6. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 19. května 2014
stavebních konstrukcí Vývoj metod pro posuzování stavebních konstrukcí: 1. Historické a empirické metody 2. Teorie dovolených namáhání budeme ji používat při výkladu teorie a pevnosti 3. Stupeň bezpečnosti 4. Metoda dílčích součinitelů dnes používaná metoda v normových předpisech 5. Pravděpodobnostní metody použití u významných konstrukcí nebo pro kalibraci norem
Vnitřní síly v průřezu prutu v prostoru Vnitřní síly na prutu y V y M y z t V z M z N Osa x je ve směru střednice prutu a osy y a z jsou hlavní těžišt ové osy setrvačnosti průřezu. M x x V prostoru je definováno 6 vnitřních sil: 2 posouvající síly ve směru osy z a y: V z, V y 2 ohybové momenty kolem os y a z: M y, M z Normálová síla ve směru osy x: N Krouticí moment kolem osy x: M x Pro vektory momentů platí pravidlo pravé ruky: Palec ve směru šipky prsty ukazují směr otáčení.
Mechanické napětí v průřezu prutu v prostoru Mechanické napětí v průřezu Mechanické napětí je síla na jednotku plochy. y τ xy (y, z) τ xz (y, z) t [y, z] σ x (y, z) z Osa x je ve směru střednice prutu a osy y a z jsou hlavní těžišt ové osy setrvačnosti průřezu. x Základní jednotka je Pa = N m. 2 Odvozené jednotky: kpa = kn MPa = MN m = N 2 mm. 2 V libovolném bodu průřezu [y, z] lze definovat 3 složky napětí: m 2, Normálové napětí ve směru x: σ x Tečné (smykové) napětí ve směru z: τ xz Tečné (smykové) napětí ve směru y: τ xy
s tečným napětím Tečné napětí v průřezu je funkcí 2 proměnných y a z. y τ xy (y, z) τ xz (y, z) t [y, z] z σ x (y, z) x : V z = τ xz da A V y = τ xy da A y V y M y z t Vz M z N M x x M x = (τ xz y τ xy z) da A
s normálovým napětím Normálové napětí v průřezu je funkcí 2 proměnných y a z. y τ xy (y, z) τ xz (y, z) t [y, z] z σ x (y, z) x : N = σ x da A M y = σ x z da A y V y M y z t Vz M z N M x x M z = A σ x y da
Prostý případ nastává, jestliže je jen jediná vnitřní síla v průřezu nenulová. Osy y a z musí být hlavní centrální osy setrvačnosti průřezu. Potom rozlišujeme: : N 0 M x = M y = M z = V y = V z = 0 Prostý ohyb: M y 0 N = M x = M z = V y = V z = 0 M z 0 N = M x = M y = V y = V z = 0 : V z 0 N = M x = M y = M z = V y = 0 V y 0 N = M x = M y = M z = V z = 0 Prosté kroucení: M x 0 N = M y = M z = V y = V z = 0 Kombinace namáhání se řeší superponováním (sečtením) jednotlivých případů. Pro prostý tlak a prostý smyk musí platit další podmínky nebo zjednodušující předpoklady, viz podrobnější popis daného případu.
Normálové napětí v průřezu U prostého tahu a tlaku je normálové napětí rovnoměrně rozděleno na celou plochu průřezu A. y t t N x t σ x x z z Průběh normálového napětí v průřezu σ x (y, z) je dán vztahem: z σ x (y, z) =σ x = N A Pro prostý TAH platí: N > 0 a σ x > 0 Pro prostý TLAK platí: N < 0 a σ x < 0
Podmínka pro prostý tah podle teorie dovolených namáhání Podmínka podle teorie dovolených namáhání: σ x = N A σ dov σ dov...jedovolené namáhání (napětí) v prostém tahu, materiálová charakteristka, která byla uvedena v normě. Z podmínky lze přímo určit nutnou plochu průřezu: A N σ dov Podmínku pro prostý tah je možné použít pro masivní i štíhlý prut. F F F F
Příklad Pro dané zatížení navrhněte dolní pás ocelového příhradového vazníku. Uvažujte dovolené namáhání σ dov = 130 MPa. F =50kN F =50kN F =50kN F =50kN F =50kN c A y = 125 kn N B = 125 kn 2m 2m 2m 2m 2m 2m 1. Vnitřní síly: (průsečnou metodou) c : N. 1,5 + Ay. 4 F. 2 = 0 N = 266,67 kn 2. Návrh průřezu: Nutná plocha průřezu: A N σ dov = 266,67 = 2 051.10 6 m 2 130.10 3 1,5m y z NÁVRH L 100.100.10 A = 2 120 mm 2 3. Posouzení průřezu: σ = N A = 266,67 2 120.10 6 = 125 786 kpa <σ dov = 130.10 3 kpa NÁVRH VYHOVUJE
Podmínka pro prostý tlak Podmínka podle teorie dovolených namáhání: σ x = N A σ dov σ dov...jedovolené namáhání v prostém tlaku, materiálová charakteristka, která byla uvedena v normě. Z podmínky lze přímo určit nutnou plochu průřezu: A N σ dov Podmínku pro prostý tlak je možné použít pouze pro masivní prut, resp. posouzení kontaktního napětí, kde nerozhoduje stabilita (vzpěr). F VZPĚR! F F F max = Aσ dov vybočípři F max Aσ dov
Příklady použití prostého tlaku Základ F σ dov,b =2MPa G z σ dov,z =0,3MPa I200 B 135 Kontaktní napětí pod patním plechem na dovolené namáhání betonu σ dov,b. Kontaktní napětí v základové spáře na dovolené namáhání zeminy σ dov,z. Úložný práh Kontaktní napětí pod ložiskem na dovolené namáhání kamene. Kontaktní napětí pod úložným prahem na dovolové namáhání zdiva.
Dovolená namáhání vybraných materiálů - orientační hodnoty: Materiál plávkové železo litina ocel ložisek a kloubů betonářská výztuž (zatížení hlavní) beton prostý (zatížení hlavní) beton železový (zatížení hlavní) zdivo z tesaného kamene - pískovec zdivo z tesaného kamene - žula zdivo smíšené zdivo cihelné na maltu obyčejnou zdivo cihelné na maltu cementovou v tlaku σ dov [MPa] 85 135 90 140 108 235 1,2 3,5 3,5 10,0 2,0 2,5 5 0,5 0,5 0,7 0,7 1,0 v tahu σ dov [MPa] 85 135 90 140 108 235 0,15 0,35 0,5 0,9 Podrobněji viz odpovídající historické standardy.
: Normálové napětí σ je přímo úměrné poměrné deformaci ε. Konstantou úměrnosti je modul E. σ = E ε E... je modul, materiálová charakteristika, základní jednotka je Pa = N m 2 ε...jepoměrná deformace (poměrné přetvoření) ε = Δ L L, bezrozměrné číslo (často se udává v %, mm/m nebo μm/m) N L ΔL N Podle Hookeova zákona lze určit protažení (σ >0, ε>0, ΔL > 0), resp. zkrácení (σ <0, ε<0, ΔL < 0), prutu namáhaného tlakem nebo tahem. ΔL = NL EA
Moduly vybraných materiálů - orientační hodnoty: Materiál měkká ocel beton (dle pevnosti) hliník sklo (sodno-vápenaté) dřevo (rovnoběžně s vlákny, dle druhu) dřevo (kolmo na vlákna, dle druhu) cihlářský střep E [GPa] 210 25 42 70 74 10 0,3 15 30 Podrobněji viz odpovídající standardy nebo specifikace dle výrobce.
L Normálové síly ani reakce nelze určit jen ze statických podmínek rovnováhy. Pro 2 neznámé je třeba sestavit 2 lineární rovnice. A 3 E 3 A 2 E 2 B y F 2 L 3 F 1 L 2 1. Statická podmínka rovnováhy: : C y F 1 F 2 + B y = 0 2. Přetvárná podmínka: ΔL =ΔL 1 +ΔL 2 +ΔL 3 = 0 A 1 E 1 L 1 N 1 L 1 E 1 A 1 + N 2 L 2 E 2 A 2 + N 3 L 3 E 3 A 3 = 0 ( C y) L 1 E 1 A 1 + ( Cy +F 1) L 2 E 2 A 2 + ( Cy +F 1+F 2 ) L 3 E 3 A 3 = 0 C y
A 3 E 3 B y F 2 L 3 Součin modulu a plochy průřezu EA nazýváme tuhost průřezu v tlaku a tahu. Výraz EA/L je tuhost prutu v tlaku a tahu. Normálové síly se rozdělí v poměru tuhostí prutů EA/L. L A 2 E 2 F 1 L 2 U staticky neurčitého tahu a tlaku nese prut s vyšší tuhostí EA/L větší díl namáhání, tj. větší absolutní hodnotu normálové síly N. A 1 E 1 C y L 1 U staticky neurčitých konstrukcí platí obecně, že tužší část konstrukce přenáší vyšší absolutní hodnoty vnitřních sil. U staticky neurčitých konstrukcí musíme statické podmínky rovnováhy doplnit přetvárnými podmínkami.
Určete, jaké napětí bude od působící síly F podle teorie lineární působit v betonu a jaké v betonářské výztuži. F F c = A c σ c je síla přenášená betonem F s = A s σ s je síla přenášená výztuží 1. Podmínka ekvivalence: F = F c + F s 2. Přetvárná podmínka: ε = ε c = ε s =ΔL/L ε c = ε s A c A s σ c E c = σs E s F c E ca c = Fs E sa S
Teplotní délková roztažnost prutu ΔT L ΔL T Při rovnoměrné změně teploty prutu o hodnotu ΔT dojde k protažení prutu: ΔL T = L α T ΔT α T...jekoeficient teplotní délkové roztažnosti [K 1 ], materiálová charakteristika. Poměrnou deformaci od změny teploty lze vyjádřit: ε T = α T ΔT
Teplotní délková roztažnost prutu Součinitelé teplotní roztažnosti vybraných materiálů - orientační hodnoty: Materiál měkká ocel beton (dle kameniva) železový beton hliník sklo (sodno-vápenaté) dřevo (rovnoběžně s vlákny, dle druhu) dřevo (kolmo na vlákna, dle druhu) cihlářský střep α T [K 1 ] 12.10 6 6.10 6 14.10 6 12.10 6 23.10 6 8,5.10 6 5.10 6 34.10 6 4.10 6 8.10 6 Podrobněji viz odpovídající standardy nebo specifikace dle výrobce.
Příklady zatížení prutu rovnoměrnou změnou teploty Dilatace je umožněna ΔT L ΔL T ε T = α T ΔT ε = ε σ + ε T = ε T Jedná se o volnou deformaci. ε = σ E + α T ΔT = ε T σ = 0 MPa N = 0 kn Dilataci je zabráněno ΔT L ΔL T ε T = α T ΔT ε = ε σ + ε T = 0 Jedná se o vázanou deformaci. ε = σ E + α T ΔT = 0 σ = E ε T N = σ A U staticky určité konstrukce jsou vnitřní síly od rovnoměrného zatížení teplotou nulové.
Tečné napětí v průřezu a podmínka podle teorie dovolených namáhání y U prostého smyku je tečné napětí rovnoměrně rozděleno na celou plochu průřezu A. t z t V z z x t z τ xz Velikost tečného napětí τ a podmínka : x τ = V A τ dov τ dov...jedovolené namáhání materiálu ve smyku. je možné uvažovat jen pro spojovací prostředky, jako jsou šrouby, nýty, svary, svorníky, hřeby atd. jedná se o zjednodušující předpoklad.
Nýtový (šroubový) spoj e! Střih prostý smyk F F F d A d m =1 τ = F m =2 m =4 F F F nma d τ dov,s n... je počet nýtů, resp. šroubů m...jestřižnost A d...jeplocha dříku (pro nýt plocha otvoru, pro šroub plocha dle tabulek) τ dov,s...jedovolené namáhání ve střihu Při návrhu spoje se obvykle volí d a dopočte se nutný počet šroubů nebo nýtů.
Nýtový (šroubový) spoj Otlačení prostý tlak σ = F nd min(t 1, t 2 ) σ dov,o t 1 t 21 t 22 t 2 = t 21 + t 22 d F n... je počet nýtů, resp. šroubů d...je průměr dříku (pro nýt průměr otvoru) t 1 a t 2...jesoučet tlouštěk základního materiálu z jedné a z druhé strany spoje (optimální je t 1 = t 2 ) σ dov,o...jedovolené namáhání základního materiálu v otlačení Při návrhu spoje se obvykle volí d a dopočte se nutný počet šroubů nebo nýtů.
Nýtový (šroubový) spoj Posouzení oslabeného průřezu u taženého prutu prostý tah t 1 2xU A osl d F t 21 t 22 t 2 = t 21 + t 22 A =2A U A osl =2A U t 2 d σ = F A osl σ dov A osl...jeoslabená plocha průřezu σ dov...jedovolené namáhání základního materiálu v tahu Oslabená plocha průřezu se posuzuje jen pro tažené pruty.
Nýtový (šroubový) spoj Poznámky k nýtovému (šroubovému) spoji V normách jsou uvedeny doporučené rozteče pro nosné nýty a šrouby. Standardy také uvádějí maximální průměry otvorů a rozteče pro různé válcované ocelové profily. Šroubové spoje je také možno navrhovat jako třecí spoj, kdy předpětí šroubu zajistí přenesení síly smykem v kontaktních plochách základního materiálu. Třecí spoje se posuzují jiným způsobem. Únosnosti šroubů bývají tabelovány jsou vytvořeny pomůcky pro snadný návrh šroubů namáhaných smykem itřecích spojů.
namáhaný prostým smykem Plocha svaru A w a 2 + a 2 = t 2 a = 2 2 t. = 0,7 t a t a L w A w = 0,7 tl w t...je tloušt ka svaru L w...jecelková délka svaru Únosnost svaru ve smyku 6 dl.100 mm τ = F A w τ dov,w t =6mm F L w =4L w1 = 400 mm τ dov,w...jedovolené namáhání svaru ve smyku L w1 Při návrhu volíme tloušt ku t a dopočteme délku svaru L w.
Poznámky ke svarovému přípoji prutu Svar je v případě excentricity mezi těžištěm průřezu a plochou svaru namáhán také ohybem a nejedná se o prostý smyk. Pro zajištění protikorozní ochrany se svar často provádí kolem celého obvodu kontaktní plochy. U uzavřených dutých průřezů, jako jsou trubky, se ze stejného důvodu v čele prutu provádí vzduchotěsné uzavření dutiny průřezu. Vývoj technologie svařování vytlačil používání nýtových spojů, které byly předtím nejdokonalejším způsobem spojování ocelových konstrukčních prvků (viz nýtované tlakové nádoby nebo parní kotle lokomotiv).
Kontrolní otázka Změna délky prutu ΔL, který má počáteční délku L, při zatížení tahovou osovou silou F je: a) ΔL = FEA L 2 b) ΔL = FEA L c) ΔL = FL EA
Kontrolní otázka U prutu délky L s koeficientem teplotní délkové roztažnosti α je zabráněno v jeho dilataci. Při změně teploty o ΔT bude v prutu normálové napětí: a) σ =+EαΔT b) σ = E α ΔT c) σ = EA α ΔT
Kontrolní otázka Ocelový válcovaný nosník počáteční délky L = 4 m s koeficientem délkové teplotní roztažnosti α = 12.10 6 K 1 při změně teploty ΔT = 40 C změní svoji délku o: a) ΔL = 0,48 mm b) ΔL = 0,96 mm c) ΔL = 1,92 mm
Kontrolní otázka Při zkoušce modulu betonu na vzorku 100/100/400 mm byla při změně normálového napětí Δσ = 12 MPa namřena změna poměrné deformace Δε = 340.10 6. Modul betonu u zkoušeného vzorku je: a) E = 35,3 GPa b) E = 22,3 GPa c) E = 28,8 GPa
Kontrolní otázka můžeme uvažovat: a) Kdykoli je posouvající síla nenulová. b) Jen u ohýbaných nosníků. c) Jen u spojovacích prostředků jako jsou nýty, šrouby, svary, hřeby atd.
Kontrolní otázka Uvažujme šroub M16 s plochou dříku A d = 157 mm 2,střižnost je rovna 4, dovolené namáhání ve střihu je τ dov = 120 MPa. Únosnost jednoho šroubu na střih je potom rovna: a) 4,710 kn b) 75 360 N c) 18,840 kn
Konec přednášky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému METAPOST.