Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS

Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné proměnné 3. Derivace funkce jedné reálné proměnné 4. Neurčitý integrál a primitivní funkce 5. Aplikace diferenciálního a integrálního počtu v jedné dimenzi 6. Určitý (Riemannův) integrál a jeho výpočet, aplikace 7. Lineární vektorové prostory 8. Matice a determinanty, skaláry, vektory, tenzory - viz web přednášejícího http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pokorny/vyuka/ Literatura 1. J. Kopáček: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II.. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 2. J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3. J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. 4. I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia, Praha, 2002. 5. B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. 6. J. Bečvář: Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, 2002. 7.... web přednášejícího

1 Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 1.1 Úvod do logiky, množiny Základními pojmy jsou: výroky výrokové funkce (predikáty) logické spojky kvantifikátory Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé (T), má pravdivostní hodnotu 1) nebo že neplatí (je nepravdivé (F), má pravdivostní hodnotu 0). Intuitivně (bez přesné definice) budeme přijímat pojmy množina (jako soubor objektů), být prvkem množiny ("x je prvkem množiny M" píšeme: x M) a nebýt prvkem množiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x / M). Výrokovou funkcí (predikátem) budeme nazývat výraz A(x 1,x 2,...x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvkůx 1 M 1,...,x m M m z daných množin M 1,...,M m. Logické spojky: Definice 1.1. Negací non A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. A nona 0 1 1 0 Definice 1.2. Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Oba výroky tedy musí platit současně. PlatíAiB. Definice 1.3. Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. Tedy platí alespoň jeden z výroků, nejde o vyloučení! Definice 1.4. Implikací A B nazýváme výrok: Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Pokud je výrok A B pravdivý, pak říkáme, že "A je postačující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A".

Definice 1.5. Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B. (Platnost výroku) A je nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku) B. Kvantifikátory: A B A B A B A B A B 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Definice 1.6. Nyní necht A(x), x M, je výroková funkce. Výrok zapisujeme ve tvaru: Pro všechna x M platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice 1.7. Nyní necht A(x), x M, je výroková funkce. Výrok zapisujeme ve tvaru: Existuje x M, pro které platí A(x). x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem. Pro obrat "Existuje právě jeden... " často používáme symbol! Tvrzení 1.1. a)non( x M : A(x)) x M : nona(x) b) non( x M : A(x)) x M : nona(x) Tvrzení 1.2. a)a B nonb nona b) non(a B) A nonb c)a B (A B) (B A) d) non(a B) (nona) (nonb) e)non(a B) (nona) (nonb) f)non(a B) (A nonb) (B nona) Definice 1.8. Řekneme, že množina A je podmnožinou B (nebo A je částí množiny B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Dvě množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji symbolem. Definice 1.9 (množinové operace). Necht I je neprázdná množina aa α je množina pro každé α I. Definujeme sjednocení α I A α jako množinu všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A α.

Definujeme průnik α I A α jako množinu prvků, které náleží do každé z množina α. Definice 1.10. Mají-li dvě množiny prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Rozdílem množin A a B (značíme A \ B) nazveme množinu prvků, které patří do množiny A a nepatří do množiny B. Kartézským součinem množin A 1,...,A n nazveme množinu všech uspořádaných n-tic A 1 A 2 A n = {[a 1,a 2,...,a n ]; a 1 A 1,...,a n A n }. Tvrzení 1.3 (de Morganovy vzorce). Necht I je neprázdná množina, X, A α (α I) jsou množiny. Pak platí X \ α I A α = α I(X \A α ), X \ A α = \A α ). α I α I(X

1.2 Zobrazení Definice 1.11. Necht X a Y jsou množiny, D X. Je-li každému prvku x D přiřazen právě jeden prvek y z Y, řekneme, že je definováno zobrazení z X do Y. Píšeme f : X Y a f(x) = y, případně f : x y. Množinu D f = D = {x X, y Y,f(x) = y} nazýváme definičním oborem zobrazení f. Definice 1.12. Necht X, Y jsou neprázdné množiny a f : X Y. Obrazem množiny A X při zobrazení f se nazývá množina f(a) = {f(x); x A}. Je-li A = D f definičním oborem zobrazení f : X Y, nazýváme množinu f(a) oborem hodnot zobrazení f. (Značíme R f nebo H f.) Vzorem množiny B Y při zobrazení f nazveme množinu f 1 (B) = {x X; f(x) B}. Definice 1.13. Necht X, Y jsou neprázdné množiny af : X Y. Zobrazení f je prosté (injektivní) na A X, jestliže x 1,x 2 A : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Zobrazení f je zobrazením množiny A X na množinu Y (f je surjektivní), jestliže f(a) = Y. Řekneme, že f je bijekce A na Y, jestliže f je prosté a na Y. Definice 1.14. Necht f : A Y je prosté, f(a) = B. Pak zobrazení f 1 : B A definované předpisem f 1 (y) = x, kde y f(a) af(x) = y, nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f. Definice 1.15. Necht f : X Y je zobrazení,a X. Zobrazení f A : A Y takové že f A (x) = f(x) x A nazýváme zúžením zobrazení f na množinu A. Definice 1.16. Necht f : X Y ag : Y Z jsou dvě zobrazení. Symbolem g f označíme zobrazení z množiny X do množiny Z definované předpisem (g f)(x) = g(f(x)). Takto definované zobrazení se nazývá složeným zobrazením zobrazení f a g, přičemž f je vnitřní zobrazení ag je vnější zobrazení. Tvrzení 1.4. a) Necht f a g jsou prostá zobrazení, D f R g. Potom f g je prosté zobrazení na {x D g ;g(x) D f }. b) Je-li f prosté zobrazení, potom f f 1 = Id af 1 f = Id.

1.3 Číselné obory 1.3.1 Reálná čísla Vybudování číselných množin - několik možností: Možnost I: N (intuitivně nebo z teorie množin) Z Q R Možnost II: R (axiomaticky) N Z Q V obou možnostech na závěr následuje krok R C. Ad II: Množinu reálných čísel R lze definovat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ). Nejprve musíme zavést několik pojmů. Definice 1.17. Částečným (neostrým) uspořádáním ( ) na X rozumíme relaci, která splňuje a) reflexivitu: x x b) tranzitivnost: x y y z = x z c) (slabou) antisymetrii: x y y x = x = y Je-li tato relace definována pro všechna x, y X, mluvíme o (neostrém) úplném uspořádání. Pod x < y rozumíme x y ax y. Analogicky potom a>. Definice 1.18. Necht B X a necht na X je definováno úplné uspořádání. Necht B je shora omezená množina, tj. a X, x B:x a. Potom prvek S X nazýváme supremem B (značíme S = supb), jestliže S je horní závora B, tj. x B:x S S je nejmenší horní závora, tj. y X, y < S x B:y < x. Definice 1.19. Necht B X a necht na X je definováno úplné uspořádání. Necht B je zdola omezená množina, tj. b X, x B: x b. Potom prvek s X nazýváme infimem B (značíme s = infb), jestliže S je dolní závora B, tj. x B:x s S je největší dolní závora, tj. y X, y > s x B:x < y. Definice 1.20. Neprázdnou množinu R nazýváme množinou reálných čísel, jestliže je na R definováno sčítání (+), násobení ( ) a úplné uspořádání ( ) takové, že (A1) x,y R!z R:z = x+y (sčítání) (A2) x,y,z R : x+(y +z) = (x+y)+z (asociativita sčítání) (A3) x,y R : x+y = y +x (komutativita sčítání) (A4) w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek) (A5) x R z R : x +z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), (P1) x,y R!z R:z = x y (násobení) (P2) x,y,z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení)

(P3) x,y R : x y = y x (komutativita násobení) (P4) v R \ {0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek) (P5) x R\{0} y R : x y = 1 (y je tzv. inverzní číslo k x, je určeno jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ) (D1) x,y,z R : (x+y) z = x z +y z (distributivita) (O1) existuje neostré úplné uspořádání dle Definice 1.17 (uspořádání) (O2) x,y,z R : x y x+z y +z (O3) x,y R : (0 x 0 y) 0 x y (C1) Každá shora omezená neprázdná podmnožina R má v R supremum (úplnost) Tvrzení 1.5. Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Definice 1.21. Necht M R. Řekneme, žeaje největší prvek (maximum) množinym, jestližeaje horní závorou množiny M a přitom a M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a min M. Minimum a maximum dané množiny reálných čísel nemusí existovat: (0, 1). 1.3.2 Přirozená, celá a racionální čísla Definice 1.22. Přirozená čísla N definujeme jako nejmenší podmnožinu R splňující 1 N x N = x+1 N Označení. N 0 = N {0} Definice 1.23. Celá čísla Z definujeme jako Definice 1.24. Racionální čísla Q definujeme jako Z = N 0 {x; x N} = {0,±1,±2,...}. Q = {x;= p ;p Z,q N}. q Tvrzení 1.6 (Důkaz indukcí). Mějme výrokovou formu P(n), n N, takovou, že platí a) n 0 N:P(n 0 ) je pravdivý výrok b) n n 0 :P(n) je pravdivý výrok = P(n+1) je pravdivý výrok Potom jep(n) pravdivý výrok n N, n n 0. Tvrzení 1.7. a) Necht x R, libovolné. Potom n N:n > x. (Tj. množina N je neomezená shora.) b) Necht y R, ε > 0, libovolné. Potom n N: n ε > y. (Archimédův princip.) Tvrzení 1.8. Necht a,b R. Necht ε > 0: a < b+ε. Potom a b. Tvrzení 1.9. Necht x, y R, x < y. Potom r Q: x < r < y. Přesněji, mezi dvěma libovolnými různými reálnými čísly existuje nekonečně mnoho (tj. více než libovolný konečný počet) racionálních (a tedy i reálných) čísel.

Označení. Reálná čísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální. Tvrzení 1.10. Označme 2 takové reálné číslo, že 2 2 = 2. Potom je 2 iracionální číslo. Tvrzení 1.11. Množina Q nesplňuje axiom úplnosti (C1) (viz Definice 1.20). Tvrzení 1.12. Mezi každými dvěma reálnými čísly existuje alespoň jedno (a tedy nekonečně mnoho) iracionálních čísel. Označení. x = { x, x 0 x, x < 0 Tvrzení 1.13 (Trojúhelníkové nerovnosti). Platí: a) x,y R: x+y x + y b) x,y R: x y x y c) x,y,z R: x y x z + z y Tvrzení 1.14 (Cauchy Schwartzova nerovnost). Necht a 1,...,a n ab 1,...,b n jsou reálná čísla. Potom Je-li navíc ε > 0 libovolné, potom n n n ( a k b k ) 2 ( a 2 k )( b 2 k ). k=1 n a k b k ε k=1 k=1 n a 2 k + 1 4ε Tvrzení 1.15 (AG nerovnost). Necht a 1,...,a n jsou nezáporná reálná čísla. Potom 1.3.3 Komplexní čísla k=1 k=1 n k=1 b 2 k n n k=1 a1 a 2 a n a k. n Definice 1.25. Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a,b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a,b), y = (c,d) definujeme operace sčítání a násobení takto x+y = (a+c,b+d), x y = (ac bd,ad+bc). Označení. Prox R ztotožňujeme x = (x,0), a definujeme i = (0,1). Potom můžeme psát (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b(0,1) = a+bi, (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1, tj. i 2 = 1, a tedy C = {a+bi;a,b R} kde i 2 = 1. Necht x = a+bi C,a,b R. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotu (velikost) komplexního čísla x definujeme x = a 2 +b 2. Komplexně sdruženým číslem kx = a+bi rozumíme číslox = a bi; symbol x značí číslo a bi a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x 1 x = 1.

Tvrzení 1.16. Necht x, y C. Potom a) x+y x + y b) x y x y c) x y = x y Je-li navíc y 0, pak i d) x y = x y 1.3.4 Rozšířená reálná osa a komplexní rovina Definice 1.26. Rozšířenou reálnou osu definujeme jako R := R { } {+ } a dále definujeme Uspořádání: a R {+ }: < a, a { } R: a < + Absolutní hodnota: = + = + Sčítání a odčítání: (+ ) =, a R: a R: +( ) =, +a = a+( ) =, + +a = a+(+ ) = +, ( )+( ) =, (+ )+(+ ) = + Násobení a dělení: a R, a > 0: a R, a < 0: 1 + = 1 = 0 NEDEFINUJEME: ( )+(+ ), 0 (± ), ± ±, cokoli 0 a (± ) = (± ) a = ±, a (± ) = (± ) a =, Tvrzení 1.17. Každá podmnožina R má vr supremum i infimum. Definice 1.27. Rozšířenou komplexní rovinu definujeme jako C := C { } a dále definujeme Absolutní hodnota: = + Sčítání a odčítání: z C: +z = z + =, Násobení a dělení: z C, z 0: z = z =, z 0 = z z C: = 0 NEDEFINUJEME: ±,, 0, 0 0.

1.4 Mohutnost množin Definice 1.28. na B. Množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekce A Množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšeme A B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Symbol A B značí situaci, kdy A B a neplatí A B. Definice 1.29. Řekneme, že množina A je konečná, jestliže je bud A = nebo existuje n N takové, že platí A {1,...,n}. Řekneme, že množina A je spočetná, jestliže platí A N. Množiny konečné nebo spočetné nazýváme nejvýše spočetné. Řekneme, že množina A je nespočetná, jestliže A není ani konečná ani spočetná. Tvrzení 1.18. Sjednocení spočetného systému spočetných množin je spočetná množina. Tvrzení 1.19. Množiny Z a Q jsou spočetné. Tvrzení 1.20. Množiny R a C jsou nespočetné.

1.5 Posloupnosti a jejich limity Definice 1.30. Necht A je neprázdná množina. Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n z množinya nazýváme posloupnost prvků množinya. Prveka n nazvemen-tým členem této posloupnosti. Značíme {a n } n=1. Poznámka. Nadále (nebude-li řeščeno jinak) budeme posloupností rozumět posloupnost reálných čísel. Definice 1.31. Řekneme, že posloupnost {a n } je shora omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je omezená. Definice 1.32. Řekneme, že posloupnost reálných čísel {a n } je neklesající, je-li a n a n+1 pro každé n N, rostoucí, je-li a n < a n+1 pro každé n N, nerostoucí, je-li a n a n+1 pro každé n N, klesající, je-li a n > a n+1 pro každé n N. Posloupnost {a n } je monotónní, pokud splňuje některou z výše uvedených podmínek. Posloupnost {a n } je ryze monotónní, pokud je rostoucí či klesající. Definice 1.33. Říkáme, že posloupnost (reálných čísel) {a n } má limitu rovnou reálnému číslu A, jestliže platí ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < ε. Píšemelim n a n = A. Poznámka. Necht K R,K > 0, A R. Jestliže posloupnost {a n } splňuje podmínku potom lima n = A. ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < Kε, Definice 1.34. Říkáme, že posloupnost {a n } má limitu +, jestliže L R n 0 N n N,n n 0 : a n L. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n N,n n 0 : a n K. Věta 1.1 (jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice 1.35. Říkáme, že posloupnost{a n } je konvergentní, pokud existujea R takové, želima n = A. Není-li posloupnost konvergentní, říkáme, že je divergentní. Věta 1.2. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice 1.36. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Jestliže {n k} k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z{a n} n=1. Věta 1.3. Necht {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {a n} n=1. Jestliže platí lim a n = A n R, pak také lim a n k = A. k Definice 1.37. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Pak A R nazýváme hromadným bodem posloupnosti {a n } n=1, jestliže existuje vybraná posloupnost {a n k } k=1 taková, že lim a n k = A. k Necht H je množina všech hromadných bodů{a n } n=1. Potom definujeme limsup n a n := suph liminf n a n := infh.

Věta 1.4 (aritmetika limit). Necht lima n = A R alimb n = B R. Potom platí: (i) lim(a n ±b n ) = A±B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim(a n b n ) = A B, pokud je pravá strana definována, (iii) lima n /b n = A/B, pokud je pravá strana definována. Věta 1.5. Necht lima n = 0 a necht posloupnost {b n } je omezená. Potom lima n b n = 0. Věta 1.6. Necht lima n = A R. Potom lim a n = A. Věta 1.7 (limita a uspořádání). Necht lima n = A R alimb n = B R. (i) Necht existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 jea n b n. Potom A B. (ii) Necht A < B. Potom existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n n 0 je a n < b n. Věta 1.8 (o dvou strážnících). Necht {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti splňující: (i) n 0 N n N,n n 0 : a n c n b n, (ii) existují lima n, limb n, a navíc lima n = limb n. Potom existuje limc n a platí limc n = lima n. Poznámka. Pokud existuje lima n =, není nutné uvažovat žádnou posloupnost {b n } a tvrzení věty zůstává v platnosti. Podobně je tomu v případě limb n =, kdy "nepotřebujeme" posloupnost {a n }. Věta 1.9. Necht lima n = A R, A > 0, limb n = 0 a existuje n 0 N, že pro každé n N, n n 0, platí b n > 0. Paklima n /b n =. Věta 1.10 (Limita monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu.

1.6 Hlubší vlastnosti posloupností Poznámka (Komplexní případ). Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslu n prvek a n C nazveme komplexní posloupností. Evidentně {a n } je komplexní posloupnost právě tehdy, když existují reálné posloupnosti {x n }, {y n } takové, žea n = x n + iy n pro všechna přirozená n. Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. Řekneme, že komplexní posloupnost {a n } je omezená, pokud existuje K > 0 taková, že a n K pro všechna přirozená n. Poznámka (Komplexní limita). Je-li a n = x n + iy n komplexní posloupnost, a existují limx n, limy n vlastní, klademe lima n = limx n + ilimy n. Výrazy tvaru "a±i ", "± ±ib", resp. "± ±i " nedefinujeme. Věta 1.11 (Bolzano-Weierstrassova věta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzano-Cauchyovu pod- Věta 1.12. Posloupnost {a n } n=1 mínku, tj. ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 m N,m n 0 : a n a m < ε.