numerický výpočet integrálu

Matematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp

AR, MA a ARMA procesy

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu

Riešenie cvičení z 3. kapitoly

Návod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti

Import Excel Univerzál

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P

Funkcionální řady. January 13, 2016

PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1

PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Použitie grafického kalkulátora Casio ClassPad300 vo vyučovaní matematiky v tematickom celku POSTUPNOSTI

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Operace s maticemi

Pozičné číselné sústavy. Dejiny. Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry).

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.

Metóda vetiev a hraníc (Branch and Bound Method)

Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica

PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

Tabuľkový kalkulátor EXCEL Základné operácie v programe Excel

Základy optických systémov

Spracovanie informácií

Program "Inventúra program.xlsm"

Obsah Úvod... 3 Zapnutie makra... 4 Vyplnenie formulára... 6 Naplnenie hlavnej knihy... 7 Naplnenie stavu zamestnancov... 7 Mapa modulov...

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

Porovnanie dizajnu časopisu

PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA DISKRÉTNE LINEÁRNE RIADENIE

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Manuál na prácu s databázou zmlúv, faktúr a objednávok Mesta Martin.

- rysovať rovnobežky, rôznobežky, kolmice; Uč.I.str.36/1; str.38/12; str.41/2 - rysovať obdĺžnik, štvorec a trojuholník. Uč.I.str.

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

Vytvorenie používateľov a nastavenie prístupov

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

SK skmo.sk. 65. ročník Matematickej olympiády 2015/2016 Riešenia úloh školského kola kategórie B

Návrh postupu pre stanovenie počtu odborných zástupcov na prevádzkovanie verejných vodovodov a verejných kanalizácií v správe vodárenských spoločnosti

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Legislatívne zmeny týkajúce sa cyklistov od 1. novembra 2011

Popis kontrol vykonávaných pri OVEROVANÍ zúčtovacích dávok na Elektronickej pobočke

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

CENNÍK ELEKTRINY ČEZ SLOVENSKO, s. r. o.

Skupiny finančných nástrojov a produktov zodpovedajúce typu investora

Transkript:

3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2 a 2 Ak prvú rovnicu vynásobíme číslom a 22, druhú číslom -a 2 a obe rovnice následne sčítame, dostaneme rovnicu o jednej neznámej x. (a a 22 a 2 a 2 )x = c a 22 c 2 a 2 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov (akých?) získať rovnicu o neznámej x 2. (a a 22 a 2 a 2 )x 2 = a c 2 a 2 c 22 2 2 2 2 Riešenie sústavy potom má tvar ca ca, a c x = x2 = a c. aa22 a2a2 aa22 a2a2 Poznamenajme, že tento postup môžeme použiť iba v prípade, že výraz v menovateli je rôzny od nuly. Všimnime si teraz podobnosť vzorcov pre riešenie jednotlivých neznámych. Menovatele oboch vzorcov sú rovnaké a aj výrazy v čitateľoch sú dosť podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinant matice druhého stupňa. a, a,2 Nech A = je matica nad množinou R. Potom výraz a a 22 a 2 a 2 nazývame a2, a2,2 determinantom (druhého stupňa) prislúchajúcim k matici A a označujeme ho a, a,2 a, a 2,2 a,2 a = 2, A a a =. 2, 2,2 Poznámka. Pre výpočet je dobré si zapamätať, že od súčinu prvkov na hlavnej diagonále (ktorá je vyznačená červenou farbou) odpočítame súčin prvkov na vedľajšej diagonále (ktorá je vyznačená modrou farbou). V zmysle tejto definície potom riešenie predchádzajúcej sústavy môžeme zapísať v tvare: c a2 a c c2 a22 a2 c2 x = x2 = a a2 a a2 a a a a 2 22 2 22 Príklad 3.. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y = x + 4y = 6 a a2 2 3 A = = = 24 ( 3) = a2 a22 4 c a2 3 22 x = = = 4 ( 3) 6= 22 x = x = = 2 c2 a22 6 4 A a c 2 = y 26 a c = 6 = = y y = = = A K = 2 2 {( 2;) } 45

3.2 eterminanty tretieho stupňa, Sarrusovo pravidlo Podobnú úvahu, ako sme urobili v prípade sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych, urobíme teraz aj v prípade troch rovníc o troch neznámych. a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3 Násobme prvú rovnicu číslom a 22 a 33 a 23 a 32, druhú rovnicu číslom a 3 a 32 a 2 a 33, tretiu číslom a 2 a 23 a 3 a 22, potom prvé dve pričítajme k tretej a dostaneme: (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x = c a 22 a 33 c a 23 a 32 + c 2 a 3 a 32 c 2 a 2 a 33 + c 3 a 2 a 23 c 3 a 3 a 22 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov eliminovať ďalšie neznáme a dostaneme (čitateľovi doporučujeme, aby si premyslel výber týchto vhodných násobkov): (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 2 = a c 2 a 33 a a 23 c 3 + a 3 a 2 c 3 c a 2 a 33 + c a 23 a 3 a 3 c 2 a 3 (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 3 = a a 22 c 3 a c 2 a 32 + c a 2 a 32 a 2 a 2 c 3 + a 2 c 2 a 3 c a 22 a 3 Opäť si všimnime, že pri neznámych sme dostali rovnaké výrazy a naviac aj výrazy na pravých stranách sú podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinanty tretieho stupňa Nech A je štvorcová matica tretieho stupňa s prvkami z množiny reálnych čísel. Potom determinantom (tretieho stupňa) prislúchajúcim k matici A nazývame výraz a a2 a3 aa22a33 + a3a2a32 + a2a23a3 aa23a32 a2a2a33 a3a22a3 = a2 a22 a23 = A. a3 a32 a33 c a2 a3 a c a3 a a2 c Ak označíme postupne A = c a a, A = a c a, A = a a c, potom 2 22 23 2 2 2 23 3 2 22 2 c3 a32 a 33 a3 c3 a 33 a3 a32 c 3 v zmysle predchádzajúcej definície riešenie sústavy troch rovníc dostávame v tvare A A2 A3 x =, x2 =, x3 =. A A A Poznamenajme znova, že determinant matice sústavy musí byť rôzny od nuly. Výraz pre výpočet determinantu tretieho stupňa je komplikovanejší ako pri výpočte determinantu druhého stupňa. Teraz si uvedieme Sarrusovo pravidlo, ktoré nám umožní ľahšie zapamätanie vzorca pre výpočet determinantu tretieho stupňa. Pod determinant pripíšeme prvý a druhý riadok príslušnej matice. Pre takto zostrojenú schému urobíme súčet súčinov trojíc v smere hlavnej diagonály (vyznačené červenou farbou) a od týchto odčítame súčiny trojíc v smere vedľajšej diagonály (vyznačené modrou farbou). a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a a2 a3 a a a 2 22 23 46

Príklad 3.2. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y + 3z = x + 4y + z = 6 y 2z = a a2 a3 2 3 3 A = a2 a22 a23 = 4 = a3 a32 a33 0 2 2 4 ( 2) + 3 + ( 3) 0 3 4 0 2 ( 3) ( 2) = 6+ 3+ 0 0 2 6= 2 c a2 a3 3 3 = c2 a22 a23 = 6 4 = c3 a32 a33 2 4 ( 2) + 36 + ( 3) 34 ( 3) 6 ( 2) = 8+ 8 3 2 36= 42 a c a3 2 3 2 = a2 c2 a23 = 6 = a3 c3 a33 0 2 2 6 ( 2) + 3 + 0 3 6 0 2 ( 2) = 24+ 3+ 0 0 2+ 2= 2 a a2 c 2 3 A = a2 a22 c2 = 4 6 = a3 a32 c3 0 24 + + 3 60 40 26 3 = 8+ + 0 0 2+ 3= 0 42 x = = = 2 A 2 K = {( 2;;0 )} 2 2 y = = = A 2 3 0 z = = = 0 A 2 3.3 eterminanty n-tého stupňa, ich výpočet Označenie: Nech A je štvorcová matica stupňa n>. Znakom A ij budeme označovať maticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Je to znova štvorcová matica stupňa n-. a a2 an a2 a22 a2n eterminantom štvorcovej matice A = stupňa n je číslo, označené an an2 ann A, ktoré sa rovná:. A =a, ak matica A je stupňa, t.j. A=(a ) 2. A =a A - a 2 A 2 + a 3 A 3 -...+(-) n+ a n A n, ak matica je stupňa n>. 47

Poznámka. Táto definícia sa nazýva rekurentná definícia. Pomocou tejto definície vypočítame determinant matice stupňa n pomocou determinantov matíc stupňa n-. Poznámka. Číslo ( ) i + = k A sa nazýva algebraický doplnok prvku a ik matice A. ik ik Príklad 3.3. Použitím predchádzajúcej definície vypočítajte determinant 4 3 5 2 3 A =. 2 3 2 4 3 5 2 3 3 2 2 3 A = 4 3 2 ( ) 2 2 + 3 2 3 2 5 2 3 = 3 5 4 3 5 4 5 4 3 4 ( 7) ( ) ( 27) + 3 9 5 ( 40) = 284 27 + 57 + 200 = 54 Vlastnosti determinantov Príklad 3.4. Rozviňte determinant podľa prvkov prvého riadku a potom podľa prvkov druhého stĺpca: Všimnime si, že determinant tretieho stupňa (a nielen tretieho) má tú vlastnosť, že v každom súčinovom člene sa nachádza prvok z každého riadku aj z každého stĺpca. Môžeme teda z determinantu vyňať pred zátvorku prvky ľubovoľného riadku alebo ľubovoľného stĺpca. Tejto procedúre hovoríme rozvoj determinantu podľa prvkov príslušného riadku, resp. príslušného stĺpca. Ukážeme si teraz rozvoj determinantu podľa prvého riadku. Majme determinant a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3. a a a 3 32 33 Ak z jednotlivých súčinov vyberieme pred zátvorky prvky prvého riadku, dostaneme a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 ) + a 3 (a 2 a 32 a 22 a 3 ). Ak teraz využijeme tú skutočnosť, že výrazy v zátvorkách sú vlastne isté determinanty druhého stupňa, možeme predchádzajúci výraz v súlade s dohovorom na začiatku podkapitoly zapísať v tvare a A - a 2 A 2 + a 3 A 3. Tento výraz sa nazýva rozvoj determinantu podľa prvkov prvého riadku. Podobne, ak z determinantu a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a3 a32 a33 vyberieme pred zátvorky prvky druhého stĺpca, dostaneme a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 )+a 22 (a a 33 a 3 a 3 )+a 32 (a 3 a 2 a a 23 ) = - a 2 A 2 + a 22 A 22 - a 32 A 32. Tento výraz sa nazýva rozvoj podľa prvkov druhého stĺpca. Upozorňujeme čitateľa na zmenu znamienok. Podrobnejšie sa určovaniu znamienok budeme venovať vo vete 3.3. Nasledujúce vety nám opisujú niektoré základné vlastnosti determinantov. Vybrali sme hlavne tie vlastnosti, ktoré sú potrebné pre výpočet determinantov. Poznamenajme, že pre 48

determinanty vyššieho stupňa ako 3 neexistuje pre výpočet pravidlo podobné Sarrusovmu pravidlu. Môžeme ich počítať iba postupným znižovaním rádu s použitím nasledujúcich viet. Veta 3.. Ak všetky prvky niektorého riadku (stĺpca) matice A sú rovné 0, tak A = 0. Veta 3.2. eterminant násobíme číslom tak, že ním násobíme niektorý riadok alebo stĺpec determinantu. Veta 3.3. Pre determinant matice A a pre ľubovoľné i, j {, 2,...,n} platí: A = ( ) i+ a i A i +... +( ) i+n a in A in, A = ( ) +j a j A j +... +( ) n+j a n j A nj. Veta 3.4. Nech matica B vznikne z A trasponovaním. Potom B = A. Veta 3.5. Ak v determinante sú dva riadky navzájom rovné, tak determinant sa rovná 0. (Platí aj pre stĺpce.) Veta 3.6. Hodnota determinantu matice A sa nezmení, keď k nejakému riadku pričítame násobok iného riadku. (Platí aj pre stĺpce.) Poznámka. Posledná veta je dôležitá najmä pre skutočnosť, že jej použitím vieme vyrábať v riadkoch, prípadne stĺpcoch, nuly bez toho, aby sa zmenila hodnota determinantu. Po vyrobení núl v niektorom riadku alebo stĺpci následne urobíme rozvoj determinantu pomocou tohto riadku, resp. stĺpca. Príklad 3.5. Ak v determinante 2 3 4 5 2 5 2 4 2 3 3 pričítame 2-násobok 2. riadku k 3. riadku, 2 3 4 5 2 5 dostaneme, pričom sa hodnota determinantu nezmení. ruhý zápis 0 0 0 3 3 determinantu je však pre výpočet jednoduchší. Stačí urobiť rozvoj podľa tretieho riadku: 2 3 4 5 3 4 5 2 4 5 2 3 5 2 3 4 2 5 = 0 2 5 0 5 + 2 0 2 5 = 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 2 5 9 30 + 2 9 = 63 = 693 49

3.4 Použitie determinantov Použitie determinantov pri riešení sústav rovníc Našou úlohou bude riešiť nasledujúcu sústavu rovníc použitím determinantov. V úvode tohto paragrafu sme úlohu vyriešili v prípade n=2, resp. n=3. Nasledujúca veta, ktorá sa nazýva Cramerovo pravidlo, je zovšeobecnením predchádzajúcich výsledkov pre ľubovoľné n. Veta 3.7. (Cramerovo pravidlo) Nech a x +... + a n x n = c a 2 x +... + a 2n x n = c 2... a n x +... + a nn x n = c n je sústava n lineárnych rovníc o n neznámych. Nech determinant matice sústavy je A An rôzny od nuly. Potom sústava má jediné riešenie x =,, xn A = A, kde c a2 a3 a, n a n c2 a22 a23 a2, n a2n A =, A cn an2 an3 an, n a nn a a2 a3 a, n c a2 a22 a23 a2, n c2 A n =. an an2 an3 an, n c n 2 a c a3 a, n a n a2 c2 a23 a2, n a2n =, an cn an3 an, n a nn Príklad 3.6. Riešte sústavu rovníc: 2x 3y + 3z + 5t = -4 x + 4y + z - t = 7 y 2z +2t = - 3x - t = 7 2 3 3 5 4 A = = 237 0 2 2 3 0 0 2 3 4 5 4 7 A3 = = 0 0 2 3 0 7 A 474 x = = = 2 A 237 {( 2;;0; ) } K = A A A2 237 y = = = A 237 4 4 3 3 5 7 4 = = 474 2 2 A 7 0 0 2 3 3 4 4 7 = = 237 0 2 3 0 0 7 A3 0 z = = = 0 A 237 2 2 4 3 5 7 = = 237 0 2 2 3 7 0 A4 237 t = = = A 237 50

Použitie determinantov na výpočet inverznej matice S výpočtom inverznej matice sme sa už stretli v kapitole 2. Tam sme inverznú maticu počítali pomocou ERO. Nasledujúca veta nám dáva návod, ako môžeme inverznú maticu vypočítať pomocou determinantov. 2 n A A A 2 22 n2 Veta 3.8. Nech A je regulárna matica. Potom A = A A A. n 2n nn A A A Príklad 3.7. 2 Nájdite inverznú maticu k matici A = 2 2. 3 5 Vypočítame jednotlivé determinanty: 2 A = 2 2 = 0+ 2 6 6+ + 20= 3 5 2 2 = = 0 + = 9 2 = = ( 0 + 3) = 7 5 3 5 2 2 2 3 = = 2 6= 4 2 = = ( 0 ) = 3 5 22 = = 5 3= 8 3 5 2 3 = = 2 2= 4 2 2 33 = = 2 4= 2 2 2 Inverzná matica k matici A je A 2 23 = = ( 6) = 5 3 32 = = ( 2) = 3 2 9 4 9 4 7 8 3 = = 7 8 3. 4 5 2 4 5 2 5

Príklad 3.8. 2 2 4 3 Nájdite inverznú maticu k matici A =. 0 0 0 0 4 Vypočítame jednotlivé determinanty: 2 2 2 2 2 2 5 4 3 0 2 2 5 A = = = 0 = 3 0 0 0 0 2 2 0 0 4 0 2 2 4 3 3 = 0 = 20 2 = 0 0 = 7 0 0 4 0 4 4 3 4 3 = 0 0 = 7 4 = 0 = 5 0 4 0 0 2 2 2 2 = 0 = 4 22 = 0 0 = 2 0 0 4 0 4 2 2 23 = 0 0 = 2 24 0 4 2 2 3 = 4 3 = 24 32 0 0 4 2 2 33 = 4 3 = 6 34 0 4 2 2 2 = 0 = 0 0 2 = 3 = 9 0 4 2 = 4 = 6 0 0 4 = 4 3 = 3 42 0 2 2 43 = 4 3 = 5 44 0 0 2 = 3 = 5 0 0 2 = 4 = 4 0 52

Inverzná matica k matici A je A 20 4 3 8 3 3 3 7 2 5 3 3 3 3 =. 7 2 5 2 3 3 3 5 4 2 3 3 3 Z kapitoly o maticiach vieme, že inverzná matica existuje iba k regulárnej matici. V predchádzajúcej vete sú použité zlomky, v ktorých je menovateľom determinant matice A. Korektnosť vzorca pre regulárne matice zabezpečuje nasledujúca veta. Veta 3.9. Štvorcová matica je regulárna vtedy a len vtedy, keď jej determinant je rôzny od 0. Štvorcová matica je singulárna vtedy a len vtedy, keď sa jej determinant rovná 0. Príklad 3.9. 4 Zistite, či je matica A = 0 regulárna alebo singulárna. 0 0 Vypočítame determinant matice A. Ak bude tento determinant nulový, matica je singulárna, inak je regulárna. 4 A = 0 = 0+ 0+ 4+ 0 0= 5 0 0 Pretože determinant je nenulový, matica je regulárna. Príklad 3.0. 2 2 4 3 Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna. 0 0 0 0 4 2 2 4 3 Pretože determinant A = = 3 0 (pozri príklad 3.8.) matica je regulárna. 0 0 0 0 4 53

Príklad 3.. 2 2 4 3 Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna. 0 0 2 4 2 4 2 2 2 2 4 3 4 3 A = = = 0 0 0 0 0 2 4 2 4 0 0 0 0 Matica je singulárna. (Pri výpočte hodnoty determinantu sme najprv pričítali (-2)-násobok. riadku k 4. riadku a potom sme využili poznatok, že ak matica obsahuje nulový riadok, jej determinant je nulový.) 3.5 Úlohy Vypočítajte hodnoty determinantov nasledujúcich matíc, ak existujú.. ( 5 ) 2. 3. 4. 5. 2 5 2 2 0 3 7 2 5 2 2 0 3 7 2 5 2 2 5 6 0 4 5 2 0 2 3 0 2 2 Riešenia:. 5 = 5 2. 2 5 2 ( ) 5 ( 2) 2 0 8 2 = = + = 6. 7. 8. 2 5 6 0 4 5 2 2 2 3 2 2 2 0 5 4 2 3 0 5 2 3 5 0 5 2 3 2 0 0 2 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 0 4 9. 0.. 2 3 5 0 2 2 3 2 2 2 3 2 2 0 3 2 2 0 4 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 4 2 3 2 2 4 2 2 0 3 2 2 0 4 54

3. 2 0 3 7 2= 27 + 032 + 25 075 222 3 = 4+ 0+ 0 0 8 3= 3 5 2 4. 2 0 3 7 2 = 2 ( 7) ( ) + 0 ( 3) ( 2) + ( ) ( 2) 5 5 2 0 7 5 2 2 2 3 = 4+ 0+ 0 0 8+ 3= 9 5. 2 5 6 4 5 2 0 4 5 2 = 2 3 = 4 2+ 2 2 ( ) + 5 3 ( 2) 2 ( 2) 4 3 ( ) 5 2 2= 0 2 3 2 2 0 2 2 8 4 30+ 4+ 2 20= 30 6. 2 5 6 2 5 6 4 5 2 4 5 2 0 4 5 2 0 4 5 2 = = 6 5 = 6 5 = 2 2 3 0 6 5 4 6 4 0 2 2 2 0 4 6 4 4 ( 2) + 2 6 ( ) + 5 5 0 2 0 4 5 ( ) 5 6 ( 2) = 88 2 + 0 0 + 60 + 60 = 20 7. Matica nie je štvorcová, preto determinant neexistuje. 8. 2 3 5 5 2 3 2 0,4 0,6 0,4 0 5 2 3 2 2 3 2 0 2 3 2 0 2 3 2 0 0 2 3 2 = = 5 = 5 0 3 2 = 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 4,5 3 2 5 2 0 3 2 = 5 2 = 5 2 ( 3 4 ( 2) 0) = 5 2 3 4 = 20 0 4 0 0 4 9. 2 3 5 2 3 5 2 2 3 2,5 0 2 2 3 2 0 2 2 3 2 0 5 8 0 5 8 2 2 3 2 = 0 0 5 8 = = 2 = 5 6 7 4 5 6 7 4 2 0 3 2 0 5 6 7 4 0 4 5 3 0 4 5 3 2 0 4 0 0 4 5 3 55

,5 5 8 5 8 0 5 8 2 = 2 4,5 9 = 2 29 8 = 55 0 4,5 9 4 5 3 4 5 3 0 4 5 3 0. 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 = 0 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 4 2 0 4 Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 2. riadku a potom sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula.. 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 = = 0 0 0 0 0 = 0 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 3. riadku, potom sme pričítali (-)-násobok 2. riadku k 3. riadku a napokon sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula. Použitím determinantov riešte sústavy rovníc. x+ 2y = 7 2. 3 x y = 0 x+ y+ z = 6 3. 2x+ 2 y+ z = x+ 3z = 6 4. 5. y+ 3z = 3 2x+ 0 y+ z = 5 x+ 3 y = 2 a+ b+ c+ d = 2 2a+ 3 b+ d = 5 b+ 3 c+ d = a 5 b+ c+ 2d = 4 2. 2 A = = 6= 7 3 A x 7 2 7 = = 7 0 = 7 Ay = = 0 2 = 2 0 3 0 Ax 7 Ay 2 x= = = y = = = 3 K = ;3 A 7 A 7 {[ ]} 56

3. A = 2 2 = 6+ 0+ 2+ 0+ 6 = 7 8= 0 3 6 A = 2 = 36 + 0 + 6 2 + 0 + 33 = 42 45 = 3 x 6 0 3 6 A = 2 = 33+ 2 + 6 + 6 + 36 = 5 53 = 2 y 6 3 6 A = 2 2 = 2 + 0 + 2 + 0 + 2 = 23 24 = z A x 0 6 3 x = = = 3 A 4. 0 3 A y 2 x = = = 2 A A z z = = = A A = 2 0 = 0 + 8 + 30 + 0 + 0 = 9 30 = 3 0 3 3 A = 5 0 = 0 + 45 + 2 60 + 9 + 0 = 47 69 = 22 x 2 3 0 0 3 3 A = 2 5 = 0+ 2+ 3 5+ 0+ 0 = 5 5= 0 y 2 0 0 3 A = 2 0 5 = 0 + 8 + 5 30 + 0 + 4 = 23 34 = z 3 2 K = {[ 3;2; ]} A x 22 x = = = 2 A A y 0 x = = = 0 A A z z = = = A K = {[ 2;0;] } 5. 2 2 3 0 0 2 A = = = 3 = 3+ 0+ 2 8 0+ 2= 0 3 0 3 6 0 5 2 0 6 0 57

2 3 3 2 5 4 5 3 0 5 3 0 0 2 5 4 A a = = = = 5 = 3 2 0 5 3 6 4 5 2 4 5 2 0 3 6 (60 + 52 5 + 20 26 90) = 2 2 2 2 5 0 0 2 A b = = = 3 = 3+ 2 8 + 2 = 0 3 0 3 6 0 4 2 0 6 0 A c A d 2 2 2 3 5 0 = = = = + 6 6 6+ 6 = 0 0 0 6 6 5 4 2 0 6 6 2 2 2 2 3 0 5 0 2 = = = 3 = 8+ 2+ 8 2= 0 0 3 0 3 6 0 6 5 4 0 6 0 6 a= Aa Ab = = b= = = A A c= Ac 0 Ad 0 = = 0 d = = = 0 A A K = ;;0;0 {[ ]} Pomocou determinantov nájdite inverznú maticu k danej matici. Ak existuje, urobte aj skúšku správnosti. 2 0 2 6. 3 2 9. 3 7 5 2 3 2 7. 2 2 0 20. 2 5 5 3 0 2 2 4 2 8. 0 2 0 Riešenia: 6. 2 A = = 4 3= 3 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = = = 2 = 2 2 2 22 58

2 2 A = = 3 2 3 2 Skúška správnosti: A A 2 2 2 2 + ( 3) 2 ( ) + 2 0 = = = 3 2 3 2 32 2( 3) 3( ) 22 + + 0 7. 2 3 A = 2 = 2+ 0+ 4 2 0 2= 8 2 0 2 2 = = 2 2 = = 3 = = 4 0 2 2 0 2 3 3 2 2 = = 2 22 = = 5 23 = = 4 0 2 2 0 2 3 3 2 3 = = 4 32 = = 2 33 = = 0 2 2 2 2 4 8 8 8 4 4 2 5 2 5 A = = 8 8 8 8 8 4 4 4 0 0 8 8 8 2 2 Skúška správnosti: 2 3 4 4 2 0 0 5 A A = 2 = 0 0 8 8 4 2 0 0 0 0 2 2 8. 0 2 A = 0 = 0+ 0+ 4 2 0 0= 2 2 0 0 0 = = 2 = = 2 3 = = 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 = = 2 22 = = 2 23 = = 4 0 2 2 0 2 0 0 2 3 = = 32 = = 0 33 = = 0 0 0 59

2 2 2 2 2 2 2 2 0 A = = 0 2 2 2 2 0 2 4 0 2 2 2 Skúška správnosti: 0 2 2 2 0 0 A A = 0 0= 0 0 2 0 2 0 0 0 9. 0 2 A = = 0+ 7+ 6 3 0 0= 0 3 7 5 Pretože determinant matice A je nulový, inverzná matica k matici A neexistuje. 20. 2 2 0 2 0 0 A = = = 0 2 = 2 4= 2 5 5 3 0 0 2 2 2 0 2 4 2 0 3 2 0 2 2 = 5 3 = 57 2 3 = 5 3 = 9 4 = 5 5 3 = 4 4 2 2 4 2 2 2 = 5 3 = 6 22 = 5 5 = 2 2 2 2 4 2 23 = 5 3 = 6 24 = 5 5 3 = 4 4 2 2 4 2 2 2 3 = 2 = 9 32 = 5 5 = 2 2 2 2 4 2 = 2 = 2 4 2 2 4 2 60

2 2 33 = 2 = 3 34 4 = 2 = 42 = = 2 2 2 2 4 2 43 = 2 = 44 = 2 = 0 5 3 5 5 3 2 2 = = 0 5 3 5 5 57 6 9 2 2 2 2 57 9 8 4 4 2 0 2 2 2 2 2 2 2 7 2 0 A = = 9 6 3 9 3. 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 0 2 2 2 2 Skúška správnosti: 57 9 8 2 2 2 2 0 0 0 2 7 2 0 0 0 0 A A = = 5 5 3 9 3 0 0 0 3 2 4 2 2 2 2 0 0 0 6 0 6