Další servery s elektronickým obsahem

Transkript

1

2 Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno. Používání elektronické verze knihy je umožněno jen osobě, která ji legálně nabyla v rozsahu stanoveném autorským zákonem. Elektronická kniha je datový soubor, který lze užívat pouze v takové formě, v jaké jej lze stáhnout z portálu. Jakékoliv neoprávněné užití elektronické knihy nebo její části, spočívající např. v kopírování, úpravách, prodeji, pronajímání, půjčování, sdělování veřejnosti nebo jakémkoliv druhu obchodování nebo neobchodního šíření je zakázáno! Zejména je zakázána jakákoliv konverze datového souboru nebo extrakce části nebo celého textu, umisťování textu na servery, ze kterých je možno tento soubor dále stahovat, přitom není rozhodující, kdo takového sdílení umožnil. Je zakázáno sdělování údajů o uživatelském účtu jiným osobám, zasahování do technických prostředků, které chrání elektronickou knihu, případně omezují rozsah jejího užití. Uživatel také není oprávněn jakkoliv testovat, dekompilovat, zkoušet či obcházet technické zabezpečení elektronické knihy. Děkujeme že elektronické knihy nelegálně nešíříte. Podporujete tak vznik dalších elektronických titulů. Kopírování zabíjí elektronické knihy! (c) Computer Media s.r.o. Všechna práva vyhrazena. info@computermedia.cz Další servery s elektronickým obsahem v i d e o p r í r u c k y. c z

3 pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R

4 Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava: PhDr. Dagmar Procházková Návrh vnitřního layoutu: Pavel Navrátil Zlom a sazba: Jan Paroulek Návrh obálky: Ing. Michal Jiříček Interní verze: 1.0 Computer Media s.r.o. Vydání první, 010 Všechna práva vyhrazena ISBN: Žádná část této publikace nesmí být publikována a šířena žádným způsobem a v žádné podobě bez písemného svolení vydavatele. Computer Media, s.r.o. Hrubčická Kralice na Hané Telefon: Fax: info@computermedia.cz WWW: Zajímá nás Váš názor! Líbí se Vám tato učebnice? Co v ní postrádáte? Své tipy, postřehy a názory pište na adresu: info@computermedia.cz. Děkujeme Vám. Nakladatelství a vydavatelství R Partnerským serverem této knihy je i škola.cz Vaše elektronická škola

5 Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl Úvod Gaspard Monge Souřadný systém, zobrazení bodu Zobrazení přímky Stopníky obecné přímky Sklopení přímky Zobrazení roviny Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny Obrazce v rovině Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin Průsečík přímky s rovinou Průnik rovinných obrazců Kolmost přímky a roviny Otočení roviny do průmětny, osová afinita. díl Zobrazení hranolu Řez hranolu Síť hranolu Průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu Síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky Zobrazení válce Řez válce Síť válce Průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu Řez kuželu Síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Průnik těles 3

6 Díl OBSAH. DÍLU 14 Zobrazení hranolu...6 Příklad kolmý hranol... 6 Příklad pravidelný hranol s podstavou v nárysně... 8 Příklad kosý hranol s podstavou v nárysně... 9 Příklad kolmý hranol s podstavou v obecné rovině... 9 Cvičení sestrojení hranolu Řez hranolu...17 Příklad řez kolmého hranolu rovinou Příklad řez kosého hranolu rovinou Cvičení řez hranolu Síť hranolu... Příklad síť kolmého hranolu... Příklad síť kosého hranolu... 3 Příklad síť kosého hranolu Cvičení síť hranolu Průsečík přímky s hranolem...3 Příklad průsečík přímky s kolmým hranolem Příklad průsečík přímky s kosým hranolem Cvičení průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu...36 Příklad zobrazení pravidelného jehlanu Příklad zobrazení kosého jehlanu Příklad pravidelný jehlan s podstavou v obecné rovině Cvičení zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu...41 Středová kolineace Příklad středová kolineace... 4 Příklad rovinný řez jehlanu... 4 Příklad řez kosého jehlanu a velikost řezu Cvičení řez jehlanu Síť jehlanu...49 Příklad síť pravidelného jehlanu Příklad síť kosého jehlanu Cvičení síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem...53 Příklad průsečík přímky s jehlanem Cvičení průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky...57 Elipsa Hyperbola Parabola

7 Obsah 3 Zobrazení válce...63 Příklad průmět rotačního válce Příklad průměty kosého válce Příklad průměty rotačního válce v obecné poloze Cvičení průměty válce Řez válce...68 Příklad eliptický řez na válci Rytzova konstrukce Cvičení řez válce Síť válce...73 Příklad síť rotačního válce Příklad řez válce a síť Cvičení síť válce Průnik přímky s válcem...77 Příklad průnik přímky s kolmým válcem Příklad průnik přímky s kosým válcem Cvičení průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu...8 Příklad tečny elipsy... 8 Příklad rotační kužel s podstavou v půdorysně Příklad rotační kužel s podstavou v obecné rovině Cvičení zobrazení kuželu Řez kuželu...88 Příklad eliptický řez kuželu Příklad parabolický řez kuželu Příklad hyperbolický řez kuželu... 9 Cvičení řez kuželu Síť kuželu...95 Příklad síť rotačního kuželu Příklad řez kuželu a jeho síť Cvičení síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem...99 Příklad průsečíky přímky s kuželem Cvičení průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Příklad řez koule Příklad průnik přímky a koule Průnik těles Příklad průnik hranolů Příklad průnik kuželu a hranolu

8 Díl 14 ZOBRAZENÍ HRANOLU Hranol je těleso, které má dvě stěny rovnoběžné, ty se nazývají podstavy. Podstavy jsou shodné a jsou spojené bočními stěnami. Hrany ležící v podstavě jsou podstavné hrany, hrany v bočních stěnách neležící v podstavě jsou boční hrany. Pokud jsou boční hrany kolmé na podstavy, jedná se o kolmý hranol, v opačném případě se jedná o kosý hranol (obr. 14-1). Jestliže je podstava pravidelný mnohoúhelník a hranol je kolmý, jedná se o pravidelný hranol. Obr Příklad kolmý hranol Sestrojte průměty pravidelného šestibokého hranolu, jehož dolní podstava leží v půdorysně, podstava je dána středem S a vrcholem A a výška hranolu je v. Řešení: Sestrojte půdorys podstavy šestiúhelník, který je dán svým středem a vrcholem. Pro připomenutí základní konstrukce šestiúhelníka čtěte následující: Šestiúhelník sestrojíte například tak, že narýsujete kružnici opsanou danému šestiúhelníku (střed v bodě S 1 a poloměr je S 1 A 1 ), od bodu A nanesete pomocí kružítka velikost poloměru kružnice po obvodu kružnice tím získáte další vrcholy šestiúhelníka. Spojením bodu A 1 až F 1 dostáváte půdorys dolní podstavy hranolu. Nárysy těchto bodů leží na příslušných ordinálách a základnici x 1, (celá půdorysna se v nárysu promítá do základnice) obr Protože se jedná o kolmý hranol, jsou jeho boční hrany kolmé na půdorysnu, a tudíž se v nárysu promítají do kolmic k základnici. Vždy procházejí příslušným nárysem bodu podstavy. Výška je dána v, tu naneste na nárysy bočních hran od základnice. Velikost se v tomto případě nezkresluje, protože jsou hrany rovnoběžné s nárysnou. Nanesením výšky v na boční hrany dostanete nárysy bodů horní podstavy (A 'B 'C 'D 'E 'F '). Horní podstava se v nárysu promítá do úsečky rovnoběžné se základnicí (obr. 14-3). Půdorys horní podstavy (A 1 'B 1 'C 1 'D 1 'E 1 'F 1 ') splývá s půdorysem dolní podstavy (A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ), protože se jedná o kolmý hranol a podstavy leží nad sebou ve směru promítání (obr. 14-4). 6

9 14 Zobrazení hranolu A F B E C D X 1, F 1 E 1 D 1 S 1 A 1 C 1 B 1 Obr. 14- A ' F ' B ' E ' C ' D ' v A F B E C D X 1, F 1 E 1 D 1 S 1 A 1 C 1 B 1 Obr

10 Díl A ' F ' B ' E ' C ' D ' v A F B E C D X 1, F 1 =F 1 ' E 1 =E 1 ' D 1 =D 1 ' A 1 =A 1 ' S 1 C 1 =C 1 ' B 1 =B 1 ' Obr Příklad pravidelný hranol s podstavou v nárysně Naprosto obdobným způsobem jako v předchozím příkladu sestrojíte hranol, jehož podstava leží v nárysně. Musíte jen dát pozor na pojmenování a indexování bodů, jinak postupujte analogicky (obr. 14-5). F =F ' E =E ' D =D ' A =A ' B =B ' C =C ' A 1 F 1 B 1 E 1 C 1 D 1 x 1, v A 1 ' F 1 ' B 1 ' E 1 ' C 1 ' D 1 ' Obr

11 Díl Pokud kuželovou plochu, která je tvořena bočními povrchovými přímkami procházejícími vrcholem, omezíte rovinami podstavnými rovinami, získáte dvojkužel omezený svými podstavami, a řezem na takovém tělese může být elipsa nebo její část, část paraboly nebo část hyperboly. Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů F a G konstantní součet vzdáleností. Tento součet vzdálenosti se označuje jako a, a odpovídá délce hlavní osy elipsy. Z této definice může vycházet i konstrukce bodů elipsy. Při konstrukci elipsy lze využít tuto definici a najít několik bodů elipsy a pomocí křivítka elipsu přibližně nakreslit (obr. -). X X y x X x F y S G x a y Obr. - Znáte-li délku hlavní osy a, můžete nakreslit úsečku této délky a zvolit na ní dělící bod. Nakreslíte jednu kružnici o poloměru x, střed kružnice je ohnisko F. Druhá kružnice má střed v ohnisku G a poloměr rovný úseku y. V průsečíku kružnic jsou body X elipsy od bodů F a G mají součet vzdáleností rovný a. Pro hlavní osu a, vedlejší osu b a excentricitu e platí následující vztah: a = b + e (obr. -3). D A F a e b S G B C Obr

12 Kuželosečky A a B jsou hlavní vrcholy elipsy, C a D jsou vedlejší vrcholy elipsy, F a G jsou ohniska elipsy. Excentricita e je rovna délce úsečky SF. Délka hlavní poloosy a je rovna délce úsečky AS. Délka vedlejší poloosy b je rovna délce úsečky DS. Znáte-li hlavní a vedlejší vrcholy elipsy, můžete najít ohniska F a G tak, že narýsujete kružnici se středem ve vedlejším vrcholu o poloměru hlavní poloosy a. Průsečíky hlavní osy a této kružnice jsou pak ohniska F a G. Při přibližné konstrukci elipsy se také využívá nahrazení elipsy ve vrcholech tzv. oskulačními kružnicemi. Jejich poloměr a konstrukce je vidět na obr. -4. D M k A S I B II k 1 C Obr. -4 Najdete bod M jako vrchol obdélníka SBMD, z něj spustíte kolmici na úsečku DB. Tato kolmice protne hlavní a vedlejší osu v bodech I a II. Jsou to středy oskulačních kružnic k 1 a k. Kružnice k 1 má střed I a poloměr rovný délce úsečky IB. Kružnice k má střed II a poloměr rovný délce úsečky IID. V okolí vrcholů elipsy nahrazují tyto oskulační kružnice průběh elipsy. Přechod mezi kružnicemi lze vytvořit pomocí křivítka. Krajním případem elipsy je také kružnice. Hyperbola Hyperbola je množina bodů X roviny, které mají od dvou pevných různých bodů F a G konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Tento rozdíl se označuje jako a hlavní osa hyperboly. Délka hlavní osy a u hyperboly musí být větší než vzdálenost ohnisek F a G. Z této definice lze při znalosti délky a a vzdálenosti ohnisek hyperboly F a G sestrojit libovolný počet bodů hyperboly a těmito body potom pomocí křivítka přibližně sestrojit hyperbolu. Na obr. -5 je ukázána konstrukce bodů Y hyperboly. Sestrojíte úsečku o délce a (tím získáte hlavní vrcholy hyperboly A a B) a vyznačíte polohu ohnisek F a G. Na polopřímce AB zvolte vpravo od bodu B libovolný bod X. Vezměte do kružítka vzdálenost bodu X od vrcholu A a sestrojte kružnici se středem v ohnisku F a poloměrem r 1. Pak vezměte do kružítka vzdálenost bodu X od vrcholu B a sestrojte druhou kružnici se středem v ohnisku G a poloměrem r. Obě kružnice se protnou ve dvou bodech hyperboly v bodech Y. Pro hlavní osu a, vedlejší osu b a excentricitu e platí následující vztah: e = a + b (obr. -6). Hyperbola se v nekonečnu blíží tečně k tzv. asymptotám. Jsou to přímky procházející středem hyperboly, které hyperbolu reálně neprotínají. Sestrojíte je následovně. V hlavních vrcholech sestrojte kolmice na hlavní osu hyperboly. Sestrojte kružnici se středem ve středu hyperboly S o poloměru rovném excentricitě e. Tato kružnice protne kolmice v bodech, kterými prochází asymptoty. Ty také procházejí středem hyperboly S. 59

13 Díl a Y F r 1 r G X A S B r r 1 Y Obr. -5 asymptota asymptota F A S e a b B G Obr. -6 Při konstrukci hyperboly je vhodné najít hlavní vrcholy hyperboly, střed, průsečíky roviny řezu s podstavou kuželu a případně asymptoty. Pro nahrazení tvaru hyperboly v oblasti vrcholů se používají podobně jako u elipsy také oskulační kružnice (obr. -7). Z bodu M, který získáte pomocí excentricity a hlavní poloosy (viz předchozí konstrukce asymptot), spusťte kolmici k asymptotě. Tato kolmice protne hlavní osu hyperboly v bodě O to je střed oskulační kružnice ve vrcholu B. Sestrojte tuto kružnici její poloměr je roven délce úsečky BO a střed leží v bodě O. 60

14 Kuželosečky F A S M e b a B G O k 1 Obr. -7 Parabola Parabola je množina bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu F (ohniska) a přímky d (řídicí přímka), která bodem F neprochází (obr. -8). Vrchol paraboly V leží v polovině vzdálenosti ohniska F a řídicí přímky d. d X X V F Obr. -8 Při konstrukci parabolického řezu kužele je vhodné určit polohu vrcholu paraboly a průsečíky roviny podstavy kužele s rovinou řezu. V okolí vrcholu se parabola nahrazuje oskulační kružnicí, jejíž konstrukci vidíte na obr. -9. Poloměr r oskulační kružnice ve vrcholu V je roven vzdálenosti ohniska a řídicí přímky, což se také nazývá parametr paraboly. Parametr paraboly je také roven dvojnásobku vzdálenosti ohniska F od vrcholu V. 61

15 Díl d X X k 1 r=. VF V F O Obr. -9 Pro konstrukci kuželoseček existuje velká řada různých konstrukčních příkladů a dalších vět, kterými se kniha dále nezabývá. Kuželosečky jsou zde zmíněny jen ve své základní definici a konstrukcích nezbytných pro sestrojení rovinného řezu na oblých tělesech. 6

16 3 Zobrazení válce 3 ZOBRAZENÍ VÁLCE Válec je těleso tvořené dvěma stejnými rovnoběžnými zaoblenými podstavami a bočními stranami spojujícími tyto podstavy. Výška válce je rovna vzdálenosti podstav. Spojnice středů podstav je osa válce. Pokud je osa válce kolmá na roviny podstav, jedná se o kolmý válec. Je-li podstavou kruh, jedná se o rotační válec. Příklad průmět rotačního válce Sestrojte průměty rotačního válce, který stojí na půdorysně. Řešení: Protože podstavami jsou dva kruhy ležící nad sebou, jeden leží v rovině rovnoběžné s půdorysnou, druhý přímo v půdorysně, bude půdorysem válce kruh splývající s průmětem obou podstav. Poloměr podstav je r. Nárysem válce je obdélník, výška v nárysu odpovídá výšce válce v (obr. 3-1). v x 1, r Obr. 3-1 Příklad průměty kosého válce Sestrojte průměty válce, jehož zadní kruhová podstava leží v nárysně. Poloměr podstavy a výšku válce si zvolte. Řešení: Protože kruhové podstavy leží v nárysně a rovině rovnoběžné s nárysnou, zobrazí se v druhém průmětu nezkresleně jako kruhy. Půdorysem podstav budou úsečky. Výška v v půdorysu odpovídá výšce válce. 63

17 Díl Půdorysem tělesa je rovnoběžník, nárysem jsou dva kruhy. Ty jsou propojeny vnějšími tečnami, kterými jsou průměty krajních bočních stran (obr. 3-). r v x 1, Obr. 3- Příklad průměty rotačního válce v obecné poloze Válec stojí svou dolní podstavou na rovině α, poloměr kruhové podstavy je 3 cm, výška je 7 cm. Sestrojte jeho průměty. Dolní podstava je dána svým středem S ležícím v rovině α. n N S z S x 1, N 1 p 1 A 1 D 1 S 1 N 3 B 1 C 1 C 3 P 3 =P 1 z S S 3 =A 3 =B 3 D 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr

18 3 Zobrazení válce Řešení: Sestrojte rovinu α, zvolte v ní půdorys středu S a najděte jeho nárys. Sestrojte boční pohled veďte rovinu kolmou na půdorysnou stopu roviny α a hledaný válec ve sklopení sestrojte. V tomto bočním pohledu se bude zobrazovat jako obdélník se stranami 6 cm a 7 cm. Kruhová podstava ležící v rovině α se v půdorysu zobrazí jako elipsa. Její hlavní vrcholy A a B leží na hlavní přímce první osnovy procházející středem S, vedlejší vrcholy C a D leží na spádové přímce první osnovy této roviny. Hlavní přímka první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou, v prvním průmětu se nezkresluje, proto ani hlavní osa na ní ležící se nezkreslí. Od středu S 1 nanesete délku 3 cm na hlavní přímku a získáte půdorysy hlavních vrcholů elipsy A 1 a B 1. Vedlejší vrcholy leží na spádové přímce, která se v půdorysu zkresluje, proto i délka 3 cm bude na této přímce v půdorysu zkreslená. Přesné umístění bodů C 1 a D 1 určíte pomocí třetího bočního pohledu (obr. 3-3). Výška má 7 cm, a zobrazuje se nezkresleně v třetím pohledu. V půdorysu dochází ke zkreslení. Přesnou polohu půdorysu středu horní podstavy S 1 ' najdete pomocí rovnoběžky s půdorysnou stopou vedenou třetím průmětem S 3 '. Výška válce je přímka kolmá na rovinu podstavy, proto půdorys této přímky je kolmý na půdorysnou stopu a nárys je kolmý na nárysnou stopu. Najděte půdorys i nárys středu horní podstavy (obr. 3-4). S ' n N S N 1 x 1, p 1 A 1 D 1 S 1 N 3 C 1 B 1 S 1 ' C 3 P 3 =P 1 S 3 =A 3 =B 3 D 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr

19 Díl Sestrojte půdorys válce (obr. 3-5). Horní podstava je shodná s dolní podstavou a její střed je bod S'. A 1 p 1 D 1 S 1 C 1 B 1 S 1 ' P 3 =P 1 C 3 S 3 =A 3 =B 3 Obr. 3-5 Pro sestrojení nárysu válce potřebujete určit hlavní a vedlejší vrcholy podstavné elipsy. Nalezením nárysů bodů A, B, C, D získáte pouze nárysy čtyř bodů elipsy, ale nejsou to vrcholy elipsy v nárysu. Vrcholy elipsy, do které se zobrazuje nárys podstavy, leží na frontální přímce jdoucí středem, a na spádové přímce druhé osnovy. Na frontální přímce se v nárysu délka nezkracuje, proto na ni nanesete velikost 3 cm od nárysu středu podstavy. Získáte hlavní vrcholy elipsy nárysu E a F. Na spádové přímce se ale délka zkracuje a její redukci nejlépe zjistíte ve sklopení body G a H (obr. 3-6). S ' G S E F 3 cm (G) (S) H 3 cm (H) Obr

20 3 Zobrazení válce Oba průměty válce stojícího na rovině α jsou vidět na obr Pro sestrojení elipsy využijte oskulační kružnice a křivítko. S ' n N G (G) (S) (H) S E F A 1 H N 1 x 1, p 1 D 1 S 1 N 3 C 1 B 1 S 1 ' P 3 =P 1 D 3 C 3 S 3 =A 3 =B 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr. 3-7 Cvičení průměty válce a. Sestrojte sdružené průměty rotačního válce s poloměrem podstavy 4 cm a výškou 9 cm, který stojí svou zadní podstavou v nárysně. Umístění středu podstavy si zvolte. b. Sestrojte sdružené průměty kosého válce, jehož podstavy jsou kruhy o poloměru 3 cm, dolní podstava stojí v půdorysně a je dána středem S[0; 5; 0], horní podstava je dána středem S'[6; 8; 8]. c. Sestrojte sdružené průměty rotačního válce, jehož podstavy mají poloměr 4 cm, výška válce je 9 cm, a válec stojí svou dolní podstavou na rovině α(10; 10; 4). Střed dolní podstavy je dán svými souřadnicemi S[0; 6;?]. 67

21 Díl 4 ŘEZ VÁLCE Pokud by se jednalo o rovinný řez rotační válcové plochy (nekonečné, neuzavřené podstavami), byla by řezem elipsa (v krajním případě kružnice při řezu rovinou kolmou na osu válcové plochy) nebo dvojice rovnoběžných přímek (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a protínala by válcovou plochu) nebo jedna přímka (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a dotýkala by se jí) nebo prázdná množina (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a neměla by s ní žádný společný bod) obr elipsa Obr. 4-1 V případě, že nekonečnou válcovou plochu omezíte rovinami podstav, jsou rovinným řezem válce podmnožiny předchozích útvarů, tedy část elipsy nebo část kružnice (spolu s úsečkami řezu na podstavách) nebo dvojice rovnoběžných úseček na stranách válce spolu se spojovacími úsečkami na podstavách válce (vytvoří obdélník), anebo je řezem jen jedna úsečka (v situaci, kdy se rovina řezu dotýká jedné strany válce) nebo prázdná množina (v případě, že rovina řezu nemá s válcem žádný společný bod) obr. 4-. Při konstrukci eliptického řezu na válci je možné využít například boční kolmý pohled, ve kterém je válec vidět jako obdélník a rovina řezu jako přímka pak je rovinný řez vidět jako úsečka a lze jej snadno zkonstruovat. Pokud je řezem válce stojícího svou podstavou v půdorysně elipsa, pak má svou hlavní (nejdelší) osu na spádové přímce roviny řezu a vedlejší osu na hlavní přímce roviny řezu kolmé ke spádové přímce. Jestliže se jedná o rotační válec stojící jednou podstavou v půdorysně, je půdorysem eliptického řezu kružnice splývající s obrysem válce a nárysem může být elipsa nebo úsečka v závislosti polohy roviny vůči nárysně. Při hledání bodů přechodu viditelnosti v nárysu využijte řez rovinou rovnoběžnou s nárysnou a procházející osou válce. 68