ERIPTIVÍ GEOETRIE EETROIÁ RIPT OREÍ RŽIE V IEÁRÍ PERPETIVĚ V této kapitole elektronickýc skript se budeme abývat růnými typy obraů kružnice v lineární perspektivě a konstrukcemi nejčastěji užívanými pro sestrojení perspektivníc obraů kružnice. ávosloví a načení týkající se lineární perspektivy budeme používat ve standardní podobě vi například kapitola el. skript Volba lineární perspektivy. k Velmi často budeme obraovat poue část kružnice, ale pro estručnění a přelednění textu nebudeme vždy pečlivě rolišovat da právě pracujeme s celou kružnicí nebo poue s její částí. Tedy obraem kružnice může být v tom kterém případě myšlen i obra poue části kružnice, tj. kružnicovéo oblouku. Při konstrukci průmětů v lineární perspektivě budeme většinou pracovat s promítacím paprsky jako s polopřímkami vycáejícími e středu lineární perspektivy. Pokud bycom uvažovali celé přímky, moli bycom dostávat průměty objektů, které jsou vledem k průmětně a poorovatelem to sice může být ajímavé geometrickéo lediska, ale prakticky se s takovou situací nesetkáme. o může být obraem kružnice v lineární perspektivě ejčastěji si pod pojmem obra kružnice v lineární perspektivě vybavíme elipsu. Je však nutno si uvědomit, že obraem kružnice může být jednak kterákoliv regulární kuželosečka a dále také přímka nebo její část. Je poměrně snadné nalédnout, že perspektivní průmět kružnice je vlastně ře promítací kuželové plocy perspektivní průměrnou (vi např. obráky 5 8 ). Řeem kuželové plocy může být kterákoliv regulární kuželosečka. ingulární kuželosečky tímto řeem vniknout nemoou, protože rovina řeu (tj. perspektivní průmětna) neprocáí vrcolem kuželové plocy (tj. středem P). uželová ploca může v některýc případec degenerovat do roviny nebo její výseče (obr. 9 ). O typu perspektivnío obrau kružnice rooduje její poloa vůči průmětně a vůči středu P. Při ákladním členění budeme rolišovat da střed P leží nebo neleží v rovině kružnice. V prvním případě bude obraem kružnice přímka nebo část přímky, která je průsečnicí roviny kružnice s perspektivní průmětnou. V druém případě se bude jednat o některou regulární kuželosečku. a obráku je perspektivní průmět objektu s řadou kružnic(e obraené orné kružnice k je řejmé, že se jedná o odně širokoúlou perspektivu). a tomto obráku jsou barevně rolišeny jednotlivé typy kuželoseček, které jsou obraem kružnic. odře jsou vynačeny elipsy, oranžovou barvou jsou paraboly a eleně yperboly. a obráku je potom stejný objekt náorněn v pravoúlýc průmětec a v prostorovém nadledu a to včetně volby P. a b F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě
a obráku a je náorněna prostorová situace a na obráku b potom perspektivní průmět této situace vycáející. Válcová deska stolu má svojí orní podstavu v rovině, která je rovnoběžná seákladní rovinu π a leží vestejné výšce jako střed promítání (tv. oborová rovina). Promítací kužel fialové vynačené kružnice se potom deformuje do poué části roviny oraničené dvěma polopřímkami úlové výseče (vi např. obráek 9 ). Průnik této výseče s průmětnou σ je úsečka. V situaci obraené na obráku je to úsečka která leží na oriontu. a obráku 4a je náorněn půdorys a na obráku 4b prostorový náled objektu s řadou kružnicovýc oblouků a dále volba P. Fialově vynačené části kružnic leží v rovinác které obsaují střed promítání. ud je to rovina oborová nebo roviny svislé, jejicž půdorysné stopy (průsečnice s π) procáejí bodem. V perspektivním průmětu na obráku 4c jsou fialově vynačeny úsečky či případně polopřímky které jsou průměty uvažovanýc kružnic. eleně jsou vynačeny yperbolické průměty ostatníc kružnic na objektu. a obr. 4 je vynačena poloa roviny σ, která procáí středem lineární perspektivy a je rovnoběžná s perspektivní průmětnou σ, její průsečnice se ákladní rovinou π je onačena. Promítací paprsek každéo bodu, který leží v rovině σ (tedy spojnice bodu s daným bodem) je rovnoběžný s perspektivní průmětnou. To namená že nemá s průmětnou σ reálný průsečík. a perspektivní průměty takovýc bodů považujeme nevlastní body jejic promítacíc přímek (vi body na obrácíc 7, 8, 0 a ). právě počet nevlastníc bodů průmětu kružnice je roodující pro typ regulární kuželosečky, která je obraem kružnice v P. F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě a 4a 4b b 4c
Jetřeba připomenout,že v předmětec G I ag II sesetkáme nejčastěji seliptickým, kružnicovým nebo úsečkovým průmětem kružnice. a této stránce však uvedeme podrobnější přeled. Obdobný (jen mírně upravený) přeled bycom moli sestavit i pro perspektivní obray elipsy. Věnujme se nejprve situaci, kdy je obraem kružnice regulární kuželosečka tedy bud kružnice, elipsa, parabola, nebo yperbola. Předpokládejme tedy, že střed lineární perspektivy neleží v rovině obraované kružnice. Regulární obra kružnice v lineární perspektivě Jak bylo řečeno výše, je pro určení typu kuželosečky, která bude obraem té které kružnice, velmi důležitá rovina σ, jejíž body se v P promítnou do nevlastníc bodů.podletookolik máobraovaná kružnicebodůvroviněσ můžemesnadno rolišit typ jejío perspektivnío obrau. V případě, že kružnice leží v rovině rovnoběžné s průmětnou σ, je jejím perspektivním obraem opět kružnice vi obráek 5. (Předpokládáme, že kružnice neleží v rovině σ, protože pak by žádný reálný perspektivní obra kružnice nevnikl.) V případě, že kružnice leží v rovině růnoběžné s průmětnou σ, ale vůbec neprotíná rovinu σ, bude jejím obraem elipsa vi obráek 6. Protože žádný bodobraované kružnice neleží v rovině σ, nemá její perspektivní průmět žádný nevlastní bod. Regulární kuželosečkou be nevlastníc bodů je právě elipsa (nebo ve speciálním výše popsaném případě kružnice). Toto je nejčastější případ, se kterým se potkáme obraované kružnice většinou celé leží a průmětnou σ, a proto nemoou rovinu σ vůbec protínat. V případě, že se kružnice roviny σ dotýká (tedy má s ní společný právě jeden bod), je perspektivním obraem této kružnice parabola vi obráek 7. Průmět obraované kružnice má právě jeden nevlastní bod (na obráku 7 je onačen ) a regulární kuželosečka s právě jedním nevlastním bodem je parabola. Osa paraboly v σ na obr. 7 je rovnoběžná s přímkou. V případě, že obraovaná kružnice protíná rovinu σ ve dvou bodec, bude jejím perspektivním obraem yperbola vi obráek 8. Průmět obraované kružnice má dva nevlastní body (na obráku 8 jsou onačeny a ) a regulární kuželosečka s dvěma nevlastními body je yperbola. symptoty yperboly v průmětně σ na obr. 8 jsou rovnoběžné s přímkami a. Je nutno dále důranit, že uvažujeme-li promítací polopřímky a tedy poue část kružnice ležící před poorovatelem, ískáme průmětem poue jednu větev yperboly. Pokud bycom uvažovali celé promítací přímky a tedy i část kružnice a poorovatelem jako na obráku, ískali bycom obě větve yperboly. ingulární obra kružnice v lineární perspektivě Pojmem singulární obra budeme roumět situaci, kdy střed lineární perspektivy leží v rovině obraované kružnice. V takovém případě je obraem kružnice přímka nebo její část. Pro rolišení jednotlivýc možností bude opět důležitá poloa obraované kružnice vůči rovině σ a vůči středu promítání. V následujícím přeledu jsou uvedeny i situace, se kterými se běžně nesetkáme a některé jsou spíše teoretické a uvedeny jsou pro úplnost. aopak nejčastějším případem je jistě situace první. V případě, že kružnice rovinu σ vůbec neprotíná a leží celá před poorovatelem, je obraem této kružnice v lineární perspektivě úsečka, která leží na průsečnici roviny kružnice a průmětny σ vi např. obráky 9 a b. V případě, že má obraovaná kružnice s rovinou σ společný právě jeden bod, je perspektivním průmětem této kružnice polopřímka vi obráek 0. Výjimkou by byla situace, kdy by se obraovaná kružnice dotýkala roviny σ právě v bodě potom by obraem kružnice byla celá přímka (průsečnice roviny kružnice a průmětny σ). Pokud je střed promítání vnitřním bodem obraované kružnice (a tedy tato kružnice protíná rovinu σ ve dvou bodec), je perspektivním průmětem kružnice celá přímka (průsečnice roviny kružnice a průmětny σ). a obráku je náorněna situace, kdy obraovaná kružnice leží v oborové rovině. V případě, že obraovaná kružnice protíná rovinu σ ve dvou bodec a střed promítání je jedním nic, je průmětem kružnice polopřímka (průnik průmětny σ a poloroviny určené tečnou kružnice v bodě, ve které leží promítaná kružnice). Ve všec výše uvedenýc případec můžeme předpokládat že pracujeme s promítacím paprsky (tedy polopřímkami vycáejícími bodu ). Pokud bycom připustili že můžeme pracovat s promítacím přímkami a tedy obraovat i části kružnice které leží a poorovatelem, mola by nastat ještě jedna situace. V případě, že obraovaná kružnice protíná rovinu σ ve dvou bodec a střed P je vnějším bodem této kružnice, je perspektivním obraem kružnice dvojice polopřímek které leží na jedné přímce (průsečnici roviny kružnice a průmětny σ) vi například obráek. rajní body těcto polopřímek jsou průsečíky tečen ke kružnici bodu s průmětnou σ. Pokud bycom i v tomto případě uvažovali poue promítací polopřímky, byla by perspektivním obraem kružnice poue jedna výše míněnýc polopřímek. F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě
5 7 6 8 9 0 F VT, Elektronicka skripta G, obraenı kru nice v linea rnı perspektive 4
ejčastěji užívané konstrukce V této části popíšeme konstrukce které užíváme nejčastěji pro sestrojení perspektivníc obraů kružnice. Jak už bylo řečeno výše, nejčastěji se setkáme s eliptickým obraem kružnice v P. Proto se aměříme právě na konstrukci eliptickéo obrau kružnice. V předmětec G I a G II konstruujeme eliptické obray kružnice v P bodově tedy nekonstruujeme osy a vrcoly elipsy, ale snažíme se sestrojit dostatečné množství bodů výsledné křivky a ty pak spojujeme křivítkem. onstrukcí, kterou le využít v největším počtu typickýc adání je konstrukce příčková, případně ní odvoená konstrukce Tibaultova. Příčková konstrukce Příčkovou konstrukci předvedeme nejprve pro kružnici be perspektivnío kreslení. Vstupem pro tuto konstrukci je dvojice kolmýc průměrů, a kružnici opsaný čtverec tvořený tečnami kružnice v bodec,,,. Tuto konstrukci můžeme použít i pro elipsu pokud jsou, sdružené průměry elipsy a je opsaný rovnoběžník. onstrukci si můžete vykoušet i v GeoGebra appletu: ttps://ggbm.at/fe5g. Příčková konstrukce probíá po kvadrantec. ejprve je nutné volit kolik bodů kružnice v každém kvadrantu opsanéo čtverce cceme sestrojit. V konstrukci na obráku 4 budeme sestrojovat v každém kvadrantu čtverce tři body kružnice. Proto je nutné strany opsanéo čtverce a průměr rodělit na 8 stejnýc dílků ( 4b ). ody kružnice pak ískáme jako průsečíky příček, tedy spojnic koncovýc bodů jednoo průměrů, s dělícími body jak je pro kvadrant náorněno na obr. 4c. 4a 4c 4e 4b 4d 4f F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě 5
a obr. 4d je náorněno symetrické přenesení konstrukce do ostatníc kvadrantů. romě too je v kvadrantu obraena doplňková konstrukce tečen kružnice v již dříve sestrojenýc bodec. Tečna kružnice v sestrojeném bodě je spojnice tooto bodu s odpovídajícím dělícím bodem na straně opsanéo čtverce. Obráek 4e obrauje všec nově sestrojenýc bodů a tečen kružnice. polu se adanými body,,, máme 6 bodů a tečen kružnice. Typickým využitím příčkové konstrukce pro obraení kružnice v P je situace, kdy obraovaná kružnice leží ve svislé rovině. ejvodnější volbou dvojice kolmýc průměrů kružnice je jeden rovnoběžný se ákladní rovinou π a druý rovnoběžný s průmětnou σ. V adání na obr. 5 jsou to průměry π a σ. V jednotlivýc částec obr. 5 jsou obraeny stejné kroky jako u příčkové konstrukce v rovině. aprosto ásadní je správné rodělení úseček. V P le planimetricky rodělit poue úsečky, které leží na přímkác rovnoběžnýc s průmětnou σ. V situaci naobr. 5 jsouto svislé úsečky, a. a ostatníc úsečkác docáí k perspektivnímu kreslování, a je proto nutné využít pro jejic rodělení některou perspektivníc konstrukcí. Jedna možností je náorněna na obr. 5b. ále le využít např. otočenéo půdorysu, nebo dělení poue pomocí úlopříček v licoběžníku nebo jeo částec. alší postup je pak obdobný jako u neperspektivní konstrukce na obr. 4. Je řejmé, že bod, který je v prostoru středem obraované kružnice, není v perspektivním průmětu středem elipsy. Pro důranění této skutečnosti jsou na obr. 5a obraeny i osy elipsy. Tyto osy nejsou výstupem příčkové konstrukce. 5a 5c 5e 5b 5d 5f F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě 6
Tibaultova konstrukce onstrukci náorněnou na obr. 6 le přímo odvodit konstrukce příčkové. Opět je využito rovnoměrnéo dělení stran opsanéo čtverce. Tentokrát však nemůžeme volit počet dělícíc bodů a tím počet nově konstruovanýc bodů kružnice. trany opsanéo čtverce dělíme vždy na čtvrtiny (tedy konstruujeme poloviny úseček v každém kvadrantu). Poté sestrojíme příčky. ejprve spojíme koncové body adanýc průměrů kružnice s protějšími vrcoly opsanéo čtverce na obr. 6a jsou tyto příčky obraeny modře. ále doplníme příčky, které jsou spojnicemi koncovýc bodů adanýc průměrů s nejbližšími dělícími body na přilelýc stranác opsanéo čtverce na obr. 6a jsou tyto příčky vynačeny fialově. V každém kvadrantu je pak jeden bod kružnice průsečík příček, které vycáejí bodů, a druý bod kružnice je průsečík příček, které vycáejí bodů a. arevně jsou tyto dvojice příček pro kvadrant vynačeny v obráku 6b. Ve stejném obráku je náorněna konstrukce tečen v bodec kružnice sestrojenýc v kvadrantu. ělící bod spojíme se s tím konstruovaným bodem kružnice ve stejném kvadrantu, který neleží na příčce vycáející e volenéo dělícío bodu. onstrukci si můžete vykoušet i v GeoGebra appletu: ttps://ggbm.at/rw85gtpr. Tibaultovu konstrukci le samořejmě využít pro elipsu a stejnýc podmínek jako konstrukci příčkovou (tedy pokud jsou a sdružené průměry elipsy a pak opsaný rovnoběžník). a obráku 7 je náorněno využití Tibaultovy konstrukce pro sestrojení perspektivnío obrau kružnice ve svislé rovině. F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě 7 6a 6b 6c 7a 7b 7c
Osmibodová konstrukce si nejčastěji v P obraujeme kružnici, která leží v ákladní rovině π nebo trocu obecněji ve vodorovné rovině. Pro obraení takové kružnice le využít obou konstrukcí popsanýc v předcoím textu. Výodně le ale využít i konstrukci osmibodovou. Pomocí této konstrukce sestrojíme osm rovnoměrně romístěnýc bodů kružnice a tečny v nic. Jak je řejmé obr. 8a obraujeme vlastně dva čtverce opsané adané kružnici, přičemž platí, že body dotyku kružnice s jedním opsanýc čtverců leží na úlopříčkác druéo opsanéo čtverce. ejvýodnější je volit romístění tak, aby jeden e čtverců byl v průčelné poloe (tj. jeo strany leží na loubkovýc přímkác a přímkác rovnoběžnýc se ákladnicí). o P převedeme osmibodovou konstrukci otočenéo půdorysu. výodou le využít symetrie celéo obrace, proto je na obrácíc 8c-f obraena vždy jen čtvrtina otočenéo půdorysu. 8b otočenéo půdorysu vyneseme loubkovou přímku bodů,,, 5, a oubkovou přímku bodů,,. estrojíme body a 5. 8c využitím symetrie sestrojíme loubkovou přímku bodů, 7,. a rovnoběžkác se ákladnicí body a 5 najdeme body, 7,,. a úlopříčkác, najdeme body, a na přímce sestrojíme bod. 8d otočenéo půdorysu vyneseme loubkové přímky bodů, 4 a bodu. estrojíme body, 4 na úlopříčkác, a bod na přímce 7. 8e Pomocí symetrie sestrojíme loubkové přímky bodů 6, 8abodu. ody 6, 8 leží naúlopříčkác,, bod leží na přímce 7. 8f Přímky a 8 se protínají v bodě, přímky 4 a 6 se protínají v bodě. ody a leží na loubkové přímce bodu. 7 6 8 o 5 5 o 4 o 5 o 5 o 4 o 4 o o o 5 5 7 7 8c o o 5 o 5 o o o 4 o 4 o o o o 5 4 5 6 4 7 6 7 8 8 8e o o o o o o 4 o 5 o o 4 F ČVT, Elektronická skripta G, obraení kružnice v lineární perspektivě 8 o o 8a d o o o o 8b 8d 8f