Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 1 / 18
Opakování teorie Definice: Náhodná veličina X je zobrazení X : Ω R, pro které platí X 1 ((, x]) = {ω Ω X(ω) x} F, x R. Definice: Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : R [0, 1] definovaná vztahem F(x) = P(X x) = P ( X 1 ((, x]) ) = P ({ω Ω X(ω) x}). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 2 / 18
Opakování teorie Lemma: Distribuční funkce F náhodné veličiny X má následující vlastnosti: a) lim x F(x) = 0, lim x + F(x) = 1, b) F je nekledající, c) F je zprava spojitá, tj. lim y x+ F(y) = F(x). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 3 / 18
Příklad 4.1 Buď F distribuční funkce náhodné veličiny X. Ukažte, že platí: a) P(X > x) = 1 F(x), b) P(x < X y) = F(y) F(x), c) (*) P(X = x) = F(x) lim y x F(y). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 4 / 18
Opakování teorie Definice: Náhodná veličina X se nazývá diskrétní jestliže, nabývá hodnot z nějaké nejvýše spočetné množiny {x 1, x 2,... } v R. Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p : R [0, 1] definovaná vztahem p X (x) = P(X = x). Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny: F X (x) = P(X x) = x i x p X (x i ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 5 / 18
Příklad 4.2 Házejme dvakrát po sobě stejnou mincí: Ω = {(ω 1, ω 2 ) ω 1, ω 2 {0, 1}}. Uvažujme náhodnou veličinu X((ω 1, ω 2 )) = ω 1 + ω 2. a) Za předpokladu férových mincí určete a nakreslete její pravděpodobnostní a distribuční funkci. b) Proveďte to samé za předpokladu cinknuté mince. Tj. P(ω 1 = 1) = p Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 6 / 18
Opakování teorie Definice: Střední hodnota (expectation) diskrétní náhodné veličiny X je definována vztahem E X E(X) = i x i P(X = x i ) = i x i p X (x i ), kde p X je pravděpodobnostní funkce X. Rozptyl (variance) náhodné veličiny X je definován jako σ 2 var(x) = E(X E X) 2 = E X 2 (E X) 2. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 7 / 18
Opakování teorie Věta: Střední hodnota splňuje následující vlastnosti: a) Když X 0 pak E X 0. b) Pro každé a R a náhodné veličiny X a Y platí E(aX + Y ) = a E X + E Y. c) Náhodná veličina konstantně rovná 1 má střední hodnotu E 1 = 1. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 8 / 18
Příklad 4.3 Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny z příkladu 4.2. Tj. veličiny X((ω 1, ω 2 )) = ω 1 + ω 2. Kde ω 1 {0, 1} resp. ω 2 {0, 1} je výsledek prvního resp. druhého hodu mincí. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 9 / 18
Opakování teorie - příklady diskrétních rozdělení p X (k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,..., E X = var X = λ Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 10 / 18 Bernoulliho rozdělení, 0 p 1, X Be(p): (Jeden hod falešnou mincí.) P(1) = p, P(0) = 1 p, E X = p, var X = p(1 p) Binomické rozdělení, 0 p 1, X Bi(n, p): (Počet panen v n hodech falešnou mincí.) ( ) n p X (k) = p k (1 p) n k, E X = np, var x = np(1 p) k Geometrické rozdělení, 0 p 1, X Geom(p): (Počet hodů falešnou mincí než padne první pana.) p X (k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,..., Poissonovo rozdělení, λ > 0, X Poisson(λ): (V jistém smyslu aproximace binomického.) E X = 1 p, var X = 1 p ( ) 1 p 1
Příklad 4.4 Označme S = {1, 2, 3, 4, 5,..., n} kde n N je pevné celé číslo. Uvažujme následující proceduru: Vyjměmě náhodně číslo z S a zapišme jej, bez vracení do S. Opakujme dokud množina S není prázdná. Výsledkem je tedy permutace prvků množiny S. a) Nechť X označuje tuto permutaci. Je X rovnoměrně rozdělená? b) (*) Označme počet sudých čísel v prvních k < n tazích jako N. Jaké je rozdělení N? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 11 / 18
Příklad 4.5 Uvažujme náhodnou veličinu X nabývající nějaké spočetné množiny hodnot. Ukažte, že X nemůže mít rovnoměrné rozdělení. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 12 / 18
Příklad 4.6 Házejme kostkou tak dlouho než padne šestka. Jako náhodnou veličinu T uvažujme počet hodů, které musíme provést. a) Jaké rozdělení ma veličina T? b) Najděte P(T > 3). c) Spočtěte P(T > 6 T > 3). d) (*) Určete E T a var T. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 13 / 18
Příklad 4.7 Nechť X je náhodná veličina s poissonovým rozdělením, X Poisson(λ). Pro λ = 1 dále najděte: 3 a) P(X = 0) a P(X = 1) b) P(X > 1) c) E T d) var T Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 14 / 18
Příklad 4.8 Modelování příchodů zákazníků (Binomické Poissonovo rozdělení) Uvažujme náhodnou veličinu X označující počet zákazníků, kteří tankují u konkrétní benzínové stanice mezi 16 a 17h odpoledne. Dále předpokládejme, že platí: počet aut (potenciálních zákazníků) ve městě je n počet pump ve městě je úměrný počtu aut s konstantou úměrnosti ρ > 0 pravděpodobnost, že zákazník bude chtít tankovat (u nějaké pumpy) mezi 16 a 17h označme p zákazníci se rozhodují nezávisle na ostatních Určete rozdělení X. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 15 / 18
Příklad 4.9 Modelování příchodů zákazníků (Binomické Poissonovo rozdělení) Označme v předchozím příkladu λ = p ρ. Ukažte, že v limitě n + má náhodná veličina X poissonovo rozdělení s parametrem λ. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 16 / 18
Příklad 4.10 Předpokládejme, že X Poisson(λ) reprezentuje počet požadavků na databázový server během jedné sekundy. Čemu odpovídá parametr λ? Předpokládejme, že Y je počet zákazníků přicházejících na databázový server během intervalu t sekund. Y má Poissonovo rozdělení s parametrem λt Pokuste se vysvětlit proč. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 17 / 18
Příklad 4.11 Geometrické rozdělení nemá paměť Chceme ukázat: tj. N Geom(p) (N k N > k) Geom(p) P(N = n) = P(N k = n N > k) = P(N = n + k N > k) (Pravděpodobnost, že budeme házet n krát do první panny je stejná jako, že budeme házet n + k krát pokud víme, že po k hodech panna nepadla.) Ukažte také: P(N > n) = P(N > n + k N > k) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 4 ZS 2014/2015 18 / 18