KOINTEGRACE V JEDNOROVNICOVÝCH MODELECH

Poliicá eonomie 45: (5), sr. 733-746, VŠE Praha, 1997. ISSN 0032-3233. (Ruopis) KOINTEGRACE V JEDNOROVNICOVÝCH MODELECH Josef ARLT, Vysoá šola eonomicá, Praha 1. Úvod Při modelování vícerozměrných eonomicých časových řad (časo se v éo souvislosi hovoří o eonomericé analýze časových řad) je účelné rozlišova mezi ráodobými ( shor-run relaionships ) a dlouhodobými vzahy ( long-run relaionships ). První yp vzahů mezi časovými řadami exisuje pouze v relaivně ráém období, yo vzahy časem mizí. Např. náhlé limaicé změny mohou dočasně sníži dodávy zemědělsé produce a a zvýši její ceny, časem se vša díy sandardnímu limau, erý opě nasane, dodávy pomalu či rychle obnoví a ceny lesnou. Druhý yp vzahů má dlouhodobé rvání, s posupujícím časem nemizí. V našem příladu dodáve zemědělsé produce je realizací ěcho vzahů jejich dlouhodobě převažující úroveň, erá vede jisé dlouhodobě převažující cenové hladině (absrahujeme od inflace). Problemaia dlouhodobých vzahů mezi časovými řadami velmi úzce souvisí s pojmem evilibrium (rovnovážný sav). V éo souvislosi jej můžeme chápa jao sav, e erému je sysém neusále přiahován. Evilibrium (obecně budeme předpoláda sabilní evilibrium, j. rovnovážný sav, erý se v čase nemění) může bý vyjádřeno formálně jao funce f(x 1, x 2,..., x l ) = 0. Proože je sysém vysaven neusálým šoům, není nidy v evilibriu, nicméně může bý v dlouhodobém evilibriu (dále pouze evilibrium), edy ve savu, erý rovnovážnému savu onverguje v čase. Při modelování eonomicých časových řad je logicé vycháze z hypoézy, že vývoj jednolivých řad spjaých nějaým eoreicy zdůvodněným eonomicým vzahem se v dlouhodobém časovém horizonu nerozchází. Poud odlon směrů vývoje časových řad je pouze ráodobý, časem se vyrácí a exisuje mez, za erou nemůže jí, poom říáme, že časové řady jsou v evilibriu. Saisicé vyjádření ohoo savu se nazývá oinegrace časových řad. Jesliže zde ao mez není, poom nelze říci, že jsou v evilibriu, ze saisicého hledisa edy aové časové řady oinegrované nejsou. Je přirozené, že při zoumání vzahů mezi eonomicými časovými řadami jsou sředem zájmu oinegrované řady, neboť pouze u nich lze analyzova charaer jejich závislosi. Jesliže časové řady nejsou oinegrované, neobsahují žádný společný elemen a jejich zoumání jao sysému je bezpředměné, neboť se dlouhodobě vyvíjejí nezávisle na sobě. Myšlena oinegrace časových řad se poprvé objevila na počáu 80. le v pracích C. W. J. Grangera. Tao idea (ja je zřejmé z jejího názvu) vychází z problemaiy inegrovaných procesů, erými se poprvé omplexně zabývali Box a Jenins (1970). Ve druhé čási předládaného článu popíšeme její genezi a obsah. Ve řeí čási se pa budeme zabýva problemaiou modelu EC ( error correcion ), erá velmi úzce souvisí s myšlenou oinegrace časových řad zejména při její praicé apliaci. Čvrá čás obsahuje nejčasěji používané esy jednoových ořenů a oinegrace. Je zde rovněž popsána meoda odhadu paramerů modelu EC. Problemaia oinegrace je ilusrována příladem, erý je uveden v páé čási. 2. Koinegrace Exisují různé způsoby lasifiace eonomicých časových řad. Jedním z nich je dělení časových řad na řady s ráou a dlouhou paměí. U řad s ráou paměí se vliv šou, erý je způsoben určiým faorem, nebo jejich supinou, v jednom nebo něolia málo obdobích

minulosi, posupně vyrácí. U řad s dlouhou paměí je omu jina, vliv šou z dávného období se v jejich hodnoách sále projevuje. Podívejme se na uo problemaiu deailněji. Předpoládejme časovou řadu generovanou sacionárním procesem AR(1), j. Y = ρy -1 + ε, (2.1) de -1 < ρ < 1 a {ε } je proces bílého šumu, j. proces s nulovými sředními hodnoami, onsanními rozpyly a nulovými auoovariancemi. Řešením éo rovnice dosaneme Y = ρε j, (2.2) j = 0 aže jednolivé oeficieny u ε -j se exponenciálně snižují. To znamená, že vliv šoů, eré se udály v minulosi, posupně časem slábne. Tuo vlasnos mají obecně všechny sacionární procesy AR, inveribilní procesy MA a sacionární a inveribilní procesy ARMA. Označují se jao procesy s ráou paměí. Jesliže ρ = 1, poom Y = Y -1 + ε. (2.3) Teno proces se nazývá náhodná procháza ( random wal ). Může bý vyjádřen aé ve formě Y = ε, (2.4) j = 0 aže všechny šoy mají sejnou váhu. Teno proces má dlouhou paměť. Je řeba poznamena, že první diferencí náhodné procházy je bílý šum, což je proces s ráou paměí. Obecně předpoládejme, že {X } je proces s ráou paměí. Poom proces je proces s dlouhou paměí, neboť j Y = Y -1 + X (2.5) Y = X. (2.6) j = 0 Procesy s dlouhou paměí, eré se první diferencí ransformují na procesy s ráou paměí, se nazývají inegrovanými procesy řádu jedna a označují se jao I(1). Obecně, procesy, eré se po d-é diferenci ransformují na procesy s ráou paměí se nazývají inegrovanými procesy řádu d a značí se jao I(d). Z oho plyne, že procesy s ráou paměí se nazývají inegrovanými procesy řádu nula a značí se jao I(0). Časové řady jsou označeny sejně jao generující procesy. Sacionární procesy I(0) a nesacionární procesy I(d), d < 1, se odlišují v nepodmíněných rozpylech a auoorelačních funcích. Zaímco sacionární procesy mají onečné rozpyly, rozpyly nesacionárních procesů rosou neomezeně s. Hodnoy auoorelační funce sacionárních procesů jsou nezávislé na čase a s rosoucím posunuím (časovou vzdálennosí náhodných veličin) se exponenciálně zmenšují. Hodnoy auoorelační funce nesacionárních procesů s onvergují jedné. Vlasnosi sacionárních a nesacionárních procesů se projevují ve varu jimi generovaných časových řad. Např. časové řady ypu I(0) mají věší fluuace, než časové řady ypu I(1). Hodnoy časových řad ypu I(0) se vrací nepodmíněné sřední hodnoě generujícího procesu velmi časo, jao by jí byly neusále přiahovány. Hodnoy časových řad ypu I(1) se e onréní hodnoě, včeně hodnoy počáeční, vrací velmi zřída. Rozlišení ypů časových řad na sacionární a nesacionární je velmi důležié při zoumání jejich vzahů. Jedním z nejpoužívanějších modelů více časových řad jsou jednorovnicové regresní modely. Jejich onsruci je řeba provádě velmi obezřeně, neboť při použií j 2

nesacionárních časových řad může vzninou siuace, erá se označuje jao zdánlivá resp. nesmyslná regrese. Tao siuace znamená, že index deerminace, -esy a F-es indiují možnos použií daného modelu i v případě časových řad, eré spolu nesouvisí. Proože zdánlivá regrese nemůže vzninou při použií sacionárních časových řad (řad ypu I(0)), nabízí se možnos odsrani ji diferencováním (sacionarizací) jednolivých analyzovaných řad (sacionarizace časových řad pomocí deerminisicých funcí časových proměnných není možná, neboť je generující procesy daných časových řad neobsahují). Uázalo se vša (Granger, Newbold (1976), Banerjee a ol. (1993), Charemza, Deadman (1992)), že ouo cesou nelze posupova, neboť při ní dochází e zráě důležié informace o dlouhodobých vlasnosech vzahu mezi časovými řadami. Snaha onsruova model, erý by respeoval ja ráodobé, a i dlouhodobé vzahy vedla závěru, že při modelování se musí použí nediferencované časové řady, je vša řeba, aby plaila podmína, erou se nyní pousíme vysvěli. Uveďme něoli jednoduchých pravidel, eré se ýají lineárních ombinací procesů I(0) a I(1): a) jesliže {X } I(0), poom {a + bx } I(0), b) jesliže {X } I(1), poom {a + bx } I(1), c) jesliže {X } I(0) a {Y } I(0), poom {ax + by } I(0), d) jesliže {X } I(1) a {Y } I(0), poom {ax + by } I(1), e) obecně plaí, že poud {X } I(1) a {Y } I(1), poom {ax + by } I(1). V něerých případech vša poslední pravidlo ad e) neplaí a lineární ombinace ěcho procesů je sacionární, j. {ax + by } I(0), aové procesy (a edy i časové řady) se nazývají oinegrované. Engle a Granger (1987) uvedli definici obecně určující eno vzah, erý může exisova mezi inegrovanými procesy. Pro dva procesy ji lze vyjádři následujícím způsobem: Definice 1: Procesy {X } a {Y } se nazývají oinegrované řádu d, b, a označují se jao {X },{Y } CI(d, b), jesliže: a) oba jsou ypu I(d), b) exisuje lineární ombinace {ax + by } I(d - b), de b > 0. Veor [a, b] se nazývá oinegrační veor. Tuo definici lze zobecni na l inegrovaných procesů. Definice 2: Mějme {X } je l-rozměrný veor obsahující procesy {X 1 }, {X 2 },..., {X l }. Jesliže a) aždý z nich je ypu I(d), b) exisuje aový veor α rozměru (l x 1), že α {X } I(d - b), poom jsou yo procesy oinegrované a lze psá α {X } CI(d, b). Veor α se nazývá oinegrační veor. (Ve speciálních případech nemusí bý podmína ad a) splněna, deailně Banerjee a ol. (1993)). V empiricé eonomerii časových řad je nejzajímavější případ, dy oinegrační veor vede e sacionární lineární ombinaci, j. dy d = b. Právě na uo siuaci se nyní sousředíme. V případě dvou procesů může exisova pouze jeden oinegrační veor, exisuje edy pouze jedna jejich lineární ombinace, erá je sacionární. Tao suečnos může bý doázána následujícím způsobem. Předpoládejme, že pro {X } I(1) a {Y } I(1) exisují aové dva odlišné oinegrační paramery β a γ, že plaí {X + βy } I(0) a {X + γy } I(0). To znamená, že aé {(β - γ)y } I(0), neboť odečení jednoho procesu ypu I(d) od druhého nemůže vés procesu ypu I(d + 1). Proože je vša proces {Y } I(1), poom aé musí obecně plai, že {(β γ)y } I(1). Je zde edy rozpor, erý lze řeši dyž β = γ. V případě více než dvou procesů může exisova r l -1 oinegračních veorů (viz Grangerův eorém, Johansen (1991)). 3

V éo siuaci (uvažujeme více než dva procesy) může bý siuace ompliovanější než bylo uvedeno v definici oinegrovaných procesů. Uvažujme napřílad ři procesy {X 1 }, {X 2 }, {X 3 }. Jejich sacionární lineární ombinace může bý dána oinegračním veorem [1, -β 1, -β 2 ]. Předpoládejme, že {X 1 } I(1), {X 2 } I(2) a {X 3 } I(2). Abychom mohli uvažova, že výsledná lineární ombinace {u } je ypu I(0), musí bý druhý a řeí proces oinegrován a, že jejich lineární ombinace je ypu I(1), musí edy plai, že {X 2 },{X 3 } CI(2, 1). Koinegrační veor éo dvojice je pa [β 1, β 2 ]. Je edy zřejmé, že v případě veoru procesů, eré jsou inegrované rozdílným řádem, musí exisova více než jeden proces vyššího řádu, aby mohlo dojí dílčí oinegraci, edy lineární ombinaci se sejným řádem inegrace jao mají osaní procesy. Exisují nejméně ři závažné důvody, proč lze považova princip oinegrace za úsřední myšlenu modelování inegrovaných časových řad I. Sacionární lineární ombinaci inegrovaných (nesacionárních) časových řad (lze ji považova za složenou sacionární časovou řadu), je možné chápa jao odhad evilibria, eré spojuje uvažované časové řady. Evilibrium je v omo případě sřední hodnoa sacionárního generujícího procesu, jeho odhadem je pa průměr hodno složené sacionární časové řady. II. Regrese obsahující inegrované časové řady má smysl pouze ehdy, jsou-li yo časové řady oinegrované. Tes oinegrace časových řad je edy současně meoda pro odlišení mezi pravou regresí a regresí zdánlivou. III. Supinu oinegrovaných časových řad lze, romě jiných modelů, popsa modelem error-correcion, jehož prosřednicvím je možné odliši dlouhodobé a ráodobé vzahy mezi časovými řadami. Teno model obsahuje paramery charaerizující míru vychýlení sysému od dlouhodobě se prosazujícího evilibria. Tao suečnos je významná nejen sama o sobě, může bý aé prosředem pro řešení rozporu mezi saisicým a eonomericým přísupem modelování nesacionárních eonomicých časových řad. Umožňuje spoji meody saisicé, radičně spočívající ve zoumání vlasnosí diferencovaných časových řad (sacionarizovaných časových řad) a meody eonomericé, eré ladou důraz na evilibrium časových řad a proo se zajímají o jejich úrovňové analyzování (není zde snaha odsraňova rend). Oba přísupy použié izolovaně jsou problemaicé, saisicý přísup v om, že se zbavuje důležiých informací obsažených v původních nesacionarizovaných časových řadách, eonomericý přísup v endenci přehlíže problém zdánlivé regrese. 3. Model EC ( error correcion ) Uvažujme nejprve sacionární časové řady Y a Z, edy časové řady ypu I(0). Jejich vzah může bý modelován pomocí saicé regrese Mohou nasa dvě siuace: a) rezidua u mají charaer bílého šumu, Y = c + βz + u. (3.1) b) rezidua u jsou auoorelovaná, aže jejich průběh lze zachyi sacionárním modelem AR(p). Poud nasane první případ, je vše v pořádu. Paramery lze odhadnou a esova sandardním způsobem. Složiější je siuace druhá, dy rezidua jsou auoorelovaná. Ta způsobují, že odhady paramerů pomocí meody nejmenších čverců nejsou vydané. Poud jsou rezidua např. ypu AR(1) s ladným auoregresním paramerem, meoda nejmenších čverců vede odhadům paramerů s menší směrodanou chybou, než je ve suečnosi, což v případě esování hypoéz vede endenci zamínou nulovou hypoézu, dyž má bý přijaa. 4

Problém auoorelovaných reziduí lze řeši pomocí dynamicé regrese. Dynamizace saicé regrese se provede přidáním časově posunuých vysvělovaných či vysvělujících proměnných do modelu (3.1). Tyo modely se označují jao ADL(p,q;) ( auoregressive disribued lag ), de p jsou posunuí vysvělované proměnné, q jsou posunuí vysvělujících proměnných a je poče exogenních proměnných. Taže např. model ADL(1,1;1) má var Y = c + α 1 Y -1 + β 1 Z + β 2 Z -1 + v. (3.2) Poče posunuí závisí na ypu auoorelace reziduí saicé regrese, měl by bý aový, aby byla dosažena rezidua charaeru bílého šumu. Při zoumání závislosí eonomicých časových řad nás obvyle zajímá fundamenální problém: ja urči dlouhodobě rovnovážný vzah (evilibrium) mezi endogenní a exogenní časovou řadou. V případě saicé regrese jej lze urči jednoduchým způsobem: vzah (3.1) lze vyjádři ve sředních hodnoách jao E(Y ) = c + βe(z ), (3.3) aže dlouhodobě se prosazující vzah je dán paramerem β, erý se v éo souvislosi označuje jao dlouhodobý mulipliáor ( long-run muliplier ) Y vzhledem Z. V případě dynamicé regrese (3.2) plaí vzahy E(Y ) = E(Y -1 ) a E(Z ) = E(Z -1 ) a proo aže de (1 - α 1 )E(Y ) = c + (β 1 + β 2 )E(Z ), (3.4) c E(Y ) = c * + β E(Z ), (3.5) c * = 1 α a β β β * 1 + 2 =. (3.6) 1 1 α1 Dlouhodobým mulipliáorem je v omo případě paramer β. Zajímavé je, že model (3.2) lze vyjádři rovněž v následujícím varu Y = c + β 1 Z + γ(y -1 - β Z -1 ) + v, de γ = α 1-1. (3.7) Teno model se nazývá EC ( error correcion ). Dlouhodobý vzah je vyjádřen regresorem (Y -1 - β Z -1 ), erý obsahuje dlouhodobý mulipliáor β daný vzahem (3.6). Teno regresor se označuje jao složa EC. Zbye modelu (3.7) vyjadřuje ráodobý vzah mezi časovými řadami. Paramer γ vyjadřuje míru odlišnosi ráodobého vzahu od vzahu prosazujícího se dlouhodobě, lze jej inerpreova aé jao rychlos, s jaou se ráodobé vychýlení od rovnovážného savu zraí, nebo jaou silou se prosazuje rovnovážný vzah mezi časovými řadami. Uvažujme nyní obecný model ADL(p,q;) ve varu α p (B)Y = c + β ( B) Zi + v, (3.8) i =1 de α p (B) = (1 - α 1 B - α 2 B 2 -... - α p B p ) a β iq (B) = (β i1 + β i2 B + β i3 B 2 +... + β iq B q ) pro i = 1,...,. Teno model lze ve sředních hodnoách vyjádři následujícím způsobem: aže iq β iq i =1 α p (1) E(Y ) = c + (1) E(Zi), (3.9) E(Y ) = c * + β i =1 de volný paramer a dlouhodobé mulipliáory mají var c * = p * i E(Zi), (3.10) 1 βiq (1) a β * i =, i = 1,...,. (3.11) α (1) α (1) p 5

Model (3.8) je možné vyjádři rovněž ve formě modelu EC, j. ve formě Y = c + q 1 β ij i = 1 j = 0 (1) Z i-j + β i = 1 p 1 (1) Z α j (1) Y-j - α p (1) Y j + iq i j j= q β i i s i =1 p 1 j = 1 * + γ(y -s - Z ) + v, de γ = - α p (1), s = max [p,q]. (3.12) Vraťme se nyní e saicé regresi (3.1) a uvažujme časové řady Y a Z, eré jsou ypu I(1). Mohou nasa ři siuace: a) rezidua u mají charaer bílého šumu, j. jsou ypu I(0), b) rezidua u jsou sacionární a auoorelovaná, jsou edy rovněž ypu I(0), c) rezidua u jsou ypu I(1). Poud mají rezidua charaer bílého šumu, ja je omu v případě ad a), žádný problém nevzniá, neboť časové řady obsažené v modelu jsou oinegrované a regresní paramer je současně dlouhodobým mulipliáorem. Zajímejme se nyní o druhý a řeí případ, neboť v obou siuacích rezidua nemají charaer bílého šumu. Sejně jao u sacionárních časových řad se nabízí řeši eno problém dynamizací saicé regrese, zachyi edy vzah mezi ěmio časovými řadami pomocí modelu ADL. Podívejme se nejprve na siuaci ad c). Uvažujme model ADL(1,1;1) ve varu (3.2). Víme, že eno model lze převés na model EC varu (3.7). Poud jsou časové řady obsažené v modelu ypu I(1) a rezidua aé ypu I(1), poom musí v modelu (3.2) plai, že α 1 = 1, neboť zahrnuí vysvělující proměnné ypu I(1) do modelu nesnižuje inegrační řád vysvělované proměnné. Poom aé γ = 0 a model EC (3.7) se ransformuje do formy q 1 j= p Y = c + β 1 Z + v. (3.13) Teno model neobsahuje dlouhodobý mulipliáor, proože v případě neoinegrovaných časových řad neexisuje žádný rovnovážný sav. Nejedná se edy již o model EC. Je zřejmé, že dvojrozměrnou časovou řadu, dy jednolivé časové řady nejsou oinegrované, lze sacionarizova diferencováním aždé časové řady zvlášť. Je řeba připomenou, že poud se yo časové řady použijí v modelu (3.1), jedná se o zdánlivou regresi. Případ ad b) znamená, že časové řady obsažené v modelu jsou oinegrované. Bylo doázáno (Grangerův eorém, viz Banerjee a ol. (1994)), že v omo případě exisuje model EC, neboť γ 0. Inuiivně lze uo siuaci vysvěli podobně jao minulý případ: zahrnuím vysvělující proměnné ypu I(1), erá je oinegrovaná s vysvělovanou proměnnou se snižuje inegrační řád éo proměnné, aže v modelu (3.2) α 1 < 1. Vzhledem exisenci dlouhodobého mulipliáoru exisuje rovnovážný vzah (Y -1 - β Z -1 ) obsahující oinegrační veor [1, -β ]. Dvojrozměrnou časovou řadu obsahující oinegrované časové řady není možné sacionarizova individuálním diferencováním jednolivých časových řad. Je řeba poznamena, že výše uvedené plaí sejně pro obecný případ regrese obsahující vysvělujících proměnných (něeré mohou bý ypu I(0), viz Banerjee a ol. (1994)). V Grangerově eorému je doázáno, že v éo siuaci může exisova nejvíce záladních oinegračních veorů. To lze opě vysvěli inuiivně: oinegrační veory můžeme zísa posupným přidáváním jednolivých vysvělujících proměnných, erých je nejvíce. Kromě záladních oinegračních veorů vša exisují ješě další oinegrační veory, eré vzninou lineární ombinací záladních veorů). Při modelování vzahů mezi časovými řadami ypu I(1) není v případě oinegrovaných časových řad vhodné sacionarizova jednolivé řady diferencováním, poud bychom o přeso provedli, zraili bychom velice důležiou informaci. Ta je obsažena v modelu EC. Je řeba zdůrazni, že význam modelu EC spočívá ve suečnosi, že umožňuje ombinova saisicý a eonomericý přísup modelování eonomicých časových řad, neboť spojuje výhody modelování časových řad ransformovaných diferencováním a původních neransformovaných časových řad, aže umožňuje současně zachyi ráodobé vzahy (změny) a vzahy dlouhodobé (úrovně). 6

4. Tesy jednoového ořene a oinegrace, odhad paramerů modelu EC Tesování jednoového ořene Abychom se mohli praicy zabýva oinegrací, je řeba nejprve zjisi, jaého ypu jsou analyzované časové řady. Exisuje něoli způsobů, ja lze zjisi řád oinegrace časové řady. V prvé řadě lze prozouma graf dané časové řady a subjeivním posouzením rozhodnou, zda je časová řada sacionární, či zda e sacionarizaci je pořeba řadu jednou nebo vícerá diferencova. Druhá velmi jednoduchá meoda má opě subjeivní charaer a spočívá v posouzení varu auoorelační funce analyzované časové řady. Je-li první hodnoa éo funce blízá jedné a osaní hodnoy se zmenšují jen velmi pomalu, lze očeáva, že daná řada nebude ypu I(0). Časo se sává, že yo subjeivní meody jsou posačující pro zjišění ypu časové řady, v něerých případech je vša řeba použí přesnější meody. Exisuje něoli saisicých esů pro zjišění řádu inegrace, označují se jao esy jednoových ořenů. My zde sručně popíšeme nejpoužívanější z nich, erý se podle svých auorů nazývá Dicey-Fullerův es. Teno es se používá pro rozlišení, zda časová řada je ypu I(0) či I(1). Předpoládejme proces Y = ρy -1 + u ; u IID(0, σ u 2 ); Y 0 = 0. (4.1) Při esování hypoézy H 0 : ρ = ρ 0, pro ρ 0 < 1, esové riérium = ( ρˆ - ρ0)/s, de je odhad směrodané chyby odhadu parameru ρ, má asympoicy normované normální rozdělení. V malých výběrech má ao saisia přibližně rozdělení. V případě, dy ρ0 = 1 vša oo neplaí. Rozdělení saisiy není asympoicy normální, není doonce ani symericé. Fuller (1976) publioval riicé hodnoy rozdělení saisiy a saisiy T( ρˆ - 1) (poprvé je abeloval Dicey ve své diserační práci v roce 1976) ří následujících modelů Y = ρ a Y -1 + u, Y = µ b + ρ b Y -1 + u, Y = µ c + γ c + ρ b Y -1 + u, ρ S ρ (4.2a) (4.2b) (4.2c) při planosi nulové hypoézy ρ i = 1 pro i = a, b, c. V éo souvislosi je řeba uvés, že simulacemi, eré za účelem onsruce abule Dicey provedl, bylo obecně zjišěno, že ρˆ je podhodnocujícím odhadem parameru ρ. Za předpoladu, že (4.1) je generující proces, je možné pro esování jednoového ořene použí saisiy a T( ρˆ - 1) vypočíané na záladě modelů (4.2a), (4.2b) a (4.2c). Nevýhodou ohoo esu je suečnos, že předpoládá právě generující proces (4.1) neobsahující žádný další paramer. V praxi vša může nasa siuace, že je v omo procesu obsažena ješě onsana či jiná exogenní proměnná, např. časová proměnná. V omo případě esová riéria onsruovaná na záladě výše uvedených modelů mohou mí rozdělení závislá na hodnoách neznámých zv. přebyečných paramerů ( nuisance parameers ), eré obsahuje generující proces, aže použií abelovaných vanilů je zavádějící (resp. není jasné, erou supinu vanilů použí - ypu (4.2a), (4.2b) či (4.2c)). Řešení spočívá v onsruci zv. podobných esů, j. esů, jejichž esové riérium by při planosi nulové hypoézy nezáviselo na přebyečných paramerech (Lehman (1959)). Dicey doázal, že poud generující proces obsahuje onsanu, edy jeden přebyečný paramer, esové riérium T( ρˆ - 1) nebo podobného esu lze zísa na záladě modelu (3.2c), edy zahrnuím volného parameru a časové proměnné do modelu. Evans a Savin (1981, 1984), Nanervis a Savin (1985), Bhargava (1986) ad. uvažovali vlasnosi Dicey-Fullerových esů (rozdělení odhadů auoregresivních paramerů při planosi ρ = 1, 7

na záladě modelů (4.2a,b,c), analyicy odvodili Dicey a Fuller (1979), proo se používá aé označení DF esy ) pro různé generující procesy. Modely vedoucí podobným esům pro něeré procesy jsou uvedeny v ab. 4.1. Tabula 4.1 Generující proces (i) Y = ρy -1 + u, Y 0 = 0 (ii) Y = ρy -1 + u, Y 0 je libovolné (iii) Y = µ +ρ Y -1 + u, Y 0 je libovolné (iv) Y = µ +γ + ρ Y -1 + u, Y 0 je libovolné Modely pro onsruci podobných esů (4.2a), (4.2b), (4.2c) (4.2b), (4.2c) (4.2c) Je nezbyné rozšíření modelu (4.2c) V případě (i) nejsou žádné přebyečné paramery, aže je možné při esování vycháze z rozdělení auoregresivního parameru všech ří uvažovaných modelů. Poud vša počáeční hodnoa není známá, což je případ (ii), nelze použí model první. V případě (iii) je nuné použí model s časovou proměnnou a v posledním případě (iv) je nuné do modelu zahrnou ješě vadrá časové proměnné. V praxi může bý generující proces (4.1) rozšířen nejen o přebyečné paramery výše uvedeného ypu, aé auoorelační sruura jeho reziduální složy může bý bohaší. Taovým případem je proces AR(p) ve varu φ p (B)Y = u, (4.3) de φ p (B) = (1 - B)φ p * (B) a de všechny ořeny polynomu φ p * (B) leží uvniř jednoového ruhu. Teno proces je I(1) a v závislosi na formě polynomu φ p * (B) může bý dobře aproximován procesem (4.1). Pro esování příomnosi jednoového ořene se v omo případě vychází z regresního modelu Y = ρy -1 + p 1 γ i i = 1 Y i + u. (4.4) Saisiy T( ρˆ - 1) a ( ˆ ρ 1)/ S mají liminí rozdělení abelované ve výše uvedených ρ Diceyho abulách pro T. Sejně jao v případě procesu AR(1) lze model rozšíři pro případ, dy generující proces obsahuje onsanu či deerminisicý rend (přebyečné paramery). Taé v omo případě mají esová riéria liminí rozdělení abelované v Diceyho abulách pro T. Tyo esy se nazývají rozšířené Dicey-Fullerovy esy ( augmened Dicey-Fuller ess, proo se značí jao ADF esy ). Volba posunuí p v modelu (4.4) se provádí sandardním způsobem na záladě posouzení vlasnosí reziduí. Poud není jisoa o přesném poču posunuí p v modelu (4.4), je vhodnější voli číslo věší. V případě exisence více paramerů než je pořeba (více posunuí), jsou jejich odhady v regresi (4.4) sice blízé nule a nevydané, ale výše zmíněné abuly asympoicého rozdělení esových riérií použí lze. Poud je jich vša méně než je zapořebí, abuly použí nelze, neboť model (4.4) nezachycuje celou sysemaicou složu obsaženou v analyzované časové řadě. Said a Dicey (1984) dále zobecnili Dicey-Fullerovy esy za účelem jejich použií i pro časové řady generované procesy, jejichž rezidua jsou sacionárními a inveribilními procesy ARMA (esy SD). Uvažovali edy následující proces: de u + p φ i =1 Y = ρy -1 + u, (4.5) iu i = e q + θ je j j =1, e IID(0, σ 2 e ). 8

Doázali, že i dyž hodnoy posunuí p a q nejsou známy, lze eno proces aproximova auoregresivním procesem. Při esování jednoového ořene je edy možné předpoláda, že generující proces má var Y = (ρ- 1)Y -1 + α i i =1 Y i + ν, (4.6) de musí bý dosaečně vysoé, aby byl eno proces dobrou aproximací procesu (4.5) j., aby rezidua ν byla dobrou aproximací procesu bílého šumu. To plaí, jesliže poče posunuí rose s rozsahem výběru (délou řady) T a, že exisují čísla c > 0 a r > 0, pro erá plaí c > T 1/r a T -1/3 0 ( nemůže růs rychleji než T -1/3 ). Proože odhad parameru (ρ - 1) modelu ve varu (4.6) je onzisenní, esová riéria T( ρˆ - 1) a ( ˆ ρ 1)/ S onsruovaná na záladě ohoo modelu mají sejné liminí rozdělení jao esová riéria rozšířeného Dicey-Fullerova esu. Tesy oinegrace ρ Při esování oinegrace v jednorovnicových modelech je možné vycháze z posouzení, zda rezidua saicého modelu (neobsahuje žádné zpožděné proměnné) ve formě αx = u (4.7) mají charaer I(1) nebo I(0). V prvním případě by řady nebyly oinegrované, ve druhém případě by oinegrované byly. Abychom mohli zísa rezidua u, resp. jejich odhady u, eré bychom mohli oesova, je nuné nejprve odhadnou oinegrační veor. Předpoládejme, že všechny řady veoru X jsou ypu I(1) a že jsou oinegrované exisencí pouze jednoho oinegračního veoru α. Teno veor lze odhadnou pomocí meody nejmenších čverců, vychází se přiom ze vzahu (4.7), ve erém se jedna řada bere jao vysvělovaná proměnná a osaní jao proměnné vysvělující, aová regrese se nazývá oinegrační (poud by se předpoládalo, že rezidua budou ypu I(1), jednalo by se o zdánlivou regresi). Odhad oinegračního veoru je dobrou aproximací suečného oinegračního veoru, neboť Soc (1987) doázal, že je onzisenní a navíc že onverguje e suečnému oinegračnímu veoru rychleji než odhad v případě sacionárních časových řad. Teno způsob odhadu je velice jednoduchý a proo časo používaný. Při esování se vychází z odhadu reziduí oinegrační regrese a esuje se hypoéza, že řady nejsou oinegrované zn., že rezidua obsahují jednoový ořen, alernaivní hypoézou je, že rezidua jednoový ořen neobsahují. Používají se přiom např. následující esy: I) Durbin-Wasonův es oinegrační regrese: de û T ˆ T ˆ 1 = 1 2 2 DWKR = ( uˆ uˆ ) / u, (4.8) = 2 je odhad reziduí z oinegrační regrese. II) Dicey - Fullerův es (odhad parameru ρ): DF(ρ) =Τ( ρˆ ), de ρˆ se zísá z regrese uˆ = ˆ ρuˆ ˆ 1 + η. (4.9) III) Dicey-Fullerův es (saisia ): DF() = ρ=0 v regresi uˆ = ˆ ρˆ + ˆ η. (4.10) u 1 9

IV) Rozšířený Dicey-Fullerův es (odhad parameru ρ): 1 α i i = 1 ADF(ρ ) =Τ( ρˆ ) v regresi uˆ = ˆ ρuˆ + ˆ uˆ + vˆ. (4.11) i V) Rozšířený Dicey-Fullerův es (saisia ): ADF() = v regresi uˆ = ˆ ρuˆ + ˆ uˆ + vˆ. (4.12) ρ=0 1 α i i = 1 i Obdobně jao v případě esování jednoového ořene pro esování oinegrace v jednorovnicových modelech exisuje celá řada esů. Jejich přehled je podán např. v práci Mariel (1995). Tyo esy věšinou spočívají v esování hypoézy, že časové řady nejsou oinegrované. Exisuje vša aé supina esů, eré esují opačnou hypoézu j., že časové řady oinegrované jsou. V něerých případech bylo proázáno, že yo esy jsou silnější. Odhad paramerů modelu EC Engle a Granger v práci (1987) navrhli dvousupňový odhad modelů obsahujících oinegrované proměnné. V prvním supni se odhadne pomocí meody nejmenších čverců ve saicé regresi oinegrační veor. Ve druhém supni jsou rezidua saicé regrese z prvního supně použia v modelu EC, jehož paramery jsou odhadnuy rovněž meodou nejmenších čverců. Tao procedura je velmi jednoduchá, neboť odhadu oinegračního veoru (sruury EC) nemusí bý specifiována dynamia modelu. Model EC se může sá rovněž záladem pro zjišění, zda časové řady jsou oinegrované. Kdyby řady oinegrované nebyly, poom by paramer u členu EC (reziduí saicé regrese) byl nulový, dyby oinegrované byly, byl by záporný. Tes oinegrace by esoval hypoézu, že časové řady nejsou oinegrované j., že daný paramer je roven nule. Pro esování lze použí esové riérium, o vša za předpoladu nulové hypoézy nemá asympoicy normální rozdělení. Jeho rozdělení zaím nebylo zjišěno. 5. Přílad Teno přílad se bude zabýva esováním oinegrace ráodobé úroové míry ( Treasury Bill Rae ) a rychlosi obráy měnového agregáu M2 ( Velociy of Circulaion of M2 ) v USA. Rychlos obráy se vypoče jao podíl reálných výdajů (GNE) a reálného měnového agregáu M2. Eonomicá eorie předpoládá (Parin (1990)), že vývoj úroové míry a rychlosi obráy bude velmi podobný, ao podobnos by se měla projevi zejména u rychlosi obráy M1. Parin (1990) aé onsauje, že vzah mezi úroovou mírou a rychlosí obráy M2 v USA je od rou 1960 do rou 1988 poněud volnější. Současně předpoládá, že úroová míra má slabě exogenní charaer. Pro eno přílad máme dispozici čvrlení časové řady od prvního čvrleí rou 1959 do čvrého čvrleí rou 1993. Obě časové řady jsou sezónně očišěné. Byly zísány z IFS (1995). Pro analýzu byly yo časové řady sabilizovány z hledisa rozpylu pomocí logarimicé ransformace. Průběh sabilizovaných řad je zachycen na obr. 5.1, průběh prvních diferencí pa na obr. 5.2. 10

Obráze 5.1 Rychlos oběhu M2, úroová míra TBR -- M2 - - TBR Obráze 5.2 Rychlos oběhu M2, úroová míra TBR - 1. diference -- M2 - - TBR Z prvního obrázu se zdá, že po velou čás sledovaného období je vývoj obou časových řad obdobný, doonce lze onsaova, že od rou 1964 do rou 1990 se opíruje, od rou 1991 je průběh opačný. Lze předpoláda, že obě řady jsou ypu I(1). Tuo suečnos aé povrzují Dicey-Fullerovy esy. Pousme se nyní oesova, zda jsou oinegrované. Pro yo účely označme rychlos obráy M2 jao LVEL2 a úroovou míru jao LTBR. Model saicé regrese má formu LVEL2 = 0,2591 LTBR. (5.1) Průběh časové řady reziduí zísaný na záladě ohoo modelu je zachycen na obr. 5.3. 11

Obráze 5.3 Rezidua saicé regrese Je zřejmé, že rezidua voří nesacionární časovou řadu, aže časové řady nejsou oinegrované. Tuo suečnos povrzuje aé hodnoa Durbin-Wasonova esu, erá je blízá nule. Oesujme nyní příomnos jednoového ořene. Pro eno účel budeme vycháze pro jisou z modelu obsahujícího onsanu a rend. Vzhledem omu, že rend je parně obsažen i v generujícím procesu, bylo by vhodnější zahrnou i vadraicý rend, pro eno případ vša nejsou dispozici abuly riicých hodno. Zůsaneme edy u následujícího modelu s onsanou a lineárním rendem, i dyž víme, že se dopoušíme jisé nepřesnosi. R = -0,0128 + 0,0002 + 1,0218 R -1 + 0,2270 (R -1 - R -2 ) - 0,3404 (R -1 - R -2 ). (5.2) Tesová riéria rozšířeného Dicey-Fullerova esu jsou: τ c = 1,0029, T( ˆ ρ c 1) = 2,9846. Porovnáním ěcho hodno s vanily Dicey-Fullerova rozdělení zjisíme, že časová řada odhadnuých reziduí suečně není ypu I(0), není doonce ani ypu I(1), má explozivní charaer (paramer ρ v modelu (4.4) je věší než jedna). Nyní ješě posoudíme siuaci pomocí dynamicé regrese. Na záladě analýzy reziduí jsme jao nejvhodnější model vybrali model ADL(2,2,1) LVEL2 = 1,2601LVEL2-1 - 0,2621LVEL2-2 + 0,0409LTBR - - 0,0217LTBR -1-0,0183LTBR -2. (5.3) Na jeho záladě budeme onsruova model EC, použijeme přiom odhad oinegračního veoru, erý jsme zísali na záladě saicé regrese (5.1) LVEL2 = 0,2646 LVEL2-1 + 0,0407 LTBR + 0,0189 LTBR -1 - - 0,0021 (LVEL2-2 - 0,2591 LTBR -2 ). (5.4) Vzhledem veliosi odhadu parameru u členu EC a odhadu jeho směrodané chyby lze onsaova, že odpovídající paramer můžeme považova za nulový. Z oho plyne, že uvažované časové řady nejsou oinegrované zn., že mezi nimi není žádný dlouhodobý vzah. 6. Závěr Problemaia oinegrace eonomicých časových řad je v současné době velmi populární a v posledních leech vznila celá řada významných prací na oo éma. Bez nadsázy lze onsaova, že díy oinegraci se éměř od záladu změnila eonomericá analýza časových řad. 12

Teno článe pouze nasínil záladní myšlenu inegrace a oinegrace v časových řadách. Uvažovali jsme zde jednorovnicové modely, j. předpoládali jsme, že jedna nebo více časových řad bude mí exogenní charaer. V mnoha praicých siuacích vša nevíme, erá z řad je exogenní a erá endogenní, proo s jednorovnicovými modely nevysačíme. Poom je účelné esova oinegraci ve vícerozměrných modelech. Vychází se přiom z modelu VAR. Taé zde je možné onsruova modely EC. Tesy oinegrace jsou věšinou založeny právě na ěcho modelech. Další zjednodušující omezení, eré jsme přijali, byl řád inegrace časových řad. Při esování jsme předpoládali pouze jeden jednoový ořen (proces I(1)). Ja vša bylo naznačeno, v praxi se můžeme sea aé s inegrovanými procesy vyššího řádu, j. s procesy, eré obsahují více jednoových ořenů. Časo se rovněž seáváme se sezónně inegrovanými procesy. Tesovací procedury jsou v ěcho případech přirozeně složiější. Kromě zjišťování exisence dlouhodobých vzahů lze oinegrační analýzu rovněž použí pro onsruci předpovědí, zde se uplaní především modely EC. Je možné očeáva, že ao onsruované předpovědi budou díy využií dlouhodobých vzahů mezi analyzovanými řadami přesnější, než předpovědi onsruované pomocí lasicých eonomericých přísupů. Lieraura Banerjee, A., Dolado, J. J., Galbraih, J. W., Hendry, D. F.: Coinegraion, Error Correcion and he Economeric Analysis of Non-saionary Daa, Oxford Universiy Press 1993. Bhargava, A.: On he Theory of Tesing for Uni Roos in Observed Time Series, Review of Economic Sudies, 1986, LIII, 369-384. Box, G. E. P., Jenins, G. M.: Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Holden-Day, San Francisco 1970. Dicey, D. A., Fuller, W. A.: Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo, Journal of he American Sa. Associaion, 1979, 74, 427-431. Engle, R. F., Granger, C. W. J.: Coinegraion and Error Correcion: Represenaion, Esimaion and Tesing, Economerica, 1987, 55, 251-276. Evans, G. B. A., Savin, N. E.: Tesing for Uni Roos: 1, Economerica, 1981, 49, 753-779. Evans, G. B. A., Savin, N. E.: Tesing for Uni Roos: 2, Economerica, 1984, 52, 1241-1269. Fuller, W. A.: Inroducion o Saisical Time Series, John Wiley, New Yor 1976. Granger, C. W. J., Newbold, P.: Forecasing Economic Time Series, Academic Press, New Yor 1976. Charemza, W. W., Deadman, P. F.: New Direcions in Economeric Pracice, Edward Elgar Publishing Limied 1992. Johansen, S.: Esimaion and Hypohesis Tesing of Coinegraion Vecors in Gaussian Vecor Auoregressive Models, Economerica, 1991, 59, 1551-1580. Lehman, E. L.: Tesing Saisical Hypohesis, John Wiley, New Yor 1959. Mariel, P.: Koinegrační esy v eonomii, Poliicá eonomie, č. 6, VŠE Praha 1995. Nanervis, J. C., Savin, N. E.: Tesing he Auoregressive Parameer wih he -saisic, Journal of Economerics, 1985, 27, 143-161. Parin, M.: Economics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1990. Said, S. E., Dicey, D. A.: Tesing for Uni Roos in Auoregressive-Moving Average Models of Unnow Order, Biomeria, 1984, 71, 599-607. Soc, J. H.: Asympoic Properies of Leas-Squares Esimaors of Coinegraing Vecors, Economerica, 1987, 55, 1035-1056. IFS: Inernaional Moneary Fund, Washingon, D.C., USA 1994. 13