Limita posloupnosti a funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Limita posloupnosti a funkce"

Transkript

1 Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90

2 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti 2 Limita a spojitost funkce Limita funkce Spojitost funkce c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 2 / 90

3 Posloupnosti reálných čísel Úvod Definice 1 (Rozšířená množina reálných čísel) Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body a +, tj R = R {, + }. Body ± nazýváme nevlastní body, zatímco body množiny R nazýváme vlastní body. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 4 / 90

4 Posloupnosti reálných čísel Úvod Pro a R definujeme: a + =, a =, + =, =, =, ( ) ( ) =, ( ) =, ± =, a ± = 0. Je-li a > 0, pak a =, a ( ) =. Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. Poznámka Nejsou definovány výrazy 0 0,, 0,, 00, 1, 0. Tyto výrazy nazýváme neurčité výrazy. Samozřejmě není definováno dělení nulou. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 5 / 90

5 Posloupnosti reálných čísel Úvod Definice 2 Posloupnost reálných čísel je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot podmnožina R, tj. a: N R, většinou místo a(n) píšeme a n. Příklad 1 a n = 1 n = {1, 1 2, 1 3,... } {a n } n=1, a n = vzorec pro a n a n = n sin(n π 2 ) {1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,... } a n = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... } c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 6 / 90

6 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 3 (Limita posloupnosti) Řekneme, že posloupnost a n konverguje k číslu a R, píšeme lim n a n = a, jestliže ke ε > 0 n 0 N: pro n n 0 platí a n a < ε, tj. a n (a ε, a + ε). Řekneme, že posloupnost a n diverguje k + ( ), píšeme lim n a n = + ( ), jestliže ke A R n 0 N takové, že pro n n 0 je a n > A (a n < A). Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 8 / 90

7 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 4 (Okoĺı bodu) Libovolný otevřený interval I R obsahující bod x 0 R nazýváme okoĺı bodu x 0 a značíme jej O(x 0 ). Definice 5 (Okoĺı ± ) Necht A R je libovolné. Interval (A, ), resp. (, A), nazýváme okoĺı +, resp.. Poznámka (i) Průnik dvou okoĺı bodu x 0 je opět okoĺım bodu x 0. (ii) Pro dva body x 1 x 2 existují jejich okoĺı tak, že O(x 1 ) O(x 2 ) =. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 9 / 90

8 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Speciální typy okoĺı bodu δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ). Prstencové (ryzí) δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0 ) = O δ (x 0 ) \ {x 0 } = (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ). Levé a pravé δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ], O + δ (x 0) = [x 0, x 0 + δ). Levé a pravé prstencové δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ), P + δ (x 0) = (x 0, x 0 + δ). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 10 / 90

9 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice limity posloupnosti pomocí okoĺı bodu Příklad 2 lim a n = a R : O(a) n 0 N n n 0 : a n O(a). n Limita posloupnosti a n = ( 1) n 1 neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 11 / 90

10 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 6 Řekneme, že posloupnost je a n je shora (zdola) ohraničená, jestliže existuje M R takové, že a n M (a n M) pro každé n N. Posloupnost a n je ohraničená, pokud je ohraničená shora i zdola. Řekneme, že a n je rostoucí (neklesající, nerostoucí, klesající), jestliže a n+1 > a n (a n+1 a n, a n+1 a n, a n+1 < a n ) pro n N. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 12 / 90

11 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Příklad 3 Dokažte, že posloupnost a n = 1 n, n N, je klesající a že lim n a n = 0. n N: 1 n+1 < 1 n n < n < 1. Necht ε > 0 je libovolné. Hledáme n 0 : n n 0 a n a < ε, tj. Označíme n 0 := [ ] 1 ε + 1 (> 1 ε ). 1 n 0 < ε 1 n < ε n > 1 ε. n n 0 > 1 ε 1 n < ε c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 13 / 90

12 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 1 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz. Sporem předpokládejme, že a, b R, a b : a n a a současně a n b. Pro O(a) n 1 N n n 1 : a n O(a) a současně O(b) n 2 N n n 2 : a n O(b). Označme n 0 = max{n 1, n 2 }, pak pro n n 0 : a n O(a) O(b) spor pokud O(a) O(b) =. Uvažujme ε < a b 2, potom O ε (a) O ε (b) =. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 14 / 90

13 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 2 Necht a n je konvergentní posloupnost, tj. lim a n = a, a R. Pak a n je ohraničená posloupnost. Věta 3 Necht lim a n = a, lim b n = b, a, b R. Pak platí (1) lim(a n ± b n ) = a ± b, (2) lim(a n b n ) = a b, (3) je-li b 0, lim ( a n b n ) = a b, (4) lim a n = a. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 15 / 90

14 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti (Kdyby b = 0, pak jím neděĺıme, ale celý člen je roven nule a stačí b n b < ε M c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 16 / 90 Důkaz bodu (2). Potřebujeme dokázat, že pro ε > 0 existuje n 0 N, n n 0 : a n b n ab < ε. a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n a n b + a n b ab = a n b }{{} n b + b a }{{} n a }{{} M < ε < ε 2M 2 b (Existence M plyne z ohraničenosti a n, tj. a n < M, n N.) Pro libovolné ε > 0 zvoĺıme n 1, n 2 tak, že b n b < ε 2M pro n n 1 a a n a < ε 2 b pro n n 2. Označíme n 0 := max{n 1, n 2 }, potom n n 0 : a n b n ab < M ε 2M + b ε 2 b = ε.

15 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 4 Necht posloupnost a n je neklesající (nerostoucí) a shora (zdola) ohraničená. Pak posloupnost a n je konvergentní, tj. existuje a R: a n a, přičemž a = sup{a n, n N} (a = inf{a n, n N}). Důkaz. Necht posloupnost a n je neklesající a shora ohraničená. Ohraničenost shora A : a n A, tedy existuje supremum. Označme jej a. Potom ε > 0 n 0 N: a n0 > a ε. Kdyby to neplatilo, pak by a nebylo sup{a n }. Posloupnost je neklesající, tedy a n a n0 > a ε, n n 0 lim a n = a. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 17 / 90

16 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Poznámka (Bernoulliova nerovnost) Pro x R, x > 1 a n N platí (1 + x) n 1 + nx. Pro x 0, n > 1 platí nerovnost ostře. (Důkaz matematickou indukcí.) c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 18 / 90

17 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Příklad 4 Posloupnosti a n = ( 1 + n) 1 n a bn = ( 1 + n) 1 n+1 jsou konvergentní a mají stejnou limitu. Nejprve ukážeme, že a n = ( ) n+1 n n je rostoucí. a n a n 1 = ( n+1 ) n n ( n n 1 ) n 1 = n n 1 = n n 1 ( ) n+1 n n n = n n 1 ( 1 1 n 2 ) n > n n 1 n 1 ( 1 1 n ( n 2 1 ) n 2 ) n = n n 1 = 1 n 1 n a n > a n 1, n > 1 (použita ostrá varianta Bernoulliovy nerovnosti), tedy posloupnost je rostoucí. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 19 / 90

18 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Podobně ukážeme, že posloupnost b n je klesající. b n 1 b n = > = 1 b n 1 > b n, n > 1, tedy posloupnost je klesající. Nyní stačí uvážit b n = ( n) n+1 = ( n) an > a n, n N, tj. a 1 a n < b n b 1, n N. Tím jsme potvrdili tvrzení o ohraničenosti posloupností a n (shora) a b n (zdola). Obě posloupnosti jsou konvergentní a mají stejnou limitu, tj. lim b [( ] n = lim n n n) an = lim a n. n Definice 7 Limitu lim n ( n) n nazýváme Eulerovo číslo a značíme e. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 20 / 90

19 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 8 Řekneme, že a R je hromadný bod posloupnosti a n, jestliže v každém okoĺı O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n N takových, že a n O(a). Množinu všech hromadných bodů posloupnosti a n budeme značit H(a n ). Příklad 5 a n = ( 1) n 1 = {1, 1, 1, 1,... }; H(a n ) = { 1, 1} a n = ( 1) n n ; H(a n) = { 1, 1} lim a n = a, a R ; H(a n ) = {a} a n = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... }; H(a n ) = N { } c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 21 / 90

20 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 9 Necht n 1 < n 2 < n 3 < n 4 < je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost a nk se nazývá vybraná podposloupnost posloupnosti a n. Věta 5 Necht a n a, a R, pak pro každou vybranou podposloupnost posloupnosti a n platí, že a nk a pro k. Důkaz. Vybíráme, ale nepřehazujeme, tj. a n (a ε, a + ε), n n 0 a nk (a ε, a + ε), n k n 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 22 / 90

21 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 6 Číslo a R je hromadným bodem posloupnosti a n právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost a nk posloupnosti a n taková, že a nk a pro k. Důkaz. ( ) Hromadný bod nekonečně mnoho bodů posloupnosti v jeho libovolném okoĺı pro ε k = 1 2 k a nk : a nk a < 1 2 k. ( ) Z definice limity a hromadného bodu. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 23 / 90

22 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 7 (Princip vnořených intervalů) Necht I n = [a n, b n ] je posloupnost uzavřených intervalů na množině R s vlastností, že intervaly jsou do sebe vnořeny (I n+1 I n ) a lim n (b n a n ) = 0. Pak existuje právě jedno c R s vlastností c I n n N, přičemž platí c = I n = [a n, b n ]. n N n N Důkaz. Posloupnost dolních krajních bodů a n je neklesající a posloupnost horních krajních bodů b n je nerostoucí (plyne z I n+1 I n ), navíc posloupnost a n (b n ) je shora (zdola) omezená. Podle věty 4 existují limity lim a n = a, lim b n = b. Pak platí a = b. (Určitě platí a b, nebot a n b n a kdyby a < b spor s lim(a n b n ) = 0 lim a n = lim b n.) Tedy hledané číslo c = a = b, nebot a n a = c = b b n c I n, n N, tedy leží v průniku c n N I n. Kdyby existovala c 1, c 2 I n a c 2 > c 1 spor s b n a n 0, nebot by pak [c 1, c 2 ] I n. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 24 / 90

23 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 8 (Bolzano-Weierstrass) Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Důkaz. Důkaz je založen na metodě půlení intervalů.necht a n je ohraničená posloupnost, pak existuje M 0: a n M n N a n [ M, M] Aspoň jeden z intervalů [ M, 0], [0, M] obsahuje nekonečně mnoho prvků a n.předpokládejme, že to je [0, M] [0, M/2] a [M/2, M], jeden z nich obsahuje nekonečně mnoho členů a n... Metodou půlení intervalů obdržíme posloupnost vnořených intervalů I n, z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho prvků posloupnosti a n a pro délku intervalu I n : d(i n ) 0 existuje podle věty 7 právě jedno a I n, tak, že každý interval I k, k N, obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti a n.vždy vybereme jeden z těchto prvků a označíme jej a nk tak, aby posloupnost n k byla rostoucí, tj. a nk je vybraná podposloupnost z a n, a nk I k, a nk a d(i k ) 0 pro k, tzn. a nk a. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 25 / 90

24 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Důsledek (Věty 8) Pro libovolnou posloupnost reálných čísel je množina jejích hromadných bodů neprázdná (H(a n ) ). Důkaz. Je-li posloupnost a n ohraničená, podle věty 8 existuje a nk a, tj. a je hromadný bod (podle věty 6). Není-li posloupnost shora (zdola) ohraničená, pak H(a n ) ( H(a n )). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 26 / 90

25 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 10 Necht a n je posloupnost reálných čísel a H(a n ) je množina jejích hromadných bodů. Hodnoty b = sup H(a n ) R, c = inf H(a n ) R (s konvencí: je-li H(a n ) shora (zdola) neomezená, pak její sup = (inf = )), se nazývají limita superior, limita inferior posloupnosti a n a značí se b = lim sup a n, n c = lim inf n a n. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 27 / 90

26 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 9 Pro posloupnost reálných čísel a n definujme b n = sup{a k, k n} a c n = inf{a k, k n}. Pak platí, že lim b n = lim sup a n a lim c n = lim inf a n. Důkaz. Z předpokladů je vidět, že b n+1 b n, c n+1 c n, tedy b n je nerostoucí a c n neklesající, pak existuje b = lim b n (b R nebo b = ), podobně existuje c = lim c n (c = nebo c R). Z konstrukce posloupností b n a c n plyne, že jsou supremem, resp. infimem H(a n ). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 28 / 90

27 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 10 Necht a n je ohraničená posloupnost, b = lim sup a n, c = lim inf a n (b, c R, tj. b, c ± ). Pak ε > 0 n 0 N tak, že pro n n 0 je a n < b + ε, a n > c ε. Důkaz. Sporem necht pro ohraničenou posloupnost a n ε > 0 n 0 N n n 0 : a n b + ε. Pak existuje nekonečně mnoho bodů nad (nebo rovno) b + ε, tj. je zde alespoň jeden hromadný bod (včetně možnosti b + ε a ) spor. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 29 / 90

28 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 11 Platí, že lim a n = a lim sup a n = lim inf a n = a. Důkaz. ( ) lim a n = a H(a n ) = {a}, lim sup a n = sup H(a n ) = a = inf H(a n ) = lim inf a n. ( ) Podle věty 10 ke ε > 0 n 0 N: n n 0 je a n < lim sup a }{{ n +ε a } b=a současně a n > lim inf a }{{ n ε a } n (a ε, a + ε) lim a n = a. c=a c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 30 / 90

29 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Definice 11 Řekneme, že posloupnost je Cauchyovská, jestliže ke ε > 0 n 0 N takové, že pro m, n N, m, n n 0 je a n a m < ε. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 31 / 90

30 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Věta 12 Posloupnost a n je konvergentní (a n a R) právě tehdy, když je Cauchyovská. Poznámka Pokud by šlo o racionální čísla (Q), tak věta neplatí. Např. ( n) n Q, ale e Q. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 32 / 90

31 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Důkaz ( ). Necht je a n konvergentní a lim a n = a. Bud ε R + libovolné. Potom n 0 N : n n 0 je a n a < ε 2. Tedy pro m, n N, m, n n 0 platí a m a n = a m a + a a n = (a m a) (a n a) Posloupnost a n je tedy Cauchyovská. a m a + a n a < ε 2 + ε 2 = ε. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 33 / 90

32 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Důkaz ( ). Necht je a n je Cauchyovská a ε R + je libovolné. n 0 N : m, n n 0 : a m a n < ε 2. Speciálně platí a n a n0 < ε 2, tedy a n0 ε 2 < a n < a n0 + ε 2, n n 0. Označme c n := inf{a k, k n} a d n := sup{a k, k n}. Potom tedy platí a n0 ε 2 < c n < d n < a n0 + ε 2, n n 0, a n0 ε 2 lim inf a n lim sup a n a n0 + ε 2, n n 0. Tj. lim sup a n R, lim inf a n R a pro libovolné ε R + máme lim sup a n lim inf a n ε, což znamená, že lim sup a n = lim inf a n a n je konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 34 / 90

33 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Příklad 6 2n 3 + 3n n 3 (2 + 3 n lim n 4n 3 = lim + 2 ) n 3 n n n 3 (4 1 = 1 ) 2 n 2 Poznámka st. čitatele < st. jmenovatele 0 st. čitatele > st. jmenovatele ± st. čitatele = st. jmenovatele podíl koeficientů c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 35 / 90

34 Posloupnosti reálných čísel Limita posloupnosti Příklad 7 lim (n n 2 (n n + n) = lim 2 + n)(n + n 2 + n) n n n + n 2 + n = lim n n 2 n 2 n n + n 2 + n 1 n 1 n = lim n 1 + = lim n 1 n 2 +n n 2 1 = n c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 36 / 90

35 Limita funkce Motivace: Příklad 8 f (x) = x 2 + x 2, 1 D(f ) x 1 x 2 + x 2 (x + 2)(x 1) lim = lim = lim (x + 2) = 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Příklad 9 g(x) = { x 2 x 0 1 x = 0 lim g(x) = 0 x 0 c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 38 / 90

36 Limita funkce Definice 12 (Limita) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu rovnu L R, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že pro x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } platí f (x) L < ε. Píšeme lim x x 0 f (x) = L. Definice 13 (Limita pomocí okoĺı) O ε (L) O δ (x 0 ) : x P δ (x 0 ) f (x) O ε (L). Poznámka Limita funkce nezávisí na funkční hodnotě f (x 0 ) (ta nemusí být dokonce ani definována). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 39 / 90

37 Limita funkce Nepřesně, ale ilustrativně: Je-li x bĺızko x 0, pak je f (x) bĺızko L. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 40 / 90

38 Limita funkce Definice 14 (Limita, nevlastní limita, limita v nevlastním bodě) Necht x 0, L R. Jestliže ke každému O(L) existuje P(x 0 ) takové, že pro každé x P(x 0 ) platí f (x) O(L), pak řekneme, že lim x x0 f (x) = L. Příklad 10 Např. pro x 0 =, L = máme lim f (x) =, tj. x A R B R : x < B je f (x) > A. Příklad 11 Limita lim x sin x neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 41 / 90

39 Limita funkce Obr.: Nevlastní limita c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 42 / 90

40 Limita funkce Obr.: Limita v nevlastním bodě c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 43 / 90

41 Limita funkce Definice 15 (Jednostranná limita) Limitu zprava lim x x + 0 f (x) = L definujeme takto O(L) P + (x 0 ) : x P + (x 0 ) je f (x) O(L). Limitu zleva definujeme analogicky. (x 0, x 0 + δ) x R P + (x 0 ) = (, B) x = nemá smysl x = c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 44 / 90

42 Limita funkce c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 45 / 90

43 Limita funkce Není-li možné číslo do funkce dosadit jinak než limitně, můžeme představu o limitním chování funkce získat i empiricky a to dosazováním bĺızkých čísel. Podívejme se na chování funkce sin x x pro x 0 +. x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin x x 0, , , , , Z tabulky vidíme, že hodnoty se bĺıží jedničce. A skutečně lim x 0 + sin x x = 1. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 46 / 90

44 POZOR nejde o neprůstřelnou metodu: Limita funkce x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin π x Přitom lim x 0 + sin π x neexistuje. (Zkuste dosazovat náhodná čísla bĺıžící se k nule zprava.. Např. sin = 0, ) π 0,003 c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 47 / 90

45 Limita funkce Věta 13 (1) Funkce má v libovolném bodě x 0 nejvýše jednu limitu. (2) Je-li lim x x0 f (x) = L R, pak existuje P(x 0 ) takové, že funkce f je v tomto okoĺı ohraničená. Tj. M 0 : f (x) M pro x P(x 0 ). Důkaz. (1) Obdobně jako u limity posloupností. (Sporem předpokládáme existenci dvou limit.) (2) lim x x0 f (x) = L znamená, že pro ε > 0 P(x 0 ) takové, že pro x P(x 0 ) f (x) (L ε, L + ε). Stačí vzít M = max{ L ε, L + ε } f (x) M. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 48 / 90

46 Limita funkce Věta 14 Necht x 0 R, pak lim x x0 f (x) = L R právě tehdy, když lim x x 0 f (x) = L = lim x x + 0 f (x). Důkaz ( ). lim x x0 f (x) = L, pak podle definice O(L) δ > 0: x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } jsou funkční hodnoty f (x) O(L) tj. podle definice lim x x 0 tj. podle definice lim x x + 0 O(L) δ > 0 x (x 0 δ, x 0 ) f (x) O(L), f (x) = L, O(L) δ > 0 x (x 0, x 0 + δ) f (x) O(L), f (x) = L. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 49 / 90

47 Limita funkce Důkaz ( ). lim x x 0 lim x x 0 a podobně lim x x + 0 f (x) = L a lim x x + 0 f (x) = L, tj. podle definice f (x) = L O(L) δ 1 > 0 : x (x 0 δ 1, x 0 ) f (x) O(L) f (x) = L O(L) δ 2 > 0 : x (x 0, x 0 + δ 2 ) f (x) O(L). Označme δ := min{δ 1, δ 2 } O(L) δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } platí f (x) O(L) lim x x0 f (x) = L. (Toto δ jsme našli.) c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 50 / 90

48 Limita funkce Věta 15 (Věta o třech limitách) Předpokládejme, že existuje P(x 0 ), v němž pro trojici funkcí f, g, h platí nerovnost g(x) f (x) h(x) pro x P(x 0 ). Jestliže lim x x0 g(x) = L a lim x x0 h(x) = L, pak lim x x0 f (x) = L. Důkaz. Přímo z definice limity. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 51 / 90

49 Limita funkce Věta 16 Necht lim x x0 f (x) = 0 a P(x 0 ), v němž je funkce g ohraničená (tj. M > 0, g(x) M x P(x 0 )), pak lim x x0 [f (x) g(x)] = 0. Důkaz. Necht ε > 0 je lib., chceme f (x) g(x) 0 < ε (pro x bĺızko x 0 ) f (x) g(x) f (x) }{{} malé v okoĺı x 0 g(x) }{{} M na P(x 0 ) f (x) M Protože lim x x0 f (x) = 0, k číslu ε M (> 0) existuje P(x 0 ): x P(x 0 ) f (x) < ε M.Necht P(x 0 ) := P(x 0 ) P(x 0 ), pak x P(x 0 ) : f (x) g(x) 0 f (x) M < ε M M = ε lim x x0 f (x) g(x) = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 52 / 90

50 Limita funkce Věta 17 Necht lim x x0 f (x) = ( ) a P(x 0 ), v němž je funkce g zdola (shora) ohraničená, pak lim [f (x) + g(x)] = ( ). x x 0 Příklad 12 Použití věty 16: lim x sin 1 x 0 x = 0 f (x) = x, g(x) = sin 1 x a lim x 0 x = 0, sin 1 x 1 Použití věty 17: lim (x + sin x) = +. x c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 53 / 90

51 Limita funkce Poznámka Předpokládejme lim x x0 f (x) = 0. 1 lim x x 0 f (x) =? Např. f (x) = x, x 0 = 0 lim x 0 1 x neexistuje, protože 1 1 lim x 0 x = = lim x 0 + x. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 54 / 90

52 Limita funkce Věta 18 Necht lim x x0 f (x) = 0 a existuje P(x 0 ), v němž je funkce kladná (záporná), pak 1 lim x x 0 f (x) = ( ). Poznámka 1 kladná nula =, 1 = záporná nula c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 55 / 90

53 Limita funkce Věta 19 Necht x 0 R, lim x x0 f (x) = L 1, lim x x0 g(x) = L 2, L 1, L 2 R. Pak platí (1) lim x x0 [f (x) ± g(x)] = L 1 ± L 2, (2) lim x x0 [f (x) g(x)] = L 1 L 2, (3) L 2 0: lim x x0 f (x) g(x) = L 1 L 2, (4) lim x x0 f (x) = L 1. Důkaz. Podobně jako u posloupností. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 56 / 90

54 Limita funkce Věta 20 Necht lim f (x) = y 0, x x 0 a existuje P(x 0 ), v němž f (x) y 0, pak lim g(y) = L y y 0 lim x x 0 g ( f (x) ) = L. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 57 / 90

55 Limita funkce Důkaz. Necht ε > 0 je libovolné. lim y y0 g(y) = L podle definice k ε > 0 existuje P(y 0 ): pro y P(y 0 ) je g(y) O ε (L). lim x x0 f (x) = y 0 podle definice k δ > 0 existuje P(x 0 ): pro x P(x 0 ) je f (x) O δ (y 0 ). Necht P(x 0 ) je prstencové okoĺı bodu x 0, v němž f (x) y 0.Pak pro x P(x 0 ) P(x 0 ), platí f (x) (y 0 δ, y 0 + δ) {y 0 } = P(y 0 ), tedy g ( f (x) ) O ε (L) a podle definice lim x x0 g ( f (x) ) = L. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 58 / 90

56 Limita funkce Příklad 13 pak ale f (x) 0, g(y) = lim f (x) = 0, lim x 0 { 1 y = 0 0 y 0, g(y) = 0, y 0 lim g( f (x) ) = lim 1 = 1. x 0 x 0 c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 59 / 90

57 Limita funkce Poznámka Tvrzení uvedená dosud v této kapitole platí i pro jednostranné limity (po příslušné modifikaci). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 60 / 90

58 Limita funkce Věta 21 lim x x0 f (x) = L právě tehdy, když pro každou posloupnost x n x 0 platí, že posloupnost f (x n ) L. Důkaz ( ). Předpokládejme x 0, L R (Pro x 0, L = ± obdobně.) lim x x0 f (x) = L podle definice ε > 0 δ > 0: pro x P δ (x 0 ) je f (x) O ε (L). Necht x n je libovolná posloupnost, pro niž platí x n x 0, pak (dle definice) δ > 0 n 0 N: pro n n 0 x n O δ (x 0 ) f (x n ) O ε (L). Označený text = definice toho, že lim n f (x n ) = L. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 61 / 90

59 Limita funkce Důkaz ( ). Sporem předpokládejme, že x n x 0 platí f (x n ) L a neplatí lim x x0 f (x) = L, tedy že ε > 0 δ > 0 x P δ (x 0 ) : f (x) O ε (L). Necht δ 1 = 1, x 1 P δ1 (x 0 ): f (x 1 ) O ε (L) δ 2 = 1 2, x 2 P δ2 (x 0 ): f (x 2 ) O ε (L). δ n = 1, x 2 n 1 n P δn (x 0 ): f (x n ) O ε (L) Tím máme x n x 0 < 1 n 0, 2 n 1 tedy existuje x n x 0 a zároveň f (x n ) O ε (L), což je spor s předpokladem ( x n x 0 f (x n ) L). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 62 / 90

60 Limita funkce Příklad 14 lim x 0 sin x = 0 x > 0 : 0 < sin x < x z věty o třech limitách lim 0 lim sin x lim x 0 + x 0 + x 0 + x, tedy lim x 0 + sin x = 0.Protože sin x je lichá funkce, limita zleva je také nula lim x 0 sin x = 0. lim x 0 cos x = 1 ( lim cos x = lim cos 2 x x 0 x 0 2 sin2 x ) ( ) 2 = lim 1 2 sin 2 x x 0 2 = lim 1 2 lim sin 2 x x 0 x 0 2 = 1 c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 63 / 90

61 Limita funkce Příklad 15 lim x 0 sin x x = 1 x (0, π 2 ) : sin x < x < tg x 1 < x sin x < 1 cos x 1 > sin x x > cos x všechny jdou do 1 pro x 0 +. Protože sin x x je sudá funkce, platí to i pro x 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 64 / 90

62 Limita funkce Příklad 16 e lim x 1 x 0 x = 1 Z definice e máme ( ) n+1 ( n n+1 < e < 1 + n 1) 1. Necht x (0, 1 2 ) a n N splňuje 1 n+1 < x 1 n.potom platí n+1 < e 1 n+1 < e x e 1 n < n 1. Protože n 1 x, platí n x + 1 = x+1 x, tedy 1 n+1 x Vztah n + 1 > 1 x dává n 1 > 1 x 2 = 1 2x, tedy 1 n 1 < x 1 2x.Celkem jsme dostali 1 + x x+1 < ex < 1 + x 1 2x. x x+1. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 65 / 90

63 Limita funkce Odečteme jedna a poděĺıme x (> 0) 1 x+1 < ex 1 x < 1 1 2x. Pro x 0 + s použitím věty o třech limitách máme lim x 0 + ex 1 x = 1. Limita zleva podobně. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 66 / 90

64 Limita funkce Příklad 17 lim x 0 a x 1 x = ln a a x 1 e x ln a 1 lim = lim x 0 x x 0 x ln a ln a e x ln a 1 = ln a lim = ln a. x 0 x ln a c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 67 / 90

65 Spojitost funkce Definice 16 (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 D(f ), jestliže lim x x0 f (x) existuje a je rovna f (x 0 ), tj. ε > 0 δ > 0 : x O δ (x 0 ) platí f (x) O ε (f (x 0 )). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 zprava (zleva), je-li ( ) lim x x + 0 f (x) = f (x 0 ) lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 69 / 90

66 Spojitost funkce Definice 17 (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém x (a, b). Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], je-li spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a v bodech a (b) je spojitá zprava (zleva). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 70 / 90

67 Spojitost funkce Příklad 18 { 0 x Q Dirichletova funkce χ(x) = není spojitá v žádném bodě 1 x I (lim x x0 χ(x) neexistuje libovolně malé okoĺı obsahuje 1 i 0). Příklad 19 Funkce f (x) = x χ(x) je spojitá v bodě x 0 = 0 a není spojitá v žádném jiném bodě. lim x x 0 }{{} χ(x) = 0 }{{} 0 ohraničená c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 71 / 90

68 Spojitost funkce Poznámka Představa, že funkce je spojitá jestliže se nepřetrhne platí, ale je zavádějící. Např. funkce f (x) = x(x 1)(x 2)χ(x) je spojitá v bodech 0, 1 a 2. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 72 / 90

69 Spojitost funkce Věta 22 (Spojitost operací se spojitými funkcemi) Necht f, g jsou funkce spojité v x 0. Pak jsou v x 0 spojité i funkce f ± g, f g a je-li g(x 0 ) 0, je spojitá i funkce f /g. Je-li h funkce, která je spojitá v bodě y 0 = f (x 0 ), pak je v x 0 spojitá i funkce (h f )(x) = h ( f (x) ). Důkaz. Tvrzení plyne z příslušných vět pro limitu funkce. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 73 / 90

70 Spojitost funkce Věta 23 (O spojitosti elementárních funkcí) (i) Polynom P(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 je funkce spojitá na celém R. (ii) Racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, kde je polynom ve jmenovateli různý od nuly. (iii) Funkce sin x a cos x jsou spojité na R; funkce tg x je spojitá na R {(2k + 1) π 2, k Z}; funkce cotg x je spojitá na R {(kπ, k Z}. (iv) Funkce a x je spojitá na R. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 74 / 90

71 Spojitost funkce Důkaz. (i) lim x x0 x = x 0, tedy f (x) = x je spojitá na R. Ze spojitosti operací (V.22) vyplývá spojitost P(x) na R. (ii) f (x) = P(x) Q(x), pak f je spojitá na R {α : Q(α) = 0}. (iii) Pro f (x) = sin x potřebujeme dokázat, že lim x x0 (sin x sin x 0 ) = 0. lim (sin x sin x 0 ) = 2 lim x x 0 (cos x + x 0 x x0 }{{ 2 } ohraničená (iv) lim x x0 (a x a x 0 ) = lim x x0 a x 0 (a x x 0 }{{} 1) = 0. 1 sin x x 0 2 } {{ } 0 ) = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 75 / 90

72 Spojitost funkce Věta 24 Necht f je spojitá a rostoucí (klesající) na itervalu I, pak inverzní funkce f 1 je také spojitá a rostoucí (klesající) na f (I ) = {y R : x I, f (x) = y}. Důkaz. Předpokládejme, že f je rostoucí (pro klesající postupujeme obdobně). Tvrzení o monotonii f 1 bylo dokázáno už dříve, stačí tedy dokázat spojitost. Necht y 0 f (I ). Potřebujeme dokázat, že ke ε > 0 δ > 0: y O δ (y 0 ) f 1 (y) O ε (f 1 (y 0 )). Tuto konstrukci lze provést záměnou ε a δ v definici spojitosti funkce f v bodě x 0 = f 1 (y 0 ), tj. v definici lim x x0 f (x) = f (x 0 ). c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 76 / 90

73 Spojitost funkce Věta 25 (1. Weierstrassova věta) Necht funkce f je na uzavřeném intervalu [a, b] spojitá. Pak je na tomto intervalu ohraničená, tj. existuje M 0: f (x) M x [a, b], neboli f ([a, b]) je ohraničená množina. Důkaz. Sporem předpokládejme, že f není shora ohraničená (pro ohraničenost zdola by se postupovalo obdobně), tj. n N x n takové, že f (x n ) > n. Posloupnost x n [a, b], tzn. že je ohraničená a podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty existuje vybraná konvergentní podposloupnost x nk c [a, b].ze spojitosti f plyne f (x nk ) f (c) a současně f (x nk ) > n k. Spor posloupnost nemůže jít současně ke konstantě a do nekonečna. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 77 / 90

74 Spojitost funkce Věta 26 (2. Weierstrassova věta) Necht funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], dále necht M = sup{f (x), x [a, b]} a m = inf{f (x), x [a, b]}. Pak existují čísla x 1, x 2 taková, že f (x 1 ) = M, f (x 2 ) = m. Tedy spojitá funkce nabývá na uzavřeném intervalu své největší a nejmenší hodnoty. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 78 / 90

75 Spojitost funkce Důkaz. Dokážeme pro M (pro m analogicky).podle definice suprema ε > 0 x [a, b] : f (x) > M ε a M f (x). ε 1 = 1 x 1 [a, b] : M f (x 1 ) > M ε 1, ε 2 = 1 2 x 2 [a, b] : M f (x 2 ) > M ε 2,. ε n = 1 2 n 1 x n [a, b] : M f (x n ) > M ε n. Výsledkem konstrukce je posloupnost x n [a, b]: M f (x n ) > M 1 2 n 1. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 79 / 90

76 Spojitost funkce Posloupnost x n je ohraničená, tedy (podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty) existuje vybraná konvergentní podposloupnost, tj. x nk k c [a, b]. Funkce f je spojitá, pak podle věty 21 lim f (x n k ) = f (c) a současně M f (x nk ) > M 1, k 2 n 1 tj. lim k f (x nk ) = M a tedy f (c) = M. Bod c je proto hledaným bodem, v němž funkce nabývá hodnotu M. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 80 / 90

77 Spojitost funkce Věta 27 (1. Bolzanova věta) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a v krajních bodech intervalu nabývá hodnot s opačným znaménkem (f (a) f (b) < 0). Pak existuje číslo c (a, b) takové, že f (c) = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 81 / 90

78 Spojitost funkce Důkaz. Použijeme metodu půlení intervalů. Necht x 1 (a, b). Pak nastává jedna z následujících možností. 1 f (x 1 ) = 0 c = x 1 2 f (x 1 ) 0, pak alespoň jeden z intervalů [a, x 1 ], [x 1, b] má funkce f v krajních bodech opačné znaménko zvoĺıme x 2 z tohoto intervalu. 1 f (x 2 ) = 0 c = x 2 2 f (x 2 ) 0, pak alespoň jeden z intervalů... Tuto konstrukci opakujeme a bud po konečném počtu kroků najdeme c : f (c) = 0, nebo je výsledkem posloupnost vnořených uzavřených intervalů I 1 I 2 I n = [a n, b n ] s opačnými znaménky v krajních bodech. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 82 / 90

79 Spojitost funkce Tedy b n a n 0, pak (dle principu vnořených intervalů)!c n N I n, tj. c = lim a n a c = lim b n. Ze spojitosti plyne lim f (a n ) = f (c) }{{}}{{} <0 0 lim f (b n ) = f (c) }{{}}{{} >0 0 f (c) 0 f (c) 0 f (c) = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 83 / 90

80 Spojitost funkce Věta 28 (2. Bolzanova věta) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a M = sup{f (x), x [a, b]}, m = inf{f (x), x [a, b]}. Pak y [m, M] c [a, b] : f (c) = y. Tj. spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 84 / 90

81 Spojitost funkce Důkaz. Pokud y = M, nebo y = m, tvrzení plyne z 2. Weierstrassovy věty. Pokud y (m, M), pak uvažujme funkci g(x) = f (x) y. Necht x 1, x 2 [a, b] jsou taková, že f (x 1 ) = m, f (x 2 ) = M, pak g(x 1 ) = m y < 0, g(x 2 ) = M y > 0. Funkce g je spojitá a podle 1. Bolzanovy věty existuje číslo c: g(c) = 0, tedy f (c) = y. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 85 / 90

82 Spojitost funkce Poznámka Důsledek spojitý obraz spojitého je spojitý f ([a, b]) = [m, M]. Předpoklad spojitosti na uzavřeném intervalu [a, b] nelze zeslabit, např. nahradit spojitostní na (a, b): f (x) = 1 x je na (0, 1) spojitá, ale ne omezená. Polynom P(x) lichého stupně má aspoň jeden reálný kořen. lim x P(x) =, lim x P(x) = (nebo obráceně). musí protnout osu x. Metoda půlení intervalů = numerické řešení rovnice f (x) = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 86 / 90

83 Spojitost funkce Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy bodů nespojitosti. (a) Odstranitelná nespojitost: Existuje vlastní limita lim x x0 f (x) = L, ale L f (x 0 ). (f (x 0 ) nemusí být ani definována.) (b) Nespojitost prvního druhu (skok): Existují obě vlastní jednostranné limity lim x x f (x) = L 1 a 0 lim x x + f (x) = L 2, ale L 1 L 2. 0 (c) Nespojitost druhého druhu: Aspoň jedna jednostranná limita neexistuje, nebo je nevlastní. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 87 / 90

84 Spojitost funkce Spojité dodefinování Má-li funkce f v bodě x 0 odstranitelnou nespojitost a lim x x0 f (x) = L, můžeme ji v tomto bodě spojitě dodefinovat jako { L, x = x 0, f (x) = f (x), x D(f ) {x 0 }. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 88 / 90

85 Spojitost funkce Příklad 20 { sin x f (x) = x x 0 0 x = 0 sin x Funkce není spojitá v bodě x = 0, nebot lim x 0 x odstranitelná nespojitost. = 1 f (0), x = 0 je Příklad 21 f (x) = arctg 1 x Funkce má skok v x = 0. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 89 / 90

86 Spojitost funkce Příklad 22 { sin 1 f (x) = x x 0 0 x = 0 Limita lim x 0 sin 1 x neexistuje, tedy x = 0 je nespojitost druhého druhu. Příklad 23 f (x) = e 1/x Jedna jednostranná limita je nevlastní, tedy x = 0 je bod nespojitosti druhého druhu. c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 90 / 90

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R. 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N.

Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N. 4 4. týden 4.1 supremum a infimum množiny Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? Příklad 4.2 Zkuste uhádnout sup M, inf

Více

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV) Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více