1.1 Definice a základní pojmy

Kapitola. Teorie dělitelnosti C. F. Gauss: Matematika je královnou všech věd a teorie čísel je královna matematiky. Základním číselným oborem, se kterým budeme v této kapitole pracovat, jsou celá čísla a pouze v některých jasně definovaných případech se omezíme na jejich podobory, nejčastěji NN, resp. NN +. Víme již, že celá čísla tvoří algebraickou strukturu (označovanou jako eukleidovský obor integrity), která je uzavřená vzhledem k operaci sčítání, odčítání a násobení, tj. součet, rozdíl i součin libovolných dvou celých čísel je opět celé číslo. Vzhledem k operaci dělení však celá čísla tuto vlastnost obecně nemají. Obsahem této kapitoly budou právě vlastnosti celých čísel vzhledem k operaci dělení a hlavní výsledky, které se dotýkají problematiky dělitelnosti, prvočísel a kongruencí, mají zásadní význam, např. v oblasti výpočetní techniky, moderní teorie kódování, stochastického modelování apod.. Definice a základní pojmy Definice.. - dělitelnost Řekneme, že nenulové celé číslo bb dělí aa, píšeme bb aa, jestliže existuje celé číslo qq takové, že aa = bb qq. (.) V opačném případě píšeme bb aa a říkáme, že bb nedělí aa. Jestliže bb dělí aa, říkáme také, že aa je dělitelné bb. V tomto případě qq nazýváme podílem, aa násobkem bb a bb dělitelem aa. Dělitele bb nazveme vlastním dělitelem aa, pokud aa bb a bb. Dělitele, který není vlastní nazýváme nevlastním dělitelem. Například 3 je vlastním dělitelem 6, kdežto a 6 jsou nevlastní dělitelé 6. Věta.. Výše definovaná relace dělitelnosti má následující vlastnosti: a) aa ZZ aa b) aa ZZ {0} aa 0 c) aa ZZ {0} aa aa d) aa, bb ZZ (aa bb) (bb aa) (aa = bb) (aa = bb) e) aa, bb, cc ZZ (aa bb) (bb cc) aa cc f) aa, bb, cc ZZ (aa bb) aa bbbb g) aa, bb, cc ZZ (aa + bb = cc) (dd aa) (dd cc) dd bb Důkaz - snadné cvičení pro čtenáře. Poznámka.. Připomeňme, že vlastnost c) se nazývá reflexivita a e) tranzitivita relace dělitelnosti. Pokud bychom ve větě.. nahradili číselný obor ZZ oborem přirozených čísel NN, dostali bychom místo d) následující vlastnost: d ) aa, bb NN (aa bb) (bb aa) (aa = bb), která se nazývá antisymetrie. Je tedy zřejmé, že v oboru přirozených čísel je relace dělitelnosti (částečným) uspořádáním, které však není lineární (libovolná dvojice přirozených čísel aa, bb nemusí být v relaci, tj. nemusí platit aa bb ani bb aa). Vlastnost g) předcházející věty lze zobecnit následujícím způsobem: g ) Je-li známo, že číslo dd dělí všechny členy rovnosti nn ii= aa ii = mm jj= bb jj kromě jediného, nutně dělí i zbývající člen.

Jako zřejmý důsledek vlastnosti g ) dostáváme: Jestliže aa bb ii, ii =,, nn, potom pro libovolná xx ii ZZ, ii =,, nn platí aa ( nn ii= bb ii xx ii ). Pro další úvahy o dělitelnosti má zásadní význam následující tvrzení, označované jako věta o dělení se zbytkem. Věta..2 Dělení se zbytkem Nechť aa ZZ, bb NN +. Potom existuje jediné qq, rr ZZ takové, že aa = bb qq + rr, kde 0 rr < bb. (.2) Důkaz. Definujme qq jako největší celé číslo pro které bb qq aa a číslo rr vztahem rr = aa bb qq. Snadno nahlédneme, že obě čísla vždy existují a vyhovují (.2). Zbývá ukázat jejich jednoznačnost. Označme qq, rr, qq 2, rr 2 libovolná celá čísla, pro která aa = bb qq + rr, 0 rr < bb a aa = bb qq 2 + rr 2, 0 rr 2 < bb. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat 0 rr 2 rr. Dále zřejmě platí bb (qq qq 2 ) + (rr rr 2 ) = 0. Jelikož bb bb (qq qq 2 ) a bb 0 musí bb (rr rr 2 ), což vzhledem k vlastnosti 0 rr rr 2 < bb nutně vede k rr = rr 2 a tedy i qq = qq 2. Poznamenejme, že pro čísla aa, bb, qq, rr z věty..2 se běžně používá následující terminologie: aa dělenec, bb dělitel, qq neúplný podíl, rr zbytek. Příklad.. Zřejmě platí: a = 28 b = 23 28 = 23 5 + 3, tj. q = 5, r = 3, a = -28 b = 23-28 = 23 (-6) +, tj. q = -6, r = 0, a = 9 b = 54 9 = 54 0 + 9, tj. q = 0, r = 9, a = -9 b = 54-9 = 54 (-) + 35, tj. q = 0, r = 35, a = 08 b = 36 08 = 36 3 + 0, tj. q = 3, r = 0, a = 0 b = 29 0 = 29 0 + 0, tj. q = 0, r = 0. Jak dokumentuje následující příklad, nachází věta o dělení se zbytkem využití při převodech z desítkové soustavy do ostatních číselných soustav. Připomeňme, že v soustavě o základu bb NN + (obvykle alespoň 2), vyjadřujeme přirozená čísla ve tvaru rr 0 + rr bb + rr 2 bb 2 + + rr kk bb kk, (.3) kde rr ii {0,,, bb }, kk NN a používáme zkrácený zápis (rr kk rr rr 0 ) bb. V případě dvojkové (binární) soustavy, kde bb = 2, nazýváme jednotlivé cifry rr ii bity (rr 0 nejméně významný bit, rr kk nejvýznamnější bit). Příklad..2 Převeďte číslo 6 862 do číselné soustavy o základu a) 2, b) 8, c) 6. Řešení. Hledané cifry rr 0, rr, rr kk získáme jako zbytky při opakovaném dělení daného čísla a následně získaných podílů základem bb. V jednotlivých případech tak dostáváme: ad a) Základ bb = 2, rr ii {0,}. Postupným dělením číslem 2 dostáváme: 6862 = 2 343 + 0 (rr 0 ), 343 = 2 75 + (rr ), 75 = 2 857 + (rr 2 ), 857 = 2 428 + (rr 3 ), 428 = 2 24 + 0 (rr 4 ), 24 = 2 07 + 0 (rr 5 ), 2

07 = 2 53 + (rr 6 ), 53 = 2 26 + (rr 7 ), 26 = 2 3 + 0 (rr 8 ), 3 = 2 6 + (rr 9 ), 6 = 2 3 + 0 (rr 0 ), 3 = 2 + (rr ), = 0 2 + (rr 2 ), tedy 6862 = (00000) 2. ad b) Základ bb = 8, rr ii {0,,,7}. Postupným dělením číslem 8 dostáváme: 6862 = 8 857 + 6 (rr 0 ), 857 = 8 07 + (rr ), 07 = 8 3 + 3 (rr 2 ), 3 = 8 + 5 (rr 3 ), = 8 0 + (rr 4 ), tedy 6862 = (536) 8. ad c) Základ bb = 6, rr ii {0,,,9, AA, BB, CC, DD, EE, FF}. Postupným dělením číslem 6 dostáváme: 6862 = 6 428+ 4 (rr 0 ), 428= 6 26+ 2 (rr ), 26= 6 + 0 (rr 2 ), = 6 0 + (rr 3 ), tedy 6862 = (AAAAAA) 6. Poznámka..2 K vyjádření čísel v oblasti výpočetní techniky se používají různé číselné formáty, jejichž velikost bývá násobkem bytů, tj. osmi bitů. Například pomocí osmi bitů lze ve dvojkové soustavě vyjádřit přirozená čísla 0,, 255, pomocí 6 bitů čísla 0,, 65 535 a 32 bitů 0,, 4 294 967 295. Snadno zjistíme, že pomocí nn bitů lze ve dvojkové soustavě vyjádřit 2 nn přirozených čísel 0,, 2 nn, kde u čísel 0,, 2 nn je nejvýznamnější bit nastaven na 0 a u zbývajících čísel, tj. 2 nn,, 2 nn je nejvýznamnější bit nastaven na. Této skutečnosti se využívá k vyjádření záporných čísel,, 2 nn ve tvaru tzv. dvojkových doplňků čísel 0,, 2 nn tak, že u záporných čísel je nejvýznamnější bit nastaven na. V tomto případě se pomocí nn bitů vyjadřují celá čísla z množiny { 2 nn,,,0,,, 2 nn }. Například, využitím čtyř bitů lze zapsat čísla 8,,,0,, 7. Jejich vyjádření je uvedeno v následující tabulce: Nezáporné číslo Vyjádření ve dvojkové soustavě Vyjádření ve tvaru dvojkového doplňku Záporné číslo 7 0 000-8 6 00 00-7 5 00 00-6 4 000 0-5 3 00 00-4 2 000 0-3 000 0-2 0 0000 - Formát záporného celého čísla kk, kde 2 nn kk lze popsat následovně: ) Vypočti přirozené číslo kk = 2 nn kk. 2) Přirozené číslo kk zapiš ve dvojkové soustavě pomocí nn bitů, tj. kk = (0rr nn 2 rr rr 0 ) 2. (Jelikož 0 kk 2 nn, je nejvýznamnější bit nastaven na nulu, tj. rr nn = 0). 3) Hledané vyjádření záporného celého čísla kk pak dostáváme nastavením nejvýznamnějšího bitu na jedničku, tj. kk = (rr nn 2 rr rr 0 ) 2. 3

.2 Společný dělitel, společný násobek Definice.2. společný dělitel, společný násobek Přirozené číslo dd 0 nazveme společným dělitelem čísel aa, bb ZZ, jestliže (dd aa) (dd bb), tj. dd dělí obě čísla. Přirozené číslo DD 0 nazveme společným násobkem čísel aa, bb ZZ {0}, jestliže (aa DD) (bb DD), tj. DD je dělitelné oběma čísly. Zdůrazněme skutečnost, že v souladu s výše uvedenou definicí.2. vyšetřujeme pouze kladné společné dělitele a kladné společné násobky. Příklad.2. Jediní společní dělitelé čísel aa = 420, bb = 36 jsou, 2, 3, 4, 6, 2. Čísla tvaru 260nn, kde nn NN +, jsou všechny společné násobky čísel aa, bb. Označme dd aa,bb množinu všech společných dělitelů čísel aa, bb ZZ {0}. Snadno zjistíme, že dd aa,bb je shora omezená (žádný z dělitelů nemůže být větší než mmmmmm{ aa, bb }), a tedy dd aa,bb má vzhledem k přirozenému uspořádání největší prvek. Stejně snadno zjistíme, že množina DD aa,bb všech společných násobků čísel aa, bb ZZ {0} je zdola omezená (žádný společný násobek nemůže být menší než mmmmmm{ aa, bb }, a tedy množina DD aa,bb má vzhledem k přirozenému uspořádání nejmenší prvek. Tyto skutečnosti nás opravňují k zavedení následujících pojmů. Definice.2.2 největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, nesoudělnost Největším společným dělitelem čísel aa, bb ZZ {0} nazveme takového jejich společného dělitele, který je ze všech společných dělitelů největší (existuje vždy a je určen jednoznačně). Nejmenším společným násobkem čísel aa, bb ZZ {0} nazveme takový jejich společný násobek, který je ze všech společných násobků nejmenší (existuje vždy a je určen jednoznačně). Řekneme, že celá čísla aa, bb jsou nesoudělná, jestliže jejich největší společný dělitel je roven jedné. Pro největší společný dělitel čísel aa, bb se vžilo označení NNNNNN(aa, bb), resp. (aa, bb) a pro jejich nejmenší společný násobek NNNNNN(aa, bb). Nesoudělnost čísel aa, bb vyjadřujeme obvykle zápisem NNNNNN(aa, bb) =, resp. (aa, bb) =. Nyní přirozeně vzniká otázka, jak největšího společného dělitele efektivně nalézt. Odpověď dává následující algoritmus, jehož základem je věta o dělení se zbytkem. Eukleidův algoritmus nalezení NNNNNN(aa, bb) Nechť aa, bb NN +. Jestliže aplikujeme následující postupné dělení se zbytkem aa = bbqq 0 + rr, kde 0 < rr < bb, bb = rr qq + rr 2, kde 0 < rr 2 < rr, rr = rr 2 qq 2 + rr 3, kde 0 < rr 3 < rr 2, rr ii = rr ii+ qq ii+ + rr ii+2, kde 0 < rr ii+2 < rr ii+, rr nn 2 = rr nn qq nn + rr nn, kde 0 < rr nn < rr nn, rr nn = rr nn qq nn, 4

potom největší společný dělitel čísel aa, bb je roven poslednímu od nuly různému zbytku ve výše uvedeném postupu, tj. NNNNNN(aa, bb) = rr nn. Důkaz. Je třeba dokázat konečnost uvedeného postupu a tvrzení, že NNNNNN(aa, bb) = rr nn. Konečnost vyplývá ze skutečnosti, že zbytky rr,, rr nn tvoří klesající posloupnost přirozených čísel (viz věta o dělení se zbytkem) a tedy uvedený algoritmus skončí po provedení nejvýše bb kroků (lze dokonce ukázat, že počet kroků je roven nejvýše pětinásobku počtu cifer menšího z čísel aa, bb). Z věty.., g) plyne, že NNNNDD(aa, bb) = NNNNNN(bb, rr ) = NNNNNN(rr, rr 2 ) = = NNNNNN(rr nn 2, rr nn ) = NNNNNN(rr nn, rr nn ) = rr nn. Příklad.2.2 Určete: a) NNNNNN(420,36), b) NNNNNN(8nn + 3,5nn + 2), nn NN. Řešení - aplikací Eukleidova algoritmu dostáváme: ad a) 420 = 36 + 24, 36 = 24 + 2, 24 = 2 2, tedy NNSSSS(420,36) = 2. ad b) 8nn + 3 = (5nn + 2) + (3nn + ), 5nn + 2 = (3nn + ) + (2nn + ), 3nn + = (2nn + ) + nn, 2nn + = nn 2 +, nn = nn, tedy NNNNNN(8nn + 3,5nn + 2) = a pro libovolné nn NN jsou uvažovaná čísla nesoudělná. Věta.2. základní vlastnosti NNNNNN Pro největší společný dělitel dvou čísel platí: a) NNNNNN(aa, bb) = NNNNNN(bb, aa) (.4) b) NNNNNN(kkkk, kkkk) = kk NNNNNN(aa, bb), kk NN + (.5) c) (dd aa) (dd bb) NNNNNN aa, bb NNNNNN(aa,bb) = dd dd dd (.6) d) NNNNNN(aa, bb) = NNNNNN(aaaa, bb) = NNNNNN(cc, bb) (.7) Důkaz cvičení. Jako užitečné důsledky věty.2. dostáváme: (dd aa) (dd bb) dd NNNNNN(aa, bb) (dd aa) (dd bb) dd NNNNNN(aa, bb) (.8) (bb aaaa) (NNNNNN(aa, bb) = ) bb cc (.9) NNNNNN aa, bb NNNNNN(aa,bb) NNNNNN(aa,bb) = (.0) a tedy každá dvě nenulová přirozená čísla aa, bb lze vyjádřit ve tvaru aa = aa NNNNNN(aa, bb), bb = bb NNNNNN(aa, bb), kde NNNNNN(aa, bb ) =. (.) Kromě Eukleidova algoritmu existuje celá řada dalších způsobů výpočtu největšího společného dělitele. Např. z věty.2. lze snadno odvodit následující tzv. dvojkový NSD algoritmus (další způsob, který využívá prvočíselné rozklady je uveden v kapitole věnované problematice prvočísel). Dvojkový NSD algoritmus - nalezení NNNNNN(aa, bb) Největšího společného dělitele libovolných dvou nenulových celých čísel aa, bb lze nalézt opakovanou aplikací následujících pravidel (dokažte!): ) Jsou-li aa, bb sudá, potom NNNNNN(aa, bb) = 2 NNNNNN aa 2, bb 2. 2) Je-li aa sudé, bb liché, potom NNNNNN(aa, bb) = NNNNNN aa 2, bb. 3) Jsou-li aa, bb lichá, potom NNNNNN(aa, bb) = NNNNNN aa bb, bb. 2 4) NNNNNN(aa, bb) = NNNNNN(bb, aa). Výpočet ukončíme v situaci, kdy aa = bb (zdůvodněte, že nastane!) a využijeme NNNNNN(aa, aa) = aa. 5

Poznámka V celé řadě případů je užitečná následující charakteristika největšího společného dělitele (tzv. Bézoutova rovnost) - jsou-li aa, bb ZZ {0}, potom NNNNNN(aa, bb) = min{aaaa + bbbb xx, yy ZZ} (.2) (tj. xx 0, yy 0 ZZ taková, že NNNNNN(aa, bb) = aaxx 0 + bbyy 0 ; čísla xx 0, yy 0 nejsou určena jednoznačně) Poznamenejme, že Eukleidův algoritmus umožňuje takové vyjádření snadno nalézt. V této souvislosti je vhodné zmínit způsob řešení známé diofantické rovnice aaaa + bbbb = cc, (.3) kde aa, bb, cc ZZ, aaaa 0. Snadno lze ukázat, jako samostatné cvičení, že uvedená rovnice má řešení (v oboru ZZ) právě tehdy, jestliže NNNNNN(aa, bb) cc. V tomto případě má uvedená rovnice nekonečně mnoho řešení, tj. existuje nekonečně mnoho dvojic xx, yy ZZ, které ji vyhovují. Snadno se lze přesvědčit (opět jako cvičení), že obecné řešení (.3) lze psat ve tvaru (xx, yy) = xx (pp), yy (pp) + xx (h), yy (h), kde xx (pp), yy (pp) je partikulární řešení (tj. platí aaxx (pp) + bbyy (pp) = cc) a xx (h), yy (h) je obecné řešení odpovídající homogenní rovnice aaaa + bbbb = 0. Řešení (.3) tak probíhá ve dvou krocích nalezení xx (pp), yy (pp) a xx (h), yy (h). Nalezení partikulárního řešení xx (pp), yy (pp). Z Bezoutovy rovnosti dostáváme xx 0, yy 0 ZZ taková, že aaxx 0 + bbyy 0 = NNNNNN(aa, bb). Vzhledem k tomu, že NNNNNN(aa, bb) cc, položíme xx (pp), yy (pp) = xx 0, yy NNNNNN(aa,bb) 0 Nalezení obecného řešení xx (h), yy (h) příslušné homogenní rovnice. Platí aaxx (h) + bbyy (h) = 0, tedy yy (h) = aaxx(h) bb a odtud cc xx (h), yy (h) = tt, NNNNNN(aa,bb) bb aa NNNNNN(aa,bb) cc. NNNNNN(aa,bb) tt, tt ZZ. Příklad.2.3 V oboru celých čísel vyřešte rovnici 68xx + 24yy = 88. Řešení. Aplikací Eukleidova algoritmu dostáváme NNNNNN(68,24) = 4. Jelikož 4 88 má uvedená rovnice řešení (nekonečně mnoho). Dále vyjádříme NNNNNN(68,24) ve tvaru lineární kombinace (Bezoutova rovnost). Platí 68 + 24 ( 6) = 4 a tedy xx (pp), yy (pp) = (57, 282). Jelikož NNNNNN(57,282) = 47, lze jako partikulární řešení použít také xx (pp), yy (pp) = (, 6). Jako obecné řešení homogenní části dostáváme xx (h), yy (h) = (3tt, 7tt), tt ZZ. Odtud (xx, yy) = ( + 3tt, 6 7tt), tt ZZ. Přirozeným rozšířením pojmů společný dělitel a největší společný dělitel dvou čísel je následující definice. Definice.2.3 společný dělitel, největší společný dělitel aa,, aa nn Společným dělitelem celých čísel aa,, aa nn, kde nn 2, nazveme libovolné kladné přirozené číslo dd, které dělí beze zbytku každé z čísel aa,, aa nn, tj. ii {,, nn} dd aa ii. Největším společným dělitelem celých čísel aa,, aa nn, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, nazveme takového jejich společného dělitele, který je největší (existuje vždy a je určen jednoznačně). 6

Poznámka.2. Úlohu na výpočet největšího společného dělitele více než dvou čísel aa,, aa nn, převádíme na opakovaný výpočet největšího společného dělitele dvou čísel dle schématu: dd 2 = NNNNNN(aa, aa 2 ), dd 3 = NNNNNN(dd 2, aa 3 ), dd nn = NNNNNN(dd nn, aa nn ), kde NNNNNN(aa,, aa nn ) = dd nn. Pro největší společný dělitel nenulových celých čísel aa,, aa nn, nn 2 platí NNNNNN(aa,, aa nn ) nn = min{ ii= aa ii xx ii xx ii ZZ} (.4) V případě více než dvou čísel se dále zavádějí pojmy nesoudělnost (někdy označovaná jako sdružená nesoudělnost) a nesoudělnost po dvou. Řekneme, že čísla aa,, aa nn jsou nesoudělná, jestliže NNNNNN(aa,, aa nn ) = a řekneme, že jsou nesoudělná po dvou, jestliže jsou nesoudělné všechny dvojice, tj. ii jj NNNNNN aa ii, aa jj =. Je zřejmé, že z nesoudělnosti po dvou vyplývá nesoudělnost a jak dokládá následující ukázka, obrácené tvrzení neplatí. Například trojice 4, 5, 2 je nesoudělná po dvou, neboť NNNNNN(4,5) =, NNNNNN(4,2) =, NNNNNN(5,2) = a tedy i nesoudělná, tj. NNNNNN(4,5,2) =. Trojice čísel 2, 5, 35 je nesoudělná, tj. NNNNNN(2,5,35) =, ovšem není nesoudělná po dvou, neboť NNNNNN(2,5) = 3, NNNNNN(2,35) =, NNNNNN(5,35) = 5. Příklad.2.4 Nalezněte největšího společného dělitele čísel 694, 346, 858, 23. Řešení. Strukturu výpočtu lze znázornit následujícím schématem, jehož jednotlivé mezivýpočty jsou realizovány pomocí Eukliedova algoritmu: 694 3 46 858 23 dd 2 = NNNNNN(694,346) 242 dd 3 = NNNNNN(dd 2, 858) 22 dd 4 = NNNNNN(dd 3, 23) Tedy NNNNNN(694,346,858,23) = dd 4 =. Ke stejnému výsledku samozřejmě dospějeme i v případě následujícího postupu: 694 3 46 858 23 242 33 7

Nyní se zastavíme u společných násobků dvou nenulových přirozených čísel. Označme DD libovolný společný násobek čísel aa, bb. Lze tedy psát DD = aaaa, kde qq NN +. Jelikož čísla aa, bb lze vyjádřit ve tvaru DD aa = aa NNNNNN(aa, bb), bb = bb NNNNNN(aa, bb), kde NNNNNN(aa, bb ) =, je číslo = aa NNNNNN(aa,bb) qq přirozené, navíc bb qq. Snadnými úpravami pak získáme obecné vyjádření všech společných násobků čísel aa, bb ve tvaru DD = aaaa NNNNNN(aa,bb) nn, (.5) kde nn NN +. Navíc je zřejmé, že pro nejmenší společný násobek dvou čísel platí NNNNNN(aa, bb) = aaaa. (.6) NNNNNN(aa,bb) V případě, kdy čísla aa, bb jsou nesoudělná dostáváme NNNNNN(aa, bb) = aaaa. Příklad.2.5 Určete: a) NNNNNN(420,36), b) nejmenší společný násobek větší než 333 333. Řešení. ad a) Přímou aplikací vztahu.6 dostáváme NNNNNN(420,36) = 420 36 = 260. NNNNNN(420,36) ad b) Ze vztahu (.5) vyplývá, že všechny společné násobky jsou tvaru 260nn, nn NN a hledanému společnému násobku tak odpovídá nn, které je nejmenším řešením (v oboru přirozených čísel) nerovnice 260nn 333 333. Odtud nn = 333 333 260 = 265, tedy DD = 333900. Analogicky, jako v případě společného dělitele a nejmenšího společného dělitele, lze rozšířit pojmy společný násobek a nejmenší společný násobek na případ více než dvou čísel. Definice.2.4 společný násobek, nejmenší společný násobek aa,, aa nn Společným násobkem nenulových celých čísel aa,, aa nn, kde nn 2, nazveme nenulové přirozené číslo DD, které je dělitelné každým z čísel aa,, aa nn, tj. ii {,, nn} aa ii DD. Nejmenším společným násobkem nenulových celých čísel aa,, aa nn pak nazveme takový jejich společný násobek, který je nejmenší (existuje vždy a jediný). Poznámka.2.2 Úlohu na výpočet nejmenšího společného násobku více než dvou přirozených čísel aa,, aa nn, převádíme na opakovaný výpočet nejmenšího společného násobku dvou čísel dle schématu: DD 2 = NNNNNN(aa, aa 2 ), DD 3 = NNNNNN(DD 2, aa 3 ), DD nn = NNNNNN(DD nn, aa nn ), kde NNNNNN(aa,, aa nn ) = DD nn. POZOR! Nejmenší společný násobek více než dvou čísel nelze obecně počítat jako v případě dvou čísel, tj. jejich součin dělený jejich největším společným dělitelem. Jsou-li čísla aa,, aa nn po dvou nesoudělná, potom NNNNNN(aa,, aa nn ) = aa aa nn. Předpoklad nesoudělnosti po dvou nelze pro nn > 2 nahradit předpokladem pouhé nesoudělnosti. Snadno zjistíme, že pro nejmenší společný násobek tří čísel platí NNNNNN(aa, bb, cc) = aaaaaa NNNNNN(aa,bb,cc) NNNNNN(aa,bb)NNNNNN(aa,cc)NNNNNN(bb,cc). (.7) 8

Příklad.2.6 Vypočtěte nejmenší společný násobek čísel a) 420, 660, 848, b) 694, 3 46, 858 a 23. ad a) Snadno zjistíme, že NNNNNN(420,660) = 60, NNNNNN(420,848) = 84, NNNNNN(660,848) = 32 a NNNNNN(420,660,848) = 2. Aplikací vztahu (.7) dostáváme NNNNNN(420, 660, 848) = 9240. ad b) Postup výpočtu nejmenšího společného násobku čtyř čísel lze znázornit následujícím schématem, jehož jednotlivé kroky spočívají ve výpočtu nejmenšího společného násobku dvou čísel a které realizujeme dle vztahu (.6): 694 3 46 858 23 DD 2 = NNNNNN(694,346) 22 022 DD 3 = NNNNNN(DD 2, 858) 66 066 DD 4 = NNNNNN(DD 2, 858) 66 066 Tedy NNNNNN(694,346,858,23) = DD 4 = 66066. Ke stejnému výsledku samozřejmě dospějeme i v případě následujícího postupu: 694 3 46 858 23 22 022 6 006 66 066.3 Prvočísla a prvočíselné rozklady Zkoumáme-li počet dělitelů kladných přirozených čísel snadno zjistíme, že některá přirozená čísla větší než jedna mají pouze dva dělitele - číslo jedna a sebe sama (nevlastní dělitelé), kdežto ostatní mají i vlastní dělitele. Odtud následující definice pojmu prvočíslo. Definice.3. prvočíslo, složené číslo Přirozené číslo pp > nazveme prvočíslem, jestliže ( nn NN)(nn pp) (nn = nn = pp), tj. číslo pp má pouze nevlastní dělitele. Ostatní kladná přirozená čísla větší než jedna nazýváme čísla složená. Příklad.3. Čísla 2, 3, 5, 7 jsou prvočísla, neboť všechna mají pouze nevlastní dělitele. Naopak, čísla 4, 6, 89, 222 jsou čísla složená, neboť mají vlastní dělitele, např. 2 4, 3 6, 7 89, 37 222. Ovšem mnohem obtížnější 9

je zjistit, že číslo 62 259 276 829 23 363 39 578 00 288 27 je prvočíslo, kdežto 340 282 366 920 938 463 463 374 607 43 768 2 457 je číslo složené. Věta.3. Eukleides Existuje nekonečně mnoho prvočísel. Důkaz. Sporem. Předpokládejme, že existuje konečně prvočísel pp,, pp nn a položme pp = pp pp nn +. Zřejmě pp pp ii, ii =,, nn, tudíž pp je číslo složené a musí být proto dělitelné některým z prvočísel pp,, pp nn, předpokládejme pp jj. Jistě platí, že pp jj pp i pp jj pp pp nn. Z věty.. tak dostáváme pp jj. Spor, existuje tedy nekonečně mnoho prvočísel. Poznamenejme, že existuje celá řada dalších různě rafinovaných důkazů existence nekonečně mnoha prvočísel, které odkrývají mnohdy překvapivé souvislosti. Poznámka.3. Nejmenší od jedničky různý dělitel složeného čísla nn je prvočíslo, které je nejvýše rovno nn. (Dokažte!) Je-li pp prvočíslo takové, že pp aaaa, potom pp aa nebo pp bb. (Dokažte!) Všechna prvočísla vyskytující se v množině {2,, nn} lze nalézt pomocí algoritmu (nazývaného Eratosthenovo síto), který lze formulovat následovně:. V posloupnosti 2,, nn označ první nevyškrtnuté a ještě neoznačené číslo. Toto číslo pp je prvočíslo. Je-li pp nn, jdi na krok 2., jinak ukonči algoritmus a nevyškrtnutá čísla jsou právě všechna hledaná prvočísla. 2. Vyškrtni všechny násobky čísla pp, počínaje pp 2. Po jejich vyškrtnutí jdi na krok. Výše popsaný algoritmus (Eratosthenes, 276 95 př. n. l.) je pravděpodobně historicky první metoda umožňující generovat posloupnost prvočísel. V dalších úvahách hraje klíčovou roli následující věta, označovaná často jako Základní věta aritmetiky. Věta.3.2 Každé přirozené číslo větší než jedna lze rozložit na součin prvočísel, a to jednoznačně, nepřihlížíme-li k pořadí prvočísel. Důkaz. Je třeba dokázat dvě skutečnosti - existenci prvočíselného rozkladu a jeho jednoznačnost. Označme aa libovolné složené přirozené číslo větší než jedna (v případě, že aa je prvočíslo, věta evidentně platí). Dle první části poznámky.3. existuje prvočíslo pp, které je dělitelem aa, tj. aa = pp aa, kde < aa < aa. Pokud aa je prvočíslo, dostali jsme již hledaný rozklad. V opačném případě, kdy číslo aa je složené, opět využijeme první část poznámky.3. a tedy existuje prvočíselný dělitel pp 2 čísla aa, tj. aa = pp 2 aa 2, kde aa 2 < aa. Je-li aa 2 složené číslo větší než, postup opakujeme (jinak jsme nalezli požadovaný rozklad), dokud nenastane situace, kdy aa kk je prvočíslo, nebo aa kk =. Vzhledem k tomu, že čísla aa ii tvoří klesající posloupnost přirozených čísel, musí tato situace skutečně nastat. Odtud plyne existence prvočíselného rozkladu aa = pp pp kk. Předpokládejme nyní, že aa = pp pp kk = qq qq ll jsou dva prvočíselné rozklady čísla aa. Zřejmě ii {,, kk} pp ii qq qq ll a dle poznámky.3. existuje jj takové, že pp ii = qq jj. Odtud kk = ll a po případném přečíslování dostáváme ii {,, kk} pp ii = qq ii. 0

Jako důsledek věty.3.2 dostáváme - každé přirozené číslo aa > lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru aa = pp αα pp kk αα kk, (.7) kde pp ii, ii =,, kk jsou všechna navzájem různá prvočísla (seřazená vzestupně), která se vyskytují v rozkladu čísla aa, αα ii NN +, ii =,, kk (tzv. násobnost prvočísla pp ii v rozkladu aa). Výraz (.7) se nazývá kanonický rozklad přirozeného čísla aa. (Často budeme používat kratší označení rozklad místo kanonický rozklad.) Věta.3.3 Nechť aa = pp αα pp kk αα kk, bb = qq ββ qq ll ββ ll jsou kanonické rozklady. Potom platí: a) Každý dělitel dd čísla aa má kanonický rozklad kde δδ ii NN, 0 δδ ii αα ii, ii =,, kk. b) Největší společný dělitel čísel aa, bb má kanonický rozklad dd = pp δδ pp kk δδ kk, (.8) NNNNNN(aa, bb) = rr γγ rr h γγ h, (.9) kde rr,, rr h jsou prvočísla společná kanonickým rozkladům čísel aa, bb, γγ ii je minimum z exponentů, se kterým se prvočíslo rr ii vyskytuje v kanonických rozkladech čísel aa, bb. c) Nejmenší společný násobek čísel aa, bb má kanonický rozklad λλ NNNNNN(aa, bb) = rr λλ rr mm mm, (.20) kde rr,, rr mm jsou prvočísla vyskytující se v alespoň jednom kanonickém rozkladu, λλ ii je maximum z exponentů, se kterým se prvočíslo rr ii vyskytuje v kanonických rozkladech čísel aa, bb. Důkaz. ad a) Jelikož dd aa, mohou se v kanonickém rozkladu dělitele dd vyskytovat pouze prvočísla z kanonického rozkladu aa, navíc s exponentem, který je nejvýše rovnen exponentu z rozkladu aa. ad b) Jelikož NNNNNN(aa, bb) aa, bb, může jeho kanonický rozklad obsahovat pouze prvočísla vyskytující se současně v obou kanonických rozkladech, navíc s exponentem rovným právě menšímu z exponentů. ad c) Jelikož aa, bb NNNNNN(aa, bb), musí se každé prvočíslo z rozkladů aa, bb vyskytovat také v rozkladu NNNNNN(aa, bb), navíc žádné jiné prvočíslo se v rozkladu NNNNNN(aa, bb) vyskytovat nemůže (jinak nejde o nejmenší společný násobek). Exponenty jednotlivých prvočísel v rozkladu NNNNNN(aa, bb) jsou zřejmě rovny jejich maximálnímu exponentu vyskytujícímu se v rozkladech čísel aa, bb. Poznámka.3.2 Jedním z fundamentálních problémů teorie čísel je otázka rozložení prvočísel v množině všech přirozených čísel. Některé základní výsledky lze formulovat následovně (tabulka v příloze obsahuje prvních 840 prvočísel): Existuje nekonečně mnoho libovolně dlouhých posloupností po sobě jdoucích složených čísel, tj. neobsahující žádné prvočíslo (dokažte!). Pro libovolná nesoudělná přirozená čísla aa, mm existuje nekonečně mnoho prvočísel pp, která při dělení číslem mm dávají zbytek aa, tedy jsou tvaru pp = mmmm + aa, kde tt NN. (C. F. Gauss) Označíme-li ππ(nn) počet prvočísel menších nebo rovných přirozenému číslu nn, platí ππ(nn) = nn ln nn, (.2)

kde symbol chápeme jako přibližnou rovnost (přesněji, limita podílu obou stran je pro nn rovna ). Hodnoty obou stran vztahu (.2) jsou pro vybraná nn obsaženy v následujících tabulkách: nn ππ(nn) nn ln nn nn ππ(nn) nn ln nn 0 4 4 00 000 9 592 8 686 20 8 7 200 000 7 984 6 385 30 0 9 300 000 25 997 23 788 40 2 400 000 33 860 3 00 50 5 3 500 000 4 538 38 03 60 7 5 600 000 49 098 45 097 70 9 6 700 000 56 543 52 00 80 22 8 800 000 63 95 58 857 90 24 20 900 000 7 274 65 645 00 25 22 000 000 78 498 72 382 Příklad.3.3 Dokažte speciální variantu obecného Gaussova tvrzení (poznámka.3.2), že existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 4mm + 3. Řešení. Důkaz provedeme analogicky k důkazu věty.3., tj. sporem. Nejprve si uvědomme, že každé prvočíslo větší než 2 dává při dělení číslem 4 zbytek, nebo 3. Nyní předpokládejme, že existuje pouze konečně prvočísel pp,, pp nn uvažovaného tvaru 4mm + 3 (určitě taková existují, např. 3, 7,, 9, 23 apod.) a položme pp = 4pp pp nn. Je zřejmé, že číslo pp dává při dělení 4 zbytek 3, navíc není dělitelné žádným z prvočísel pp,, pp nn (jinak by dané prvočíslo muselo dělit ). Vzhledem k tomu, že součin čísel tvaru 4mm + je opět číslo téhož tvaru (dokažte!), musí být číslo pp dělitelné prvočíslem tvaru 4mm + 3 různým od pp,, pp nn. Spor, existuje tedy nekonečně mnoho prvočísel tvaru 4mm + 3. Velmi významnou roli v teorii čísel a v celé řadě aplikací, např. moderní teorie kódování, testy superpočítačů apod. (podrobnosti přesahují rámec těchto skript, relevantní internetovské odkazy viz příloha), hraje problematika kanonických rozkladů velkých čísel, resp. testy jejich prvočíselnosti. V tomto kontextu se nejčastěji vyskytují čísla speciálních tvarů, např. Fermatova, Mersennova a Cunninghamova čísla. Definice.3.2 - Fermatova a Mersennova čísla Fermatovými čísly nazýváme čísla FF nn = 2 2nn +, nn NN, Mersennovými čísly čísla MM nn = 2 nn, nn NN. Poznámka.3.3 - Fermatova a Mersennova prvočísla Fermatova čísla FF 0 = 3, FF = 5, FF 2 = 7, FF 3 = 257, FF 4 = 6 537 jsou prvočísla (tzv. Fermatova prvočísla). Tato skutečnost vedla vynikajícího francouzského matematika Pierre de Fermat (60-695) k vyslovení hypotézy, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla. Teprve později byla tato hypotéza vyvrácena Leonardem Eulerem, který ukázal, že číslo FF 5 = 4 294 967 297 je složené. Nyní panuje obecné přesvědčení, že všechna Fermatova čísla FF nn, nn 5 jsou čísla složená. Ovšem ani v dnešní době není snadné prokázat, že konkrétní FF nn je číslo složené (proč?). Například dosud 2

nebylo zjištěno, zda FF 24 je skutečně číslo složené a pro FF 2 (o kterém je prokázáno, že je složené) nebyl nalezen jeho kanonický rozklad. Historicky neméně zajímavá a z hlediska aplikací velmi významná jsou tzv. Mersennova prvočísla (Marin Mersenne, 588-648), tj. prvočísla tvaru 2 pp, kde pp je prvočíslo (jde tedy o speciální Mersennova čísla). Lze ukázat, že pokud pp není prvočíslo, nemůže být ani 2 pp prvočíslo. Obrácené tvrzení ovšem neplatí (je-li pp prvočíslo, potom 2 pp být prvočíslem může, ale nemusí). V současné době se předpokládá (není ovšem dokázáno), že mezi všemi čísly tvaru 2 pp, kde pp je prvočíslo, existuje nekonečně mnoho Mersennových prvočísel, ale i čísel složených. Například čísla MM 2, MM 3, MM 5, MM 7, MM 3, MM 7, MM 9, MM 3 jsou Mersennova prvočísla, kdežto MM, MM 67, MM 257 jsou čísla složená. Největší v současné době (rok 200) známé Mersennovo prvočíslo je MM 6 972 593 (to ovšem neznamená, že o všech číslech MM pp, kde pp je prvočíslo menší než 6 972 593 je známo zda jsou prvočíslem). Poznamenejme ještě, že pro Mersennova čísla existují efektivní testy jejich prvočíselnosti (např. Lucas-Lehmerův test) a že prvočíselnost MM 257 787 byla prokázána na superpočítači Cray T-94, ovšem prvočíselnost MM 6 972 593 již na pouhém PC Pentium 350MHz..4 Základní aritmetické funkce V teorii čísel a v jejich aplikacích hrají významnou roli funkce, jejichž definiční obory tvoří kladná přirozená čísla NN +. Pro takové funkce se vžilo označení aritmetické funkce. Definice.4. multiplikativní funkce Řekneme, že aritmetická funkce ff je multiplikativní, jestliže: aa 0 NN + ff(aa 0 ) 0, aa, bb NN + platí NNNNNN(aa, bb) = ff(aaaa) = ff(aa)ff(bb). (.22) Základní vlastnosti multiplikativních funkcí popisuje následující věta. Věta.4. a) Je-li ff multiplikativní funkce, potom ff() =. b) Součin multiplikativních funkcí je multiplikativní funkce. αα c) Je-li ff multiplikativní, aa = pp αα pp kk kk kanonický rozklad, potom dd aa ff(dd) = + ff(pp ) + ff(pp 2 αα ) + + ff pp + ff(pp kk ) + ff pp 2 αα kk + + ff pp kk kk. (.23) (Součet na levé straně se provádí přes všechny dělitele dd čísla nn.) Důkaz. ad a) Z multiplikativnosti plyne aa NN + ff(aa) 0. Jelikož NNNNNN(aa, ) =, plyne ze vztahu (.22) ff(aa) = ff(aa ) = ff(aa)ff(). Po vydělení obou stran členem ff(aa) 0 dostáváme ff() =. ad b) Označme ff = ff ff 2, kde ff, ff 2 jsou multiplikativní funkce. Jelikož ff() = ff ()ff 2 () =, stačí dokázat platnost (.22). Předpokládejme proto, že NNNNNN(aa, bb) = a dostáváme (aplikací vztahu (.22) na funkce ff, ff 2 ) ff(aaaa) = ff (aaaa)ff 2 (aaaa) = ff (aa)ff (bb)ff 2 (aa)ff 2 (bb) = ff (aa)ff 2 (aa)ff (bb)ff 2 (bb) = ff(aa)ff(bb), což bylo třeba dokázati. 3

ad c) Jelikož ii jj NNNNNN pp ii δδ ii, pp jj δδ jj =, je pravá strana dokazovaného vztahu rovna (δδ,,δδnn ) 0 δδ αα,,0 δδnn ααnn δδ ff pp δδ ff pp nn nn = (δδ,,δδnn ) 0 δδ αα,,0 δδnn ααnn δδ ff pp δδ pp nn nn. Jelikož dělitelé čísla aa jsou dle věty.3.3 právě tvaru dd = pp δδ pp kk δδ kk kde ii 0 δδii αα ii je vztah (.23) dokázán. Poznámka.4. počet dělitelů, součet dělitelů Aritmetická funkce ff rr (aa) = aa rr, aa NN + je multiplikativní (dokažte!) a dle vztahu (.23) platí dd aa dd rr = + pp rr + pp 2rr + + pp αα rr + ppkk rr + pp kk 2rr + + pp kk αα kk rr. Odtud volbou rr = 0 dostáváme vztah pro počet dělitelů čísla aa ττ(aa) = dd aa = ( + + ) ( + + ) = (αα + ) (αα kk + ). (.24) αα + αα kk + Volbou rr = dostáváme vztah pro součet dělitelů čísla aa SS(aa) = dd aa dd = + pp + pp 2 αα + + pp + pp kk + pp 2 αα kk + + pp kk kk, SS(aa) = pp αα+ pp pp kk αα kk + pp kk. (.25) Definice.4.2 - Möbiova funkce Aritmetickou funkci μμ(aa) definovanou vztahy μμ() =, μμ(aa) = 0, pokud dd NN {0,} dd2 aa ( ) kk, jinde, kde kk je počet různých prvočísel v kanonickém rozkladu aa nazýváme Möbiovou funkcí. αα Z definice je patrné, že hodnoty μμ(aa) snadno určíme z kanonického rozkladu čísla aa = pp αα pp kk kk. Jsou-li všechna αα ii =, potom μμ(aa) = ( ) kk a pokud alespoň jedno αα ii 2 je μμ(aa) = 0. Věta.4.2 Möbiova funkce je multiplikativní a pro aa > platí dd aa μμ(dd) = 0. Důkaz. K důkazu první části tvrzení (multiplikativita) stačí ukázat platnost vztahu (.22). Jsou-li aa, bb nesoudělná, potom je počet prvočísel v kanonickém rozkladu součinu aaaa roven součtu počtu prvočísel v rozkladu aa plus počet prvočísel v rozkladu bb, navíc jejich exponenty se nemění. V druhé části (s ohledem na již dokázanou multiplikativnost) stačí využít vztah (.23). Pro aa > tak dostáváme dd aa μμ(dd) = ( + ( ) + 0 + + 0) ( + ( ) + 0 + + 0) = 0. Definice.4.3 - Eulerova funkce Aritmetickou funkci φφ(aa) definovanou vztahy φφ() =, φφ(aa) = kk, kde kk je počet čísel v řadě,, nn, která jsou nesoudělná s nn, nazýváme Eulerovou funkcí. Z definice snadno zjistíme, že pro libovolné prvočíslo pp platí φφ(pp) = pp (zdůvodněte!). V případě složených čísel je výpočet hodnoty Eulerovy funkce obtížnější. 4

Věta.4.3 a) Je-li aa = pp αα pp kk αα kk kanonický rozklad, potom φφ(aa) = pp αα pp αα ppkk αα kk pp kk αα kk. (.26) b) Eulerova funkce je multiplikativní. c) Platí dd aa φφ(dd) = nn. (.27) Důkaz. ad a) Onačme PP(AA) pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo z množiny {,, aa} je nesoudělné s aa. Z definice Eulerovy funkce a klasické definice pravděpodobnosti plyne PP(AA) = φφ(aa) ( ). aa Nesoudělnost s aa je zřejmě ekvivalentní s nedělitelností žádným z prvočísel pp,, pp kk vyskytujících se v kanonickém rozkladu aa, tedy PP(AA) = PP AA pp PP AA pp kk ( ), kde PP AA pp ii je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo z množiny {,, aa} není dělitelné prvočíslem pp ii. Zřejmě platí PP AA pp ii = PP AA ppii = nn pp ii φφ(aa) aa = pp pp kk, tedy nn = pp ii a odtud z ( ), ( ) dostáváme vztah φφ(aa) = aa pp pp kk = pp αα pp αα ppkk αα kk pp kk αα kk. ad b) Jsou-li aa, bb nesoudělná, potom se prvočísla a jejich exponenty v kanonickém rozkladu součinu aa bb shodují s prvočísly a jejich exponenty v kanonickém rozkladu čísla aa, resp. bb. Zbytek důkazu je zřejmým důsledkem vztahu (.26). ad c) Využitím vztahů (.23), (.26) a již dokázané multiplikativity snadno dostáváme platnost (.27). Kromě aritmetických funkcí hrají v diskrétní matematice významnou roli také funkce nazývané dolní celá část, horní celá část a lomená část. Jsou definovány následovně: Funkce dolní celá část reálného čísla xx je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné xx. Tuto funkci budeme značit symbolem xx a lze ji definovat následujícími vlastnostmi: - xx RR xx ZZ, - xx RR xx xx < xx +. Funkce horní celá část reálného čísla xx je definována jako nejmenší celé číslo větší nebo rovné xx. Tuto funkci budeme značit symbolem xx a lze ji definovat následujícími vlastnostmi: - xx RR xx ZZ, - xx RR xx < xx xx. Funkci lomená část reálného čísla xx budeme značit symbolem {xx}. Tato funkce je definována vztahem {xx} = xx xx. Poznámka.4.2 Některé často využívané vlastnosti funkcí dolní a horní celá část jsou (dokažte!): xx < xx xx xx < xx +, xx = xx, xx = xx, xx + nn = xx + nn, xx + nn = xx + nn, kde nn NN, nn nn nn nn ii= xx ii ii= xx ii, ii= xx ii ii= xx ii. 5

.5 Řetězové zlomky Je všeobecně známé, že při numerických výpočtech vždy pracujeme s racionálními čísly, resp. s jejich jistou podmnožinou. V tomto kontextu hraje důležitou roli problematika tzv. diofantické aproximace, která, zjednodušeně řečeno, zkoumá, jak přesně lze dané číslo aproximovat pomocí racionálních čísel určitých vlastností. K této problematice má úzký vztah i následující část týkající se řetězových zlomků. Snadno totiž zjistíme, že každé číslo αα RR ZZ (v případě celých čísel je situace triviální), lze vyjádřit jediným způsobem ve tvaru αα = qq 0 + αα, kde qq 0 = αα ZZ (největší celé číslo menší nebo rovné αα) a < αα. Pokud αα není přirozené číslo, lze postupovat analogicky i v tomto případě, tj. psát kde qq = αα, < αα 2. Odtud αα = qq + αα 2, αα = qq 0 + qq +. αα2 Naznačený postup lze samozřejmě opakovat, dokud v některém kroku (např. i v prvním) nedostaneme αα nn NN + (jak uvidíme později, tato situace nemusí nastat). Tím se již dostáváme k pojmu rozvoj čísla αα v řetězový zlomek. Definice.5. Řetězovým zlomkem nazveme (konečný nebo nekonečný) výraz tvaru qq 0 +, (.28) qq + kde qq 0 ZZ, qq ii NN +. Čísla qq ii se nazývají členy rozvoje (v řetězový zlomek) a výrazy δδ 0 = qq 0, δδ = qq 0 +,, δδ qq nn = qq 0 + qq + qq2+ qq2+ + qqnn+ + qq nn,,, (.29) se nazývají přibližnými zlomky. Pro zjednodušení budeme častěji využívat zápis ve tvaru δδ 0 = [qq 0 ], δδ = [qq 0, qq ],, δδ nn = [qq 0, qq,, qq nn ] Dále řekneme, že číslo αα má konečný (ukončený) rozvoj v řetězový zlomek, jestliže existuje nn takové, že při postupu popsaném v úvodu je αα nn celé číslo (tj. αα nn+ii = 0, ii NN + ). V tomto případě zřejmě platí αα = [qq 0, qq,, qq nn ], tj. αα = qq 0 +. qq + qq2+ + qq nn Věta.5. Reálné číslo αα má konečný rozvoj v řetězový zlomek právě tehdy, je-li racionální. Důkaz. Každý přibližný zlomek lze zapsat ve tvaru zlomku s jednou zlomkovou čarou, tj. δδ ii = PP ii QQii, ii =,, nn 6

Z následující poznámky.5. a z konečnosti Eukleidova algoritmu vyplývá, že každé racionální číslo má konečný rozvoj v řetězový zlomek. Zbývá tak dokázat platnost obráceného tvrzení, tj. z konečnosti rozvoje v řetězový zlomek plyne racionalita. Postupujme sporem a předpokládejme, že číslo s konečným rozvojem v řetězový zlomek není racionální. Spor, neboť bychom nalezli vyjádření iracionálního čísla ve tvaru zlomku. Obecný postup jak sestrojovat řetězové zlomky je popsán v úvodu. Následující poznámka ukazuje na souvislost s již dobře známým Eukleidovým algoritmem. Poznámka.5. Řetězové zlomky a Eukleidův algoritmus Je-li aa bb racionální číslo, potom užitím Eukleidova algoritmu dostáváme následující:. krok aa = bbqq 0 + rr, 0 < rr < bb, tj. aa bb = qq 0 +, kde αα αα = bb >. rr 2. krok bb = rr qq + rr 2, 0 < rr 2 < rr, tj. bb rr = qq +, kde αα αα 2 = rr >, 2 rr 2 tedy aa bb = qq 0 +. qq + αα2 3. krok rr = rr 2 qq 2 + rr 3, 0 < rr 3 < rr 2, tj. rr rr2 = qq 2 +, kde αα αα 3 = rr 2 >, 3 rr 3 tedy aa bb = qq 0 +. qq + qq2 + αα3 Vzhledem k tomu, že zbytky tvoří klesající posloupnost přirozených čísel, je zaručena konečnost uvedeného postupu a musí nastat situace, kdy jisté rr nn je poslední nenulový zbytek nn. krok (nn + ). krok rr nn 2 = rr nn qq nn + rr nn, 0 < rr nn < rr nn, tj. rr nn 2 rrnn = qq nn +, kde αα αα nn = rr nn >, nn rr nn tedy aa bb = qq 0 +. qq + rr nn = rr nn qq nn, tj. rr nn rrnn qq2+ + qq nn + ααnn = qq nn, tj. aa bb = qq 0 + Vidíme tedy, že jednotlivé členy rozvoje racionálního čísla aa bb v řetězový zlomek tvoří právě neúplné podíly z Eukleidova algoritmu. Věta.5.2 základní vlastnosti přibližných zlomků a) Mezi čitateli PP ii a jmenovateli QQ ii přibližných zlomků platí PP ii = qq ii PP ii + PP ii 2, kde PP =, PP 0 = qq 0, (.30) QQ ii = qq ii QQ ii + QQ ii 2, kde QQ = 0, QQ 0 =. (.3) b) Pro libovolné dva sousední přibližné zlomky δδ ii, δδ ii platí δδ ii δδ ii = ( )ii+. (.32) QQ ii QQ ii c) Přibližné zlomky jsou v základním tvaru, tj. NNNNNN(PP ii, QQ ii ) =. Důkaz. ad a) Z tvaru přibližných zlomků (.29) snadno zjistíme zákonitost přechodu mezi čitateli a jmenovateli sousedních přibližných zlomků. Je zřejmé, že δδ ii dostaneme z δδ ii pouhou substitucí výrazu qq ii + za qq qq ii. Označíme-li PP ii čitatele a QQ ii jmenovatele i-tého přibližného zlomku, lze psát: ii qq + qq2+. + qq nn 7

δδ 0 = qq 0 = PP 0 QQ 0, δδ = qq 0+ qq = qq qq 0 + = qq PP 0 +PP = PP, kde definujeme PP qq +0 qq QQ 0 +QQ QQ =, QQ = 0, ad b) qq + PP qq 0 + PP δδ 2 = 2 qq + = qq 2(qq PP 0 + PP ) + PP 0 = qq 2PP + PP 0 = PP 2 QQ qq 0 + QQ qq 2 (qq QQ 0 + QQ ) + QQ 0 qq 2 QQ + QQ 0 QQ 2 2 a odtud dostáváme matematickou indukcí dokazované vztahy (.30) a (.3). Zřejmě platí δδ ii δδ ii = PP ii QQ ii PP ii QQ ii = PP iiqq ii PP ii QQ ii QQ ii QQ ii, proto vyšetřujme vztah mezi hodnotou čitatele a indexem ii. Označme ff ii = PP ii QQ ii PP ii QQ ii a využijme vztahy (.30) a (.3). Dostáváme tak ff ii = (qq ii PP ii + PP ii 2 )QQ ii PP ii (qq ii QQ ii + QQ ii 2 ) = ( )(PP ii QQ ii 2 PP ii 2 QQ ii ) = ( )ff ii tedy ff ii = ( ) ii ff 0 a vzhledem k tomu, že ff 0 = PP 0 QQ PP QQ 0 =, platí PP ii QQ ii PP ii QQ ii = ( ) ii+ (.33) čímž je vztah (.32) dokázán. ad c) Snadný důsledek vztahů (.33) a (.2). Je zřejmé, že neúplné podíly qq ii, ii = 0,,, nn a rekurentní vztahy (.30), (.3) s počátečními podmínkami umožňují efektivní výpočet přibližných zlomků. Tento výpočet se často realizuje pomocí tzv. tabulky přibližných zlomků, jejíž schéma následuje: ii - 0 2 nn qq ii - - - qq 0 qq qq 2 qq nn PP ii qq 0 PP PP 2 PP nn QQ ii 0 QQ QQ 2 QQ nn Příklad.5. Číslo 78 rozviňte v řetězový zlomek a sestavte tabulku přibližných zlomků. 654 Řešení. Pomocí Eukleidova algoritmu zjistíme potřebné neúplné podíly: 78 = 654 (qq 0 ) + 27, 654 = 27 5(qq ) + 9, 27 = 9 6(qq 2 ) + 3, 9 = 3 (qq 3 ) + 6, 3 = 6 2(qq 4 ) +, 6 = 6(qq 5 ). Tabulka přibližných zlomků má tedy tvar ii - 0 2 3 4 5 qq ii - - - 5 6 2 6 PP ii 6 37 43 23 78 QQ ii 0 5 3 36 03 654 Odtud hledaný rozvoj v řetězový zlomek 78 654 5+ 6+ + 2+ 6 8

Poznámka.5.2 Lze ukázat (dokažte), že mezi všemi racionálními čísly, jejichž jmenovatel je nejvýše roven QQ ii, je právě přibližný zlomek δδ ii nejlepší aproximací rozvíjeného čísla. Přesněji, platí: Je-li δδ ii = PP ii přibližný zlomek rozvoje reálného čísla αα v řetězový zlomek, ββ = aa QQ ii bb libovolné racionální číslo takové, že 0 < bb QQ ii, δδ ii, potom αα δδ ii < αα ββ. Pro zajímavost jsou v následující tabulce uvedeny (nekonečné) řetězové zlomky některých vybraných iracionálních čísel. Číslo ee ππ 2 5 0 7 26 Řetězový zlomek [2,,2,,,4,,,6,,,8,,,0, ] [3,7,5,,292,,,,2,,3,,4, ] [,2,2,2, ] [2,4,4,4, ] [3,6,6,6, ] [4,8,8,8, ] [5,0,0,0, ] Jako důsledek tak dostáváme, že následující racionální čísla nejlépe aproximují (ve smyslu první odrážky této poznámky) číslo ππ. PP ii 3 22 333 355 03 993 QQ ii 7 06 3 33 02 ii,42e-0,26e-03 8,32E-05 2,67E-07 5,78E-0 Poslední řádek obsahuje horní hranici chyby aproximace, tj. ππ PP ii QQ ii ii..6 Kongruence Z věty o dělení se zbytkem víme, že celá čísla dávají při dělení přirozeným číslem mm 2 zbytky pouze z množiny {0,,, mm }. Z pohledu dělitelnosti, lze proto čísla dávající stejný zbytek považovat za totožná. Odtud následující definice. Definice.6. Řekneme, že celá čísla aa, bb jsou kongruentní modulo mm, kde mm NN {0,}, jestliže obě čísla mají při dělení číslem mm stejný zbytek. Skutečnost, že čísla aa, bb jsou kongruentní modulo mm vyjadříme některým z následujících zápisů: aa bb (mmmmmm mm), aa bb (mm), resp. aa mm bb. V opačném případě (aa, bb nemají při dělení číslem mm stejný zbytek), píšeme aa bb (mm) a říkáme, že uvedená čísla nejsou kongruentní modulo mm. Dále budeme používat zápis aa = (bb mmmmmm mm), kterým vyjádříme skutečnost, že číslo aa je rovno zbytku při dělení čísla bb číslem mm. Například 7 28 (3), = (28 mmmmmm 3). 9

Poznámka.6. Přes svou jednoduchost nachází výše zavedený pojem kongruence velmi široké využití v celé řadě oblastí. Vzhledem k rozsahu skript se stručně zmíníme pouze o generování náhodných (přesněji řečeno pseudonáhodných) čísel a některých způsobech kódování. Efektivní metodou generování posloupnosti pseudonáhodných čísel xx 0, xx, jsou lineární kongruence. Jednotlivé členy posloupnosti jsou počítány rekurentně ze vztahu xx nn+ = (aaxx nn + bb) mmmmmm mm, (.34) kde mm, aa, cc, xx 0 NN taková, že 2 aa < mm, 0 cc < mm, 0 xx 0 < mm, NNNNNN(aa, mm) =. (mm modul, aa multiplikační koeficient, cc inkrement, xx 0 počáteční hodnota). Většina standardních počítačů dnes využívá pro generování pseudonáhodných čísel modul mm = 2 3, multiplikační koeficient aa = 7 5 a navíc speciální variantu vztahu (.34), tzv. ryze multiplikativní generátor, kde cc = 0. (V případě, kdy požadujeme pseudonáhodná čísla z intervalu 0,), použijeme posloupnost xx nn mm ) Jedním z nejstarších způsobů šifrování je tzv. Caesarova šifra, které cyklicky posunula abecedu o tři znaky vpřed (AA DD, BB EE,, ZZ CC). Z pohledu kongruencí lze toto šifrování popsat vztahem YY = (xx + 3) mmmmmm 26, (.35) kde xx je pořadové číslo kódovaného znaku (v rámci anglické abecedy, počet znaků 26), YY je pořadové číslo zakódovaného znaku a 3 je posunutí. Dešifrování se pak provádí zpětným posunutím, tj. dle vztahu xx = (YY + 23) mmmmmm 26. (.36) Věta.6. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: a) aa bb (mm), b) mm (aa bb), c) tt ZZ aa = bb + mmmm. Důkaz. Stačí dokázat a) b) c) a). ad a) b) Jelikož aa bb (mm), dostáváme z věty o dělení se zbytkem aa = aa mm + rr, bb = bb mm + rr, kde 0 rr < mm a tedy aa bb = (aa bb )mm. Odtud mm (aa bb). ad b) c) Přímo z definice dělitelnosti dostáváme aa bb = mmmm, tt ZZ, tedy aa = bb + mmmm. ad c) a) Aplikací věty o dělení se zbytkem dostáváme bb = mmmm + rr, 0 rr < mm a následným dosazením do c) získáme aa = mm(qq + tt) + rr, 0 rr < mm, tj. obě čísla dávají při dělení mm stejný zbytek. Jak dokládá následující věta, jsou početní pravidla pro kongruence mající stejný modul podobná početním pravidlům pro rovnice. Věta.6.2 stejný modul Jestliže aa bb (mm), aa 2 bb 2 (mm), potom platí: a) aa + aa 2 bb + bb 2 (mm), (.37) b) aa aa 2 bb bb 2 (mm), (.38) 20

c) dd aa, dd bb, NNNNNN(dd, mm) = aa dd (.39) Důkaz cvičení. bb dd (mm). Jako snadný důsledek pak dostáváme: K oběma stranám kongruence lze přičíst, resp. od nich odečíst libovolné celé číslo. Obě strany kongruence lze vynásobit libovolným číslem. Členy z jedné strany kongruence lze převést na druhou, pokud u nich změníme znaménko. Obě strany kongruence lze umocnit na n-tou, kde nn NN. Jak dokládá následující ukázka, je ve větě.6.2 část c) předpoklad NNNNNN(dd, mm) = podstatný, neboť např. 44 78 (33), ovšem 44 6 78 6 (33). Věta.6.3 změna modulu a) aa bb (mm) kkkk kkkk (kkkk), kde kk NN +, b) aa bb (mm), dd mm aa bb mm dd, c) aa bb (mm), dd NNNNNN(aa, bb, mm) aa dd bb dd mm dd, d) aa bb (mm ), aa bb (mm 2 ) aa bb NNSSNN(mm, mm 2 ). Důkaz. ad a) Dle věty.6. platí aa = bb + mmmm, tedy kkkk = kkkk + mmmmmm, tj. kkkk kkkk (kkkk). ad b) Označme mm = mm dd. Dle věty.6. platí mm (aa bb) a jelikož dd mm platí i mm (aa bb), což je ekvivalentní dokazovanému vztahu. ad c) ad d) aa = bb + mmmm, dd NNNNNN(aa, bb, mm) aa dd bb dd + mm dd tt, což je ekvivalentní dokazovanému. Jelikož mm (aa bb), mm 2 (aa bb) zřejmě i NNNNNN(mm, mm 2 ) (aa bb). Pro další úvahy je důležité si uvědomit, že vztah býti kongruentní modulo m tvoří binární relaci na Z s vlastnostmi aa ZZ aa aa (mm), (reflexivita) aa, bb ZZ aa bb (mm) bb aa (mm), (symetrie) aa, bb ZZ aa bb (mm), bb cc (mm) aa cc (mm). (tranzitivita) Jde tedy o relaci ekvivalence, která indukuje rozklad ZZ mající mm následujících tříd ekvivalence [0] = {, 2mm, mm, 0, mm, 2mm, } = {tttt tt ZZ}, [] = {, 2mm, mm,, + mm, + 2mm, } = { + tttt tt ZZ}, [2] = {,2 2mm, 2 mm, 2,2 + mm, 2 + 2mm, } = {2 + tttt tt ZZ}, [mm ] = {, mm,, mm,2mm, } = {(mm ) + tttt tt ZZ}, nazývané zbytkové třídy modulo mm, resp. třídy zbytků modulo mm. Každá třída zbytků obsahuje právě všechny navzájem modulo mm kongruentní celá čísla (tj. čísla mající při dělení mm stejný zbytek). Pro množinu všech zbytkových tříd modulo mm se vžilo označení ZZ mm, tj. ZZ mm = {[0],, [mm ]}. Poznamenejme, že v dalších částech skript, kde by již nemělo dojít k nedorozumění, budeme běžně používat zjednodušený zápis aa místo [aa] a ZZ mm = {0,, mm }. Nyní na množině ZZ mm definujme operaci sčítání a násobení následovně [aa] + [bb] = [aa + bb], [aa] [bb] = [aa bb]. 2

(Dokažte, že obě operace jsou definovány korektně, tj. aa, aa 2, bb, bb 2 ZZ [aa ] = [aa 2 ], [bb ] = [bb 2 ], potom [aa ] + [bb ] = [aa 2 ] + [bb 2 ], [aa ] [bb ] = [aa 2 ] [bb 2 ].) Kromě obvyklých vlastností obou operací (asociativita, komutativita, distributivita, existence nulového, opačného a jednotkového prvku) platí: V ZZ mm lze dělit prvkem [aa] právě tehdy, je-li NNNNNN(aa, mm) =. V tomto případě [bb] ZZ mm takové, že [aa][bb] = []. (v tomto případě používáme označení [aa] místo [bb] a mluvíme o inverzním prvku k [aa]) Zřejmým důsledkem je skutečnost: je-li pp prvočíslo, potom [aa] ZZ pp {[0]} [aa] ZZ mm. V ZZ mm existují vlastní dělitelé nuly právě tehdy, je-li mm číslo složené, tj. [aa], [bb] ZZ mm {[0]} [aa][bb] = [0] Příklad.6.3 Algebraická struktura ZZ 5 obsahuje následujících pět zbytkových tříd: [0] = {, 0, 5,0,5,0, } = {5tt tt ZZ} celá čísla dělitená 5, [] = {, 9, 4,,6,, } = {5tt + tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 5 zbytek, [2] = {, 8, 3,2,7,2, } = {5tt + 2 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 5 zbytek 2, [3] = {, 7, 2,3,8,3, } = {5tt + 3 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 5 zbytek 3, [4] = {, 6,,4,9,4, } = {5tt + 4 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 5 zbytek 4, kde operace sčítání a násobení jsou definovány následujícími tabulkami: + [0] [] [2] [3] [4] [0] [] [2] [3] [4] [0] [0] [] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [] [] [2] [3] [4] [0] [] [0] [] [2] [3] [4] [2] [2] [3] [4] [0] [] [2] [0] [2] [4] [] [3] [3] [3] [4] [0] [] [2] [3] [0] [3] [] [4] [2] [4] [4] [0] [] [2] [3] [4] [0] [4] [3] [2] [] Nyní snadno ověříme, že v Z 5 je možné provádět stejné výpočty jako v Q, resp. R, neboť lze dělit pomocí násobení inverzním prvkem [] = [], [2] = [3], [3] = [2], [4] = [4], navíc platí [aa] [bb] = [0] ([aa] = [0]) ([bb] = [0]). Například, pokud máme určit zbytkovou třídu [xx] takovou, aby [3][xx] + [4] = [], lze postupovat následovně. Nejprve k oběma stranám přičteme prvek [] (tj. prvek opačný k [4]) a dostáváme [3][xx] = [2]. Nyní obě strany vynásobíme prvkem [2] (tj. prvek inverzní k [3]) a dostáváme [xx] = [4]. Algebraická struktura ZZ 6 obsahuje následujících šest zbytkových tříd: [0] = {6tt tt ZZ} celá čísla dělitená 6, [] = {6tt + tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 6 zbytek, [2] = {6tt + 2 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 6 zbytek 2, [3] = {6tt + 3 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 6 zbytek 3, [4] = {6tt + 4 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 6 zbytek 4, [5] = {6tt + 5 tt ZZ} celá čísla dávající při dělení 6 zbytek 5, kde operace sčítání a násobení jsou definovány následujícími tabulkami: + [0] [] [2] [3] [4] [5] [0] [] [2] [3] [4] [5] 22