Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

Transkript

1 Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn proměnné dvojčlenem : ( - m ) ( - n ) ( - p ) Bod [m, n, p] je střed S nebo vrchol V kvadrik. Příklad: Kulová plocha ( S, r ) S [ 0, 0, 0], r = + + = 4 S [ 3, 4, 4], r = ( 3) + ( 4) + ( 4) = = 0 KANONICKÝ TVAR ROVNICE KVADRIKY V obecné rovnici doplníme příslušné člen s proměnnými na úplné čtverce a postupně upravíme (čtverce na levou stranu a vše ostatní na pravou stranu rovnice). Pokud se v rovnici vsktují všechn čtverce, bude na pravé straně 1 (elipsoid a hperboloid) nebo 0 (kuželová plocha). Příklad 1: = 0 Řešení (postupné úprav): [ 4] + 3[ + 6 ] = 0 1 [( ) 4] + 3[( + 3) 9] = 6 35 ( ) 8 + 3( + 3) ( ) + 3( + 3) ( ) ( + 3) + 3 = 6 = 7 = 6 35 Eliptický paraboloid, vrchol V[,-3,0], osa souměrnosti // ( X=V+(0,0,1)t ) Příklad : = 0 Řešení : 3[ ] + 4[ 4 ] + 1[ + ] = 13 3[( 1) 1] + 4[( ) 4] + 1[( + 1) 1] = 13 3( 1) + 4( ) + 1( + 1) ( 1) ( ) + + ( + 1) 4 3 = 1 = 1 Jednodílný hperboloid, střed S[1,,-1], osa souměrnosti // ( X=S+(1,0,0)t )

2 ROTAČNÍ KVADRIKY Rotační kvadrika (regulární) vnikne rotací kuželosečk kolem její os nebo přímk kolem mimoběžné os (rotační jednodílný hperboloid). Rotační válcová nebo kuželová plocha (singulární kvadrika) vnikne rotací přímk kolem rovnoběžné nebo růnoběžné os. Rovnice rotační kvadrik v kanonickém tvaru obsahuje dva kvadratické člen se stejnými koeficient (včetně naménka!!), osa rotace je dána středem nebo vrcholem a směrem souřadnicové os odpovídající bývajícímu rušivému nebo chbějícímu členu ( ) ( např. + = 1, + = 1 jsou rotační ploch s osou ve směru os ) Ponámka: Osa rotace odpovídá u nerotačních kvadrik ose souměrnosti ( elená osa pro umístění náčrtku ploch v následujících obrácích). URČENÍ TYPU KVADRIKY ( podle její rovnice v kanonickém tvaru) Použité smbol: Kvadratické člen (čtverce) s proměnnou a se naménkem (+) nebo ( ) ( 3) [např.:, ], jejich pořadí nemusí odpovídat abecednímu pořadí proměnných. 4 Podstatné pro určení tpu jsou počt namének (+) a ( ) Lineární člen se naménkem (+) nebo ( ) [ např.: nebo ( +3) ] Ponámka: Obrák k příkladům jsou poue orientační (be přesného umístění a tvaru). VÁLCOVÁ PLOCHA : v rovnici chbí člen jedné proměnné (a rovnice připomíná rovnici kuželosečk) Souřadnicová osa odpovídající chbějící proměnné udává směr površek, daná rovnice je rovnicí řídicí kuželosečk v příslušné souřadnicové rovině. Příklad 1a: + ( ) = 1 4 Eliptická válcová plocha, površk //, řídicí elipsa (,) : S[0,,0],a=, b=1, osa souměrnosti : X = S[0,,0] + (0,0,1).t Příklad 1b: = Parabolická válcová plocha, površk //, řídicí parabola (,), V[0,0,0] parabolické korýtko ležící na ose

3 Ponámka: Rovnice dalších kvadrik obsahují člen se všemi proměnnými a minimálně dva jsou kvadratické. Na levé straně jsou 3 čtverce a na pravé 1 (elipsoid a hperboloid) nebo 0 (kuželová plocha), pokud jsou na levé straně dva čtverce je na pravé člen lineární (paraboloid). ELIPTICKÝ PARABOLOID : Souřadnicová osa odpovídající lineárnímu členu udává směr os. Příklad : ( + 3) ( 1) = Rotační paraboloid, vrchol V[0,-3,1], osa rotace : X = V[0,-3,1] +(-1,0,0).t HYPERBOLICKÝ PARABOLOID : Uvádím poue pro úplnost přehledu. Rovnice a obráek je v příloe. KUŽELOVÁ PLOCHA : nebo Souřadnicová osa odpovídající rušivému naménku udává směr os. ( 1) Příklad 3: ( + 3) + + = 0 4 Kuželová plocha, vrchol V[-3,0,1], osa : X = V[-3,0,1] + (1,0,0).t 3

4 ELIPSOID : Os souměrnosti procháejí středem ve směru souřadnicových os (trojosý elipsoid). ( 4) ( 1) Příklad 4 : + + = Rotační elipsoid, střed S[4,1,0], osa rotace : X = S[4,1,0] +(0,0,1).t Ponámka: Do této skupin patří samořejmě i kulová plocha + + = r JEDNODÍLNÝ HYPERBOLOID : Souřadnicová osa odpovídající naménku mínus udává směr os. ( 1) ( ) Příklad 5: + ( + 1) = Jednodílný hperboloid, S[1,,-1], osa : X = S[1,,-1] +(0,1,0).t DVOUDÍLNÝ HYPERBOLOID : Souřadnicová osa odpovídající naménku plus udává směr os. ( 1) ( ) Příklad 6: + ( + 1) = Dvoudílný hperboloid, S[1,,-1], osa : X = S[1,,-1] +(0,1,0).t 4

5 ŘEZ KVADRIKY HLAVNÍ ROVINOU Tato úloha představuje řešení soustav dvou rovnic: rovnice kvadrik a rovin. Při vhodně volené rovině (hlavní rovina určená středem nebo vrcholem ploch) můžeme ískat pravoúhlý průmět do souřadnicové rovin. ( 3) ( ) Příklad 1: Určete ře rotačního elipsoidu + + = souřadnicovými rovinami. a) ře rovinou (): ( 3) ( ) = 0 + = elipsa v rovině (), střed S[0,3,], poloos a 3 osový ře hlavní rovinou elipsa je průmětem do () b) ře rovinou (): ( ) 5 = 0 + = prádná množina c) ře rovinou (): = 0 + ( 3) = 0 9 kružnice v rovině (), střed K[0,3,0], r = 0 9 Ponámka: Doplněním dalších hlavních řeů středem S [0,3,] ( = 3, = ) ískáme průmět dané kvadrik do ostatních souřadnicových rovin. Obrák jsou v polovičním měřítku. 5

6 ( 3) Příklad : Určete ře kvadrik + = sestrojení pravoúhlých sdružených průmětů. vhodnými rovinami pro Řešení: Plocha je rotační jednodílný hperboloid: střed S[0,0,3], osa rotace = osa. Vhodné rovin: 1) souřadnicová rovina () = 0 (osový ře rovinou ()), který bude současně průmětem obrsu ploch do této rovin ) α //(), S α = 3 (řeem bude hrdlová kružnice h, jejíž průmět do rovin () bude průmětem obrsu ploch). 1) ře rovinou ( ): = 0 ( 3) = hperbola v rovině (), střed S[0,0,3], poloos a 3 ) ře rovinou α : = 3 + ( 3 ) = 4 kružnice v rovině α // (), střed S[0,0,3], r = Ponámka 1: Obráek je v polovičním měřítku Ponámka : Celý obráek představuje dva sdružené pravoúhlé průmět jednodílného hperboloidu, třetí vhledem k tomu, že plocha je rotační (osa ), b bl shodný s druhým. 6

7 MNOŽINA BODŮ ohraničených plochami Tato úloha nemusí být jednoduchá, omeíme se ted jen na případ hlavní rovin a rotační kvadrik nebo dvou souosých rotačních kvadrik. Způsob řešení nanačují uvedené příklad. Příklad 1: Je dána množina D: [,, ] E3, 0 5, Určete: a) hraniční ploch, b) průnikové křivk, c) načrtněte sdruž. průmět množin D. Řešení: a) 1. podmínka 0 5 je jednoduchá: vrstva ohraničená rovinami =0 a =5. podmínka dává hraniční rotační dvoudílný hperboloid + = b) průnikové křivk: soustava { = 0, + = 1} nemá řešení, soustavu { = 5, + = 1} řeší kružnice c) = 5, + 64 = 9 Ře rovinou = 0 : hperbola + = 1, 4 9 přímk = 0 a = 5 ( α ) Vhledem k podmínkám je průmětem do rovin () vnačený útvar. Průmětem do rovin () je kruh ohraničený průmětem průnikové křivk ( 64 + = ). 9 Výsledná množina je rotační těleso, které vnikne rotací vnačeného útvaru v rovině () kolem os. Toto tvrení můžeme ověřit testem: bod [0,0,4] ležící v tomto tělese splňuje dané podmínk. Ponámka: Obráek je v polovičním měřítku. 7

8 Příklad : Těleso je ohraničené plochami Načrtněte sdružené průmět. = + a =. Řešení: a) po úpravě rovnic dostaneme + = 0, 0 : horní polovina rotační kuželové ploch s osou + = ( ) : rotační paraboloid, V [0,0,], osa je osou rotace b) průniková křivka : řešením soustav (s podmínkou 0 ) dostaneme kružnici = 1, + = 1 (střed [0,0,1], poloměr =1, v rovině = 1) c) obraíme osové ře v rovině = 0: = 0 (dvě polopřímk = ±, 0 ) a doplníme průmětem průnikové kružnice do rovin () = ( ) (parabola, osa, V[0,0,]) Těleso je rotační, vnikne rotací vnačeného útvaru (modrá barva) v rovině () kolem os. Průnikovou křivkou hraničních ploch je kružnice = 1, + = 1 (červená barva). Příloha rovnice kvadrik ( nové stránk 3 a 4) : 8

9 ÃÚ Ö Ø ÔÐÓ Ý ÙÐÓÚ ÔÐÓ + + = r Ð Ô Ó a + b + c = 1 ÒÓ ÐÒ ÝÔ Ö ÓÐÓ a + b c = 1 ÚÓÙ ÐÒ ÝÔ Ö ÓÐÓ a b c = 1 Ð ÔØ Ô Ö ÓÐÓ a + b = Ð ÔØ Ô Ö ÓÐÓ a b =

10 ÝÔ Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐÓ a b = ÓØÓ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐÓ = a Ð ÔØ Ú ÐÓÚ ÔÐÓ a + b = 1 Ô Ö ÓÐ Ú ÐÓÚ ÔÐÓ = pº ÝÔ Ö ÓÐ Ú ÐÓÚ ÔÐÓ a b = 1 Ùö ÐÓÚ ÔÐÓ a + b c = 0