METODIKA VÝPOČTU NÁHRADNÍ TUHOSTI NOSNÍKU.

METODIKA VÝPOČTU NÁHRADNÍ TUHOSTI NOSNÍKU. THE METHODOLOGY OF THE BEAM STIFFNESS SUBSTITUTION CALCULATION. Jiří Podešva 1 Abstract The calculation of the horizontal mine opening steel support can be performed by the special program, developed on the Department of civil mechanics. It can take into account the geometrical non-linearity (large displacement), but other effects, like plasticity and stiffness decrease due to change of the support section are not able to include into calculation. The paper describes the possibility to express these effects like the change of the beam stiffness E J. 1 Úvod Projekce a zejména údržba ocelové výztuže vodorovných důlních děl vyžaduje opakované provádění pevnostních výpočtů a výpočtů deformace. Jedná se obvykle o jednoduchou, nerozvětvenou obloukovou konstrukci na obou koncích kloubově uloženou nebo dokonale vetknutou. Z hlediska statického výpočtu jde o úlohu jednou až třikrát staticky neurčitou. Její řešení je běžnými prostředky poměrně pracné a vyžaduje speciální vzdělání v oblasti výpočtových metod. Software pro provádění náročnějších výpočtů, např. na bázi MKP, je v provozních podmínkách nedostupný. Na katedře stavební mechaniky Fakulty stavební VŠB - Technické univerzity Ostrava byl vyvinut výpočtový program v prostředí MS Excel, umožňující provádění těchto výpočtů silovou metodou. Kromě lineární statiky program umožňuje zahrnout do modelu i geometrickou nelinearitu. Problém velkých posunutí je řešen iteračním výpočtem s korekcí geometrické konfigurace v každém kroku. Svislé a boční zatížení obloukové výztuže. 1 Doc. Ing. Jiří Podešva, Ph.D., VŠB - Technická univerzita Ostrava, Fakulta strojní, katedra mechaniky, 17. listopadu 15, Ostrava - Poruba, jiri.podesva@vsb.cz 1

Výpočtový program v prostředí MS Excel. Program však neumožňuje zahrnout materiálovou nelinearitu (plasticita) ani pokles ohybové tuhosti vlivem změny nosného profilu, vedoucí až ke ztrátě stability tvaru. Tento příspěvek se zabývá definováním a výpočtem náhradní ohybové tuhosti (E J), nahrazující zmíněné efekty. 2 Nelineární ohyb nosníku Lineární teorie nosníků vychází z předpokladu malých deformací, předpokladu zachování rovinnosti průřezu a z předpokladu platnosti Hookova zákona a vede k lineárnímu rozložení napětí po ploše průřezu. Geometrická nelinearita. Skutečnost velkých posunutí bodů nosníku lze do výpočtu zahrnout tak, že výpočet probíhá v iteracích a v každém iteračním kroku je korigována geometrie oblouku - změna tvaru. Materiálová nelinearita. Plasticitu lze do výpočtu zahrnout třeba metodou vrstev. Profil je rozdělen na tenké vrstvy. V závislosti na lineárně narůstající deformaci je každé vrstvě přiřazeno napětí, síla a její moment k neutrální ose. Změna profilu. Při ohybu dochází ke změně profilu. V závislosti na ohybovém momentu se otevřený profil otevírá stále více a jeho parametry - moment setrvačnosti - se mění. Tento efekt nelze zahrnout do výpočtového modelu. Všechny tyto nelinearity se mohou v provozu objevit a je třeba s nimi počítat. 2

Velká deformace obloukové výztuže. tlak tah Plastická deformace. Deformace profilu při ohybu. 3

3 Modelování metodou konečných prvků Nelineární ohyb profilu výztuže byl předmětem počítačového modelování na bázi metody konečných prvků. Tzv. konečnoprvkový model profilu. Trojrozměrný model byl vytvořen v prostředí programu Ansys. Byl použit standardní 8 uzlový 3D typ prvku, tzv. brick. Počítačové modelování umožňuje do výpočtu zahrnout jak materiálovou nelinearitu, tak změnu profilu. Pro výpočet byl použit jednoduchý tri-lineární model kinematického zpevnění. Deformační charakteristika je nahrazena lomenou přímkou. σ σ pt - mez pevnosti σ kt - mez kluzu ε Tri-lineární model plasticity. Po aktivování geometrické nelinearity (velká posunutí) se provádí opakovaný výpočet, kdy v každém iteračním kroku se v závislosti na změně geometrické konfigurace přepočítává matice tuhosti. Tím je do výpočtu zahrnut vliv změny profilu. Kromě toho lze zatěžování rozdělit na několik zatěžovacích kroků a zjistit výsledky i při nižším než konečném zatížení. (Toto rozčlenění také podporuje konvergenci výpočtu.) 4

4 Ohybová charakteristika nosníku a náhradní tuhost Pro analýzu ohybové tuhosti byl zvolen jednostranně vetknutý nosník, zatížený na volném konci silovou dvojicí. Průběh ohybového momentu je po celé délce nosníku konstantní. l M E J Ohyb dokonale vetknutého nosníku. Úhel natočení volného konce je dán výrazem : M l = E J kde : M je ohybový moment, l je délka nosníku, E je modul pružnosti v tahu a J je plošný moment setrvačnosti. (1) Zatížení nosníku silovou dvojicí. 5

Do tzv. konečnoprvkového modelu nelze zavést přímo ohybový moment M. Proto je na volném konci k modelu nosného profilu přidána kostka velké tuhosti. Na jejích hranách působí silová dvojice, vytvářející na jistém rameni ohybový moment. Z důvodu konvergence řešení i po překonání vrcholu charakteristiky, kdy již dochází k jejímu měknutí, nejsou do výpočtu zadány přímo síly na horní a dolní hraně kostky, ale jejich posunutí. Síly jsou zjištěny následně jako reakce v uložení. Výstupem výpočtu je postupně narůstající úhel ohnutí a odpovídající moment M. 25 000 ohybový moment M [N m] 20 000 15 000 10 000 5 000 0 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 úhel ohybu fi [st] Závislost ohybového momentu M na úhlu ohnutí představuje ohybovou charakteristiku. Lze na ní pozorovat počáteční lineární úsek (odpovídající lineární teorii nosníků). Pak však, zejména v důsledku zplastizování, později též v důsledku změny profilu, zaznamenáváme podstatně zpomalený nárůst ohybového momentu, resp. výrazně zrychlený ohyb (v závislosti na momentu). Při úhlu ohnutí cca 17º dochází k výraznému otevření profilu (viz obrázek výše) a tím ke snížení tuhosti. K ohybu pak je již zapotřebí menšího momentu. Tento bod představuje ztrátu stability tvaru a při zachování zatížení zhroucení konstrukce. Tento rys nelinearity ohýbaného nosníku nelze zavést do výše zmíněného výpočtového programu (MS Excel). Vliv geometrické nelinearity - změna geometrické konfigurace oblouku výztuže, je řešen iteračním výpočtem s opravou geometrické konfigurace a s korekcí matice tuhosti v každém iteračním kroku. Tato korekce může být spojena se snížením ohybové tuhosti (E J) v závislosti na ohybovém momentu. Z výrazu (1) lze ukázat že ohybová tuhost je M l E J ( M ) = (2) z něhož lze pro každý stav ohnutí (M-) určit náhradní ohybovou tuhost E J. E J [N m 2 ] 400 000 300 000 200 000 100 000 0 0 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 ohybový moment [N m] Z průběhu je zřejmé, že při zatěžování do cca 15 000 N m je náhradní tuhost konstantní a odpovídá skutečnému součinu modulu pružnosti E a momentu setrvačnosti J. Dále pak náhradní tuhost klesá vlivem zplastizování a později též vlivem snížení momentu setrvačnosti profilu. Bod zvratu průběhu (maximální moment asi 23 000 N m, náhradní tuhost E J asi 40 000 N m 2 ) představuje bod ztráty stability tvaru. 6

5 Vliv normálové síly Výpočet, uvedený v předchozí kapitole, se týká nosníku, namáhaného čistým ohybovým momentem. Ve skutečnosti však je ohybový moment kombinován normálovou silou, obvykle tlakovou. Přítomnost normálové síly nezanedbatelné hodnoty ovlivní tvar charakteristiky a následně i závislost náhradní tuhosti na ohybovém momentu E J = f (M). V tomto případě však postup, uvedený v předchozí kapitole, je postižen chybou. Při nezanedbatelném průhybu vzniká rameno, na němž normálová síla dává moment. Výsledný ohybový moment pak je větší, než pouze moment silové dvojice, a po délce nosníku se mění. Výraz (1) pro po délce konstantní ohybový moment tedy neplatí. N l M R E J Ohyb při působení normálové síly. Proto byl použit jiný přístup. Z lineární teorie nosníků vyplývá : E J M = M (3) ( ) R kde (kromě veličin, zmíněných výše) R je poloměr zakřivení nosníku. Vyjmeme-li z modelu část nosníku malé délky z a zjistíme jeho deformaci, pak poloměr zakřivení je : R = z (4) R z Poloměr zakřivení krátkého úseku nosníku. 7

Náhradní tuhost pak je dána výrazem : M z E J ( M ) = (5) Výraz je samozřejmě modifikací výrazu (2) pro krátký úsek nosníku z, na němž můžeme průběh ohybového momentu pokládat za konstantní. Krátký úsek nosníku - MKP model a deformace. Vybraný úsek nosníku však musí být dostatečně dlouhý aby zahrnul celou oblast vyboulení profilu při ztrátě stability tvaru. Krátký úsek nosníku - deformace. 8

6 Závěr Závěrem lze konstatovat : Výpočtový program pro analýzu únosnosti obloukové důlní výztuže, vypracovaný na katedře stavební mechaniky, je dobrým nástrojem jak pro návrh, tak pro údržbu výztuže. Program umožňuje zahrnout geometrickou nelinearitu - změnu geometrie výztuže při zatěžování. Některé další vlastnosti zatěžované výztuže, zplastizování a změnu profilu výztuže v důsledku zatížení, však do modelu zahrnout nelze. Na bázi modelování ohybu výztuže metodou konečných prvků lze stanovit nelineární charakteristiku ohýbané výztuže, tedy závislost ohybového momentu na úhlu natočení profilu. Z ní pak tabelárně (a graficky) přiřadit každému ohybovému momentu náhradní ohybovou tuhost E J, která v rámci lineární teorie nosníků dává stejný úhel natočení. Tento postup umožňuje zahrnout zmíněné rysy nelineárního ohybu do výpočtového modelu stejným způsobem, jako geometrickou nelinearitu, tedy změnou geometrické konfigurace, jakož i ohybové tuhosti, a následně opravou matice tuhosti, v každém iteračním kroku. Nelineární ohybovou charakteristiku lze z tzv. konečnoprvkového modelu získat několika způsoby. V tomto příspěvku byly popsány dva přístupy. Jak ohybová charakteristika, tak z ní odvozená závislost náhradní tuhosti na ohybovém momentu, vykazují bod zvratu, kdy při narůstajícím úhlu ohnutí se ohybový moment začíná zmenšovat. Tento bod představuje ztrátu stability tvaru, kdy při konstantním zatížení dojde ke zhroucení konstrukce. Oznámení Projekt byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím Grantové agentury České republiky. Registrační číslo projektu je GAČR 105 / 04 / 0458. Literatura [1] Novák O., Jílek A., Harvančík R., Sobota J. : STAVEBNÍ MECHANIKA. SNTL Praha, 1965. [2] KOLÁŘ V., KRATOCHVÍL J., LEITNER F., ŽENÍŠEK A. : VÝPOČET PLOŠNÝCH A PROSTOROVÝCH KONSTRUKCÍ METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ. SNTL, PRAHA, 1979. [3] Kolář V., Němec I., Kanický V. : FEM PRINCIPY A PRAXE METODY KONEČNÝCH PRVKŮ. Computer Press, 1997. [4] Crisfield M. A. : NON-LINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF SOLIDS AND STRUCTURES. John Wiley & Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, 1997. [5] ANSYS - STRUCTURAL NONLINEARITIES. User s Guide. SAS IP, Inc. 1999. 9