BANKOVNICTVÍ
2. cvčení Úrokování
ÚROK, ÚROKOVÁ MÍRA Úroková míra vyjadřuje poměr výnosu k vloženému (půjčenému) kaptálu, a to buď v relatvním (např. 0,1), nebo procentním (např. 10 %) vyjádření. Úrok je pak z pohledu věřtele odměna za to, že poskytl své volné peněžní prostředky dočasně někomu jnému. Z pohledu dlužníka je úrok cena, kterou platí za získání půjčky. Obecně je tedy úrok cenou peněz. Obvykle se užívá úroková míra: nomnální, reálná nebo efektvní. Lze se pak setkat s úrokovou mírou hrubou nebo čstou (podle toho zda zohledňuje daň z příjmů č nkol) č požadovanou (např. požadovaná míra výnosnost).
Úroková míra NOMINÁLNÍ Nomnální úroková míra je úroková míra, která je sjednána mez věřtelem (poskytovatelem kaptálu) a dlužníkem (příjemcem kaptálu) např. v úvěrové smlouvě,v rámc úročení dluhopsů atp. Nomnální úroková míra nezohledňuje míru nflace. Pro její správnou nterpretac je třeba znát časové období, ke kterému je poměřována, a četnost přpsování úroků. Období, ke kterému je poměřována, je zaznamenáváno latnskou zkratkou za procentním vyjádřením výše úroku. Nejčastěj se lze setkat s nomnální úrokovou mírou roční (p.a. - per annum). Pokud není u procentní sazby úroku uvedena žádná zkratka, má se za to, že se jedná o roční úrokovou míru!
Úroková míra NOMINÁLNÍ Dále pak: p.s. pololetní (per semestre), p.q. čtvrtletní (per quartale), p.m. měsíční (per mensem), p.sept. týdenní (per septmanam) p.d. denní (per dem). Přtom platí, že roční úroková míra = 2 pololetní úroková míra = 4 čtvrtletní úroková míra = 12 měsíční úroková míra = 360 (365; 366) denní úroková míra. Četnost přpsování úroků vyjadřuje tzv. úrokovací období, což je doba, za kterou se pravdelně přpsují úroky, vyjadřuje tedy frekvenc úročení.
Úroková míra - REÁLNÁ Reálná úroková míra vyjadřuje nomnální úrokovou míru upravenou o míru nflace. Vypočteme j pomocí následujícího vzorce: r n (1 t) 1 e e
Pozn.: FISHERŮV VZTAH (nomnální vs. reálná úroková míra) e e n r e n r n n r n r P P P P P P P 1 1 1 1 1 1 1 1 ) (1 1 0 0 1 0 1 1 0 Reálná úroková míra = o kolk procent zboží můžeme koupt více, jestlže toto zboží na počátku období prodáme, získané peníze uložíme a na konc období vyzvedneme s úrokem a zboží opět nakoupíme.
Úroková míra - REÁLNÁ
Příklady Jaká je výše reálné úrokové míry (v případě vkladového účtu), je-l nomnální úroková míra 1 % a míra nflace 1 %? Jaká je výše reálné úrokové míry (v případě vkladového účtu), je-l nomnální úroková míra 1 % a míra nflace 1 %? Uvažujte zdanění 15% sazbou daně z příjmů.
Úroková míra - EFEKTIVNÍ Efektvní úroková míra je roční nomnální úroková míra př ročním přpsování úroků, která odpovídá roční nomnální úrokové míře př častějším přpsování úroků. Výpočet efektvní úrokové míry je následující:
Úroková míra - EFEKTIVNÍ
Doba splatnost Doba, po kterou je kaptál uložen č zapůjčen, Př vyjadřování doby splatnost ve dnech se používají různé standardy: ACT/365 (anglcký standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 365 dní. ACT/360 (francouzský standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 360 dní. 30E/360 (německý/evropský standard) znamená, že každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní.
Co ovlvňuje výš úrokové sazby Očekávaná nflace, s jejímž růstem klesá kupní síla peněz a věřtel požaduje od dlužníka vyšší sumu, aby tuto ztrátu nahradl. Investční příležtost. Mám možnost dříve získanou částku nvestovat? S jakým výnosem? Osobní preference dřívější spotřeby před pozdější. Vyšší ochota ldí čekat (nžší časová preference) vede k nžším úrokovým sazbám a naopak. Rzko nesplacení půjčky, s jehož růstem roste kompenzace v podobě úrokové sazby požadované věřtelem.
Úrok a úročení Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hledska doby splatnost dělíme úročení: na jednoduché doba splatnost nepřekročí jedno úrokové období, složené úročení přes několk úrokových období. (a smíšené kombnace jednoduchého a složeného úročení). Z hledska doby výplaty úroků rozdělujeme úročení na: předlhůtní (antcpatvní) a polhůtní (dekurzívní).
JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ - úroky se v průběhu jednoduchého úročení nepřdávají k základu a dále se neúročí; tj. úroky se stále počítají pouze ze základu - používá se převážně pouze pro doby (t) kratší než 1 rok
JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ Jednoduché úročení (polhůtní):
SLOŽENÉ ÚROČENÍ na konc každého období se vypočtený úrok přdá k základu a v dalším období se úročí spolu s ním; splatná částka základ
SLOŽENÉ ÚROČENÍ
SMÍŠENÉ ÚROČENÍ - Kombnace jednoduchého a složeného úročení V některých případech je třeba kombnovat jednoduché a složené úročení úročíme-l částku několk celých období + část úrokovacího období Např. úročíme vklad 3 roky a 100 dnů Přpsaný úrok ú ú ú ú SH, jednorázový vklad 1 2 3 I. Složené úročení BH 100 dnů II. jednoduché úročení čas
SLOŽENÉ ÚROČENÍ J n ú J n 0 J 0 n J (1 ) n počet úrokovacích období J 0 J n počáteční stav vkladu / úvěru stav vkladu po n obdobích
SLOŽENÉ ÚROČENÍ Rok 1 2 3 n Stav kaptálu na konc roku Stav kaptálu na konc roku 1 J0 J J 0 (1 ) J J J (1 ) J 2 (1 J 0 J 2 1 1 1 J3 J2 J2 J2 (1 J n J n1 J n1 J n1 ) (1 ) J 0 ) 3 0 (1 ) J n 0 (1 )
PŘÍKLADY jednoduché úročení 1) Jaký je stav vkladu 1.420.000 Kč za sedm měsíců př úrokové sazbě 1,5% p.a.? b) Jaký bude výsledek, uvažujeme-l daň z příjmů 15 %? 2) Jak velký počáteční vklad vzroste př 2% úrokové sazbě p.a. od 12.4. do 24.6. o 1.500 Kč? 3) Po jakou dobu byl uložen vklad ve výš 3.960 Kč, jestlže vzrostl př úrokové sazbě 2% p.a. přpsáním úroků na konc období na 4.000 Kč? 4) Př jaké úrokové sazbě bude čnt úrok z vkladu 100.000 Kč za sedm měsíců 1.500 Kč?
PŘÍKLADY složené úročení 5) Uložl jsme částku 120.000 Kč. Jaká bude výše kaptálu za tř roky př složeném úročení, jestlže úrokovací období je roční a úroková sazba ční 1,5 % p.a.? Sazba daně z příjmů ční 15 %. 6) Uložl jsme částku 120.000 Kč. Jaká bude výše kaptálu za tř roky př složeném úročení, jestlže úrokovací období je pololetní a úroková sazba ční 1,5 % p.a.? Sazba daně z příjmů ční 15 %. 7) Vklad 100.000 Kč je uložen na 10 let s úrokovou sazbou 6% p.a. Jaká je splatná částka př ročním, pololetním, čtvrtletním a měsíčním složeném úrokování? 8) Jaká nomnální roční úroková sazba se čtvrtletním složeným úrokováním za 5 let zúročí základ 50.000 Kč na splatnou částku 70.000 Kč?
9) Rozhodl jste se založt svému právě narozenému dítět termínový bankovní účet spojený s pevnou úrokovou sazbou 2,5 % p.a. a uložt dnes na tento účet takovou částku, aby s dítě mohlo v den svých osmnáctých narozenn vyzvednout z tohoto účtu celý mlon Kč. Kolk musíte uložt dnes do banky, předpokládáme-l roční úrokové období? b) Jak by se změnla částka, budeme-l uvažovat 15% daň z příjmů? 10) Jaký byl počáteční kaptál a úroková sazba, př které byl uložen, víme-l, že po roce byl jeho stav 50.000 Kč a po dvou letech 52.500 Kč př ročním úrokovém období? Úroky byly přpsovány ke vkladu ročně a dále úročeny spolu s vkladem.
11) Máme možnost koupt ojetý automobl. Je pro nás výhodnější hotově zaplatt 250.000 Kč, nebo dát zálohu 120.000 Kč a za tř roky doplatt 140.000 Kč? Co je pro nás výhodnější, máme-l možnost uložt peníze př 4 % úrokové sazbě p.a. (úroky přpsovány ročně)? 12) Na kolk Kč vzroste vklad 150.000 Kč, uložený tř roky a pět měsíců př úrokové sazbě 1,5 % p.a.? Úroky jsou přpsovány ročně.
Úrokování 13) Jak vysokou částku získal klent, který 19.11.2004 uložl do banky 25.000 Kč př fxní úrokové sazbě 4 % p.a. a tento vklad vybral 6.3.2007? (Úroky se přpsují vždy na konc roku.) 14) Klent uložl částku 50.000 Kč na dobu 10 let př složeném úročení. První 3 roky byla úroková sazba ve výš 2,5 % p.a., po zbývající dobu se částka úročla sazbou 2 % p.a. Jak vysoká částka bude vyplacena po deset letech? Uvažujte sazbu daně z příjmů 15 %. 15) Pan Novák vložl na bankovní účet (s dobou splatnost 5 let,složené úročení) částku 120.000 Kč př úrokové sazbě 3 % p.a. Po dvou letech však z účtu vybral částku ve výš 80.000 Kč. Jaká částka mu byla vyplacena po pět letech, kdy vybral celý zbytek? Uvažujte sazbu daně z příjmů 15 %.
Úrokování 16) Jaká byla roční úroková sazba z vkladu, jestlže částka 20.000 Kč vzrostla za 4 roky na 23.400 Kč? Úroky byly vypláceny jedenkrát ročně, ponechány na účtu a dále úročeny. Daň z příjmů ční 15 %. 17) Jaká bude výše úroku z kaptálu 200.000 Kč za tř roky př pevné úrokové sazbě 2,5 % p.a., jsou-l úroky přpsovány čtvrtletně, ponechány na účtu a dále úročeny? Daň z příjmů ční 15 %.
18) Která ze dvou varant splácení dluhu je výhodnější pro věřtele a která pro dlužníka př ročním přpsování úroků, je-l běžná roční úroková sazba 8 % p.a.? Použjte převod na BH. a) za 3 měsíce 200 000 Kč b) 105 000 Kč za 8 měsíců a 101 000 Kč za 12 měsíců
19)Která varanta splacení dluhu je z hledska věřtele výhodnější? (Předpokládejme např. že na začátku roku věřtel poskytl dlužníkov půjčku.) a) Dlužník uhradí 102.000 Kč na konc dubna b) Dlužník uhradí 50.000 Kč na konc září a 55.000 na konc prosnce. Uvažujte úrokovou míru 6 % p.a. Řešte pomocí SH a BH. Odpověď zdůvodněte.
20) Která varanta splacení dluhu je z hledska věřtele výhodnější? a) Dlužník uhradí 100.000 Kč na konc června daného roku. b) Dlužník uhradí 50.000 Kč na konc září daného roku a 55.000 na konc druhého roku. Uvažujte úrokovou míru 6 % p.a. Řešte pomocí SH a BH. Odpověď zdůvodněte.