Číselné posloupnosti. H (å) a. a å
|
|
- Miroslava Čechová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje naproti tomu celý otevřený kruh v komplexní rovině); většinou je zřejmé z kontextu, jaký typ okolí má dotyčný na mysli. a å H (å) a okolí v reálných vs. v komplexních èíslech Číselné posloupnosti 45
2 5.. Základní vlastnosti Posloupnost je synonymem pro zobrazení, jehož definiční obor je roven N. Místo zdlouhavého psaní f()=, g()=a, f(2)=, či g(2)=a 2, f(3)=, g(3)=a 3,... atd. používáme úspornějších zápisů pomocí kulatých 30 závorek: f =(,,,...) či g=(a n ) + n= nebo jen g=(a n). Je-li obor hodnot posloupnosti C, pak mluvíme o číselné nebo komplexní posloupnosti. Jsou-li v oboru hodnot pouze reálná čísla, mluvíme o reálné posloupnosti. Protože je posloupnost zobrazení, váží se na ní samozřejmě všechny definice uvedené v kapitole Zobrazení, takže je jasné, co znamená výrok posloupnost je konstantní, prostá,.... Např. posloupnost () + n= =(,2,3,4,5,6,...) je prostá. = (,,,,,...) je konstantní. Posloupnost přirozených čísel (n)+ n= = 30 Nikoliv složených, {2,4,6,8,...} je množina sudých čísel, ne posloupnost. 46
3 Posloupnost (a n ) nazýváme omezená shora, pokud je její obor hodnot množina omezená shora, omezená zdola, pokud je její obor hodnot množina omezená zdola, omezená, pokud je její obor hodnot množina omezená, rostoucí, pokud ( n N)(a n a n+ ), klesající, pokud ( n N)(a n a n+ ), ostře rostoucí, pokud ( n N)(a n <a n+ ), ostře klesající, pokud ( n N)(a n >a n+ ), monotónní, pokud je klesající nebo rostoucí, ryze monotónní, pokud je ostře klesající nebo ostře rostoucí posloupnost (ln n) je ostøe rostoucí, omezená zdola 47
4 n+ posloupnost ((+/n) ) je ostøe klesající, omezená 48
5 posloupnost (n sin n) není monotónní, není omezená zdola ani shora 49
6 Posloupnost (b n ) nazveme vybranou z posloupnosti (a n ), pokud existuje ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel (k n ) tak, že ( n N)(b n =a kn ) n Posloupnost () je vybraná z posloupnosti ((-) ), kde (k n)=(2n) 50
7 5.2. Limita posloupnosti Buď (a n ) reálná posloupnost, a R. Říkáme, že (a n ) má limitu a v R, pokud ( ε>0)( n 0 R)( n N, n>n 0 )(a n H a (ε)), (3) kde okolí H a (ε) uvažujeme reálné, tj. R. Komplexní posloupnost (a n ) má limitu a C v C, pokud platí podmínka (3), pouze s tím, že uvažujeme okolí H a (ε) v C. Skutečnost, že posloupnost (a n ) má limitu a zapisujeme takto: lim(a n )=a resp. častěji tradičně lim a n =a. Vidíme, že definice limity posloupnosti v R a v C jsou formálně úplně stejné, liší se pouze tím, v které množině se pohybujeme (v které uvažujeme limitní body a a dotyčná okolí). Slovy se dá fakt lim a n =a vyjádřit například takto: v každém okolí H a leží všechny členy posloupnosti až na konečný počet výjimek. 5
8 Při počítání limit reálných posloupností musíme dávat pozor, zda je v zadání napsáno počítejte v R nebo počítejte v C : lim ( )n n v R neexistuje lim ( )n n v C=. 2 H Na obrázku vidíme okolí H ; všechny body až na konečný počet výjimek leží v tomto okolí. 52
9 Platí následující věta: Číselná posloupnost může mít nejvýš jednu limitu. 3 Jednoduché příklady: Např. platí lim n = Všimněme si, že teprve toto tvrzení opravňuje naše značení lim a n. Kdyby posloupnost mohla mít dvě nebo více hodnot limit, nevěděli bychom, kterou z nich symbolem lim a n vlastně míníme. 53
10 Na obrázku vidíme konkrétní volbu pro ε=0,4: å=0, n =napø. 2,5 0 54
11 Na obrázku vidíme konkrétní volbu pro ε = 0,5. Vidíme, že při zmenšování okolí H 0 (ε) čím dál více výjimek padá mimo toto okolí. Je to však pořád (a to je podstatné) pouze konečný počet výjimek. 0 å=0, n =napø. 20/3 0 55
12 Jiný triviální příklad: konstantní posloupnost (c) + n= =(c,c,c,...) má za limitu číslo c: c å n 0 56
13 Zavedeme následující terminologii: posloupnosti, která má konečnou limitu, říkáme konvergentní. Posloupnosti, která nemá konečnou limitu, říkáme divergentní. Posloupnost mající limitu ± nebo říkáme podstatně divergentní. Posloupnost, která limitu nemá, se nazývá oscilující Posloupnost (sin n) je oscilující Posloupnost ( n) je podstatnì divergentní 57
14 n -3 n +2 Posloupnost ( 2 ) je konvergentní - má za limitu èíslo 2 58
15 Abychom nemuseli dokazovat hodnoty limit z definice, což v mnoha případech může být velmi obtížné, seznámíme se s některými větami, které výpočet limit usnadňují. Věta o limitě vybrané posloupnosti: Nechť posloupnost (a n ) má za limitu číslo a. Pak i každá z ní vybraná ma za limitu číslo a. Například je zřejmé (dokážeme lehce z definice limity), že lim n=+. Odtud pomocí předchozí věty dostaneme ihned, že například i lim n!+32n5 2n=+, neboť posloupnost (n!+32n 5 2n) je vybraná z posloupnosti (n). Velmi často se používá důsledek této věty pro důkaz neexistence limity posloupnosti: Lze-li vybrat z posloupnosti (a n ) dvě vybrané posloupnosti mající různé limity, pak posloupnost (a n ) limitu nemá. Posloupnost (a n ), kde a n =cos 2πn, nemá limitu, neboť obsahuje 2 posloupnosti s různými limitami. 3 Často lze s úspěchem použít následující mírnou modifikaci věty o limitě vybrané posloupnosti: Nechť (a n ) má za limitu číslo a a (k n ) je posloupnost přirozených čísel s limitou +. Pak posloupnost (a kn ) (nazýváme ji skorovybraná z posloupnosti (a n )) má také limitu a. ( ( ) Např. posloupnost má za limitu číslo 0. Tedy i skorovybraná posloupnost n) n+4+3( ) n má za limitu číslo 0. Vidíme, že nejde o vybranou posloupnost, neboť (n+4+3( ) n ) = (2,9,4,...) není ostře rostoucí. 59
16 Existence limity má vliv i na omezenost posloupnosti. Platí:. Má-li posloupnost konečnou limitu, je omezená. 2. Má-li reálná posloupnost limitu +, je omezená zdola a neomezená shora. 3. Má-li reálná posloupnost limitu, je omezená shora a neomezená zdola. 3 2 K Posloupnost ( n) má za limitu + => je neomezená shora, omezená zdola. 60
17 Co na omezenost a limitu vliv nemá, je mírná modifikace posloupnosti: Přidáním, ubráním či modifikací konečně (!) mnoha členů posloupnosti se nezmění její omezenost (celková, shora, zdola) ani existence/neexistence její limity ani hodnota její limity (pokud limita existuje). Předchozí věty využíváme často automaticky bez toho, že bychom se nad jejím použitím příliš pozastavovali: představme si, že by nám někdo zadal počítat limitu lim n 3 =? Striktně správná odpověď na tento příklad zní Zadání nemá smysl, neboť třetí člen posloupnosti (pro n=3) není definován (nulou nelze dělit). Ovšem představíme-li si, že je třetí člen posloupnosti dodefinován třeba hodnotou 23,7, lze již psát, co autor příkladu chce slyšet, tj. lim n 3 =0. Situace jako v tomto příkladě se mohou čas od času objevit. Proto učiníme úmluvu, že bude-li třeba počítat limitu posloupnosti, jejíž konečně mnoho členů není definováno, představíme si vzhledem k předchozí větě, že jsou dodefinovány jakkoliv. 6
18 V praxi při zkoumání neznáme posloupnosti často není jasné, zda její limita vůbec existuje. Dobrou vynucovací podmínkou pro existenci limity je monotónnost dané posloupnosti: Každá monotónní posloupnost má limitu. Důležitý příklad: limita tzv. harmonické posloupnosti n lim k =+. k= Další věta říká, že problém výpočtu limity komplexní posloupnosti lze převést na zkoumání limit její reálné a imaginární části. Komplexní posloupnost (a n ), kde a n = α n +iβ n a α n,β n R, je konvergentní právě tehdy, pokud jsou konvergentní reálné posloupnosti (α n ) a (β n ). Pokud je tato podmínka splněna, platí lim a n = lim α n+i lim β n. Např. limita lim e iπn 3 nekonverguje, neboť neexistuje limita reálné části ( πn ) lim cos. 3 62
19 5.3. Výpočet limity posloupnosti Ačkoliv rozšířená množina reálných čísel R není tělesem, pro pohodlí se vyplatí zavést některé aritmetické operace též pro ±. Klademe pro všechna x,y R x+(+ )=(+ )+x=+ pro x>, x+( )=( )+x= pro x<+, x (± )=(± ) x=± pro x>0, x (± )=(± ) x= pro x<0, =0, ± (± )=, ± =+, x y=x+( y), x =x pokud je def. pravá strana, y y x + = + pro <x +, x 0 pro 0<x<, = 0 pro <x +, + pro 0<x<, (+ ) x =+ pro 0<x +, (+ ) x =0 pro x<0. Všimněme si, že zůstaly nedefinovány pro x R zejména následující výrazy (jak hned uvidíme, má to dobrý důvod): ± ± (± ), ± +( ), 0 (± ), ±, x 0, (+ )0, 0 0, ±. 63
20 Pro výpočet limit je nejdůležitější následující tvrzení, tzv. aritmetika limit: Platí vzorce lim (a n±b n )= lim a n± lim b n, lim (a n b n )= lim a n lim b n, pokud výrazy na pravé straně mají smysl (!). a lim a n n lim = b n lim b, n Tak například lim (2 n3 )=. K těmto základním větám ještě patří věta o limitě z odmocniny Buď k N, a n 0 pro všechna n. Platí lim k an = k lim a n a věta o limitě absolutní hodnoty: Platí lim a n =a lim a n = a. pokud výraz na pravé straně má smysl. Pokud a=0 nebo a=, platí zde dokonce ekvivalence, tj. i směr! (Klademe =+.) Podle věty o limitě abs. hodnoty je např. lim in n= v C. 64
21 Větu o aritmetice limit nesmíme používat bezmyšlenkovitě, aniž ověříme velmi podstatný předpoklad, že výraz na pravé straně musí mít smysl. Toto je špatně: lim ( n+ n)= lim n+ lim n=(+ ) (+ )=0. Toto je správně: lim ( n+ n)= lim ( n+ n++ n n) = lim n++ n = lim = lim ( n++ n) lim věta o limitě součtu lim = n++ lim n Toto je špatně: lim (n+( )n )= lim n+ lim ( )n =+. Toto je správně: + ( )n n ( ) n kde jsme využili lim =0, neboť lim n ( lim (n+( )n )= lim n ) =+ (+0)=+, ( )n n n+ n = lim n++ n (+ )+(+ ) = + =0. =0. = n++ n věta o limitě podílu 65
22 5.4. Věty o nerovnostech Platí-li mezi posloupnostmi nerovnosti, má to vliv i na nerovnosti mezi jejich limitami a naopak: Platí lim a n <lim b n ( n 0 )( n>n 0 )(a n <b n ) lim (arctg n)= ð_, lim n+5 = _ 2, n 0=3 n + n + 2n 2 Užitečná je i opačná implikace: Nechť existují limity posloupností (a n ) a (b n ). Pak platí ( n)(a n b n ) lim a n lim b n. Protože, jak víme, konečně mnoho výjimek nehraje roli, stačí předpokládat nerovnost a n b n až od jistého indexu n 0 dál. 66
23 Nejdůležitější z vět o nerovnostech je tzv. věta o limitě sevřené posloupnosti: Nechť lim a n = lim b n. Pak platí ( n)(a n c n b n ) lim c n = lim a n = lim b n. Např. lim n n= Jiný příklad: Buď a > 0. Pak lim n a=. 67
24 n Další příklad: lim n!= n n! _ n
25 Buď a R. Pak v R platí lim an =+ pro a>, pro a=, 0 pro a <, neexistuje pro a. Buď a C. Vypočtěme v C lim an = pro a >, 0 pro a <, pro a = a neexistuje pro ost. a =. Pak Mějme posloupnost (a n ) zadanou rekurentně vztahem a =, ( n N)(a n+ = a n +2). lim a n =
26 5.5. Eulerovo číslo e Mezi všemi exponenciálními funkcemi zaujímá jedna z nich význačné postavení a to ta, jejímž základem je Eulerovo číslo e. Mezi logaritmy existuje jeden význačný logaritmus, přirozený, což je logaritmus také při základu e. Obě funkce jsou výjimečné už jen svými vzorci pro derivaci: např. e x je jediná funkce (až na faktor), která je zároveň i svou derivací. Proto se Eulerovo číslo e těší značné pozornosti. Jsou různé možnosti, jak jej definovat. Nejčastěji se to dělá jednou z následujících limit: Platí následující věta: ( e = lim + n ( = lim + n) n+ = lim n) Označíme-li pro všechna n N ( a n = + n, ( bn = + n) n+, cn = n) n k!, k=0 n k=0 pak posloupnosti (a n ) a (c n ) jsou ostře rostoucí, (b n ) ostře klesající, pro všechna n platí a n c n b n a všechny tři posloupnosti mají společnou limitu iracionální číslo z intervalu (2,3), které značíme e. Pro účely praktického počítání příkladů na cvičeních se hodí následující věta: Buď (p n ) reálná posloupnost splňující lim p n =+. Pak platí ( lim + ) pn =e. p n k!. 70
27 Přesněji platí e=2, Z obrázku je hezky vidět nerovnost (pro n>) ( + ) n n < (+ n k! <e< ) n+. n k=0 4 3 e 2 (c ) n (b ) n (a ) n Také je z něj názorně vidět, že (c n ) k číslu e konverguje nejrychleji. 7
28 5.6. Limes superior a limes inferior Pojmy limes inferior a limes superior jsou v jistém smyslu zobecněním pojmu limity posloupnosti. Zatímco limitu každá posloupnost nemá, limes inferior a superior existují pro každou reálnou posloupnost. Hromadnou hodnotou reálné posloupnosti (a n ) nazveme každé takové a R, pro které existuje z ní vybraná posloupnost (a kn ) tak, že lim a k n =a. Počet hromadných hodnot, které posloupnost může mít, může být různý, od až po nekonečno: Posloupnost (a n ), která má limitu, má jedinou hromadnou hodnotu: svoji limitu. Posloupnost (( ) n ) má dvě hromadné hodnoty: a. Posloupnost (,,2,,2,3,,2,3,4,...) má za hromadné hodnoty všechna přirozená čísla a +. Posloupnost ( n [ n]) má za hromadné hodnoty všechna čísla z intervalu 0,. Platí: Každá reálná posloupnost (a n ) má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Množina všech hromadných hodnot má maximum a minimum (mohou to být i hodnoty ± ). Největší hromadnou hodnotu nazýváme limes superior, značíme limsup a n, nejmenší limes inferior, značíme liminf a n. Pro limsup a liminf platí následující charakterizace: α=liminf a n. ( α R, α <α)( n 0 )( n N, n>n 0 )(a n >α ), 2. ( α R, α >α)( n N)(a n <α ). β=limsup a n. ( β R, β >β)( n 0 )( n N, n>n 0 )(a n <β ), 2. ( β R, β <β)( n N)(a n >β ). Z těchto plyne, že lim a n =a limsup a n =liminf a n =a. 72
29 Pro praktické určování limsup a liminf posloupnosti může posloužit následující věta: ),..., (a (m) k ) s limitami a (),..., a (m) pokrývají původní reál- n Nechť vybrané posloupnosti (a () k n nou posloupnost (a n ). 32 Pak platí lim sup a n =max{a (),...,a (m) }, Např platí lim sup cos πn 3 ), (a k (2) n πn =, liminf cos 3 =. liminf a n =min{a (),...,a (m) } To znamená, že {k () n }... {k (m) }=N (příp. až na konečně mnoho výjimek). n 73
30 5.7. Stolzův a Cauchyův vzorec Následující dva vzorce leckdy velmi zjednoduší počítání jinak obtížných limit: Nechť (b n ) je ostře rostoucí, lim b a n+ a n n = + a existuje limita lim. Pak platí tzv. Stolzův b n+ b n vzorec: a n a n+ a n lim = lim. b n b n+ b n Podle Stolzova vzorce je např. ( n + 2n + 3n ) n 2 =0. lim a n+ Nechť (a n ) je posloupnost kladných čísel, existuje limita lim. Pak platí tzv. Cauchyův vzorec: a n lim n a n+ an = lim. a n Podle Cauchyova vzorce je např. n n n=, n!=+. lim lim 74
31 5.8. Bolzano-Cauchyovo kritérium konvergence V důkazu následující věty je potřebné toto užitečné tvrzení: Z každé (reálné či komplexní) omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která konverguje. Někdy se může hodit rozhodnout otázku existence vlastní limity posloupnosti, i když její hodnotu neumíme vypočítat. Platí následující věta (tzv. Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselné posloupnosti): Posloupnost (a n ) je konvergentní je tzv. cauchyovská, tj. ( ε>0)( n 0 R)( n N,n>n 0 )( p N)( a n+p a n <ε). Představme si, že někdo nám dal za úkol spočítat limitu lim n k= sin k! 2 k. Tuto limitu neumíme přesně spočítat. Pokud ale dokážeme, že existuje a je vlastní, je zřejmé, že jako její přibližnou numerickou aproximaci pak můžeme použít hodnotu uvedené sumy pro velké n. (Pokud bychom nevěděli, že limita existuje, nedávalo by sčítání libovolně mnoha členů sumy žádný ( n smysl; nasčítáme-li např člen posloupnosti nevypovídá nic o její limitě +.) Dokázat, že vlastní limita existuje, lze např. pomocí BCP. k= k ), dostaneme přibližně 7,48547 číslo, které 75
32 5.9. Obecná mocnina a logaritmus Kromě trojúhelníkové nerovnosti patří k velmi užitečným základním nerovnostem tzv. AG nerovnost a Bernoulliho nerovnost. AG nerovnost. Buď n N, α j 0 pro j=,...,n. Pak n α α 2...α n α +...+α n. n Bernoulliho nerovnost. Pro x> 2 a n N platí (+x) n +nx. Platí následující základní věta o exponenciále: Existuje právě jedna funkce f: R R tak, že pro všechna x,y R platí f(x+y) = f(x)f(y), f(x) +x. Funkci z výše uvedené věty značíme expx a nazýváme (přirozená) exponenciála. Z výše uvedené věty plynou i jednoduché vlastnosti exponenciály: exp=e, ( x exp(nx)=(expx) n, exp = n) n expx pro lib. x R, n N, exp je ostře rostoucí na R, exp zobrazuje R na (0,+ ), pro libovolnou (a n ) takovou, že lim a n =a, platí lim expa n =expa. Inverzní funkci k exp nazýváme (přirozený) logaritmus a značíme ln. Obecnou mocninu pak definujeme vztahem a b =exp(bln a). 76
1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Více1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus
1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceReálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti
Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VíceSpojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.
funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceMatematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
VícePoužití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePoužití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Více