17. Posloupnosti a řady funkcí

Transkript

1 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12

2 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje bodově k f na M, jestliže lim n + f n (x) = f(x) pro každé x M, neboli x M ε > 0 n 0 N Značíme f n f na M. n N, n n 0 : f n (x) f(x) < ε.

3 Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje stejnoměrně k f na M, jestliže ε > 0 n 0 N x M Značíme f n f na M. n N, n n 0 : f n (x) f(x) < ε.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 Definice Necht f, f n : M R k R m, m, k, n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje lokálně stejnoměrně k f na M, jestliže pro každý kompakt K M konverguje {f n K } n=1 k f loc K stejnoměrně na K. Značíme f n f na M.

17 Věta 17.1 Necht M je neprázdná množina, f, f n : M R m, m, n N. Označme σ n := sup f n (x) f(x). x M

18 Věta 17.1 Necht M je neprázdná množina, f, f n : M R m, m, n N. Označme σ n := sup f n (x) f(x). x M Pak platí f n f na M lim n σ n = 0.

19 Věta 17.2 (Moore Osgood) Necht M R k, x 0 M a necht funkce f, f n z M do R, n N, splňují (i) f n f na M P r (x 0 ) pro jisté r > 0, (ii) lim x x0,x M f n (x) = a n R pro každé n N. Potom existují vlastní limity lim n a n, lim x x0,x M f(x) a jsou si rovny.

20 Věta 17.2 (Moore Osgood) Necht M R k, x 0 M a necht funkce f, f n z M do R, n N, splňují (i) f n f na M P r (x 0 ) pro jisté r > 0, (ii) lim x x0,x M f n (x) = a n R pro každé n N. Potom existují vlastní limity lim n a n, lim x x0,x M f(x) a jsou si rovny. Tedy lim n lim f n(x) = lim lim f n(x). x x 0,x M x x 0,x M n

21 Věta 17.3 Necht f, f n : M R k R m loc, k, m, n N, přičemž f n f na P. Jsou-li f n spojitá zobrazení, pak f je také spojité.

22 Věta 17.4 Necht (a, b) je omezený interval, f n : (a, b) R, n N. Necht (i) f n mají vlastní derivaci na intervalu (a, b), n N, (ii) existuje x 0 (a, b) takové, že {f n (x 0 )} n=1 konverguje, (iii) {f n} konverguje stejnoměrně na (a, b). Potom existuje funkce f taková, že f n f na (a, b), f má vlastní derivaci na (a, b) a platí f n f na (a, b).

23 Věta 17.4 Necht (a, b) je omezený interval, f n : (a, b) R, n N. Necht (i) f n mají vlastní derivaci na intervalu (a, b), n N, (ii) existuje x 0 (a, b) takové, že {f n (x 0 )} n=1 konverguje, (iii) {f n} konverguje stejnoměrně na (a, b). Potom existuje funkce f taková, že f n f na (a, b), f má vlastní derivaci na (a, b) a platí f n f na (a, b). Tedy speciálně pro všechna x (a, b) platí ( ) lim f n(x) = lim f n (x). n n

24 Věta 17.5 Necht f n f na neprázdném omezeném intervalu (a, b) a f n N(a, b), n N. Potom f N(a, b) a platí b b lim (N) f n = (N) lim f n. n a a n

25 Věta 17.6 (Dini) Necht K R m je kompaktní množina. Necht {f n } : K R je monotónní posloupnost spojitých funkcí, která konverguje bodově ke spojité funkci f : K R. Pak f n f na K.

26 Věta 17.6 (Dini) Necht K R m je kompaktní množina. Necht {f n } : K R je monotónní posloupnost spojitých funkcí, která konverguje bodově ke spojité funkci f : K R. Pak f n f na K. Věta 17.7 (Weierstrassova o aproximaci) Necht f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu a, b. Pak pro každé ε > 0 existuje polynom P : R R takový, že x a, b : f(x) P(x) < ε.

27 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N. Řekneme, že řada funkcí n=1 f n je bodově konvergentní na M, jestliže posloupnost funkcí { m k=1 f k} m=1 je bodově konvergentní na M. Pojmy stejnoměrné konvergence a lokálně stejnoměrné konvergence řady n=1 f n se definují analogicky.

28 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta 17.8 (Weierstrassovo kritérium) Necht n=1 f n je řada funkcí definovaných na neprázdné množině M R s hodnotami v R a necht pro S n = sup{ f n (x) ; x M} platí n=1 S n <. Potom n=1 f n konverguje stejnoměrně na M.

29 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta 17.9 (Abelovo kritérium) Necht M R k je množina, a n : M R a b n : M R, n N. Dále necht platí (i) {b n (x)} n=1 je monotónní pro každé x M, (ii) {b n } je posloupnost stejně omezených funkcí, tj. K R n N x M : b n (x) K, (iii) n=1 a n konverguje stejnoměrně na M. Potom n=1 a nb n konverguje stejnoměrně na M.

30 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta (Dirichletovo kritérium) Necht M R je množina, a n : M R a b n : M R, n N. Dále necht platí (i) {b n (x)} n=1 je monotónní pro každé x M, (ii) {b n } konverguje stejnoměrně k nulové funkci na M, (iii) n=1 a n má stejně omezené částečné součty na M, tj. K R m N x M : m a j (x) K. j=1 Potom n=1 a nb n konverguje stejnoměrně na M.

31 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta (záměna sumy a derivace) Necht (a, b) je omezený neprázdný interval a n=1 f n je řada funkcí z R do R splňující: (i) f n má vlastní derivaci na (a, b), n N, (ii) existuje x 0 (a, b) takové, že n=1 f n(x 0 ) konverguje, (iii) řada n=1 f n konverguje stejnoměrně na (a, b). Potom řada n=1 f n konverguje stejnoměrně na (a, b) a pro každé x (a, b) platí ( f n (x)) = n=1 f n(x). n=1

32 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta (záměna sumy a integrálu) Necht (a, b) je omezený neprázdný interval a n=1 f n je řada funkcí splňující: (i) f n N(a, b), n N, (ii) řada n=1 f n konverguje stejnoměrně k funkci f na (a, b). Potom f N(a, b) a platí (N) n=1 b a b f n = (N) a f n. n=1

33 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí (pokrač.) Věta Necht n=0 a n(x x 0 ) n je mocninná řada (x 0 R, a n R, n N) s poloměrem konvergence R 0,. Potom řada konverguje lokálně stejnoměrně na množině (x 0 R, x 0 + R).