Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz
Kombinatorika
Kombinatorika zkoumá počty různých výběrů z daného souboru. Příklady: Kolika způsoby lze seřadit balíček mariášových karet? Kolika způsoby lze vylosovat 6 z 49 čísel? Kolik je trojciferných čísel složených z číslic 1, 2 a 3? Využití: základní pravděpodobnostní úlohy,... Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce?
Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k.
Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k. Příklad: Na jídelním lístku jsou 2 předkrmy, 3 polévky, 5 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolik různých obědů lze z této nabídky sestavit?
Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k. Příklad: Na jídelním lístku jsou 2 předkrmy, 3 polévky, 5 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolik různých obědů lze z této nabídky sestavit? Řešení: 2 (předkrmy) 3 (polévky) 5 (hl. jídel) 2 (moučníky) = 60
Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? )
Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) uspořádané (variace, permutace) neuspořádané (kombinace) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? )
Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) uspořádané (variace, permutace) neuspořádané (kombinace) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? ) s opakováním bez opakování
bez opakování s opakováním variace V (n, k) = n! (n k)! V (n, k) = n k permutace P(n) = V (n, n) = n! P (n 1, n 2,..., n k ) = (n 1+n 2 +...+n k )! n 1! n 2!... n k! kombinace C(n, k) = ( ) n k = n! C (n, k) = ( ) n+k 1 k = (n+k 1)! (n k)!k! (n 1)!k!
bez opakování s opakováním variace V (n, k) = n! (n k)! V (n, k) = n k permutace P(n) = V (n, n) = n! P (n 1, n 2,..., n k ) = (n 1+n 2 +...+n k )! n 1! n 2!... n k! kombinace C(n, k) = ( ) n k = n! C (n, k) = ( ) n+k 1 k = (n+k 1)! (n k)!k! (n 1)!k! Značení: faktoriál kombinační číslo n! = n (n 1) (n 2)... 1 ( ) n = k n! (n k)!k!
Příklad: Kolika způsoby lze obsadit stupně vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: 1. místo lze obsadit 20 způsoby. 2. místo lze obsadit 19 způsoby (všichni kromě 1.). 3. místo lze obsadit 18 způsoby (všichni kromě 1. a 2.) celkem: 20 19 18 = 6840 způsobů
Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Záleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování (Franta je unikát).
Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Záleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování (Franta je unikát). Jedná se tedy o variace 3. třídy z 20 prvků bez opakování. V (20, 3) = 20! 20 19 18 17... 1 = = 20 19 18 (20 3)! 17 16... 1
Příklad: Kolik různých trojic závodníků může stanout na stupních vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: Už víme: Stupně lze obsadit 20 19 18 = 6840 způsoby.
Příklad: Kolik různých trojic závodníků může stanout na stupních vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: Už víme: Stupně lze obsadit 20 19 18 = 6840 způsoby. Ale: Každá trojice může stupně obsadit 3 2 1 = 6 způsoby a je tak v 6840 zapčítána 6 krát. Různých trojic tedy může na stupních stanout 20 19 18 3 2 1 = 6840 6 = 1140.
Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Nezáleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) = (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování. Jedná se tedy o kombinace 3. třídy z 20 prvků bez opakování. C(20, 3) = 20! (20 3)!3! = 20 19... 1 20 19 18 = (17 16... 1)(3 2 1) 3 2 1
Příklad: Kolika způsoby lze umístit 10 knih vedle sebe na polici tak, aby určité 3 byly vedle sebe? Řešení: 3 vybrané knihy lze uspořádat do 3 2 1 různých trojic. Trojici lze umístit 8 způsoby (1. kniha z trojice může být na 1. 8. místě na polici). 7 zbylých knih lze na 7 zbylých pozic rozmístit 7 6... 1 způsoby. Knihy lze uspořádat celkem 8 3! 7! = 241920 způsoby.
Řešení s využitím vzorečku: Není! Variace, permutace, kombinace představují pouze základní způsoby výběru. Nezbývá, než myslet...
Teorie pravděpodobnosti: Matematická disciplína zabývající se popisem zákonitostí týkajících se náhodných jevů. Náhodný pokus: Děj, jehož výsledek nejsme schopni předem jednoznačně určit. Náhodný jev: Tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O jeho pravdivosti lze rozhodnout po skončení pokusu.
Příklad náhodného pokusu: Hod kostkou Průběh hodu je deterministický proces. Řídí se fyzikálními zákony. Neznáme však (dostatečně přesně): počáteční podmínky (orientace kostky, výchozí pozice a rychlost hodu, rotace kostky,... ) vnější podmínky (polohy překážek, rozložení hmoty kostky, síly působící na kostku... ) okolní vlivy (vítr,... )... I kdybychom znali všechny podmínky pokusu, neumíme vyřešit pohybové rovnice s dostatečnou přesností. Náhodnost je důsledkem nedostatku informací a omezených schopností.
Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy).
Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy). Počet příchozích požadavků na web server během následující hodiny bude větší než 300. Koruna zítra posílí vůči Euru.
Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy). Počet příchozích požadavků na web server během následující hodiny bude větší než 300. Koruna zítra posílí vůči Euru. Poznámka: Náhodná veličina přiřazuje náhodným jevům číselnou hodnotu (počet příchozích požadavků, zítřejší kurz koruny), viz 2. tutoriál
Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu Prostor elementárních jevů (základní prostor) Ω: množina všech elementárních jevů (často nekonečná) Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A Ω Jev A nastal, jestliže ω A.
Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu Prostor elementárních jevů (základní prostor) Ω: množina všech elementárních jevů (často nekonečná) Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A Ω Jev A nastal, jestliže ω A. Jistý jev: A = Ω, nastane vždy Nemožný jev: A =, nikdy nenastane
Náhodné jevy reprezentujeme množinami operace s jevy jsou operace s množinami.
Náhodné jevy reprezentujeme množinami operace s jevy jsou operace s množinami. Rovnost jevů: A = B; A nastane, právě když nastane B A je podjev jevu B: A B; nastane-li A, nastane B Disjunktní (neslučitelné) jevy: A B = ; A a B nemohou nastat současně Doplněk jevu A: A = Ω\A; nastane-li A, nenastane A a naopak Sjednocení jevů: A B; nastane A nebo B (nebo oba) Průnik jevů: A B; nastane A a současně B Rozdíl jevů: A\B; nastane A a nenastane B
Pro náhodné jevy platí De Morganova pravidla. A B = A B A B = A B
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů {A 1, A 2,..., A n }: A 1, A 2,..., A n Ω A i A j = pro i j (žádné dva jevy nenastanou současně) n i=1 A i = Ω (nastane právě jeden z jevů A 1..., A n )
Úplná množina vzájemně disjunktních jevů {A 1, A 2,..., A n }: A 1, A 2,..., A n Ω A i A j = pro i j (žádné dva jevy nenastanou současně) n i=1 A i = Ω (nastane právě jeden z jevů A 1..., A n ) Příklad: hod kostkou Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 = {1, 2, 4}, A 2 = {3, 5}, A 3 = {6}
Pravděpodobnost vyjadřuje míru očekávatelnosti výskytu náhodného jevu. vyjadřujeme číslem z 0; 1 pravděpodobnost nemožného jevu: 0 pravděpodobnost jistého jevu: 1
Klasická definice pravděpodobnosti Ω se skládá z n elementárních jevů se stejnou šancí výskytu počet elementárních jevů příznivých jevu A je m P(A) = m n
Příklad: Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce?
Příklad: Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce? Losuje se 6 z 49 čísel. počet elementárních jevů: n = ( 49 6 ) = 13983816 každá šestice čísel je vylosována se stejnou šancí počet příznivých jevů: m = 1 P(A) = 1 13983816
Statistická definice pravděpodobnosti náhodný pokus probíhá opakovaně za stejných podmínek sledujeme počet n(a) výskytů jevu A počet všech opakování pokusu: n P(A) = lim n n(a) n
Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti Definuje pojem pravděpodobnosti, ale neudává návod na její stanovení.
Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti Definuje pojem pravděpodobnosti, ale neudává návod na její stanovení. Pravděpodobnost je funkce P přiřazující každému náhodnému jevu A Ω číslo P(A) z intervalu 0; 1. P musí splňovat následující podmínky: P(Ω)=1 pro posloupnost vzájemně neslučitelných jevů A 1, A 2,... platí ( ) P A n = P(A n ) n=1 n=1
Z definice pravděpodobnosti přímo plyne řada vlastností: P( ) = 0 P(A) = 1 P(A) A B P(A) P(B) P(B\A) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)...
Z definice pravděpodobnosti přímo plyne řada vlastností: P( ) = 0 P(A) = 1 P(A) A B P(A) P(B) P(B\A) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)... Poznámka: příklad
Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B.
Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) je definována vztahem P(A B) = P(A B). P(B)
Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) je definována vztahem P(A B) = P(A B). P(B) Odtud plyne: P(A B) = P(A B) P(B)
Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B).
Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B). Je li P(B) > 0, pak pro nezávislé jevy A, B platí: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A)
Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B). Je li P(B) > 0, pak pro nezávislé jevy A, B platí: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A) Skutečnost, že nastal jev B, nepřináší žádnou informaci o pravděpodobnosti výskytu jevu A.
Věta o úplné pravděpodobnosti Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů. Pro náhodný jev A pak platí: P(A) = n P(A B i ) P(B i ). i=1
Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? Řešení: D (vybrána dívka) a CH (vybrán chlapec) tvoří úplný systém disjuktních jevů P(DV ) = P(DV D) + P(DV CH) = P(DV D) P(D) + P(DV CH) P(CH) = 0.8 0.3 + 0.1 0.7 = 0.31
Bayesův vzorec Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pak platí P(B k A) = P(A B k) P(B k ) n i=1 P(A B i) P(B i ).
Bayesův vzorec Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pak platí P(B k A) = P(A B k) P(B k ) n i=1 P(A B i) P(B i ). Poznámka: Obrázky
Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec?
Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec? Řešení: D (vybrána dívka) a CH (vybrán chlapec) tvoří úplný systém disjuktních jevů P(CH DV ) = = = P(CH DV ) = P(DV ) P(DV CH) P(CH) P(DV CH) P(CH) + P(DV D) P(D) 0.1 0.7. = 0.23 0.1 0.7 + 0.8 0.3
Příklad: 1.Rodina Chocholouškova má papouška a dvě kočky Alenu a Bohouše. Alena má 20 % bílých chlupů, Bohouš 60 %. Včera se jedna z koček opět pokusila papouška sežrat. Chocholouškovi vědí, že kočky nikdy neloví společně a že Alena útočí na papouška dvakrát častěji než Bohouš. Na místě činu zůstal po pachateli jediný chlup. Která z koček se činu dopustila s větší pravděpodobností, víme-li že nalezený chlup je bílé barvy?
Příklad: 1.Rodina Chocholouškova má papouška a dvě kočky Alenu a Bohouše. Alena má 20 % bílých chlupů, Bohouš 60 %. Včera se jedna z koček opět pokusila papouška sežrat. Chocholouškovi vědí, že kočky nikdy neloví společně a že Alena útočí na papouška dvakrát častěji než Bohouš. Na místě činu zůstal po pachateli jediný chlup. Která z koček se činu dopustila s větší pravděpodobností, víme-li že nalezený chlup je bílé barvy?
Řešení: Náhodné jevy: A - útočila Alena, B = A - útočil Bohouš, C - nalezen bílý chlup
Řešení: Náhodné jevy: A - útočila Alena, B = A - útočil Bohouš, C - nalezen bílý chlup Ze zadání víme: P(A) = 2 3 P(B) = P(A) = 1 P(A) = 1 3 P(C A) = 0.2 P(C B) = 0.6
K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = 0.2 2 3 0.2 2 3 + 0.6 1 3 = 0.4
K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) 0.2 2 3 = 0.2 2 3 + 0.6 1 = 0.4 3 P(B C) = 1 P(A C) = 0.6
K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) 0.2 2 3 = 0.2 2 3 + 0.6 1 = 0.4 3 P(B C) = 1 P(A C) = 0.6 S větší pravděpodobností útočil Bohouš.
Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata?
Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata? Řešení: Náhodné jevy: OT - odeslána tečka, PT - přijata tečka
Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata? Řešení: Náhodné jevy: OT - odeslána tečka, PT - přijata tečka Ze zadání víme: P(OT ) = 5 8 P(PT OT ) = 0.04 P(PT OT ) = 0.02
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) =
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT )
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )]
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075 Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka:
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075 Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) =
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075 Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = P(PT OT )P(OT ) P(PT )
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075 Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = = P(PT OT )P(OT ) P(PT ) [1 P(PT OT )]P(OT ) P(PT )
Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) 5 8 + 0.02 (1 5 8 ) = 0.6075 Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = = = P(PT OT )P(OT ) P(PT ) [1 P(PT OT )]P(OT ) P(PT ) (1 0.04) 5 8 0.0675. = 0.988
Příklad: Informační systém obsahuje tyto kritické komponenty: web server, sql server a 3 vzájemně zálohované disky (je potřeba, aby fungoval alespoň jeden disk). Pravděpodobnosti poruch jendotlivých komponent jsou znázorněny v obrázku. Jaká je pravděpodobnost, že systém bude funkční, pokud jsou poruchy komponent nezávislé?
Řešení: Systém bude funkční (náhodný jev F) právě tehdy, když bude zároveň funkční web server, sql server a alespoň jeden z disků. P(F) = P(PW ) P(PS) P(D1 D2 D3)
Řešení: Systém bude funkční (náhodný jev F) právě tehdy, když bude zároveň funkční web server, sql server a alespoň jeden z disků. P(F) = P(PW ) P(PS) P(D1 D2 D3) = P(PW ) P(PS) (1 P(PD1)P(PD2)P(PD3)) = (1 0.1) (1 0.05) (1 0.2 0.2 0.2). = 0.85