5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů"

Transkript

1 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme tudíž úlohu, ve které hledáme odhady neznámých parametrů rozdělení. 5.. Formulace úlohy. Předpokládáme, že je dán náhodný výběr X, X 2,..., X n z rozdělení s hustotou f(x, θ, θ 2,..., θ m ), či pravděpodobnostní funkcí p(x, θ, θ 2,..., θ m ), kde θ = (θ, θ 2,..., θ m ) jsou parametry rozdělení. Na základě hodnot náhodného výběru odhadujeme parametry rozdělení tak, aby co nejlépe odpovídaly hodnotám náhodného výběru. Odhad provádíme pomocí vhodně zvolené funkce náhodného výběru, statistiky τ, která je odhadem parametrů θ či jejich funkce γ(θ). O takové úloze mluvíme jako o bodovém odhadu (point estimate) parametrů. Příklad: V případě normálního rozdělení, kdy X i N(µ; σ 2 ), je θ = µ a θ 2 = σ 2. Pro exponenciální rozdělení, kde X i Exp(A; δ), je třeba θ = A + δ a θ 2 = δ, neboť je střední hodnota rovna A + δ a rozptyl je δ Testování vhodnosti a kvality odhadů.. Nestranost odhadů. Statistika τ je nestranným odhadem (unbised estimator) funkce parametrů γ(θ), jestliže je E(τ) = γ(θ). Příklad: Je-li X, X 2,..., X n náhodný výběr z rozdělení, pro které je E(X i ) = µ, pak je statistika výběrový průměr τ = X = n nestranným odhadem střední hodnoty µ. Je-li rozptyl D(X i ) = σ 2, pak je statistika výběrový rozptyl τ = S 2 = n nestranným odhadem rozptylu σ X i (X i X) 2

2 Poznámka: Pro střední hodnotu statistiky τ je někdy splněna slabší podmínka E(τ) = γ(θ). lim n Takový odhad nazýváme asymptoticky nestranný. Příklad: Statistika τ = s 2 = n (X i X) 2 je asymptoticky nestranným odhadem rozptylu σ 2, neboť je E(s 2 ) = n n σ2. 2. Konzistentnost odhadu (consistency.) Statistika τ je konzistentním odhadem (consistent estimator) funkce parametrů γ(θ), jestliže platí lim P ( τ γ(θ) < ε) = n pro každé ε > 0. Poznámka: Z Čebyševovy nerovnosti vyplývá, že nestranné odhady s konečným rozptylem jsou konzistentní. Je totiž E(τ) = γ(θ) a P ( τ γ(θ) < ε) D(τ) ε 2. Příklad: Je-li náhodný výběr výběrem z normálního rozdělení N(µ; σ 2 ), pak pro výběrový průměr platí: E(τ) = E(X) = µ a D(τ) = D(X) = σ2 n. Je tedy výběrový průměr X nestranným a konzistentním odhadem střední hodnoty µ. Pro výběrový rozptyl S 2 je E(S 2 ) = σ 2 a D(S 2 ) = n µ 4 (n 3)σ4, n je tedy statistika S 2 nestranným a konzistentním odhadem rozptylu σ Vydatnost odhadu (efficiency.) Vydatnost odhadu popisujeme rozptylem D(τ) = E(τ E(τ)) 2 57

3 Nestranný odhad τ funkce parametrů γ(θ), pro který je rozptyl D(τ) = E[(τ γ(θ)) 2 ] minimální, se nazývá nejlepší nestranný (best unbiased estimate) odhad. Metody hledání bodových odhadů Metoda maximální věrohodnosti (maximum likelihood method) je založena na vlastnostech sdružené hustoty či pravděpodobnostní funkce. Je-li X, X 2,..., X n náhodný výběr z rozdělení s hustotou, či pravděpodobnostní funkcí f(x, θ, θ 2,..., θ m ), pak má náhodný vektor (X, X 2,..., X n ) sdruženou hustotu, či pravděpodobnostní funkci f(x, θ, θ 2,..., θ m ).f(x 2, θ, θ 2,..., θ m )... f(x n, θ, θ 2,..., θ m ). Tuto funkci označujeme ( ) L(x, x 2,..., x n ; θ) a nazýváme ji věrohodnostní funkcí (likelihood function.) Hodnotu ˆθ, pro kterou je věrohodnostní funkce maximální, nazýváme maximálně věrohodným (maximum likelihood estimator) odhadem parametrů θ. Protože má v řadě případů hustota exponenciální průběh používáme místo věrohodnostní funkce L(x, θ) její logaritmus (log-likelihood function). Maximálně věrohodný odhad ˆθ je řešením soustavy věrohodnostích rovnic L(x, x 2,..., x n ; θ) θ k = 0 (x, x 2,..., x n ; θ) θ k = 0, k m. Odhadujeme-li funkci γ(θ), pak je jejím maximálně věrohodným odhadem funkce γ(ˆθ) Příklad: Normální rozdělení. Hustota normálního rozdělení N(µ; σ 2 ) je f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 58

4 a tedy věrohodnostní funkce je rovna L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = (σ 2π) ne Pro logaritmus věrohodnostní funkce ln L tedy platí: (x i µ) 2 2σ 2 ln L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = n 2 ln (σ2 ) n ln ( 2π) 2σ 2 Potom je soustava věrohodnostních rovnic rovna: µ = 2σ σ 2 Z první rovnice dostaneme 22 = n 2σ 2 + 2σ 4 (x i µ)( ) = 0, (x i µ) = 0 ˆµ = n Po dosazení do druhé rovnice dostaneme (x i µ) 2 = 0. σ 2 = i µ) n (X 2 ˆσ 2 = n X i = X. (X i X) 2. (x i µ) 2 Všimneme si, že odhad střední hodnoty µ je nestranný a konzistentní odhad a odhad rozptylu σ 2 je asymptoticky nestranný Příklad: Poissonovo rozdělení P o(λ) má pravděpodobnostní funkci p(k) = λk k! e λ, k = 0,, 2,... a E(X i ) = D(X i ) = λ. Je tedy věrohodnostní funkce rovna a její logaritmus je roven L(k, k 2,..., k n ; λ) = λk +k k n k!k 2!... k n! e nλ ln L(k, k 2,..., k n ; λ) = nλ + (k + k k n ) ln λ ln (k!k 2!... k n!). 59

5 Odtud dostaneme věrohodnostní rovnici λ = n + λ (k + k k n ) = 0 λ = n (k + k k n ). Maximálně věrohodný odhad parametru λ je roven ˆλ = n X i = X. Protože je E(X) = λ a D(X) = λ n je získaný odhad nestranný a konzistentní Příklad: Exponenciální rozdělení Exp(0; δ) má hustotu f(x) = δ e x δ, x > 0, pro které je E(X i ) = δ. Věrohodnostní funkce je rovna a její logaritmus je roven L(x, x 2,..., x n ; δ) = δ ne δ x i ln L(x, x 2,..., x n ; δ) = n ln δ δ Odtud dostaneme věrohodnostní rovnici = n δ δ + n x δ 2 i = 0. Maximálně věrohodný odhad parametru δ je ˆδ = n X i = X. Tento odhad je nestranný a konzistentní Příklad: Exponenciální rozdělení Exp(A; δ) má hustotu f(x) = x A e δ, x > A, δ pro které je E(X i ) = A + δ a D(X i ) = δ. Věrohodnostní funkce je rovna L(x, x 2,..., x n ; A, δ) = δ ne δ (x i A) x i. 60

6 a její logaritmus je roven ln L(x, x 2,..., x n ; A, δ) = n ln δ δ (x i A). Musí být X i A, i n a tudíž funkce ln L má maximální hodnotu pro  = min{x, X 2,..., X n }. Věrohodnostní rovnice pro parametr δ je δ = n δ + δ 2 n (x i A) = 0. Maximálně věrohodný odhad parametru δ je ˆδ = n (X i Â) = X Â. Protože je E(Â) = A + δ n není tento odhad nestranný, je vychýlený, asymptoticky nestranný, ale je konzistentní. Dále je E(ˆδ) = δ n n, tudíž je tento odhad rovněž asymptoticky nestranný Příklad: Rovnoměrné rozdělení v intervalu (µ h, µ+h) má hustotu f(x) = 2h, µ h < x < µ + h, kde E(X i ) = µ a D(X i ) = h2 3. Věrohodnostní funkce je L(x, x 2,..., x n ; µ, h) = (2h) n, a její logaritmus je roven µ h < x i < µ + h ln L(x, x 2,..., x n ; µ, h) = n ln (2h) Tato funkce má maximální hodnotu pro minimální volbu parametru h. Je tedy maximálně věrohodný odhad parametru h roven ĥ = 2 (max{x i; i n} min{x i ; i n}). Pro maximálně věrohodný odhad střední hodnoty dostaneme ˆµ = 2 (max{x i; i n} + min{x i ; i n}). 6

7 Z rozdělení uspořádaného výběru dostaneme, že E(ĥ) = hn n + a E(ˆµ) = µ. Odhad ˆµ je nestranný, odhad ĥ je asymptoticky nestranný a oba jsou konzistentní Metoda momentů je založena na rovnosti výběrových momentů a momentů rozdělení. Nelze jednoznačně rozhodnout, která z metod dává lepší výsledky. Rozhodování provádíme podle konkrétní situace, nejčastěji rozhoduje jednoduchost získaných vzorců. Metoda momentů zohledňuje všechna data z výběru a volíme ji v případech, kdy je soustava věrohodnostních rovnic obtížně řešitelná. Pro základní rozdělení dávají obě metody shodné výsledky a v případě složitějších rozdělení můžeme jako další kritérium uvažovat, které vzorce jsou méně citlivé na zavlečené chyby do hodnot výběru. Definice: Je-li X, X 2,..., X n náhodný výběr, pak definujeme k-tý výběrový moment jako M k = n i X k i, a k-tý centrální výběrový moment jako M k = n k (X i X) k, k. Pokud má rozdělení, ze kterého provádíme náhodný výběr, parametry θ, θ 2,..., θ m, pak jejich odhad θ, θ 2,..., θ m určíme z rovnic M k = µ k, resp. M k = µ k, k m, kde µ k jsou obecné momenty rozdělení. Poznámka: Nejčastěji používáme první dva momenty: M = X i = X a M 2 = n n 5.0. Příklad: Binomické rozdělení Bi(n, p) má střední hodnotu E(X i ) = np a rozptyl D(X i ) = np( p). Odhad parametru p určíme 62 X 2 i.

8 z rovnice Protože je np = M = X i p = X n n 2 i = n X. E(p ) = n 2n.np = p a p( p) D(p ) = n 2 je odhad p nestranný a konzistentní. Pro soubor dat z binomického rozdělení Bi(30, 6 ), které dostaneme jako počet hodů s předepsanou hodnotou bodů v serii 30 hodů. Pro odhad parametru p = 6 = 0, 666 získáme odhady: n = 30 0,57 0,77 0,7 0,33 0,203 0,6 n = 60 0,7 0,78 0,5 0,4 0,87 0,75 n = 90 0,73 0,8 0,47 0,47 0,8 0,7 5.. Příklad: Normální rozdělení N(µ; σ 2 ). Pro normální rozdělení je E(X i ) = µ, D(X i ) = σ 2 a E(X 2 i ) = σ 2 + µ 2. Odhady parametrů µ a σ 2 dostaneme z rovnic tedy µ = M = X, σ 2 + µ 2 = M 2 = n X 2 i, µ = X a (σ ) 2 = Xi 2 (X) 2. n Odhady jsou shodné s maximálně věrohodnými odhady z odstavce Příklad: Exponenciální rozdělení Exp(0, δ) má střední hodnotu E(X i ) = δ a tudíž odhad parametru δ získáme z rovnice M = µ n X i = X = δ, tedy odhadem parametru δ je hodnota δ = X. I tento odhad je shodný s maximálně věrohodným odhadem ˆδ z odstavce 5.5. Pro soubor 40 dat z exponenciálního rozdělení Exp(0; δ) dostaneme odhad parametru δ : δ,5 2 0,5 2,5 ˆδ = δ,09,5 2,2 0,54 2,45 63

9 5.3. Příklad: Exponenciální rozdělení Exp(A, δ) Má střední hodnotu E(X i ) = A + δ a rozptyl D(X i ) = δ 2. Odhady parametrů rozdělení získáme z rovnic tedy X = A + δ, jejichž řešením dostaneme δ = n M = µ a M 2 = µ 2, n X 2 i = δ 2 + (A + δ) 2, Xi 2 (X) 2 a A = X n X 2 i (X) 2. Všimneme si, že jsme získali jiné odhady než jsou maximálně věrohodné odhady z odstavce 5.5. Pro soubor 30 dat z exponenciálního rozdělení Exp(A; δ) dostaneme odhad parametrů A a δ : A 2-3,5 δ 0, Â,07 2,07-0,89 3,0,56 ˆδ 0,8 0,5,8 4,75 2,65 A,6 2,07-0,64 3,74,65 δ 0,7 0,52,54 4,02 2, Příklad: Rovnoměrné rozdělení v intervalu (µ h, µ+h) má střední hodnotu E(X i ) = µ a roztyl D(X i ) = h2 3. Pro odhady parametrů µ a h dostaneme rovnice M = µ a M 2 = µ 2 + h2 3. Jejich řešením dostaneme pro odhady vyjádření µ = X a h = 3 n Xi 2 (X) 2, což jsou hodnoty odlišné od maximálně věrohodných odhadů z odstavce

10 Pro soubor n dat z rovnoměrného rozdělení v intervalu (0, ) dostaneme z uvedených vzorců odhady parametrů µ = 0, 5 a h = 0, 5 ve tvaru n ˆµ 0,496 0,483 0,50 0,5 0,5 0,50 ĥ 0,464 0,477 0,49 0,485 0,497 0,499 µ 0,53 0,486 0,484 0,509 0,484 0,507 h 0,48 0,486 0,534 0,506 0,502 0, Příklad: Binomické (alternativní) rozdělení Bi(m; p) má pravděpodobnostní funkci p(k) = m p k ( p) m k, k k = 0,, 2,..., m a E(X i ) = mp, D(X i ) = mp( p). Alternativní rozdělení dostaneme pro m =. Je tedy věrohodnostní funkce rovna = L(k, k 2,..., k n ; p) = Π n Π n Pro její logaritmus dostaneme ln L(k, k,..., k n ; p) = ln Protože je m p k i ( p) m k i = k i m p k++k k n ( p) nm (k +k k n ) k i Π n m k i + (k + k k n ) ln p+ +(nm k k... k n ) ln ( p) lim p 0+ ln L = lim p ln L = má věrohodnostní funkce maximum ve stacionárním bodě. Pro něj dostaneme rovnici L (k; p) = k + k k n p nm k k... k n p = 0 65

11 Odtud dostaneme maximálně věrohodný odhad parametru p ve tvaru p = m k + k k n n Protože je E(p ) = p a D(p ) = p( p) nm = X m. je odhad nestranný a konzistentní. Metodou momentů dostaneme pro odhad parametru p rovnici a odtud dostaneme odhad M = E(X i ) X = mp ˆp = p = X m = nm Pro alternativní rozdělení A(p) = Bi( ; p) máme tudíž odhady ˆp = p = X = n V tabulce jsou hodnoty, které odpovídají výběru z alternativního rozdělení pro p =. 6 = 0, 667. Jsou to počty, kolikrát při n hodech hrací kostkou padnou čísla, 2,...,6. Podmínka pro aproximaci pomocí normálního rozdělení je np( p) > 9, tedy n > 65. X i X i n X X X X X X n V další tabulce jsou uvedeny výběrové průměry X, tedy odhady parametru p =. 6 = 0, 667. n X X X X X X 90 0, 0,556 0,667 0,444 0,2444 0, ,6 0,466 0,667 0,467 0,867 0, ,567 0,767 0,7 0,33 0,2033 0,6 5.6 Příklad: Poissonovo rozdělení P o(λ) má střední hodnotu E(X) = λ a tedy pro parametr λ dostaneme rovnici M = µ n 66 X i = X = λ.

12 Je tedy odhad získaný metodou momentů λ = ˆλ = X shodný s maximálně věrohodným odhadem. Jedná se tudíž o nestranný a konzistentní odhad. Pro soubor 40 dat s rozdělení P o(λ) dostaneme odhad: λ , 5 λ = ˆλ, 875 2, 8 3, 9 0, 675 Některá další rozdělení 5.7. Příklad: Rayleighovo rozdělení má náhodná veličina Z = X2 + Y 2, kde náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají normální rozdělení N(0; σ 2 ). Náhodný vektor (X, Y ) má rozdělení pravděpodobnosti určené sdruženou hustotou f(x, y) = buční funkci G náhodné veličiny Z je pro z 0: 2πσ 2 e x 2 +y 2 2σ 2. Potom pro distri- G(z) = P (Z z) = P ( X 2 + Y 2 z) = P (X 2 + Y 2 z 2 ) = = x 2 +y 2 x 2 +y 2 z 2 2πσ 2e 2σ 2 dxdy = 2πσ 2 = [ e ρ2 2σ 2 ] z 0 ( 2π z 0 = e z2 2σ 2. Pro hustotu g náhodné veličiny Z dostaneme: 0 ρe ρ g(z) = G (z) = z z2 e 2σ σ2 2, z > σ 2 dρ ) dϕ = Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, která má Rayleighovo rozdělení dostaneme: z 2 E(Z) = z 2 0 σ 2 e 2σ 2 dz = ( z). ( z ) z2 e 2σ 0 σ2 2 dz = ( ) ] = ( z) e z2 2σ 2 dz == [ z e z2 2σ 2 + e z2 π 2σ 2 dz = σ ; = E(Z 2 ) = 0 ( z2 ) 0 z 3 z σ 2 e 2 2σ 2 dz = (e z2 2σ 2 ) dz == 0 ( z 2 ). ( z ) z2 e 2σ σ2 2 [ z 2 e z2 2σ 2 ] dz = 2ze z2 2σ 2 dz =

13 ] = [ 2σ 2 e z2 2σ 2 0 = 2σ 2. Je tedy D(Z) = E(Z 2 ) (E(Z)) 2 = 2σ 2 σ 2π 2 = σ24 π 2 Pro kvantily z p Rayleighova rozdělení dostaneme podmínku:. = σ 2 0, G(z p ) = p e z 2 p 2σ 2 = p e z 2 p 2σ 2 = p z p = σ 2 ln ( p). Pro medián z 0,5 dostaneme po dosazení p = 0, 5 hodnotu z 0,5 = σ 2 ln 2. = σ, 774. Pro modus ẑ dostaneme z derivace hustoty rovnici g (z) = e z2 2σ 2 σ z2 2 = 0 z 2 = σ 2 ẑ = σ. σ 4 Maximálně věrohodný odhad parametru σ dostaneme z věrohodnostní rovnice. Pro věrohodnostní funkci dostaneme vyjádření L(x, x 2,..., x n ; σ 2 ) = x x 2... x n e 2σ 2 σ 2n Odtud dostaneme, že x 2 i, x i > 0, i n. ln L(x, x 2,..., x n ; σ 2 ) = ln (x x 2... x n ) n ln σ 2 2σ 2 Odtud dostaneme derivováním rovnici pro maximálně věrohodný odhad d dσ 2L(x, x 2,..., x n ; σ 2 ) = n σ 2 + 2σ 4 Je tedy ˆσ 2 = 2n x 2 i = 0 σ 2 = 2n maximálně věrohodným odhadem parametru σ 2 v Rayleighově rozdělení. Pro střední hodnotu odhadu dostaneme: E( ˆσ 2 ) = E( 2n 68 X 2 i X 2 i ) = σ 2, x 2 i. x 2 i.

14 je tedy odhad nestranný. Obdobně jako při výpočtu rozptylu dostaneme, že D(Z 2 ) = 4σ 4. Pro rozptyl odhadu dostaneme, že D( ˆσ 2 ) = 4n2D( X 2 i ) = σ4 n. Protože je σ4 n 0 pro n je tento odhad konzistentní. Metodou momentů dostaneme poněkud odlišný odhad než je maximálně věrohodný odhad ˆσ. Z rovnice µ = M σ π 2 = X dostaneme odhad parametru σ ve tvaru σ = 2 π X, který je odlišný od odhadu ˆσ. Protože je E(σ ) = 2 π E(X) = 2 π π 2 σ = σ, je získaný odhad nestranným odhadem parametru σ. Dále je D(σ ) = 2 π n D(X i) = 2 4 π π 2n σ 0 pro n, je tedy získaný odhad konzistentní. Jestliže použijeme rovnosti momentů druhého řádu, dostaneme pro odhad parametru σ rovnici M 2 = µ 2 Xi 2 = 2σ 2 σ 2 = Xi 2. n 2n To je ovšem hodnota, která je shodná s maximálně věrohodným odhadem. Pro soubor 30 hodnot generovaných pomocí kvantilů Rayleighova rozdělení dostaneme odhady parmetru σ : σ σ ˆσ 2 ˆσ,007,38,067,2,208,639,28 2 2,8 4,297 2,07 2,,9 4,083 2,07 3 2,85 9,07 3,00 5 5,42 26,6 5,6 5,2 4,98 24,72 4,97 8 7,46 309,7 7,6 69

15 5.8. Příklad: Geometrické rozdělení má náhodná veličina X, která je dána jako počet pokusů, které musíme provést, aby nastal náhodný jev A, kde P (A) = p, 0 < p <. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení a její pravděpodobnostní funkce p je dána vztahem p(k) = p( p) k, k N. Pro základní číselné charakteristiky je E(X) = p, D(X) = p ( p ), 0 < p <. Je-li (X, X 2,..., X n ) náhodný výběr z geometrického rozdělení, pak pro výběrový úhrn X a výběrový průměr X platí: E( X) = n p, E(X) = p, D( X) = n ( ) p p, D(X) = ( ) np p. Maximálně věrohodný odhad určíme z věrohodnostní funkce L(x, x 2,..., x n ; p) = p n ( p) x +x x n n, x i N, i n. Odtud dostaneme, že ln L(x, x 2,..., x n ; p) = n ln p + (x + x x n n) ln ( p) a tudíž d dp ln L(x, x 2,..., x n ; p) = n p (x + x x n n) p = 0 Je tedy hodnota n X p = n p p = ñ X = X. ˆp = X maximálně věrohodným odhadem parametru p z geometrického rozdělení. Metodou momentů dostaneme z rovnice odhad parametru p ve tvaru µ = M p = X p = X, 70

16 který je shodný s maximálně věrohodným odhadem ˆp. Pro soubory dat, které dostaneme jako počet hodů hrací kostkou dokud nepadne šestka, kde p = 6 = 0, 6666 dostaneme tyto odhady: n = 0 X 6 4,5 4,9 6,9 7,4 4,8 ˆp = p 0,67 0,222 0,204 0,45 0,35 0,208 n = 20 X 5,5 5,65 5,2 5,65 7,95 6,5 ˆp = p 0,94 0,77 0,92 0,77 0,26 0,54 n = 30 X 5,3 6,7 5,5 5,07 5,4 6,07 ˆp = p 0,95 0,62 0,82 0,97 0,85 0, Příklad: Rozdělení Γ je rozdělení, které je zobecněním exponenciálního rozdělení. Má dva parametry m > 0 a δ > 0, které označujeme symbolem Γ(m, δ) a má hustotu f(x) = xm δ m Γ(m) e x δ, x > 0. Pro m = je rozdělení Γ(, δ) exponenciální rozdělení Exp(0; δ). Jsouli náhodné veličiny X i, i m nezávislé a mají-li exponenciální rozdělení Exp(0; δ), pak má výběrový úhrn X = m X i rozdělení Γ(m; δ). Pro číselné charakteristiky takového rozdělení dostaneme: E(X) = 0 = δ Γ(m) 0 E(X 2 ) = 0 x m δ m Γ(m) e x δ dx = t m e t dt = = δ2 Γ(m) 0 x = tδ 0 0 dx = δdt δ δmγ(m) Γ(m + ) = Γ(m) Γ(m) x m+ δ m Γ(m) e x δ dx = t m+ e t dt = = δ2 m(m + )Γ(m) Γ(m) x = tδ 0 0 dx = δdt δ2 Γ(m + 2) = Γ(m) = m(m + )δ 2 ; = = mδ; = D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = m(m + )δ 2 m 2 δ 2 = mδ 2. 7

17 Maximálně věrohodné odhady parametrů m a δ dostaneme pomocí věrohodnostní funkce L(x, x 2,..., x n ; m, δ) = (x x 2... x n ) m e δ δ nm (Γ(m)) n Pro její logaritmus dostaneme vyjádření ln L(x, x 2,..., x n ; m, δ) = x i, x i > 0, i n. = (m ) ln (x x 2... x n ) nm ln δ n ln Γ(m) δ Pro hodnoty maximálně věrohodných odhadů dostaneme soustavu rovnic = nm δ δ + n x δ 2 i = 0 m = Z první rovnice dostaneme vztah d ln Γ(m) ln x i n ln δ n dm = 0. x i. ( ) δ = nm x i = X m a druhou rovnici upravíme pomocí vztahu ln δ = ln X ln m a dostaneme rovnici ( ) d ln Γ(m) dm ln m = n ln x i ln X. Tuto rovnici musíme řešit numericky a hodnoty levé strany rovnice jsou pro některé celočíselné hodnoty parametru m tabelovány. Tyto hodnoty můžeme použít jako výchozí iteraci pro řešení rovnice ( ). Jestliže označíme ˆm maximálně věrohodný odhad parametru m, který je řešením rovnice ( ), pak z rovnice ( ) dostaneme maximálně věrohodný odhad parametru δ ve tvaru ˆδ = Xˆm. Metodou momentů dostaneme pro odhady parametrů m a δ rovnice µ = M a µ 2 = M 2, 72

18 tedy vztahy Odtud plyne, že m 2 δ 2 dostaneme vztah ( ) mδ = X a m(m + )δ 2 = n X 2 i. = (X) 2 a po dosazení do druhé z rovnic ( ) mδ 2 = n X 2 i (X) 2. Jestliže tuto rovnici vydělíme první rovnicí z ( ), pak dostaneme pro odhad parametru δ vzorec δ = n X2 i (X) 2 Dosazením do první z rovnic ( ) dostaneme odhad parametru m ve tvaru m = X δ = (X) 2 n X X2 i (X) 2. Řešením uvedených rovnic pro odhady parametrů jsme pro soubory o n prvcích získali odhady, které jsou uvedeny v tabulce n m δ ˆm ˆδ m δ 20,52 0,44,42 0, ,94,2 0,76,48 00,06 0,88,3 0,73 200,02 0,86 5,07 0,8. n m δ ˆm ˆδ m δ 20 2,52 0,44,42 0, ,94,2 0,76, ,06 0,88,3 0, ,02 0,86 5,07 0,8 73

19 n m δ ˆm ˆδ m δ 20 2,52 0,44,42 0, ,94,2 0,76, ,06 0,88,3 0, ,02 0,86 5,07 0, Příklad: Weibullovo rozdělení má náhodná veličina X, která má hustotu rozdělení pravděpodobnosti dánu vztahem f(x) = cxc e ( x δ) c, x > 0, δ c kde c > 0 a δ > 0. Pro c = je rozdělení exponenciálním rozdělením Exp(0; δ). Toto rozdělení dostaneme z exponenciálního rozdělení transformací x ( ) x c δ. Jedná se o tzv. Boxovu-Coxovu transformaci, která pro vhodné hodnoty parametrů c a δ převadí rozdělení na rozdělení, které má přibližně normální rozdělení. Pro číselné charakteristiky tohoto rozdělení dostaneme: E(X) = E(X 2 ) = 0 cx c δ c e ( x δ) c dx = = δ cx c+ 0 0 ( x δ ( t c e t dt = δγ δ c e ( x δ) c dx = = δ 2 0 D(X) = δ 2 [Γ ) c = t, dx == δ c t c dt x = δt c ( x δ ) ; + c ) c = t, dx = δ c t c dt x = δt c ( ) ; t 2 c e t dt = δ 2 Γ + 2 c ( + 2 ) ( Γ 2 + )]. c c = = Maximálně věrohodné odhady parametrů c a δ dostaneme pomocí věrohodnostní funkce L(x, x 2,..., x n ; c, δ) = cn δ nc(x x 2... x n ) c e δ c Z jejího logaritmu x c i, x i > 0, i n. ln L(x, x 2,..., x n ; c, δ) = n ln c nc ln δ + (c ) n ln x i n x c δ c i 74

20 dostaneme derivováním soustavu věrohodnostních rovnic ve tvaru ( ) δ = nc δ + c δ c+ x c i = 0, ( ) = n c c n ln δ + n ln x i + ln δ x c δ c i x c δ c i ln x i = 0. Z rovnice ( ) dostaneme pro hodnotu δ vztah ( ) δ c = n x c i δ = n x c i c. Z rovnice ( ) dostaneme vztah c = n ln x i + ln δ nδ c x c i + nδ c x c i ln x i. Po dosazení ze vztahu ( ) dostaneme pro parametr c rovnici ( ) c = xc i ln x i xc i n ln x i. Tuto rovnici řešíme numericky a získáme maximálně věrohodný odhad ĉ. Dosazením do rovnice ( ) dostaneme maximálně věrohodný odhad ˆδ parametru δ. Metodou momemtů dostaneme pro odhady parametrů c a δ z rovnic vztahy ( ) µ = M a µ 2 = M 2 ( δγ + ) ( = X a δ 2 Γ + 2 ) = c c n X 2 i. Jestliže vydělíme druhou z rovnic ( ) umocněnou první rovnicí ( ) dostaneme pro odhad parametru c rovnici Γ ( + 2 c ) Γ 2 ( + c ) = n X2 i (X) 2, 75

21 kterou musíme řešit numericky. Z jejího řešení c určíme hodnotu odhadu parametru δ třeba z první rovnice ( ) ve tvaru δ = X Γ ( + c ). Řešením uvedených rovnic pro odhady parametrů c a δ jsme pro soubory o n prvcích získali odhady, které jsou uvedeny v tabulce n c δ ĉ ˆδ c δ 20,57,62,4,6 40,4 0,97,5 0, ,92 0,96 0,9 0,96 n c δ ĉ ˆδ c δ ,05,,6, ,3,2,72,2 00 2,9,04,5,02 n c δ ĉ ˆδ c δ ,7 0,98 2,54, ,25,04 2,28, ,9 0,99 2,23,0 5.2 Příklad: Laplaceovo rozdělení má náhodná veličina X, která má hustotu rovnu f(x) = x b 2a e a, x R, a > 0, b R. Rozdělení je souměrné podle hodnoty b a je E(X) = b = x 0,5 = ˆx. Pro rozdělení je dále D(X) = 2a 2. Odhadujeme parametry a a b. Maximálně věrohodné odhady získáme pomocí věrohodnostní funkce L(x, x 2,..., x n ; a, b) = a (2a) ne x i b. 76

22 Použijeme opět logaritmu této funkce a dostaneme ln L(x, x 2,..., x n ; a, b) = n ln (2a) a x i b. Pro odhad parametru b dostaneme podmínku, aby byla hodnota funkce d(b) = n x i b minimální. Tato funkce nabývá svého minima pro ( ) ˆb = x0,5, kde x 0,5 je výběrový medián, který je definován vztahem: x 0,5 = x (m), pro n = 2m +, 2 (x m + x m+ ), pro n = 2m. Jestliže zderivujeme věrohodnostní funkci dostaneme rovnici a = n a + a 2 x i b = 0. Odtud dostaneme pro odhad parametru a vzorec ( ) â = n x i ˆb. Pomocí momentů získáme poněkud odlišné odhady. Z rovnice získáme ihned odhad µ = M b = X ( ) b = X. Z rovnosti druhých momentů dostaneme µ 2 = M 2 2a 2 + b 2 = n Odtud plyne pro odhad parametru a vzorec ( ) a = 2 n X 2 i. Xi 2 ( X ) 2. Řešením uvedených rovnic pro odhady parametrů a a b jsme pro soubory o n prvcích získali odhady, které jsou uvedeny v tabulce 77

23 n a b â ˆb a b ,0,0-0,05 0, ,0 0,72 0,0 0, ,06,04 0,2,02 n a b â ˆb a b , 2,73-0,05 2, ,4 3,5 0,06 3, ,0 3,35 0,9 3, Příklad: Logaritmicko-normální rozdělení se dvěma parametry je rozdělení Ln(µ; σ 2 ), které má náhodná veličina X jejíž transformace ln X má normální rozdělení N(µ; σ 2 ). Pro její hustotu dostaneme vyjádření ve tvaru Dostaneme, že f(x) = σ (ln x µ) 2 2πx e 2σ 2, x > 0. E(X) = e µ+σ2 /2, D(X) = e 2µ+σ2 ( e σ2 Maximálně věrohodné odhady dostaneme z věrohodnostní funkce L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = σ n ( e 2σ 2 2π) n x... x n ). (ln x i µ) 2. K určení maximální hodnoty použijeme logaritmu věrohodnostní funkce, který má tvar ln L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = = n 2 ln (2π) n 2 ln σ2 n ln x i (ln x 2σ 2 i µ) 2. Derivováním podle parametrů µ a σ 2 dostaneme soustavu věrohodnostních rovnic µ = 2(ln x 2σ 2 i µ)( ) = 0, σ 2 = n 2σ 2 + 2σ 4 78 (ln x i µ) 2.

24 Z první rovnice dostaneme odhad a z druhé pak odhad ( ) ˆµ = n ln X i ( ) ˆσ2 = n (ln X i ˆµ) 2. Odhad ˆµ je nestranným odhadem parametru µ a druhý z odhadu je vychýleným odhadem. Oba jsou konzistentní. Logaritmicko normální rozdělení je příkladem, kdy nelze použít k výpočtu parametrů momentovou metodu. Momenty tohoto rozdělení nejsou omezené a tedy nemáme zaručen jednoznačně vzájemný vztah mezi hustotou rozdělení a posloupností momentů. Existuje dokonce celá jednoparametrická množina hustot, která má úplně jiný charakter a má shodné momenty s logaritmicko-normálnímrozdělením. Formálním výpočtem rovnic pro teoretické a výběrové momenty dostaneme vzorce pro parametry. Jejich řešení ale nemusí odpovídat skutečnosti. Momentovou metodou dostaneme porovnáním rovnice E(X) = e µ+σ2 /2 = M ( ) = X, D(X) = e 2µ+σ2 e σ2 = M 2 Po umocnění první rovnice vydělením dostaneme M 2 (X) = (σ ) 2 = ln + M 2 2 eσ2 (X) 2 Po dosazení odhadu do první rovnice dostaneme µ + σ 2 /2 = ln (X) µ = ln (X) 2 ln + M 2 (X) 2 Podle vzorů pro odhady parametrů rozdělení dostaneme pro náhodné výběry rozsahu n uvedené odhady parametrů µ a σ 2. Výpočet je proveden pro dvě dvojice parametrů, µ = 0, σ 2 = a µ = 0, σ 2 = 4. 79

25 n µ σ 2 ˆµ ˆσ 2 µ (σ ) ,35,06-0,6 0, ,27,56 0,58, ,4 0,87 0,46 0, ,5 0,8-0,4 0, ,05,0 0,4 0, ,09 0, 0, ,6, 0,2, ,4 0,95-0,04 0,7 n µ σ 2 ˆµ ˆσ 2 µ (σ ) ,55 2,5,7, ,52,94-0,8 0, ,25 3,06 0,44, ,5 2,94 0,52, ,37 4,94 0,58 2, ,22,3 2, ,8 4,5 0,76 2, ,23 3,5 0,43 2, Příklad: Logaritmicko-normální rozdělení se třemi parametry µ, σ 2 a θ je rozdělení Ln(µ, σ 2, θ), které má náhodná veličina X pro níž má náhodná veličina ln (X θ) normální rozdělení N(µ; σ 2 ). Používá se v případě, kdy nemůžeme při transformaci původní veličiny zaručit, že nabývá kladných hodnot. Proto musíme z hodnot datového souboru stanovit odhad parametru θ, pro který musí být θ < X () = min{x i ; i n}. Hustota tohoto rozdělení má vyjádření f(x) = σ (ln (x θ) µ) 2 2π(x θ) e 2σ 2, x > θ. Maximálně věrohodné odhady dostaneme z věrohodnostní funkce = L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = σ n ( 2π) n (x θ)... (x n θ) e 2σ 2 80 (ln (x i θ) µ) 2.

26 K určení maximální hodnoty použijeme logaritmu věrohodnostní funkce, který má tvar ln L(x, x 2,..., x n ; µ, σ 2 ) = = n 2 ln (2π) n 2 ln σ2 n ln (x i θ) (ln (x 2σ 2 i θ) µ) 2. Derivováním podle parametrů µ a σ 2 dostaneme soustavu věrohodnostních rovnic µ = 2σ 2 σ 2 = n 2σ 2 + 2σ 4 Z první rovnice dostaneme odhad 2(ln (x i θ) µ)( ) = 0, (ln (x i θ) µ) 2. a z druhé pak odhad ( ) ˆµ = n ln (X i ˆθ) ( ) ˆσ2 = n (ln (X i ˆθ) ˆµ) 2. Přihledání maxima vzhledem k proměnné θ dostaneme, že v bodě ˆθ = X () je limita funkce ln L rovna. To ale není možné, a proto musíme najít odhad parametru θ jinak. Odhad parametru θ určíme jako lokální maximum modifikované věrohodnostní funkce, kterou dostaneme dosazením odhadů ˆµ a ˆσ 2 za parametry µ a σ 2. Hledáme tedy hodnotu ˆθ ve kterém je lokální maximum funkce ln L (x, x 2,..., x n ; θ) = ln L(x, x 2,..., x n ; ˆµ, ˆσ 2 ) = = n 2 ln (2π) n 2 ln ( ˆσ 2 ) n = n [ 2 ln ˆσ 2 + ˆµ ln (x i θ) 2σ 2 ] n 2 ln (2π) n 2. (ln (x i θ) ˆµ) 2 = Konstantu můžeme vynechat a budeme hledat lokální extrém funkce ( ) L 2 (θ) = n 2 ln (ˆσ2 ) + ˆµ 8

27 Hledáme tu hodnotu pro kterou je ˆθ < X (), a která je bodu X () nejblíže. V literatuře je ukázáno, že takový bod existuje. Typický průběh modifikované věrohodnostní funkce L 2 (θ) je znázorněn na obrázku. Za maximálně věrohodný odhad parametru θ uvažujeme hodnotu ˆθ, ve které je nejbližší lokální maximum funkce L 2 (θ) a pro kterou je ˆθ < X (). Maximálně věrohodné odhady ˆµ a ˆσ 2 parametrů µ a σ 2 získáme ze vzorců a, do kterých dosadíme odhad ˆθ. L 2 (θ) ˆθ X () θ 82

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový. 6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Odhady Parametrů Lineární Regrese

Odhady Parametrů Lineární Regrese Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 9 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

Apriorní rozdělení. Jan Kracík. Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti

Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Metoda momentů Metoda maximální věrohodnosti SP3 Odhady arametrů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Metoda momentů Metoda maimální věrohodnosti SP3 Odhady arametrů Metoda momentů Vychází se z: - P - ravděodobnostní rostor - X je náhodná roměnná s hustotou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)

oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry

Více

KVADRATICKÁ KALIBRACE

KVADRATICKÁ KALIBRACE Petra Širůčková, prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc. Finanční matematika v praxi III. a Matematické modely a aplikace 4. 9. 2013 Osnova Kalibrace 1 Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady 2 3

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

8 Coxův model proporcionálních rizik I

8 Coxův model proporcionálních rizik I 8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná

Více

Příklady - Bodový odhad

Příklady - Bodový odhad Příklady - odový odhad 5. října 03 Pražské metro Přijdu v pražském metru na nástupiště a tam zjistím, že metro v mém směru jelo před :30 a metro v opačném směru před 4:0. Udělejte bodový odhad, jak dlouho

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více