Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce

Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz

Přehled (1) Princip rekonstrukce ploch technické praxe z mračna bodů Bodová fáze příprava a předzpracování Polygonální reprezentace Tvarová fáze segmentace, aproximace oblasti daným typem plochy Hraniční reprezentace Polygonální reprezentace příklady v programu Rhinoceros Analytická reprezentace Analytická vyádření hraničně reprezentovaných obektů Bézierovy plochy Racionální Bézierovy plochy Plátování Příklady ploch 1 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Přehled (2) Aproximace ploch Bézierovými pláty Body vstupní množiny tvoří pravidelnou mřížku Body vstupní množiny sou rozmístěny náhodně Programová demonstrace Další vylepšování tvaru aproximuící plochy Princip evoluce křivek Evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek Princip evoluce ploch Evoluce Bézierových ploch Programová demonstrace Závěr a budoucí práce 2 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Rekonstrukce ploch (1) Digitální dokumentace reálných povrchů rekonstrukce ploch e využívána v řadě odvětvích vědy a průmyslu dokumentace soch a památek, architektura, stavitelství, design,... vytvoření CAD modelu z daného mračna bodů body v prostoru, v obecné úloze známe en prostorové souřadnice Bodová fáze příprava a předzpracování mračna bodů získáváme 3D skenováním reálných povrchů nutné počítat s nepřesností v měření skenování se provádí vícekrát z různých stanovišť, ednotlivé,,skeny se následně slučuí ve výsledném mračnu bodů mohou být redundantní data nutné odstranit ztenčuící algoritmy (thinnig algorithms) 3 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Tvarová fáze převod troúhelníkové sítě do CAD reprezentace implicitní nebo parametrické vyádření ploch segmentace detekce a rozdělení na oblasti s,,rozdílnou geometrií t. nalezení rovinné oblasti, části válcových ploch nebo obecné plochy (freeform patches) není ednoduché aproximace oblasti typem plochy určeného při segmentaci (surface fitting) 4 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 Rekonstrukce ploch (2) Polygonální reprezentace celá řada algoritmů využívaící dělení prostoru základem Voronoiovy diagramy, Delaunay triangulace výsledkem těchto metod bývá velice často troúhelníková síť aproximuící zadanou množinu bodů velice komplikovaný problém, dosud neexistuí uspokoivé univerzální řešící postupy př.: α shapes, crust algorithm, cocone algorithms

Rekonstrukce ploch (3) Model proektu Frank O. Gehry, Walt Disney Concert Hall digitální rekonstrukce fyzického modelu přináší účinný prostředek v proektování 5 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Walt Disney Concert Hall, Frank O. Gehry - Los Angeles, USA

Hraniční reprezentace (1) Polygonální reprezentace edna z nečastěi používaných reprezentací obektů v počítačové grafice základním prvkem nečastěi troúhelník, někdy čtyřúhelník nebo mnohoúhelníky (nutné určovat konvexitu) polygon e nečastěi reprezentován pouze svými vrcholy pořadí vrcholů a tudíž i pořadí eho stran určue orientaci celého polygonu při rekonstrukci ploch vstupem množina bodů, známe prostorové souřadnice, obecně nevíme nic dalšího díky polygonální reprezentaci, určíme návaznost bodů vstupní množiny de o vygenerování prvotního povrchu plochy, který se dále zpracovává 6 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Hraniční reprezentace (2) Polygonální reprezentace příklady troúhelníkové sítě 7 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Hraniční reprezentace (3) Polygonální reprezentace příklady reálných dat a eich troúhelníkových sítí 8 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

9 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Ukázka troúhelníkových sítí naskenovaných reálných obektů Využití modelovacích funkcí a nástroů v programu Rhinoceros 12 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Hraniční reprezentace (4) Analytická reprezentace rozsáhlá teorie diferenciální geometrie křivek a ploch nečastěi parametrický popis, implicitní popis (méně) výhody základní předností analytického vyádření ploch e eho přesnost například v architektuře vysoce žádoucí analytické vyádření ploch umožňue měřit povrch plochy lze poměrně snadno editovat lze měnit tvar plochy s plochami lze provádět různé operace dělení nebo průniky parametricky vyádřené funkce sou ednoduše diferencovatelné obekty takto popsané se snadno navazuí 13 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Hraniční reprezentace (5) v analytické formě bývá obtížné (někdy dokonce nemožné) vyádřit složitý obekt ako celek složité obekty proto popisueme parametricky ako obekty složené z ednodušších částí vytváření výsledných obektů napoováním ploch tzv. plátů se v počítačové grafice označue ako plátování k popisu ploch technické praxe budeme používat Bézierovy a racionální Bézierovy plochy definice, speciální příklady, které lze v rekonstrukci povrchů využít napoování Bézierových plátů 14 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (1) Bézierova plocha stupně e určena ( m1) ( n1) m n i0 0 mn řídícími body a vztahem m n Q( u, v) P B ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i i bázové funkce k-tého stupně B ( t), k n, m k i sou Bernsteinovy polynomy k i k i ( ) k (1 ) Bi t t t i t 0,1, i 0,1,..., k 15 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (2) Bézierova plocha stupně mn Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okraové křivky plochy sou Bézierovými křivkami pro okrae sítě tečná rovina v bodě podobně pro další rohové body P00 e určena body P00, P10, P01 Q(0,0) P Q(0,1) P Q(1,0) P Q(1,1) P 00 0n m0 mn okraová křivka např.: n n Q(0, v) P0 B ( v) 0 16 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (3) Bézierova plocha stupně mn P m0 P 00 P mn P 0n 17 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (4) Bézierova plocha stupně mn P m0 P 00 P mn n n Q(0, v) P0 B ( v) 0 P 0n m m Q( u,1) Pin Bi ( u) 18 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 i0

Bézierovy plochy (5) Bézierova plocha stupně mn křivky plochy a eich řídící polygony 19 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (6) Bézierova plocha stupně mn křivky plochy a eich řídící polygony 20 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (7) Bézierova bikubická plocha m3, n3 3 3 3 3 Q( u, v) Pi Bi ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i0 0 3 3 0 ( ) (1 ) P00 P01 P02 P03 B t t B ( t) 3 t(1 t) 3 2 1 B ( t) 3 t (1 t) 3 2 2 B () t t 3 3 3 M B 1 3 3 1 3 6 3 0 3 3 0 0 1 0 0 0 2 T T 3 2 (, ) 1 T Q u v UM BPM BV u u u M BPM B v P P P P P P P P P P P P P 3 v v 1 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 21 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (8) Bézierova bikubická plocha m3, n3 v Matlabu nepočítáme se symbolickými proměnnými plně využíváme podporu počítání s maticemi určueme matici kořenů Bernsteinových polynomů určueme matici koeficientů Bernsteinových M B polynomů z kořenů Bernsteinových polynomů umíme zpětně určit koeficienty polynomů dále vyhodnocueme Bernsteinovy polynomy v hodnotách parametrů u a v u, v reprezentovány ako vektory, vyhodnocení Bern. pol. ukládáme do matic 1 3 3 1 3 6 3 0 3 3 0 0 1 0 0 0 22 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 M B

Bézierovy plochy (9) Plátování měme dva Bézierovy pláty první z nich e určen sítí řídících bodů Qi, i 0,..., s; 0,..., n druhý e určen sítí řídících bodů Ri, i 0,..., t; 0,..., n počet bodů ve směru v e stený pro oba pláty a e roven n pláty navazueme ve směru u Napoení C 0 QR, pláty maí společnou stranu, t. Q( u,1) R(0, v), toho docílíme ztotožněním řídících bodů, které určuí příslušnou stranu t. pláty maí společnou hraniční lomenou čáru a různé příčné tečné vektory Q, 0,..., s R0 n 23 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (10) Napoení 0 C 24 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (11) Napoení C 1 1 pokud společná strana plátů e C spoitá a sou-li identické příčné tečné vektory ve směru u podél této strany 1 t. shoda C spoité strany a splnění následuící vztahu pro body řídících polygonů obou plátů Q, 0,..., s Qs 1 R1 R0 n řídící body společné strany plátů leží ve středu úseček, které spouí vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu R ve směru u s druhým bodem plátu Q ve steném směru 1 G spoitost pokud e splněna lineární závislost s koeficientem k>0 Qs Qs 1 k R1 R0, 0,..., n 25 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (15) Speciální příklady Bézierových ploch bilineární Bézierova plocha t. m1, n1 e určena 2x2 řídícími body u-křivky a v-křivky sou pouze úsečky výpočtem lze dokázat, že tímto způsobem lze nadefinovat pouze část roviny (pokud řídící body leží v edné rovině) nebo část hyperbolického paraboloidu P 10 P 11 P 01 P 00 29 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Bézierovy plochy (16) Speciální příklady Bézierových ploch P 11 hyperbolický paraboloid ako bilineární Bézierova ploch P 10 01 P00 30 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P

Bézierovy plochy (17) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 výpočtem lze dokázat, že tímto způsobem dostáváme přímkové plochy P 15 P 04 P 11 P 12 P 02 P 00 P 03 P 10 P 05 31 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 01

Bézierovy plochy (18) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 při speciální volbě řídících bodů válcová plocha P 10 P 12 P 14 P 00 P 02 P 04 P 01 P 03 P 15 32 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 05

Bézierovy plochy (19) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 při speciální volbě řídících bodů kuželová plocha P10 P11 P12 P13 P14 P15 P 00 P 02 P 04 P 01 P 03 33 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 05

Bézierovy plochy (20) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m2, n2 další speciální volby hyperbolický paraboloid P 10 P 12 P 20 P 22 P 11 P 00 P 21 P 02 P 01 34 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Racionální Bézierovy plochy (1) K řídícím bodům sou přiřazeny tzv. váhy estliže sou všechny váhy rovny edné, přechází racionální Bézierova plocha v Bézierovu plochu racionální Bézierovy plochy sou zobecněním Bézierových ploch dovoluí přesný popis kvadrik, lze popsat více speciálních ploch vychází z toho, že kromě paraboly nelze Bézierovými křivkami popsat kuželosečky pro modelování k dispozici další parametry, měníme tvar plochy bez změny řídících bodů Q( u, v) u m n i0 0 m n i0 0 m n w P B ( u) B ( v) i i i m n w B ( u) B ( v) i i 0,1, v 0,1 35 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 w i

Racionální Bézierovy plochy (2) P Speciální příklady racionálních Bézierových ploch 00 10 01 11 02 12 př. ¼ rotační válcové plochy r,0,0 P r,0, v P P P P r, r,0 r, r, v 0, r,0 0, r, v w w w w w w 00 10 2 01 2 2 11 2 02 12 1 1 1 1 v výška, r poloměr válce P P 00 01 36 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 10 P 12 P 02 P 11

Racionální Bézierovy plochy (3) Speciální příklady racionálních Bézierových ploch př. 1/16 anuloidu P00 0, R, r w00 1 P10 R, R, r 2 w10 2 P R,0, r w 1 20 01 11 21 02 12 22 P 0, R r, r P R r, R r, r P R r,0, r P 0, R r,0 P R r, R r,0 P R r,0,0 w w w w w w 20 2 01 2 1 11 2 2 21 2 02 2 12 2 22 1 1 r, R poloměr kružnic P P 01 00 P 02 P 10 P 20 P 21 37 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 22 P 11 P 12

Racionální Bézierovy plochy (4) Speciální příklady racionálních Bézierových ploch př. 1/8 koule P00 0,0, r w00 1 P10 r,0, r w P20 r,0,0 w 1 P P P P P P 01 11 21 02 12 22 0,0, r r, r, r r, r,0 0,0, r 0, r, r 0, r,0 w w w w w w 2 10 2 20 01 1 11 2 2 21 2 02 2 12 2 22 1 1 P P P 00 01 02 1 r - poloměr koule P 11 P 10 P 21 P 20 38 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 22 P 12

Programová demonstrace Ukázka obecných racionálních Bézierových plátů v prostředí Matlab 39 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Aproximace ploch Bézierovými pláty (1) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Zednodušení body tvoří v půdoryse pravidelnou obdélníkovou mřížku 6 2 5 1.5 4 1 0.5 3 0 2-0.5 1-1 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 2 1.5 76 0-1.5 1-1 -0.5 0.5 0 0.5 0 1 1.5 2-0.5 40 Rekonstrukce ploch 2.5 3-1 Petra Surynková, 2011

Aproximace ploch Bézierovými pláty (2) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Zednodušení body tvoří v půdoryse pravidelnou obdélníkovou mřížku známe m n X ( u, v) P B ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i0 0 bodům přiřadíme parametry podle mřížky m n m n t. X ( u, v ) P B ( u ) B ( v ) m n i i hledáme k l i i k l i0 0-1 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 41 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011, 1 3 6 5 2 1.5 1 0.5 0-0.5 u v k l 0,,,,,,1 1 1 1 2 5 6 3 2 3 6 0,,,,,1 1 2 3 4 5 5 5 5

Aproximace ploch Bézierovými pláty (3) mn stupeň plochy volíme podle toho, zda chceme plochu interpolovat nebo aproximovat pokud máme o ploše další informace např. de o body klenby, můžeme předpokládat nízký stupeň plochy, nebo stupeň dokonce známe hledáme řídící body ve smyslu metody nemenších P i čtverců využíváme funkcí Matlabu k řešení přeurčené soustavy rovnic edna rovnice soustavy m m m n n n 0 1 0 1 X ( u, v ) B ( u ), B ( u ),..., B ( u ) P B ( v ), B ( v ),..., B ( v ) k l k k m k l l n l T 42 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Aproximace ploch Bézierovými pláty (4) výsledná aproximuící plocha 43 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Aproximace ploch Bézierovými pláty (5) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Obecné body netvoří v půdoryse pravidelnou mřížku 3 6 2.5 2 1.5 1 0.5 5 4 3 2 0 1-0.5 3 0 2.5-1 -1-1 0 1 2 3 4-0.5 2 0 1.5 0.5 1 1 1.5 0.5 2 2.5 0 3-0.5 3.5 44 Rekonstrukce ploch 4-1 Petra Surynková, 2011

Aproximace ploch Bézierovými pláty (6) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Obecné body netvoří v půdoryse pravidelnou mřížku bodům přiřadíme parametry podle přeškálování určueme body s minimální a maximální x-ovou a y-ovou souřadnicí kvůli nepravidelnosti vstupní množiny e nutné body přeuspořádat do matic opět stupeň plochy volíme mn x min 3 2.5 2 1.5 1 0.5 y max x max hledáme řídící body nemenších čtverců P i ve smyslu metody 0-0.5-1 -1 0 1 2 3 4 45 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 y min

Aproximace ploch Bézierovými pláty (7) výsledná aproximuící plocha 46 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Programová demonstrace Ukázka aproximace Bézierovými pláty v prostředí Matlab 47 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (1) Snaha přinést do zpracování rekonstrukce povrchů nové metody Poem postupného vylepšování tvaru vysvětlíme na křivkách ukázka evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek Cílem e vhodně aproximovat zadanou množinu bodů v rovině daným typem křivky zvolená metoda e evoluce Podstata evoluce postupný vývo křivky od istého počátečního tvaru a polohy křivka e tomuto procesu podrobena do té doby, dokud nesplňue něaké předem dané kritérium zde, dokud neprochází body vstupní množiny (nebo vhodně aproximue vstupní množinu bodů) 48 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (2) dána množina bodů p 1.. N v rovině cílem e proložit tyto body křivkou výslednou křivku hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na křivce p 49 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (3) měme parametricky popsanou křivku m c( u) B ( u) V i0 u i a, b c ( u) : c( s, u) označme s v reprezentaci křivky se obevuí dva rozdílné parametry i u Vi B i parametr křivky řídící body křivky bázové funkce vektor parametrů s ( s 1, s2,..., s n ) s n N 1 min p c ( u ) min u s 2 s sou x-ové a y-ové souřadnice řídících bodů 50 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (4) hledáme vektor parametrů křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ), který definue tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n 1 20 1 1 20 2 10 2 n n 102 s (( tt ) s ( t ), s ( t ),..., s( t( t) ) 51 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (5) ak e řízen pohyb pro každý bod p 1.. křivce f c( u ) během evoluce se body N vstupní množiny spočítáme nebližší bod na f pohybuí k bodům vstupní množiny rychlostí nebo c ( u ) v u c u s n s s ( ) s ( ) i i1 si normálovou rychlostí Τ n ( ) Τ cs u s s i s i1 si v ( u ) n ( u ) s n ( u ) 52 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (6) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s N 1 T v ( u ) d n ( u ) min s s 2 s f p 53 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (7) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s 2 v s u d ns u vs u d ( ) ( ) ( ) min 1 1 u { a, b} u { a, b} N T N 2 s f p 54 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (8) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s v s u d ns u vs u d 1 1 u { a, b} u { a, b} N výsledkem 1 2 aktualizueme vektor parametrů T 2 ( ) ( ) ( ) min s, s,..., s n N s1 s1, s2 s2,..., s n s n 55 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 2 s

Programová demonstrace Ukázka evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek v prostředí Matlab 56 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (9) dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p 57 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (10) dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p 58 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (11) vstupní množina bodů v prostoru 59 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (12) počáteční poloha a tvar plochy 60 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (13) evoluce v čase 61 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (16) výsledná plocha 64 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (17) výsledná plocha s řídící sítí V [ s, s, s ] i p q r V i - body, které sou v čase t modifikovány 65 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (18) Princip postupného vývoe tvaru e analogický pro plochy de ale o mnohem komplikovaněší problém to e také důvod, proč počáteční polohu a tvar plochy nevolíme zcela libovolně, ale vycházíme z prvotní aproximace Aproximace e sama o sobě velmi spolehlivou metodou navíc i lze využít identifikaci nesprávných bodů ve vstupní množině protože vycházíme z aproximace metodou nemenších čtverců, nelze iž plochu v tomto směru vylepšovat plocha v lokálním minimu volíme iné funkční závislosti vylepšueme tvar plochy tak, aby lépe aproximovala danou množinu bodů 66 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (19) K daným bodům množiny se plochou přibližueme minimalizací chybové funkce chybová funkce např. vyadřue součet vzdáleností bodů vstupní množiny od nebližších bodů na ploše lze použít i iné funkce např. radiální bázové funkce spoité, diferencovatelné Minimalizace chybové funkce výpočet parciálních derivací aktualizace řídících bodů plochy P _ akt P _ poc 1 x x parc _ der _ x 67 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (20) Jiný přístup po aproximaci Bézierovou plochou přecházíme k racionální parametrizaci Další tvar plochy vylepšueme změnou vah řídících bodů minimalizueme opět chybovou funkci, ale tentokrát aktualizueme váhy řídících bodů řídící body zůstávaí na místě nemění se stupeň plochy modifikue se tvar plochy Použití ak pro funkci vzdáleností tak pro radiální funkce 68 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Další vylepšování tvaru (21) Radiální funkce volba bodu v mračnu bodů (ve vstupní množině) váha ostatních bodů v mračnu e vůči zvolenému bodu vyádřena radiální funkcí např. vaha( x, y, z) 1 r( ) - vyadřue vzdálenost bodu v mračnu od zvoleného bodu (eukl.) r - radiální funkce, N - počet bodů mračna N chybova _ funkce nem _ vzdal _ k _ plose( x, y, z ) vaha( x, y, z ) i1 2 i i i i i i ( ) např. r( ) e chybová funkce závisí na řídících bodech nebo na eich vahách 69 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Programová demonstrace Ukázka postupného vylepšování tvaru Bézierovy plochy v prostředí Matlab 70 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Závěr a budoucí práce V budoucí práci se zaměříme na použití dalších typů ploch k rekonstrukci povrchů B-spline a NURBS plochy Bézierovy plochy nevýhodné při změně řídícího bodu, změna celé plochy, proto použití racionálních Bézierových ploch eich implementace, použití k aproximaci Další vylepšování tvaru plochy použití iných chybových funkcí další radiální bázové funkce interaktivní přístup možnost vybrat, ke kterým bodům se přiblížíme 71 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011

Závěr a budoucí práce Další vylepšování tvaru plochy přidání vah k bodům mračna t. vybírání důležitých bodů po aproximaci přeít k racionální parametrizaci a k plátování racionální parametrizace - hotové zvýšení stupně plochy ne vždy výhodné, může vzniknout nežádoucí vlnění Další zpracování dat z 3D skenerů Vizualizace výsledků v programu Rhinoceros 72 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011