YSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ BRNĚ FAKULA SAEBNÍ PAEL SCHAUER APLIKOANÁ FYZIKA MODUL ERMODYNAMIKA SUDIJNÍ OPORY PRO SUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOANOU FORMOU SUDIA
Recenzoval: Prof. RNDr. omáš Ficker, CSc. Pavel Schauer, Brno 6
Obsah OBSAH Úvod...5. Cíle...5. Požadované znalosti...5.. Fyzika...5.. Matematika...5. Doba otřebná ke studiu...5.4 Klíčová slova...6.5 Přehled oužitých symbolů...6 nitřní energie termodynamické soustavy...7. nitřní energie jednoatomového lynu...7. Počet stuňů volnosti molekuly lynu...8. nitřní energie víceatomového lynu...8.4 nitřní energie evných látek...9.5 Kontrolní otázky...9.6 Příklady k rocvičení... elo a ráce.... elo.... Práce lynu..... Práce lynu ři izobarickém ději...4.. Práce lynu ři izotermickém ději...4. Kontrolní otázky...4.4 Příklady k rocvičení...5 4 První a druhá termodynamická věta...6 4. První termodynamická věta...6 4. První termodynamická věta ři jednoduchých dějích...6 4.. Izotermický děj...6 4.. Izochorický děj...7 4. Druhá termodynamická věta...7 4.4 Kontrolní otázky...8 4.5 Příklady k rocvičení...8 5 eelná kaacita... 5. Měrná teelná kaacita... 5. Molární teelná kaacita...4 5. Kalorimetrická rovnice...6 5.4 Kontrolní otázky...8 5.5 Příklady k rocvičení...8 6 Děje v izolovaných soustavách a jejich zobecnění... 6. Adiabatický děj... 6. Polytroický děj... 6. Kontrolní otázky... 6.4 Příklady k rocvičení...4 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika 7 Kruhové děje v lynech... 6 7. Carnotův cyklus... 6 7. eelná čeradla a chladící stroje... 9 7. Entroie kruhových dějů... 4 7.4 Kontrolní otázky:... 4 7.5 Příklady k rocvičení... 4 8 Závěr... 47 8. Shrnutí... 47 8. Studijní rameny... 47 8.. Seznam oužité literatury... 47 8.. Seznam dolňkové studijní literatury... 47 8.. Odkazy na další studijní zdroje a rameny... 47 4 (47)
nitřní energie Úvod elotní jevy můžeme studovat bez znalosti jejich mikrofyzikální odstaty, tedy bez řihlédnutí k mikrofyzikálnímu ohybu částic. akováto teorie teelných jevů se nazývá termodynamika. eličiny, se kterými termodynamika racuje, jsou telota, telo, entroie, vnitřní energie termodynamické soustavy a ráce, kterou koná soustava, dolněné o stavové veličiny tlak a objem. ermodynamika sleduje teelné jevy hlavně z energetického hlediska. Nejdůležitější zákony, o které se termodynamika oírá, jsou termodynamické věty. Naše úvahy se budou řevážně týkat soustav, které jsou v termodynamicky rovnovážném stavu. e velké většině říadů ůjde o ideální lyn.. Cíle ento studijní text je určen ro osluchače Stavební fakulty ysokého učení technického v Brně a má sloužit jako jeden ze základních učebních textů ro studium alikované fyziky. Cílem je vybudování solehlivého základu vědomostí, jež umožní budoucímu stavebnímu inženýrovi zvládat technické roblémy v alikační oblasti. Studijní text navazuje na moduly základní řady fyzikálních studijních oor a je součásti série modulů Alikovaná fyzika, které solu jako jeden celek tvoří úlnou studijní literaturu z oblasti termiky, záření a akustiky. ento druhý modul, ermodynamika, je rozdělen do 6 kaitol. Cílem je osat základní definice a zákony a rozšířit tyto oznatky o znalosti ro oužití v technické raxi. ýklad je růběžně dolněn kontrolními otázkami, deseti řešenými říklady, ěti neřešenými říklady a alikacemi vyskytujícími se v technické raxi.. Požadované znalosti.. Fyzika eličiny a jednotky, fyzikální rovnice, mechanika, hydromechanika, kmity, vlnění, stavové veličiny termodynamických soustav... Matematika ektory, derivace, určitý a neurčitý integrál.. Doba otřebná ke studiu hodin 5 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika.4 Klíčová slova nitřní energie, telo, ráce, termodynamická věta, teelná kaacita, kalorimetrická rovnice, adiabatický děj, olytroický děj, kruhové děje v lynech, Carnotův cyklus, teelná čeradla, chladící stroje, entroie..5 Přehled oužitých symbolů γ ε η ρ θ Poissonova konstanta účinnost chlazení teelná účinnost hustota Debyeova charakteristická telota c, c, c měrná teelná kaacita, měrná teelná kaacita ři konstantním tlaku, měrná teelná kaacita ři konstantním objemu C, C, C molární teelná kaacita, molární teelná kaacita ři konstantním tlaku, molární teelná kaacita ři konstantním objemu E, Ek, E energie, kinetická energie, otenciální energie F síla i očet stuňů volnosti k Boltzmannova konstanta, k=,8. J.K K teelná kaacita m, M hmotnost, molární hmotnost n látkové množství, koncentrace částic n = N, exonent N, N A celkový očet částic, Avogadrova konstanta N A = 6,. mol - hybnost, tlak r oloměr, vzdálenost R molární lynová konstanta R=8,4 J.K -.mol -, elektrický odor S entroie, locha, růřez t čas, telota (ve o C) termodynamická telota (v K) U, Uc, Um vnitřní energie látky, vnitřní energie jedné částice (molekuly), vnitřní energie jednoho molu v, v sk rychlost, střední kvadratická rychlost Q W telo objem ráce 6 (47)
nitřní energie nitřní energie termodynamické soustavy nitřní energie termodynamické soustavy je energie všech molekul nebo atomů (mikročástic), ze kterých se skládá termodynamická soustava. Mikročástice, ze kterých se skládají kaaliny a lyny se ohybují náhodným neusořádaným ohybem, mikročástice v evných látkách se mohou ohybovat i usořádaným ohybem, naříklad kmitavým nebo rotačním. mikroskoickém měřítku se mikročástice ohybují velikou rychlostí desítek metrů za sekundu i rychleji.. nitřní energie jednoatomového lynu Součet všech forem energie všech molekul lynu je vnitřní energie lynu. Je to stavová veličina. říadě ideálního lynu, u něhož zanedbáváme vzájemné silové ůsobení molekul a molekuly okládáme za ružné kuličky, se setkáváme jen s kinetickou energií molekul. Jednoatomové lyny (Ar, Ne, He a od.) jsou za normálních odmínek svými vlastnostmi velmi blízké ideálnímu lynu. říadě jednoatomového lynu je vnitřní energie lynu dána ouze translační kinetickou energií molekul. Zjistíme ji omocí střední kvadratické rychlosti v sk molekul lynu. Střední translační kinetická energie jedné molekuly (částice) lynu bude U c = m v = m vsk, () kde ředokládáme, že střední kinetická energie jedné molekuly odovídá kinetické energii molekuly se střední kvadratickou rychlostí. S využitím vztahu k v sk = ro střední kvadratickou rychlost (viz modul, Stavové veličiny m termodynamických soustav) dostaneme rovnici ro vnitřní energii jedné molekuly lynu ranslační ohyb je ohyb, ři kterém všechny body tělesa konají ohyb o stejných, ouze navzájem osunutých, trajektoriích. Uc = k. () Pro jeden mol lynu vynásobíme rovnici () očtem molekul v jednom molu lynu, tedy Avogadrovou konstantou N A. Dostaneme vnitřní energii jednoho molu ideálního lynu U m = R. () kde R je molární lynová konstanta. 7 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika. Počet stuňů volnosti molekuly lynu íceatomovým lynům, jejichž molekuly sestávají ze dvou a více atomů, rovnice () a () nevyhovují. Je to tím, že u těchto lynů nemůžeme zanedbat řísěvek rotačního ohybu molekul, říadně kmitavého ohybu atomů uvnitř molekul. Nestačí tedy očítat ouze s translační kinetickou energií molekuly. Kdybychom roblém řešili tak, že výsledek zjistíme ze vztahů ro všechny formy energie, které se ulatňují, bylo by řešení říliš komlikované. Jednodušeji je možné využít stuňů volnosti molekul lynu. Počet stuňů volnosti mechanické soustavy hmotných bodů byl osán v mechanice. Charakterizuje možné druhy ohybů této soustavy. Hmotný bod, který se ohybuje volně v rostoru, má tři stuně volnosti. Proto také jednoatomové molekuly, které tvoří lyn, mají tři stuně volnosti. Dvojatomová molekula rerezentuje jakousi činku. mechanice jsme zjistili, že dva body, jejichž vzájemná vzdálenost je konstantní, mají ět stuňů volnosti. Proto i tuhá dvojatomová molekula má ět stuňů volnosti. říadě, že dvojatomové molekuly lynu nejsou absolutně tuhé (můželi se měnit vzájemná vzdálenost atomů tvořících molekulu - nař. v důsledku kmitavého ohybu ve směru sojnice atomů), musíme odstranit jednu vazební odmínku a řiočítat jeden stueň volnosti. Dvojatomová molekula s kmitajícími atomy má tedy šest stuňů volnosti. U tříatomové nebo víceatomové tuhé molekuly je její očet stuňů volnosti určen stejně jako u tuhého tělesa, jehož stuně volnosti jsou určeny třemi body, které neleží na jedné římce. U tuhého tělesa jsme v mechanice zjistili šest stuňů volnosti. Proto také tříatomové (nebo víceatomové) tuhé molekuly lynu mají šest stuňů volnosti.. nitřní energie víceatomového lynu ztahy () a (), odvozené ro ideální lyn tvořený jednoatomovými molekulami, jsou v souladu s ředešlým výkladem latné ro molekuly se třemi stuni volnosti. Ke zjištění energie ro molekuly s více stuni volnosti oužijeme ekviartiční teorém. 8 (47)
nitřní energie Ekviartiční teorém říká, že na jeden stueň volnosti molekuly řiadá stejná energie. Podíváme-li se na vztah () zjistíme, že na jeden stueň volnosti řiadá energieε = k. Na základě ekviartičního teorému, je-li i očet stuňů volnosti molekul lynu, sočteme energii molekuly jako U = iε, tedy c i Uc = k. (4) Podobně, energii jednoho molu lynu dostaneme jako i U m = R. (5) ýklad vnitřní energie, který jsme uvedli, nelatí dobře ro všechny teloty lynu. Jak ukazují exerimenty, nesrovnalosti jsou tím větší, čím vyšší je očet stuňů volnosti molekul lynu. Naříklad, zatímco u jednoatomových lynů uvedená teorie latí ři okojové telotě velmi dobře, u dvojatomových lynů už latí jen řibližně a u tříatomových lynů jsou značné rozdíly mezi teorií a exerimentem i ři okojových telotách..4 nitřní energie evných látek S určitým řizůsobením a omezením můžeme omocí uvedených ředstav stanovit vnitřní energii v evných látkách, u nichž jsou atomy a molekuly evná látka θ / o C diamant stříbro hliník 4 olovo 9 tab.. Debyeovy charakteristické teloty vázány silami vzájemného ůsobení, které omezují jejich ohyb jen na kmitavý ohyb kolem jejich rovnovážných oloh. yto kmity se mohou uskutečňovat ve třech směrech. Energie těchto kmitů je ak vnitřní energie látky, která i zde souvisí s telotou látky. Dokonalou teorii vnitřní energie evných látek je možné odat jen omocí ředstav kvantové fyziky. Zde ouze uveďme, že vztahy (4) a (5) latí v evných látkách ři dostatečně vysokých telotách, uvažujeme-li ro kmitající částice šest stuňů volnosti. Pro telotu musí být slněna odmínka > θ, kde θ je Debyeova charakteristická telota. Zjistíme ji odle vztahu θ = (hf) / k, kde h je Planckova konstanta, k je Boltzmannova konstanta a f je frekvence kmitů částic. Debyeovy charakteristické teloty θ ro diamant, stříbro, hliník a olovo jsou uvedeny v tab....5 Kontrolní otázky () Co je to vnitřní energie lynu? () Zaočítává se kinetická energie soustavy (jako ohybujícího se celku) do její vnitřní energie? 9 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika () jakém oměru jsou vnitřní energie soustavy ro jeden mol lynu a ro jednu molekulu? (4) Jak souvisí telota se střední kinetickou energií částice ideálního lynu? (5) yslovte ekviartiční teorém. (6) Co ředstavuje výraz k? (7) ysvětlete, roč má trojatomová tuhá molekula lynu šest stuňů volnosti. (8) Co je to Debyeova charakteristická telota?.6 Příklady k rocvičení Řešený říklad. yočítejte, jak se změní střední hodnota kinetické energie molekuly argonu, jehož hmotnost je g, jestliže mu ři zachování stálého objemu dodáme 56 J tela. Řešení: Změnu střední hodnoty kinetické energie molekuly jednoatomového argonu se třemi stuni volnosti jeho molekuly určíme z rovnice (), kterou naíšeme ve tvaru řírustku Uc = k. Pokud lyn nemění svůj objem, nekoná mechanickou ráci, a roto se celé dodané telo využije ke zvýšení vnitřní energie lynu v souladu s rovnicí Q = U. Pro vnitřní energii argonu latí vztah (), který je latný ro jeden mol lynu, tedy ro obecné množství Q m R = U = n R =, M kam jsme dosadili molární množství lynu ve tvaru teloty n = m M. Odtud změna Q M =. m R Dosazením tohoto řírustku teloty do rovnice ro změnu střední hodnoty kinetické energie molekuly argonu bude kde jsem využili relaci Q M U c = k = k = m R Q M m N 56 J.,4 kg.mol U c = =6. J,, kg. 6,. mol R N = k A. A (47)
nitřní energie Řešený říklad. nádobě objemu l se nachází 7. stejných jednoatomových molekul lynu. Střední kinetická energie jedné molekuly je 6,8. - J. Určete: a) vnitřní energii lynu, b) telotu lynu, c) tlak lynu, d) tlak a telotu lynu ři dvojnásobném objemu nádoby. Řešení: a) Molekula jednoatomového lynu má tři stuně volnosti a jeho vnitřní energie je součtem kinetických energií jednotlivých molekul. Proto bude vnitřní energie lynu součin očtu molekul a kinetické energie jedné molekuly, U = N U =7.. 6,8. J = 4,78. J = 4,78 k J. c b) elotu lynu určíme z rovnice ro kinetikou energii jedné molekuly lynu () Uc = k. Odtud - Uc. 6,8. J o = = = K = 57 C. - k.,8. J.K c) Z rovnice ro výočet vnitřní energie jednoho molu lynu (), kterou vyjádříme ro obecné množství lynu U = n R, vyjádříme součin U n R = a dosadíme jej do stavové rovnice U = n R = = U Odsud tlak lynu U. 4,78. J = = = 9. Pa = 9 kpa..,m d) Jak jsme určili v části b) tohoto říkladu, výočet teloty je nezávislý na objemu lynu, a roto =. Pokud jde o tlak, ten je určen rovnicí v části c), tedy ro dvojnásobný objem lynu U U 9 kpa = = = = =59,5 kpa. ( ) Neřešený říklad. Kolik molekul je v nádobě tvaru koule o oloměru cm nalněné kyslíkem, když jeho telota je 7 o C a tlak,. - Pa? [,6. 4 molekul] Neřešený říklad.4 S využitím ředstav kinetické teorie lynů vyočítejte vnitřní energii jednoho molu a) jednoatomového, b) dvojatomového lynu, jehož tlak je 8 kpa a objem l. [a) 4,4 kj, b) 4 kj]. (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika elo a ráce Energie, kterou ředává látka s vyšší telotou látce s nižší telotou je telo. Látka neobsahuje telo, mikroskoická energie, kterou látka obsahuje, je vnitřní energie. Předávání energie ve formě tela není jediná možnost jak odebrat nebo dodat látce energii. Látka může energii ztrácet, když vykonává ráci a získávat, okud ráci konají vnější síly ve rosěch látky (naříklad síla ůsobící na íst stlačuje lyn). d W ráce vykonaná na lynu konečný stav = o C = o C ráce konaná na lynu stlačováním Q zahřátí lynu hořákem konečném stavu se nerozlišuje jak lyn získal energii, tj. nemůžeme říci, zda lyn dosáhl konečný stav zahříváním (dodáním tela) nebo zda na něm byla vykonána ráce, nebo zda šlo o kombinaci obojího. = o C hořák obr.. Příklad dokumentující ředávání energie termodynamické soustavě ve formě tela a ráce. elo Energie, kterou si látky ředávají rostřednictvím srážek ohybujících se molekul, je telo Q. O telu hovoříme jen ři ředávání energie výše osaným zůsobem. ýrok látka obsahuje telo je nesrávný. Látka může obsahovat vnitřní energii, ale ne telo. Jednotkou tela je J (joule). Jestliže telota rvní látky klesla ři ředání tela z na a vnitřní energie z U na U, můžeme sát U U = U a zároveň U = Q = Q'<, (6) kde Q je telo odevzdané rvní látkou a Q' je telo řijaté druhou látkou. Mezinárodní dohodou je stanoveno, že telo řijaté látkou je kladné (zde Q '> ) a telo odevzdané látkou je záorné (zde Q < ). (47)
elo a ráce. Práce lynu Z mechaniky víme, že okud ůsobí síla na těleso a těleso osune o určitou dráhu, ak tato síla koná mechanickou ráci. Podobně může lyn svým tlakem ůsobit na své okolí (naříklad na íst ve válci) a konat mechanickou ráci. K čemu dochází? Plyn na úkor své vnitřní energie nebo s využitím dodaného tela koná mechanickou ráci. dx = d S Nedodáváme-li mu telo, ochlazuje se. Dokážeme, že má-li lyn konat mechanickou ráci, musí zvětšovat svůj objem. Předokládejme, že lyn ůsobí S S d svým tlakem na íst ve válci, který osouvá a tím koná ráci (viz obr..). Posune-li lyn íst o dráhu dx, vykoná ráci obr.. K odvození ráce lynu dw = F dx = S dx = d, (7) kde S je locha ístu, a roto d = S dx je změna objemu lynu v důsledku osuvu ístu. Celková ráce, kterou lyn vykoná osune-li íst tak, že objem lynu se zvýší z hodnoty na hodnotu bude W = d. (8) Rovnice (8) rokazuje, že lyn koná kladnou ráci ři zvětšování svého objemu, kdy d >. ehdy hovoříme o exanzi lynu. Dochází-li ke zmenšování objemu lynu (d < ), jde o komresi a v tom říadě konají ráci vnější síly, které lyn stlačují. Je-li objem lynu konstantní, je d = a lyn žádnou mechanickou ráci nekoná. Při izochorickém ději (=konst) tedy lyn ráci nekoná. dw W d obr.. Práce lynu v - diagramu Práci lynu osanou rovnicí (8) si můžeme vyjádřit graficky v - diagramu, jak ukazuje obr... Elementární ráce dw = d je dána velikostí lochy o stranách, d. ato ráce je na obr.. zobrazena modrou lochou. Celkovou ráci W ři exanzi lynu z objemu na objem získáme integrací. ato ráce je na obr.. znázorněna hnědou lochou. (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika.. Práce lynu ři izobarickém ději Izobarický děj: Při konstantním tlaku lynu (=konst), zjistíme ráci lynu z rovnice (8). Dostaneme W = d a o úravě W = ( ) (9) Při izobarické stavové změně je ráce, kterou koná lyn, úměrná změně jeho objemu =... Práce lynu ři izotermickém ději Izotermický děj: Je-li telota lynu konstantní, zjistíme ráci lynu dosazením stavové rovnice do rovnice (8). Dostaneme W = a o rovedené integraci bude d = n R d () W = n R ln. () Při izotermické stavové změně je ráce, kterou koná lyn, úměrná řirozenému logaritmu oměru konečného a očátečního objemu lynu. O ráci nebo o tele má smysl hovořit jen tehdy, nastává-li interakce soustavy s okolím. U izolovaných soustav jsou telo a ráce vždy nulové. Ani ráce, ani telo tedy neoisují stav soustavy, nejsou to tedy stavové veličiny.. Kontrolní otázky () Co je to telo? () Jak se mění telota lynu, který koná mechanickou ráci a kterému nedodáváme telo? () Čemu je rovna mechanická ráce, kterou soustava koná tím, že se rozíná? (4) Co je to komrese? Koná ři komresi ráci lyn nebo vnější síly? (5) Jakou ráci lyn koná, nedojde-li ke změně jeho objemu? (6) Plyn zvětšil svůj objem z na a) izobaricky, b) izotermicky. Při kterém ději vykonal větší ráci? [Řešte numericky i graficky.] (7) Jaký tvar má locha rerezentující ráci v - diagramu ři izobarickém ději? 4 (47)
elo a ráce.4 Příklady k rocvičení Řešený říklad. Při exanzi 5 kg dusíku ři konstantní telotě 4 o C lyn vykonal ráci 7 kj. Počáteční tlak je 9 kpa. Určete: a) očáteční objem lynu, b) konečný objem lynu, c) konečný tlak, d) telo, které bylo dodáno ři exanzi. Molární hmotnost molekuly dusíku je 8 g.mol -. Řešení: a) Počáteční objem lynu určíme ze stavové rovnice n R - m R 5 kg.8,4 J.K.mol. 4 K - = = = = 666. m - M 8. kg.mol.9. Pa = 666 l. b) Pro výočet konečného objemu lynu oužijeme rovnici (6) ro ráci lynu ři konstantní telotě m W = n R ln = R ln, M ze které vyjádříme nejdříve řirozený logaritmus oměru objemů a z něj hledaný konečný objem lynu = ex( M W ln =, m R - M W,8 kg.mol. 7. J ) =,666 m. ex( ) =,6 m. - - m R 5 kg.8,4 J.K.mol.4 K c) Konečný tlak určíme oět ze stavové rovnice m R 5 = = M kg.8,4 J.K.mol.4 K = 98.,8 kg.mol.,6 m Pa = 98 kpa. d) hledem ke stálé telotě je telo, které vzniklo ři stlačení, rovno ráci, kterou vykonaly vnější síly Q =W = 7 kj. 5 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika 4 První a druhá termodynamická věta 4. První termodynamická věta Jak jsme ukázali v úvodu části a zobrazili na obr.., říjem energie termodynamickou soustavou se může uskutečňovat dvojím zůsobem: a) vnější síly konají mechanickou ráci ve rosěch soustavy, b) soustava řijímá telo. Proto je řírůstek vnitřní energie soustavy dán součtem du = dq + ( dw ), () kde znaménko u druhého členu zdůrazňuje, že ráci nekoná soustava, ale vnější rostředí. Úravou, s využitím rovnice (7) ro elementární ráci lynu dostaneme dq = du + d. () Rovnice () vyjadřuje rvní termodynamickou větu. Říká, že řijaté telo dq je využito ke zvýšení vnitřní energie látky du a ráci dw= d vykonanou lynem. První termodynamická věta vyjadřuje zákon zachování energie ro termodynamické soustavy. Mimo jiné říká, že u izolovaných termodynamických soustav (kdy dq =, dw = ) se nemůže měnit vnitřní energie soustavy. nitřní energie izolovaných soustav je konstantní. Formulaci rvní termodynamické věty můžeme zjednodušit ro děje ři konstantní telotě nebo konstantním objemu lynu. 4. První termodynamická věta ři jednoduchých dějích 4.. Izotermický děj Pro izotermický děj je =konst nebo-li d=. o derivaci rovnice (5) odle teloty je a úravou du d = i R (4) i du = Rd =, (5) kde i je očet stuňů volnosti molekul lynu. 6 (47)
První a druhá termodynamická věta Pro izotermický děj je změna vnitřní energie soustavy nulová. První termodynamická věta ro izotermický děj ak bude mít tvar dq= d a ři větší změně objemu lynu, s řihlédnutím k rovnici (), Q =W = n R ln, (6) kde Q je telo, které musíme dodat lynu ři izotermickém ději, má-li se jeho objem zvětšit z hodnoty na hodnotu. Při izotermickém ději může lyn konat ráci jen na úkor tela dodaného lynu. 4.. Izochorický děj Pro izochorický děj je =konst, tedy d=, a tím i dw=d= První termodynamická věta ak řejde na tvar du = dq, (7) Při izochorickém ději se může měnit vnitřní energie soustavy jen v důsledku výměny tela s okolím. 4. Druhá termodynamická věta První termodynamická věta říká, že libovolné množství tela dodané látce můžeme roměnit na ráci a naoak libovolné množství ráce na telo. Zkušenost však říká, že zatímco druhou transformaci můžeme rovést bez omezení (mechanickou ráci můžeme řevést na telo nař. zabržděním, tedy třením), oačnou řeměnu nelze rovádět v lném rozsahu, rotože má značné omezující odmínky. Kinetická energie střely, která uvázne v terči, se celá řemění na telo. Avšak oačný děj se již nikdy nemůže realizovat. Uvolněné telo se nikdy neřemění zět na kinetickou energii střely. Podobné jevy ozorujeme v řírodě velmi často. yto vlastnosti termodynamických soustav vyjadřuje druhá termodynamická věta, která má několik formulací: Clausiusova formulace druhé termodynamické věty: Je nemožné sestrojit stroj, který racuje v cyklu a nerovádí nic jiného než řenáší telo ze studenějšího rostředí do telejšího. Planckova formulace: Nemůžeme sestrojit stroj, který by trvale odebíral ze zásobníku telo a řeměňoval jej na mechanickou ráci. Uvedené formulace druhé termodynamické věty jsou ekvivalentní. eelný stroj v Planckově ojetí (obr. 4. vravo) nazývaný eretum mobile. druhu, které nemůže fungovat, rotože odebíráním tela ze zásobníku se zásobník ochlazuje a řijde doba kdy se jeho telota vyrovná s telotou okolí stroje a další telo ze zásobníku se již odle Clausiusovy formulace neodebere. Je-li tedy srávná Clausiusova formulace, je srávná i Planckova a naoak. 7 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika Q stroj Q eelný stroj možný W Q stroj W eelný stroj nemožný obr. 4. Možný a nemožný teelný stroj. Druhý stroj nevyhovuje. termodynamickému zákonu Možnou a nemožnou variantu teelného stroje ukazuje obr. 4.. Druhá termodynamická věta netvrdí, že není možné telo řeměňovat na ráci, avšak klade určitá omezení. U teelného stroje racujícího cyklicky (viz kaitola 7 Kruhové děje v lynech) je třeba dvou teelných zásobníků o telotách >. 4.4 Kontrolní otázky () Je obecně srávné (dostačující) definovat vnitřní energii látky součtem kinetické a otenciální energie částic? () Je vnitřní energie termodynamické soustavy stavová veličina? () Formulujte zákon zachování energie ro termodynamické soustavy. (4) Co vyjadřuje rvní termodynamická věta? (5) Při které stavové změně se veškeré řivedené telo mění na mechanickou ráci? (6) Může se u izolovaných soustav ři izobarických dějích měnit vnitřní energie soustavy? (7) Při které stavové změně se mechanická ráce nekoná? (8) Závisí ři izotermické změně velikost ráce, kterou vykonal lyn, na telotě, ři které se lyn rozíná? (9) Formulujte druhou termodynamickou větu. () Co je to eretum mobile. druhu? 4.5 Příklady k rocvičení Řešený říklad 4. Jakou ráci vykoná vzduch o objemu 55 litrů, zahřejeme-li jej ři stálém tlaku 5 kpa z teloty o C na telotu 45 o C? yočtěte rovněž změnu vnitřní energie a dodané telo. Řešení: Nejdříve určíme konečný objem lynu omocí Gay-Lussacova zákona =, 8 (47)
První a druhá termodynamická věta 48 K = =,55 m.. =,749 m 9 K Při izobarickém ději lyn koná ráci v souladu s rovnicí (9) W = ( ) = 5. Pa. (,749 m,55 m ) = 8 kj. Zohledněním skutečnosti, že molekula vzduchu má ět stuňů volnosti, určíme změnu vnitřní energie vzduchu z rovnice (5) 5 5 U = n R ( ) = ( ), kam jsme za součin nr dosadili ze stavové rovnice hodnot n R =. Po dosazení 5.5. Pa.,55 m U =. ( 48 K 9 K ) = 7. J = 7 k J.. 9 K Dodané telo určíme z rvní termodynamické věty Q = U +W = 7 k J + 8 k J = 98 k J. Řešený říklad 4. zduch má v očátečním stavu objem litrů, tlak 98 kpa a telotu o C. Izotermicky exanduje na konečný objem 6 litrů. Určete: a) kolik tela ři tom řijme, b) konečný tlak, c) vykonanou ráci. Řešení: a) Nemění-li lyn svoji telotu, lze rvní termodynamickou větu sát ve tvaru Q = W a řijaté telo očítat odle rovnice (6) Q =W = n R ln =,6 m Q = 98. Pa., m. ln =7. J =7 k J,, m kde jsme využili stavovou rovnici = nr. b) Konečný tlak lynu určíme omocí Boylova-Mariottova zákona = a odtud 98. Pa.,m 5 = = =,5. Pa = 5kPa.,6 m c) ykonaná ráce je odle a) rovna řijatému telu, tedy W = Q =7 kj. Řešený říklad 4. e válci s ístem je 4 g vodíku teloty 7 o C od tlakem kpa. Ke stlačení ístem na olovinu ůvodního objemu jsme vynaložili ráci kj ln 9 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika a současně jsme vodíku odebrali 49,5 kj tela. Jakou měl vodík telotu a tlak o stlačení? Řešení: Pro vodík latí rvní termodynamický zákon Q = W + U, řičemž změnu 5 vnitřní energie vodíku můžeme vyjádřit rovnicí U = n R ( ), kde je konečná a očáteční telota lynu a ro vodík, který je dvojatomový lyn, jsme dosadili očet stuňů volnosti i = 5. Dosazením do výchozí m rovnice, s využitím n =, dostaneme rovnici M 5 m R ( ) Q =W + M a její úravou M ( Q W ) = +. 5 m R Při dosazování hodnot musíme resektovat znaménka tela a ráce. zhledem k tomu, že telo nedodáváme, ale odebíráme a vzhledem k tomu, že ráci nekoná lyn, ale vnější síly, budou obě znaménka (tela i ráce) záorná. Po dosazení zadaných hodnot dostaneme - -.. kg.mol. ( 49, 5. J (. J) ) = + 9 K - - 5. 4. kg. 8,4 J.K mol = 4,5 K =8,5 lak vodíku o stlačení určíme ze stavové rovnice orovnáním očátečního a konečného stavu lynu, a odtud = = = o C. = 4,5 K =.. Pa. = 85. = 9 K Pa = 85kPa. Řešený říklad 4.4 Láhev o objemu,5 l byla nalněna dusíkem teloty o C na tlak, MPa. livem změněných vnějších odmínek se dusík v láhvi zahřál na telotu 7 o C. yočtěte a) tlak dusíku v nádobě o zahřátí, b) telo, které bylo otřebné na zahřátí dusíku víte-li, že molekula dusíku má 5 stuňů volnosti. Řešení: a) Porovnáme stav dusíku ro telotu = o C = 95 K a tlak =, MPa = 5 Pa se stavem dusíku ro telotu = 7 o C = 4 K a tlak (47)
První a druhá termodynamická věta a odsud vyočítáme neznámý tlak =, = 5 4 K 5 = = Pa. =,6. Pa = 6 kpa. 95 K b) Při konstantním objemu lyn nekoná mechanickou ráci, a roto je dodané telo rovno zvýšení vnitřní energie lynu Q = U. Proto odle rovnice (5) hledané telo bude i Q = U = n ( U m U m) = n R ( ), o dosazení hodnot 5 - Q =,58 J.K. (4 K 95 K) = 6J, kde součin nr jsme určili ze stavové rovnice 5 - n R = = =,58 J.K. Pa.,5 m 95 K Řešený říklad 4.5 tlakové nádobě o objemu l je kyslík (ět stuňů volnosti) od tlakem kpa. Stlačenému kyslíku dodáme ři konstantním objemu 4 kj tela. Na jakou hodnotu se zvýší tlak v nádobě? Řešení: Dodáváme-li lynu telo ři konstantním objemu, nekoná lyn ráci a dodávka tela zůsobí nárust vnitřní energie lynu Q = U, řičemž změnu vnitřní energie lynu zjistíme z rovnice (5) i U = n R( ), kde je očáteční a konečná telota lynu. Obě teloty vyjádříme ze stavové rovnice = n R a dosadíme do výchozí rovnice a odtud Q = o dosazení hodnot a i U = n R ( n R = n R i ) = ( ) n R Q = +, i (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika. 4. J =. Pa + = 4. Pa = 4 kpa. 5., m Neřešený říklad 4.6 Jak velké telo je otřeba na izotermickou exanzi litrů vodíku očátečního tlaku 8 kpa na čtyřnásobný objem? Jaký bude výsledný tlak? [ J; kpa] (47)
eelná kaacita 5 eelná kaacita Jestliže soustavě, která nekoná ráci, dodáváme telo, ohřívá se. Změna teloty soustavy, vyvolaná dodaným telem, je závislá na teelné kaacitě soustavy. eelná kaacita látky je dána odílem řijatého tela a jím zůsobené změny teloty. yjadřuje schonost látky či tělesa jímat telo. Definujeme ji Q K =, (8) kde arciální derivace naznačuje, že dodané telo je funkcí více roměnných veličin, ne ouze teloty. 5. Měrná teelná kaacita Abychom vyloučili vliv množství ohřívané látky, je výhodnější zavést měrnou teelnou kaacitu. Měrná teelná kaacita c látky (evné, kaalné nebo lynné) vyjadřuje telo, které musíme dodat kg látky, aby se ohřála o K. Obecně měrnou teelnou kaacitu definujeme vztahem Q c = ( ). (9) m Může-li látka ři ohřívání zvětšovat svůj objem, musíme jí dodat ke stejnému ohřátí větší telo, než ři konstantním objemu látky. Je to tím, že ři rozínání koná látka ráci a tuto ráci je třeba okrýt dalším řívodem tela. Proto jsou měrné teelné kaacity ři roměnném objemu větší než ři konstantním objemu. říadě evných látek a kaalin není třeba udávat druh termodynamické změny, ři které měrnou teelnou kaacitu definujeme, rotože ředokládáme jejich objem konstantní. říadě lynů rozlišujeme měrnou teelnou kaacitu ři konstantním tlaku c a ři konstantním objemu c, které definujeme vztahy a Q c = ( ) m () Q c = ( ), () m (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika kde index, resektive naznačuje, že derivaci rovádíme ři =konst, res. =konst. c > c, rotože ři konstantním tlaku je objem roměnný a tak se část dodaného tela zužitkuje k vykonání ráce. Poměr c γ = > () c je Poissonova konstanta, která se ohybuje v oměrně úzkém rozmezí od, do,66. 5. Molární teelná kaacita Někdy bývá výhodnější vztahovat teelnou kaacitu na jeden mol látky. Molární teelná kaacita C ředstavuje množství tela otřebné k ohřátí jednoho molu látky o jeden kelvin. Molární teelná kaacita je definovaná vztahem Q C = ( ), () n kde n je látkové množství, určené nař. vztahem (A.9). Srovnáním rovnic (9) a () dostaneme C = M c, (4) kde M je molární hmotnost látky. Podobně jako v říadě měrných teelných kaacit je třeba u lynů rozlišovat molární teelnou kaacitu ři konstantním tlaku C a molární teelnou kaacitu ři konstantním objemu C. Pro ideální lyn je možné molární teelnou kaacitu oměrně snadno zjistit na základě kinetických oznatků s využitím stavové rovnice a rvní termodynamické věty. Předokládejme nejdříve, že telota jednoho molu lynu se zvyšuje ři stálém objemu. ím je slněna rovnice (7), takže můžeme v souladu s definicí () nasat dq du C = ( ) = ( ). (5) d d Z kaitoly víme, že vnitřní energie jednoho molu lynu je dána rovnicí (). Derivujme ji odle teloty a dostaneme nebo-li i d( R) C =, d (6) i C = R, (7) 4 (47)
eelná kaacita kde i je očet stuňů volnosti molekul lynu a R je molární lynová konstanta. Chceme-li odobně vyjádřit i molární teelnou kaacitu ři konstantním tlaku, musíme si nasat stavovou rovnici v diferenciálním tvaru. Dostaneme ji diferencováním stavové rovnice, tedy zhledem ke konstantnímu tlaku v této rovnici bude d +d = R d, (8) d = R d. (9) yužijeme-li nyní rvní termodynamickou větu () ve tvaru dq = du + d = C d + d, () kde jsme za du dosadili z rovnice (5), můžeme o dosazení za d z rovnice (9) určit molární teelnou kaacitu ři stálém tlaku nebo-li dq C d + Rd C = =, () d d C = C + R, () což je Mayerova rovnice. Říká, že molární teelná kaacita ři stálém tlaku je vždy větší než molární teelná kaacita ři stálém objemu, což odovídá oznatkům v úvodu tohoto článku. Molární teelnou kaacitu ři stálém tlaku můžeme s využitím rovnice (7) nasat ve tvaru i C = ( + ) R. () tab. 5. jsou uvedeny molární teelné kaacity ro jednoatomové (i=), dvojatomové (i=5) a tříatomové nebo víceatomové (i=6) lyny, sočtené odle rovnic () a (7). Exerimentálně se zjistilo, že obecně jsou molární teelné kaacity lynů funkcí teloty. Z graficky znázorněné telotní závislosti C ( ) na obr. 5. lze usoudit do jaké míry jsou hodnoty uvedené v tab. 5. srovnatelné se skutečností. Pro jednoatomové lyny je shoda velmi dobrá v širokém telotním intervalu, nesouhlas je jen v oblasti velmi nízkých telot. Pro dvojatomové lyny je to složitější. eoretická hodnota se shoduje s naměřenou jen v oblasti středních telot. U tříatomových a víceatomových lynů jsou značné odchylky od teoretických hodnot již ři okojových telotách. Usokojivý výklad závislosti C na telotě, zejména v oblasti nízkých telot, nemůžeme odat s využitím ředstav klasické fyziky, bylo by třeba využít kvantové mechaniky. 5 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika C / J.K -.mol - i C /J.mol -.K - C /J.mol -.K -,785,47 5 9,99,785 6,56 4,94 4 / K tab. 5. Molární teelné kaacity obr. 5. Závislost C na telotě ro evné látky lyn exeriment γ teorie He,66,67 Ar,66,67 H,4,4 N,4,4 O,4,4 CO,, N O,7, NH,, CH 4,, SO,7, tab. 5. Poissonova konstanta zjištěná měřením a odle rovnice (4) Známe-li molární teelné kaacity vyjádřené omocí stuňů volnosti i lynu, můžeme očítat Poissonovu konstantu odílem rovnic () a (7), tedy e fyzikálních tabulkách bývá C i + γ = = = +. (4) C i i Poissonova konstanta γ tabelována a z ní lze zjišťovat stuně volnosti lynů. tab. 5. je ro několik lynů uvedena Poissonova konstanta zjištěná jednak měřením a jednak z rovnice (4). idíme, že exerimentální výsledky usokojivě souhlasí s klasickou teorií ideálního lynu. 5. Kalorimetrická rovnice Řešením diferenciální rovnice (9) můžeme najít souvislost mezi množstvím tela Q dodaného látce a nárůstem její teloty z na. Úravou rovnice (9) dostaneme a její integrací dq = mcd, (5) Q = m c d. (6) 6 (47)
eelná kaacita Předokládáme-li telotně nezávislou měrnou teelnou kaacitu c, je možno telo dodané (Q > ) nebo odebrané (Q < ) látce sát ve formě Q = m c, kde =, (7) > v říadě dodávání tela a < v říadě odebírání tela. Dojde-li ke smíšení více látek různých telot, vznikne uzavřená termodynamická soustava, která začne řecházet do rovnovážného stavu. Znamená to, že o vyrovnání telot na telotu se telo Qk řijaté studenějšími látkami, kterých je n, rovná telu Q' j odňatému telejším látkám, kterých je n, za ředokladu, že látky nemění svá skuenství, neůsobí na sebe chemicky a nevykonávají řitom mechanickou ráci. Musí tedy latit nebo-li n k= Q k n = Q', (8) j= j n Q k k= =, (9) kde n = n + n a Q ' j+ n = Qk ro k > n. Rovnici (9) lze s řihlédnutím k rovnici (7) vyjádřit součtem n i= m c ( ) =, (4) i i kde n je celkový očet látek, které jsme smíchali a i jsou jejich ůvodní teloty. Rozdíl telot i je kladný ro látky, které telo řijaly a záorný ro látky, které telo odevzdaly. ztah (4) je kalorimetrická rovnice. ato kalorimetrická rovnice neředokládá změny skuenství látek. Je výchozím vztahem ro měření tela. elo se měří v kalorimetrech. Kalorimetr je seciální nádoba oatřená teloměrem. Podle teelné vodivosti stěn dělíme kalorimetry na izotermické a adiabatické. Izotermické kalorimetry mají stěnu, která odděluje vnitřní a vnější část kalorimetru, z dokonale teelně vodivého materiálu, takže měřené telo z kalorimetru odchází a je nějakým zůsobem indikováno. Klasickým říkladem izotermického kalorimetru je kalorimetr ledový, kde telo rocházející stěnou kalorimetru vyvolá tání ledu ve vnější části kalorimetru. Podle množství roztátého ledu se určí telo, které uniklo z kalorimetru. Adiabatické kalorimetry mají stěny nádoby dokonale teelně izolovány od okolí. elo dodané do kalorimetru tedy zůsobí zvýšení teloty uvnitř kalorimetru. Existuje více tyů adiabatických kalorimetrů. Dodáváme-li do kalorimetru telo omocí toné elektrické sirály, jde o elektrický kalorimetr. Jiným tyem je směšovací kalorimetr, u něhož telo dodáváme nebo z něj telo odebíráme řidáním určitého množství látky určité teloty. Předokládejme, že kalorimetr má teelnou kaacitu K a je ustálen na telotě i 7 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika. Je-li do něj vložen ředmět hmotnosti m, měrné teelné kaacity c a teloty, ustálí se telota v kalorimetru na hodnotě. Podle kalorimetrické rovnice (4) bude ro tuto telotu latit = K +m c. (4) K + m c 5.4 Kontrolní otázky () Jak jsou definovány teelná kaacita a měrná teelná kaacita? () Závisí měrná teelná kaacita látek na druhu termodynamické změny stavu? Jak je tomu u evných látek a kaalin a jak u lynů? () Jakou hodnotu má Poissonova konstanta u evných látek a kaalin? (4) Je v říadě lynů větší měrná teelná kaacita ři konstantním tlaku nebo objemu? (5) Jak se liší měrná teelná kaacita od molární teelné kaacity? (6) Jakou hodnotu má rozdíl molárních teelných kaacit ideálního lynu ři konstantním tlaku a ři konstantním objemu? (7) Jak se shoduje klasická teorie molárních teelných kaacit se skutečností? (8) Proč nejsou odstatné rozdíly mezi klasickou teorií a exerimentem ři určení Poissonovy konstanty, zatímco v říadě molárních teelných kaacit jsou tyto neshody značné? (9) Naište vztah ro výočet tela dodaného látce hmotnosti m, vzrosteli její telota z na. () Jak zformulujete kalorimetrickou rovnici? () Co je to kalorimetr? () Do jaké kategorie atří kalorimetr ledový a jak racuje? () Jaký je rozdíl mezi izotermickým a adiabatickým kalorimetrem? (4) Patří elektrický a směšovací kalorimetr do stejné kategorie? Jaký je mezi nimi rozdíl? 5.5 Příklady k rocvičení Řešený říklad 5. Hélium objemu l zvětšilo svůj objem ři stálém tlaku kpa na dvojnásobek. yočítejte, kolik se na to sotřebovalo tela. Poissonova konstanta ro hélium je,67. Řešení: yjdeme z rvní termodynamické věty ve tvaru () kterou uvedeme ro n molů lynu, 8 (47)
eelná kaacita dq = n C d + d. Pro konečnou stavovou změnu, ři které je tlak konstantní a objem se zdvojnásobí, bude celkové dodané telo Q = nc ( ) + Podle stavové rovnice je ( m = C M ) = nc ( ) + m = M M R co o dosazení do ředchozí rovnice dává ( ) + R. m = R ( C C C + R Q = + = ( + ) = R R R a s oužitím Mayerovy rovnice C C + R = C Q = R. ) = i Dále oužijeme rovnic () C = ( + ) R a (4) γ = + a získáme i takže γ R γ Q = R Po dosazení číselných hodnot i γ C = ( + ) R = ( + ) R = R, γ γ, 67 Q =.. 67, γ = γ Pa., m =,5.. J =,5 k J. Řešený říklad 5. Do kalorimetru o teelné kaacitě 5 J.K -, ve kterém bylo ml vody teloty o C, jsme vložili horký měděný váleček hmotnosti 4 g. Po vložení válečku se voda v kalorimetru ohřála na 5 o C. Určete telotu měděného válečku řed vložením do kalorimetru. Měrná teelná kaacita vody je 4,8 kj.kg -.K - a mědi 8 J.kg -.K -. Řešení: Údaje ro vodu označíme indexem, údaje ro měď indexem a kaacitu kalorimetru a výslednou telotu onecháme bez indexu. Kalorimetrickou rovnici (4) naíšeme ve tvaru K ( ) + m c( ) + m c( ) = a úravou získáme telotu měděného válečku 9 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika Po dosazení číselných hodnot ( K + m c )( ) = + m c - - o o ( 5 J.K +, kg. 48 J.kg.K ). (5 C C ) o o = + 5 C =5 C -,4 kg. 8 J.kg.K Neřešený říklad 5. e válci s ohyblivým ístem se ři stálém tlaku kpa rozíná 5 g vzduchu (ět stuňů volnosti) z teloty 8 o C na telotu o C. Jaké telo na to vzduch otřebuje a jakou ráci ři exanzi vykoná? O jakou vzdálenost se osune íst ve válci ři uvedené změně, jeli růměr jeho základny 6 cm? Hustota vzduchu za normálních odmínek je,9 kg.m -. [Q=9 J; W=6 J; 46, cm] Neřešený říklad 5.4 zduchu hmotnosti 6 kg uzavřenému v nádobě jsme dodali 68,4 kj tela. zduch zvětšil svůj objem a vykonal ři tom ráci 8,5 kj, řičemž zároveň jeho telota stoula z o C na 5 o C. Na základě těchto údajů vyočítejte měrné teelné kaacity vzduch ři konstantním objemu a ři konstatním tlaku. Poissonova konstanta ro vzduch je,4. [c = 74 J.kg -.K -, c =8 J.kg -.K - ] Neřešený říklad 5.5 Abychom určili růměrnou telotu v eci, bylo do ní vloženo latinové tělísko hmotnosti g, které bylo o zahřátí rychle onořeno do litru vody o telotě o C. elota vody se zvýšila o 4 o C. Určete telotu v eci, je-li měrná teelná kaacita latiny,6 kj.kg -.K - a vody 4,8 kj.kg -.K -. [59 o C]. (47)
Děje v izolovaných soustavách a jejich zobecnění 6 Děje v izolovaných soustavách a jejich zobecnění 6. Adiabatický děj První termodynamická věta umožňuje vybudovat teorii ro děj, který se nazývá adiabatický. Adiabatický děj je definován ro soustavy izolované od okolí, které si nemohou vyměňovat s okolím telo. Pro adiabatický děj latí dq =. Plyn však může konat mechanickou ráci, nebo tuto ráci může konat okolí ve rosěch lynu. První termodynamická věta ro adiabatický děj má tvar du = d. (4) Pravou stranu tohoto vztahu vyjádříme omocí stavové rovnice v diferenciálním tvaru (8) a jeho levou stranu uravíme omocí rovnice (5). Dostaneme C d = d R d (4) a o úravě, s řihlédnutím k Mayerově rovnici (), bude Jestliže z rovnic (5) a (4) je C d = d. (44) je rovněž du d C = =, (45) d d d d =, (46) což dosadíme do (44) a uravíme na tvar d+ γ d =, (47) kde γ je Poissonova konstanta. Úravou bude C a integrací dostaneme rovnici kterou řevedeme na tvar d d + γ = (48) ln + γ ln = konst, (49) (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika γ = konst. (5) γ = W obr. 6. Adiabata a izoterma v - diagramu γ ento vztah se nazývá Poissonova rovnice a vyjadřuje vztah mezi tlakem a objemem lynu ři vratné adiabatické změně. Graficky je vyjádřen křivkou, kterou nazýváme adiabata. Na obr. 6. je adiabata znázorněna v - diagramu zelenou křivkou. Pro srovnání je rovněž uvedena izoterma, která klesá s rostoucím objemem vždy omaleji než adiabata. Při adiabatickém ději, okud dochází k exanzi (rozínání) lynu, klesá telota a naoak, okud lyn stlačujeme, telota roste. Podél adiabaty tedy není telota stálá a telotu izotermy má adiabata v tom stavu, který je znázorněn růsečíkem křivek na obr. 6.. Leží-li adiabata od izotermou, telota lynu je nižší než ři izotermickém ději. Ležíli nad izotermou, telota lynu je vyšší než udává izoterma. Práci, kterou koná jeden mol lynu ři adiabatickém ději, dostaneme z rovnice (7) tak, že za člen d dosadíme z rovnice (46), tedy nebo-li W = d = C d = C ( ), (5) W = C ( ), (5) kde je očáteční a konečná telota lynu. Je zřejmé, že W >, tedy ráci koná lyn, jen je-li očáteční telota vyšší než telota o vykonané ráci, >. Je to tehdy, dochází-li k exanzi lynu. Pokles teloty lynu ři adiabatickém ději, koná-li lyn ráci, je logickým důsledkem toho, že lynu nesmíme dodávat telo. Podle rvní termodynamické věty se ak ráce rovná úbytku vnitřní energie lynu W = U. Při adiabatické komresi je tomu naoak, telota roste ( > ) a ráci (W < ) musí konat vnější síly otřebné ke komresi lynu. 6. Polytroický děj ratná izotermická změna vyžaduje dokonalou výměnu tela mezi lynem a okolím, vratná adiabatická změna robíhá zase ři dokonalé teelné izolaci lynu. raxi nelze řesně dosáhnout těchto mezních říadů a exanze nebo komrese lynů robíhá odle křivek jež leží mezi izotermou a adiabatou. Skutečné exanzní a komresní děje můžeme v diagramu - zobrazit hyerbolami tyu (47)
Děje v izolovaných soustavách a jejich zobecnění n = konst, (5) kde exonent n má hodnotu, která leží mezi (izoterma) a γ (adiabata). Děj osaný rovnicí (5), kde < n < γ, nazýváme olytroický děj. Křivky olytroického děje v - diagramu nazýváme olytroy. Předokládáme, že olytroické změny jsou vratné. W obr. 6. Polytroy s různými exonenty Přiustíme-li, že exonent n může nabývat i jiných hodnot než < n < γ, můžeme všechny vratné změny, které jsme oznali, ovažovat za olytroické děje. Je-li n = vyjadřuje rovnice (5) izotermický děj, je-li n = γ vyjadřuje adiabatický děj, je-li n vyjadřuje izochorický děj, a konečně je-li n = vyjadřuje izobarický děj. šechny tyto křivky jsou znázorněny na obr. 6.. 6. Kontrolní otázky () Co je to adiabatická stavová změna? () Na úkor které energie se koná mechanická ráce ři adiabatickém ději? () Naište Poissonovu rovnici ro adiabatický děj. (4) Klesá v - diagramu strměji izoterma nebo adiabata? (5) e kterém stavu v - diagramu má adiabata telotu izotermy? (6) Ze stejného očátečního stavu,, roběhne adiabatický a izotermický děj. Plyn se v obou říadech rozene na stejný objem. Při kterém z obou dějů lyn vykonal větší ráci? (7) Je ráce lynu ři adiabatickém ději lně určena změnou teloty nebo je třeba znát i změnu dalších stavových veličin? (8) Co je to olytroický děj? Naište jeho stavovou rovnici. (9) Seřaďte exonenty olytroických dějů odle velikosti ráce, kterou lyn vykoná ři říslušném ději rozene-li se ze solečného očátečního stavu vždy na stejný konečný objem. (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika 6.4 Příklady k rocvičení Řešený říklad 6. Dva moly vodíku o telotě 7 o C a tlaku 99, kpa jsme adiabaticky stlačili na třetinu ůvodního objemu a otom nechali izotermicky rozenout na ůvodní objem. a) Jaká byla konečná telota a jaký byl konečný tlak? b) Jakou ráci lyn vykonal? Řešení: odík je dvojatomový lyn s ěti stuni volnosti. Poissonovu konstantu ro něj určíme omocí rovnice (4), γ = + =, 4. i a) Při adiabatickém ději latí Poissonova rovnice ro dva různé stavy lynu γ γ ve tvaru = a odsud dostáváme tlak ( γ γ γ,4 = ) = ( ) = = 99,. Pa. = 46 kpa. Známe-li tlak, telotu určíme ze stavové rovnice = = =, o dosazení číselných hodnot =, 46. Pa o =. K= 466 K =9 C.. 99,. Pa b) Práci lynu určíme jako součet rací ři adiabatické komresi (tato ráce bude záorná - jde o komresi a ráci konají vnější síly) a ři izotermické exanzi. yužijeme k tomu rovnic (5) a a(), obě ro n molů lynu, tedy W = n C a o dosazení ( W = mol.8,4 J.kg i ) + n R ln = n R ( ) + n R ln = i = n R ( ) + ln - 5.K. 47 K. [ = 6 J =,6 kj. K. ( 47 K ) + ln ] = Řešený říklad 6. Diesselův motor má komresní oměr : = k. zduch ve válci motoru má očáteční tlak, objem a telotu. a) Jak veliký tlak a telota vzduchu ve válci motoru bude na konci adiabatické komrese ři uvedeném komresním oměru? b) Jakou ráci vykonaly ři komresi vnější síly? 4 (47)
Děje v izolovaných soustavách a jejich zobecnění Řešení: a) Pro adiabatický děj latí Poissonova rovnice určíme tlak = γ γ ( = k. ) elotu určíme ze stavové rovnice dostaneme γ γ =, ze které =, o její úravě γ k = = k γ- = = k. k b) Práci vnějších sil určíme jako záornou ráci lynu ři adiabatickém ději, kterou určuje rovnice (5). Při úravě oužijeme stavovou rovnici ve tvaru n R =, rovnici (4) γ = + a rovnici ro telotu získanou v i části a). Práce vnějších sil otom bude i γ- W = n C ) = n R ( ) = ( ) = ( k γ γ γ ( ). Neřešený říklad 6. Určité množství vzduchu jsme nechali rozenout z očátečního objemu litry na ětinásobný objem. Počáteční tlak vzduchu byl, MPa. yočítejte, jakou ráci lyn vykonal, uskutečnila-li se exanze a) izobaricky, b) izotermicky, c) adiabaticky. [a) 8 J, b) J, c) 7 J] 5 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika 7 Kruhové děje v lynech Kruhový děj (cyklus) je takový sled stavových změn v termodynamické soustavě ři nichž se soustava oět vrátí do očátečního stavu. ento děj se může mnohokrát oakovat a tím není časově omezen. W obr. 7. Kruhový děj v - diagramu Kruhový děj je výhodné sledovat v - diagramu, jak ukazuje obr. 7.. Probíhá mezi minimálním objemem lynu a maximálním objemem. Plocha uzavřená křivkou v - diagramu odovídá ráci, kterou lyn vykoná ři jednom oběhu. Kruhový děj se využívá dvojím zůsobem, odle směru oběhu děje. Pak hovoříme o teelném stroji nebo o teelném čeradlu (chladícím stroji). eelný stroj je teelné zařízení v němž dlouhodobě robíhá řeměna tela v mechanickou ráci. Je charakteristický tím, že lyn svůj objem zvětšuje ři nejvyšším tlaku. Jde o oběh římý. Na obr. 7. je směr římého oběhu znázorněn stroj Q Q eelný stroj W Q stroj Q eelné čeradlo obr. 7. Princi činnosti teelného stroje a teelného čeradla W červenou šikou. Princi je naznačen na obr. 7.. eelné čeradlo nebo také chladící stroj je teelné zařízení v němž robíhá dlouhodobá řeměna mechanické ráce v telo. Je charakteristický tím, že lyn svůj objem zvětšuje ři nejnižším tlaku. Jde o oběh obrácený. Na obr. 7. je směr obráceného oběhu znázorněn modrou šikou. Princi je naznačen na obr. 7.. 7. Carnotův cyklus ratný kruhový děj skládající se ze dvou izotermických a dvou adiabatických dějů se nazývá Carnotův cyklus. eelný stroj racující na rinciu Carnotova cyklu je nejúčinnější. Carnotův cyklus definoval v 9. století francouzský fyzik Nicolas Léonard Sadi Carnot. Zjistil, že okud teelný stroj racuje odle tohoto cyklu, má 6 (47)
Kruhové děje v lynech nejvyšší účinnost. Carnotův cyklus sestává z následujících čtyř dějů, které jsou znázorněny na obr. 7. v diagramu. a) Z výchozího stavu se ohřívač lyn izotermicky rozíná ři konstantní telotě do stavu. Během této fáze řijme z ohřívače telo 4 Q. b) Ze stavu okračuje cyklus adiabatickou exanzí do stavu. Přitom se sníží telota lynu z teloty na telotu. Během této fáze je vyloučena výměna obr. 7. Carnotův cyklus v diagramu tela mezi lynem a okolím. c) Dále děj okračuje izotermickou komresí ze stavu do stavu 4 ři konstantní telotě. Během této fáze lyn odevzdá do chladiče telo Q. d) Poslední část cyklu je adiabatická komrese, během níž se lyn vrátí ze stavu 4 do výchozího stavu, řičemž se jeho telota oět zvýší zět z teloty na telotu. Oět je vyloučena výměna tela mezi lynem a okolím. Při izotermických dějích je lyn ve styku se zásobníky říslušné teloty. Při adiabatických dějích musí být rovedena dokonalá teelná izolace lynu od okolí. Práci, kterou Carnotův teelný stroj vykonal během jednoho cyklu, je dána součtem rací ři všech dějích 4. S řihlédnutím ke skutečnosti, že ři izotermických dějích je ráce lynu rovna telu Q, které lyn řijal (ři izotermické exanzi) nebo telu Q, které odevzdal (ři izotermické komresi) a vzhledem k rovnici ro ráci lynu ři adiabatickém ději (5), bude ro ráci jednoho cyklu latit nebo-li W = Q +C ( ) Q + C ( ), (54) W = Q Q. (55) Práce lynu ro jeden Carnotův cyklus je rovna rozdílu tela Q řijatého z ohřívače a tela Q odevzdaného chladiči. Po vyjádření teel z rovnice (6) můžeme ráci lynu o jednom Carnotově cyklu sát rovněž ve tvaru 7 (47)
Alikovaná fyzika ermodynamika W = n R ln n R ln. (56) kde =. oto tvrzení dokážeme. Pro jednotlivé stavové změny ři 4 Carnotově cyklu totiž latí Úravou rovnic, dostaneme =, 4 = 4, γ γ 4 takže, o odmocnění oslední rovnice γ γ 4 4 4 γ, = γ. = γ γ =, a roto ráce ro jeden Carnotův cyklus bude =, (57) 4 W = n R ( ) ln. (58) Graficky je tato ráce znázorněna lochou uvnitř uzavřené křivky na obr. 7.. eelné kruhové děje charakterizuje jejich teelná účinnost η. Je určena oměrem vykonané mechanické ráce W k celkovému dodanému telu lynu Q během jednoho cyklu, W η =. (59) Q elo Q, které racovní lyn odevzdá chladiči, nemůžeme od tela Q dodaného ohřívačem ve vztahu (59) odečítat, rotože není využito ve rosěch ráce lynu, jde o telo ztrátové. Není vráceno zět ohřívači, nýbrž je odevzdáváno chladiči, který není schoen teelný stroj zásobovat telem. Může však být zužitkováno jinak, naříklad k toení v motorových vozidlech. yužijeme-li vztah ro vykonanou ráci (55), můžeme teelnou účinnost v rovnici (59) vyjádřit vztahem Q Q η =. (6) Q ento oměr je u vratného Carnotova cyklu dán jen telotami a ohřívače a chladiče. Pro teelnou účinnost, odle rovnice (6) ro telo dodané ři izotermickém ději, vychází 8 (47)