..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X = x, y = hx Y = y nazýváme transformovanou náhodnou veličinou. Diskrétní rozdělení 7.. Příklad Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p X, jejíž hodnoty jsou uvedeny v tabulce. Určete pravděpodobnostní funkci p Y a střední hodnotu EY náhodné veličiny Y = X. x - 0 5 p X x 0. 0. 0. 0. 0. Řešení: Určíme si hodnoty náhodné veličiny Y tak, že si je zapíšeme jako další řádek tabulky. Potom je uspořádáme jako rostoucí posloupnost a sloučíme hodnoty pravděpodobnostní funkce p X, které odpovídají různým hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní funkce x - 0 5 y 0 9 5 p X x 0. 0. 0. 0. 0. Spojité rozdělení y 0 9 5 p Y y 0. 0.4 0. 0. Náhodná veličina X má spojité rozdělení určené distribuční funkcí F X, resp. hustotu f X, fumkce h : a, b c, d je měřitelná a náhodná veličina Y = hx. Poznamenejme, pokud a >, resp. b <, pak F X x = 0 pro x a, F X x = pro X b a f X x = 0 pro x / a, b. Obdobně pro c >, resp. d <, pak F Y y = 0 pro x c, F Y y = pro X d a f Y y = 0 pro y / c, d. Algoritmus a vzorce pro výpočet rozdělení transformované náhodné veličiny. i Funkce h rostoucí v intervalu a, b a h : a, b c, d.
Pro y c, d je: F Y y = P Y y = P hx y = P X h y = F X h y. F Y y = 0, pro y < c; F Y y =, pro y d. Pro hustotu f Y je v intervalu c, d : f Y y = F Y y = d dy F Y y = d dy F Xh y = = F Xh y [h y] = f X h y [h y], jinde je hustota f X = 0. Je tedy pro y c, d : F Y y = F X h y, f Y y = dh y dy f X h y. 7. Příklad Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu 0, a náhodná veličina Y = ln X. Určete rozdělení náhodné veličiny Y a její střední hodnotu EY a kvantilovou funkci q Y. Řešení: Ze zadaní dostaneme pro distribuční funkci F X a hustotu f X vzorce: F X x = 0, x < 0, x, 0 x <,, x ; f X x = 0, x < 0,, 0 < x <, 0, x >. Průběhy obou funkcí jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.a a Obr. 7.b. F X x x Graf distribuční funkce F X Graf hustoty f X Graf ln X Obr. 7.a Obr. 7.b Obr. 7.c Z průběhu funkce ln, Obr. c, vidíme, že pro X 0, je Y, 0. Je tedy pro y, 0 f X Y ln X X F Y y = P Y y = P ln X y = P X e y = F X e y = e y. Dále je F Y y = pro y > 0. Odtud dostaneme pro hustotu, že f Y y = F Y y = e y = e y, pro y < 0,
f Y y = F Y y = = 0 pro y > 0. Průběhy obou charakteristik jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.d a Obr. 7.e. F Y y Obr. 7.d Obr. 7.e Kvantilovou funkci q y můžeme určit pomocí distribuční funkce F Y z rovnice F Y q Y α = α e q Y α = α q Y α = ln α, 0 < α <, nebo ze vztahu mezi kvantilovými funkcemi při transformaci pomocí rostoucí funkce. Je q Y α = hq X α, q X α = α q Y α = ln α, 0 < α <. ii Funkce h je klesající v intervalu a, b a h : a, b c, d. Pro y c, d je: F Y y = P Y y = P hx y = P X h y F Y y = F X h y. F Y y = 0, pro y < c; F Y y =, pro y d. Pro hustotu f Y je v intervalu c, d : f Y y f Y y = F Y y = d dy F Y y = d dy FX h y = = F Xh y [h y] = f X h y [h y], jinde je hustota f X = 0. Je tedy pro y c, d : F Y y = F X h y, f Y y = dh y dy Střední hodnota Y je rovna EY = yf Y ydy = 0 yey dy = [ye y ] 0 0 f X h y. ey dy = [ e y ] 0 =
nebo z původního rozdělení EY = Eln X = ln xf Xx dx = = 0 0 0 ln x dx = [xln x] 0 0 x x dx = dx =. 7.. Příklad Náhodná veličina X má rozdělení určené hustotou f X x = π + x pro x 0 a f X x = 0 pro x < 0. Určete hustotu f Y rozdělení náhodné veličiny Y = X. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu 0, a v něm je funkce hx = x klesající a zobrazuje tento interval na interval,. Viz Obr. 7.a a Obr. 7.b. /π f X hx x X Obr. 7.a Obr. 7.b Pro distribuční funkci je tedy F Y y = pro y. Pro zbývající hodnoty y, dostaneme pro distribuční funkci vzorec F Y y = P Y y = P X y = P y X = y y = P X = F X. Pro hustotu f Y náhodné veličiny Y dostaneme ze vzorce f Y = F Y : y, : f Y y = d dy F Y y = y F X y = f X = π + y. = Pro y, je f Y y = = 0. Poznamenejme, že k výpočtu hustoty f Y nepotřebujeme znát distribuční funkci F X. Po derivování jejího vyjádření dostaneme vzorec, který obsahuje jenom původní hustotu Průběh hustoty f Y znázorníme na obrázku Obr. 4
7.c. Všimeme si, že ze vzorce a z obrázku vidíme, že při lineární tranformaci dochází pouze ke změně měřítka, charakter hustotu se zachovává. /π f Y y Obr. 7.c iii Funkce h není monotónní v intervalu a, b nebo je náhodná veličina směsí náhodných veličin. V tomto případě rozdělíme interval a, b na sjednocení dílčích intervalů, v nichž je funkce h ryze monotónní. Náhodnou veličinu pak vyjádříme jako směs a jako směs ji transformujeme. Využíváme skutečnosti, že pro transformaci náhodné veličiny platí X = Mix α U, V, Y = hx Y = Mix α hu, hv. V jednodušších případech vycházíme z definice distribuční funkce, kde musíme rozřešit nerovnici hx y v závislosti na parametru y. Postupy ukážeme na příkladě. 7.4. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N0; s hustotou ϕ, a distribuční funkcí Φ, kde ϕx = π e x / a Φx = π x e t / dt, x R. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y = X. Řešení: Výpočet pomocí distribuční funkce. Průběhy obou charakteristik znázorníme na obrázcích Obr. 7.4a a Obr. 7.4b. Hustota je sudou funkcí, platí tudíž rovnost ϕx = ϕ x. Odtud plyne, že Φx + Φ x = Φx Φ x = Φx, x 0. / π ϕx x Φx x Obr. 7.4a Obr. 7.4b Funkce Y = hx = X je sudá, klesající v intervalu, 0 a rostoucí v intervalu 0,. Nabývá hodnot z intervalu 0,. Pro hustotu 5
a distribuční funkci platí Pro y 0, je F Y y = f Y y = 0 pro y 0. F Y y = P Y y = P X y = P y X y = = Φ y Φ y = Φ y. Derivováním vzorce dostaneme vyjádření hustoty ve tvaru f Y y = d dy Φ y = ϕ y Po dosazení hodnoty funkce ϕ dostaneme vyjádření f Y y = πy e y/, y > 0., y 0,. y Výpočet pomocí směsi. Funkce Y = hx = X je sudá, klesající v intervalu, 0 a rostoucí v intervalu 0,. Nabývá hodnot z intervalu 0,. Pro hustotu a distribuční funkci platí F Y y = f Y y = 0 pro y 0. Náhodnou veličinu X vyjádříme jako směs X = Mix α U, V, kde náhodná veličina U nabývá zápornývh hodnot a náhodná velčina V nabývá kladných hodnot. Protože je P X < 0 = P X > 0 = Φ0 =, jsou váhové koeficienty směsi α = α =. Pro hustoty komponent směsi dostaneme f U x = ϕx, x < 0, 0, x > 0; f V x = 0, x < 0 ϕx, x > 0, Pro transformaci směsi platí vzorec X = Mix / U, V, Y = hx Y = Mix / hu, hv. U : y = hx = x, x, 0, je klesající a x = h y = y, y 0,. Podle vzorce je f hu y = f U h y dh y dy = ϕ y y = πy e y, y > 0. 6
V : y = hx = x, x 0,, je rostoucí a x = h y = y, y 0,. Podle vzorce je f hv y = f V h y dh y dy = ϕ y y = πy e y, y > 0. Pro hustotu náhodné veličiny Y dostaneme pro y > 0 vzorec f Y y = f huy + f hv y = πy e y, který se shodný se vzorcem získaným předchozím výpočtem. Poznámka: Rozdělení se nazývá χ, čteme chíkvadrát o jednom stupni volnosti a je jedním z nejdůležitějších ve statistice. Průběhy obou charakteristik jsou znázorněny na obrázcích Obr. 7.4c a Obr. 7.4d. Hustota f Y náhodné veličiny s tímto rozdělením není omezená lim f Y y =, y 0+ ale je integrovatelná. f Y F Y y y Obr. 7.4c Obr. 7.4d Normální rozdělení Základní vzorce a vlastnosti normálního rozdělení. Normální rozdělení Nµ; σ má náhodná veličina X s hustotou Má pak distribuční funkci f X x = πσ e x µ/ σ, x R. F X x = πσ x e t µ/ σ dt. Je pak EX = µ, DX = σ a σx = σ. Normované normální rozdělení N0;, má náhodná veličina U, která má hustotu ϕx = e u /, u R π 7
a distribuční funkci Platí vztahy Φu = π u e t / dt, u R. ϕu = ϕ u, Φu + Φ u =, Φ u = Φu, a f X x = x µ σ ϕx µ/σ, F Xx = Φ σ q U α = q U α, q U 0.5 = 0, q X α = σq U α + µ. 7.5 Příklad Náhodná veličina U má normované normální rozdělení N0;. Určete: a i P U <.45; ii P U > 0.4; iii P.5 < U <.. b i P U > ; ii P U < U +. c číslo ε takové, že P U < ε = 0.95. Řešení: Hledané pravděpodobnosti vyčíslíme pomocí distribuční funkce Φ, jejíž hodnoty odečteme z tabulek. Je pak a i P U <.45 = Φ.45. Protože máme k dispozici tabulky Tabulka, kde je proměnná tabelována po krocích 0.0 použijeme lineární interpolace hodnot funkce Φ. Je pak i P U <.45 = Φ.45 = Φ.4 + 5 [Φ.44 Φ.4] = 0 = 0.9 + 0.95 0.9/4. = 0.99. ii P X > 0.4 = Φ 0.4 = [ Φ0.4] = Φ0.4 = Φ0.4 + [Φ0.44 Φ0.4] = 0 = 0.668 + [0.6700 0.668]/0 =. 0.669. iii P.5 < U <. = Φ. Φ.5 = = Φ. + Φ.5 = Φ. + 0 [Φ.4 Φ.] 0 + Φ. 5 [Φ.4 Φ.] = 0.9868 + [0.9875 0.9868]/ + 0 8
b 0.8686 + 5[0.879 0.8686]/0 = 0.987 + 0.878. = 0.8590. i P U > = P U > = P U < + P U > = = Φ + Φ = Φ + Φ = Φ.44 = = [ Φ.4 4 Φ.4 Φ.4] = 0.94 = 0 = [ 0.99 40.9 0.99/0] =. 0.574. ii P U < U + = P U U < 0 = P U U < 0 = = P < U < = Φ Φ = 0.977 0.84. = 0.59. c Je 0, 95 = P U < ε = P ε < U < ε = Φε Φ ε = = Φε Φε = + 0.95 = 0.975 ε = q U0.975 =.96, když příslušnou hodnotu kvantilu nalezneme v Tabulce. 7.6. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N; 4. Vypočtěte pravděpodobnosti: a i P X <.78; ii P X >.456; iii P 4.8 < X <.6. b i P X > 5; ii P X > X + 4. c číslo ε takové, že P X < ε = 0.95. Řešení: Požadované pravděpodobnosti vypočítáme pomocí distribuční funkce. Pro uvažované rozdělení je EX = µ = a DX = 4, tedy σ =. Distribuční funkce tohoto rozdělení F X u = Φ u. Je pak a i P X <.78 = F X.78 = Φ.78 = Φ.089 =. 0.869; ii P X >.456 = F X.456 = Φ.456 = = Φ.8 = Φ.8 = 0.890; iii P 4.8 < X <.6 = F X.6 F X 4.8 = = Φ.6 Φ 4.8 = Φ0.68 Φ.569 = = Φ0.68 + Φ.569 = 0.77 + 0.9949 =. 0.766. b i P X > 5 = P X > 5 X < 5 = F X 5 + F X 5 = Φ.6 + Φ.6 = = Φ0.68 + Φ.68 = Φ0.68 Φ.68 = = 0.77 0.9478 =. 0. ii P X > X + 4 = P X X 4 > 0 = = P X 4X + > 0 = P X < + P X > 4 = 9
= F X + F X 4 = Φ + Φ 4 = Φ + Φ.5 = = Φ + Φ.5 = 0.84 0.9 =. 0.55. c 0.95 = P ε < X < + ε = F X + ε F X ε = = Φ +ε Φ ε = Φ ε Φ ε = Φ ε Φ ε = +0.95 = 0.975 ε = q U0.975 ε =.96 =.9 7.7. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N; σ a P X > 5 = 0.. Určete parametr σ. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak 0. = P X > 5 = F X 5 = Φ 5 σ = Φ σ. Odtud plyne, že Φ σ = 0.8 σ = q U0.8 σ = q U 0.8 = 0.84 =.56 a σ =.695. 7.8. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení Nµ; 9 a P X < 4 = 0.96. Určete parametr µ. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak 0.96 = P X < 4 = F X 4 = Φ 4 µ 4 µ = q U 0.96. Odtud plyne, že µ = 4 q U 0.96 = 4.75 =.5. 7.9. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení Nµ; σ a P X < 85 = 0.9, P X < 95 = 0.95. Určete parametry rozdělení a pravděpodobnost P X > 60. Řešení: Je-li F X distribuční funkce daného rozdělení, pak u µ F X u = Φ. Je pak σ 85 µ 0.9 = F X 85 = Φ 85 µ = q U 0.9 =.8 ; σ σ 95 µ 0.95 = F X 95 = Φ 95 µ = q U 0.95 =.645 ; σ σ µ +.8σ = 85 a µ +.645σ = 95 Odtud plyne, že σ.645.8 = 95 85 0.6σ = 0 σ = 7.548, µ = 85.8σ = 85.8 7.548 = 49.68, σ = 758.89 Potom je 0
60 49.68 P X > 60 = F X 60 = Φ 7.548 = 0.696 = 0.09. = Φ0.75 = 7.0. Příklad Délka výrobku je náhodná veličina, která má normální rozdělení se střední hodnotou µ = 7.5cm a směrodatnou odchylkou σ = 4mm. Kontrolou projdou výrobky delší než 7mm. Jaká je pravděpodobnost P k, že náhodně vybraný výrobek bude delší než 8.cm. Řešení: Délka výrobku je náhodná veličina X, která má rozdělení N75; 6, kde počítáme vše v milimetrech. Jestliže označíme F X její distribuční funkci, je pravděpodobnost toho, že výrobek projde kontrolou rovna 7 75 P X > 7 = F X 7 = Φ = Φ 0.5 = 4 = Φ0.5 = 0.695. Sledovaný jev X > 8 je podmíněný, kde podmínkou je X > 7. Tedy P X > 8 X > 7 P X > 8 P k = P X > 8 X > 7 = = P X > 7 P X > 7. Je ale 8 75 P X > 8 = F X 8 = Φ = Φ.75 = 4 tedy = 0.960 = 0.04, P k = 0.04 0.69 = 0.0578 7.. Příklad Při balení balíčků kg cukru je jejich váha náhodná veličina X, která má normální rozdělení N; 0 4. Jaká je pravděpodobnost P 0, že v krabici, která obsahuje dvacet balíčků se bude váha krabice lišit od 0kg nejvýše o 40g. Řešení: Označme si X i, i 0, váhu i tého balíčku v krabici. Váhy jednotlivých balíčků jsou na sobě nezávislé, tudíž jsou to nezávislé náhodné veličiny. Je tedy váha krabice náhodnou veličinou, která je výběrovým úhrnem Y = 0 X i. i=
Ta má ovšem také normální rozdělení se střední hodnotou EY = 0 = 0 a rozptylem DY = 0 0 4 = 0.00, tedy rozdělení N0; 0.00. Protože je 40 g=0.04kg, pak počítáme pravděpodobnost P 0 = P Y 0 0.04 = P 0 0.04 Y 0 + 0.04. Jestliže si označíme F Y distribuční funkci náhodné veličiny Y, je u 0 F Y u = Φ 0.00 a tedy pro hledanou pravděpodobnost dostaneme P 0 = F Y 0 + 0.04 F Y 0 0.04 = 0 + 0.04 0 0 0.04 0 = Φ Φ = 0.00 0.00 0.04 0.04 0.04 = Φ Φ = Φ = 0.00 0.00 0.00 = Φ0.894 = 0.84 = 0.686. 7..Příklad Chyby při měření mají normální rozdělení N0; 0.0. Kolik měření musíme provést, aby byla chyba průměru měření menší než ε = 0.04 s pravděpodobností P = 0.95. Řešení: Jestliže si označíme hodnotu i tého měření jako M + X i, kde M je hledaná hodnota a X i je chyba i tého měření, tedy náhodná veličina, pak průměr všech měření má hodnotu n n i= M + X i = M + n n i= X i = M + X, kde náhodná veličina X představuje chybu průměru měření. Protože jsou jednotlivá měření na sobě nezávislá, má náhodná veličina X normální rozdělení s parametry EX = 0 a DX = 0.0 n. Jestliže si označíme F X distribuční funkci náhodné veličiny X, pak F X u = Φ. Potom musí platit 0.95 = P X < 0.04 = u n 0. = P 0.04 < X < 0.04 = F X 0.04 F X 0.04 = = Φ 0.04 n 0. Φ 0.04 n 0. = Φ 0.04 n 0.,
tedy Φ0.4 n = 0.975 0.4 n = q U 0.975 =.96.96 n = 0.4 = 4.9 n 4.9 = 4.0. K získání požadované přesnosti musíme provést alespoň 5 měření. 7.. Příklad Náhodná veličina X normální rozdělení N; 5. Pro náhodnou veličinu Y = X určete: a pravděpodobnost P Y ; b číslo a tak, aby P X < a = 0.95. Řešení: Náhodná veličina Y má také normální rozdělení. Jeho parametry určíme z vlastností střední hodnoty a rozptylu. Je EY = EX = = 5; DY = DX = 9 5 = 45, má tedy náhodná veličina Y normální rozdělení N5; 45. a Potom je P X = F Y = 5 = Φ = Φ.04 = 0.855 = 0.485 45 b a 5 0.95 = P Y < a = F Y a = Φ a 5 = q U 0.95 45 45 a = 5 + 45 q U 0.95. = 5 + 6.708.645 = 6.05. 7.4. Příklad Nezávislé náhodné veličiny X a Y mají po řadě normální rozdělení N; 4 a N5; 9. Pro náhodné veličiny Z = X + Y a W = X Y určete: a P Z 0; b číslo a tak, aby P W EW < a = 0.95. Řešení: Lineární kombinace nezávislých náhodných veličin, které mají normální rozdělení, má také normální rozdělení. Jeho parametry určíme z vlastností střední hodnoty a rozptylu. Je EZ = EX + EY = + 5 =, DZ = DX + DY = 9 4 + 4 9 = 7; EW = EX EY = 5 = 4, DW = DX + DY = 4 + 9 =.
a Náhodná veličina Z má normální rozdělení N; 7, tedy 0 4 P Z 0 = F Z 0 = Φ = Φ 7 = Φ0.94 =. 0.87 b Náhodná veličina W má normální rozdělení N 4;. tedy 0.95 = P W + 4 < a = P 4 a < W < 4 + a = a a a = F W 4 + a F W 4 a = Φ Φ = Φ a Φ = 0.975 a = q U 0.975 =.96 =. 7.067. 7.5. Příklad Náhodná veličina X má normální rozdělení N;. Určete: a rozdělení náhodných veličin Y = X, Z = X a W = X ; b pravděpodobnosti P X, P Y, P Z < 4 a P W > 0. Řešení: Je EX = a DX =. Náhodné veličiny mají také normální rozdělení a pro jejich parametry dostaneme: Y : EY = EX =. =, DY =. DX = 4. = ; Y N;. Z : EZ =. EX =. =, DZ = DX = = 9. = 7; Z N ; 7. W : EW =. EX =. =, DW =. DX = = 9. = 7; W N; 7. b F X u = Φ u µx σ X P X = F X = Φ = Φ u, tedy = Φ0.577. = 0.780; P Y = F Y = Φ = Φ0.89. = 0.67 = = 0.86; P Z < 4 = P < Z < = Φ + = Φ 5 9 Φ 9 P W > 0 = F W 0 = Φ 0. = 0.6498. Φ + = = Φ0.96 Φ0.9 =. 0.80 0.576 = 0.559; = Φ 0.85 = Φ0.85. = 4