Studentská tvůrčí činnost 2008 ČVUT fakulta strojní Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Model zatížení zápěstního kloubu specifický pro daného pacienta Autor: Kateřina Turková Vedoucí práce: RNDr Matěj Daniel Sekce: Studentská 1
Úvod Jeden z hlavních problémů biomechaniky svalově-kosterního systému je vymezení sil, působících na různé anatomické struktury. Základem pro pochopení mechanické funkce struktur, jejich zranění a onemocnění je stanovení sil na ně působících a odhad rozložení těchto sil do svalů, vazů a kloubního povrchu. Protože přímé měření sil působící na jednotlivé části lidského těla je technicky mimořádně komplikované, využívá se pro určení zatížení metoda matematického modelování. V matemetickém modelování je tělo obvykle modelováno jako systém absolutně tuhých částí spojených klouby, zatímco pohyb jednotlivých částí je vykonáván svaly obepínajícími klouby. V naší práci se zabýváme určením zatížení zápěstního kloubu. Na rozdíl od velkých kloubů je zápěstní kloub charakterizován velkým počtem svalů a jejich uložením v blízkosti kosti. To pravděpodobně napomáhá přesnému řízení pohybu v tomto kloubu. Naším cílem je na základě konceptuálních matematickýcjh modelů vysvětlit biomechanicky význam konstrukce kloubu a následně vytvořit anatomický model, který by umožňoval přesné určení zatížení lidského zápěstního kloubu. 2
Kapitola 1 Anatomie lidské ruky Obrázek 1.1: Anatomie zápěstního kloubu 1.1 Kosti ruky - Ossa manus Kosti ruky zahrnují: kosti zápěstní - ossa carpi kosti záprstní - ossa matacarpi články prstů ruky sesamské kůstky - ossa sesamoidea 1.2 Svaly způsobující pohyb ruky Svaly předloktí zahrnují tři skupiny svalů. Přední skupina obsahuje čtyři vrstvy svalů. Laterální skupina je uspořádána ve dvě hlavní vrstvy svalů. Dorsální skupina obsahuje dvě vrstvy svalů, povrchovou a hlubokou. Svaly přední skupiny jsou funkčně flexory lokte, zápěstí a prstů a pronátory předloktí. Svaly laterální skupiny jsou funkčně extensory zápěstí a supinátory předloktí. Svaly zadní skupiny jsou hlavně extensory zápěstí a prstů. Svaly ruky doplňují funkce svalů předloktí, jejichž šlachy na ruku a na prsty přecházejí. 3
Kapitola 2 Konceptuální modely Základem těchto modelů je co největší možné zjednodušení problému tak, aby byly zachovány charakteristické vlastnosti řešeného problému. V naší práci jsme vytvořili 2D model s uvažováním palmární a dorzální flexe. Tento pohyb má celkový rozsah 150-170, s maximem 85 na obě strany. Možné pohyby zápěstího kloubu jsou znázorněny na obrázku 2.1. Obrázek 2.1: Pohyby ruky 2.1 Zjednodušující předpoklady Protože anatomie ruky je velice složitá, bylo nutné vytvořit zjednodušení. Celý pohybový aparát ruky si představím jako dvě tělěsa spojená kloubovou vazbou. Jedno těloso představuje předloktí a druhé ruku. Mezi nimi je zápěstní kloub. Pro větší představivost je zde vidět zjednodušení na obrázku 2.2. Dále nás bude zajímat uvolnění daného modelu. Předloktí nebudeme přiřazovat žádnou tíhu ani jiné vlastnosti, protože je dále spojeno s paží, ramenem atd.. Nebylo by proto možné vše do výpočtu zahrnout. Výpočet by byl velice složitý rozsáhlý a pravděpodobnost chyb by se zvýšila. Budeme jen uvažovat, že se na něj svaly upínají, což bude při vytváření modelu velice důležité, protože budeme potřebovat vědět jednotlivé směry svalů, se kterými budeme počítat. Ve výpočtu budeme uvažovat jen reakce v kloubu a tíhu ruky (obr. 2.3). Síly Rx a Ry nám přestavují reakce působící v kloubu. Síla G je tíha ruky, která působí v těžišti ruky. 4
Obrázek 2.2: Zjednodušený model Obrázek 2.3: Uvolnění Těžiště ruky bylo přibližně určeno pomocí tabulkových přepočtů. Z [3] určeno: průměrná hmotnost těla muže je 73 kg a průměrná hmotnost ženy je 61,9kg. Podle toho určíme, že průměrná hmotnosti člověka je 67,75kg. Dále víme, že ruka tvoří cca 0,8% váhy celého těla. Takže průměrná hmotnost ruky je 0,54kg. Dále určíme těžiště ruky. Průměrná délka ruky u mužů je 189,9mm a u žen 172 mm. Průměrná délka ruky je tedy 181 mm. Těžiště se nachazí v 63,09% délky ruky, měřeno od konce prstů. V našem případě vyjde poloha těžiště cca 114mm od konce prstů, tedy 67mm od kloubu. 2.2 Popis metod Kloub je zatížen vnější gravitační silou a silou svalu. Teoreticky bychom mohli určit neznámé veličiny z rovnic rovnováhy. Při praktickém řešení problému se setkáme se skutečností, že počet neznámých sil ve svalech vysoko překračuje počet rovnic rovnováhy. Tento fakt je z fyziologického hlediska podmíněn tím, že počet působících svalů je vyšší, než počet svalů nevyhnutelně potřebných pro zabezpečení daného pohybu. Tento fakt bývá označován pojmem svalová redundance. K určení neznámých svalových sil můžeme přistoupit různým způsobem. V první řadě předpokládáme, že známe výsledný pohyb těla v prostoru. Ze známého pohybu se pak snažíme určit síly, které tento pohyb vyvolaly. Tento přístup se označuje jako metoda inverzní dynamiky. Na druhé straně stojí metody, ve kterých se jako první určí svalové síly a pak se pohyb těla počítá. Snahou je, určit svalové síly tak, aby charakteristiky získaného pohybu souhlasily s předem definovanými předpoklady. Tento postup můžeme označit jako metodu přímé dynamiky. Kvůli zjednodušení jsme v našem modelu použili pricipy inverzní dynamiky. Při určování interních sil metodou inverzní dynamiky předpokládáme, že známe externí síly, síly pasivních struktur a směry svalových sil. Pro každý segment těla musí platit dynamické rovnice rovnováhy sil a momentů sil. Jak již bylo uvedeno, množství neznámých v těchto rovnicích převyšuje jejich počet. Tento problém se označuje jako staticky neurčitý a existuje nekonečný počet kombinací svalových sil, jež vyhovuje rovnicím rovnováhy. Staticky neurčitý problém s mnohočetnými svalovými silami můžeme řešit tím, že ho převedeme na problém staticky určitý. Ten můžeme získat nárůstem počtu rovnic, který systém popisují nebo snížením počtu proměnných. V biome- 5
chanice se častěji používá právě druhý uvedený přístup. Protože počet kloubních kontaktních sil je dán množstvím a typem kloubů v modelu, musíme snížit počet uvažovaných svalů. Tento postup se označuje jako metoda redukce. Pro naši dvourozměrnou úlohu to znamená, že svaly seskupíme do jednoho svalu. Takto definovaný systém nám postačí pro pohyb, který chceme modelovat. Staticky neurčitý problém můžeme řešit také tím, že definujeme další kritérium, které by mělo mít řešení a na základě tohoto kritéria vybereme nejvhodnější řešení. Protože při tomto přístupu počítáme s přítomností mnoho řešení a hledáme to optimální, označujeme ho jako metoda optimalizace. 2.2.1 Metoda redukce Metoda redukce předpokládá staticky určitou úlohu. Jak již bylo popsáno, všechny svaly jsou při tomto výpočtu seskupeny v jeden sval. F nám představuje sílu ve svalu. Působiště síly si bylo zvoleno libovolně. Úhel ϕ je proměnný. Víme, že z anatomického hlediska se úhel ϕ může být v rozmezí -85 - + 85. Dále je třeba znát směr síly F. K tomu nám pomůže využití tzv. wrapping pointu - bodu obtáčení. Je to bod na kloubu, přes který sval určitě prochází. Ten to bod je pro nás známý. Pomocí analytické geometrie si pak můžeme snadno dopočítat potřebné údaje. Pro lepší ilustraci je tento problém zakreslen na obrázku 2.4. Obrázek 2.4: Uvolnění Při výpočtu nám pomůže transformační matice otočení o úhel ϕ. Matice vypadá takto: cos ϕ sin ϕ 0 Tϕ(ϕ) = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 0 Dále použijeme tyto vektory posututí: Tx(p) = Tx(t) = 0 p 0 t 0 0 6
Momentová rovnice pro sílu ve svalu F: M F = r F 2 (F n) M F = F ( r F 2 n) Momentová rovnice pro tíhu G: Momentová rovnice: M G = r G G M F + M G = 0 Velikost síly v kloubu určíme pomocí rovnice rovnováhy. V programu Matlab byl proveden výpočet pro určení závislosti velisti síly ve svalu a v zápěstním kloubu určený na základě metody redukce (obr. 2.5). Obrázek 2.5: Graf závislosti velikosti síly ve svalu a v zápěstním kloubu určený na základě metody redukce Z výsledků můžeme vidět, že průběh síly ve svalu se s úhlem mění poměrně výrazně.ale průběh síly v kloubu není moc proměnný. 7
2.2.2 Metoda optimalizace Hlavním předpokladem metody optimalizace je, že pro každý pohyb centrální nervový systém (CNS) aktivuje svaly tak, aby výsledný efekt byl co nejlepší. Bohužel doposud neznáme princip, na základě kterého CNS aktivuje jednotlivé svaly. Proto zavádíme tzv. optimalizační kritérium, které tento princip definuje. Matematickým vyjádřením optimalizačního kritéria je tzv. optimalizační funkce. Optimalizační funkce G danému rozložení svalovách sil přiřadí hodnotu a definuje se, že nejvhodnější řešení je to, které má minimální, resp. maximální hodnotu optimalizační funkce. Z matematického hlediska jde o problém minimalizace nebo maximalizace funkce, je-li řešení omezeno rovnicemi rovnováhy systému. Tento problém se označuje jako vázaná optimalizace. Pro testování našeho modelu jsme použili optimalizační funkci, kterou navrhli Crownishield a Brand, 1978. Crownishield a Brand při své definici optimalizační funkce vycházeli z kvantitativního měření závislosti mezi sílou a výkonností svalu. Na jeho základě navrhli při inverzní optimalizaci minimalizovat sumu třetích mocnin svalových napětí. Vázanou optimalizaci jsme řešili metodou Lagrangeových multiplikátorů. Pro srovnání s metodou redukce jsme použili dvojici svalů (obr. 2.6). Obrázek 2.6: Uvolnění Postup pro dva svaly: 2 φ = (Fi m /psca i ) 3 i=1 L = M o = 2 (r i/0 xfi m ) i=1 δl(f ) δf m i = 0 2 (Fi m /psca i ) 3 + λ [ 2 (r i/0 Fi m ] ) M o i=1 8 i=1
δl(f ) δf1 m = [ 3(F1 m ) 2 /psca 3 1] + λr1/0 δl(f ) δf m 2 = [ 3(F m 2 ) 2 /psca 3 2] + λr2/0 λ je v obou případech totožná, můžeme tedy dosadit: 3(F1 m ) 2 (psca 3 1 r 1/0) = 3(F2 m ) 2 (psca 3 2 r 2/0) F m 1 = (r 1/0 r 2/0 ) 1/2 (psca 1 psca 2 ) 3/2 F m 2 Tímto postupem získáme představu, jaké budou velikosti sil ve dvou svalech a jaký průběh bude mít reakce v kloubu (obr. 2.7 a 2.8). Z výsledků vidíme, že průběh síly v kloubu je takřka shodný jako to bylo, když jsme počítali s jedním svalem. Průbeh dvou sil je také podobný jako v prvním případě. Kdybychom tyto síly sečetli, vyšli by nám podobné hodnoty jako u jednoho svalu. Z dosavadních výsledků zatím patrné, že pokud sval působí na větším rameni, je v něm menší síla. Pokud přidáme zátěž, síly se několikanásobně zvýší. Je až překvapivé, jak moc velké síly při zátěži v kloubu a svalech jsou. Když si ale uvědomíme, jak malá ramena máme k dispozici, je takové rozložení sil normální. Z dosud získaných výsledků můžeme udělat závěr takový : síla v kloubu se při přidání více svalů nemění, přidáním svalů se zmenší síly pro určitý sval, ale jejich sečtením nám vznikne stejná hodnota jako u svalu jednoho. Můžeme tedy předpokládat, že při přidání dalších svalů by byl trend obdobný. Obrázek 2.7: Graf závislosti velikosti sil ve dvou svalech určený na základě metody optimalizace 9
Obrázek 2.8: Graf závislosti velikosti reakce v kloubu určený na základě metody optimalizace Dále se pokusíme do nějaké vzdálenosti přidat zátěž. Zátěž nám představuje síla Z působící ve směru gravitačního zrychlení. Jak se mění velikost reakce v kloubu a sil ve dvou svalech při pohybu ruky je zobrazeno obrázcích 2.9 a 2.10. Z grafů je patrné, že průběhy křivek zůstávají stejné jako u výpočtu bez zátěže, ale hodnotu sil jsou vyšší. Velikost síly v kloubu se ale stále pohybuje jen v malém intervalu. Záleží také na tom, jak velká zátěž to je. Zde je vidět průběh sil při zátěži 5kg. Obrázek 2.9: Graf závislosti velikosti sil ve dvou svalech při zátěži určený na základě metody optimalizace 10
Obrázek 2.10: Graf závislosti velikosti reakce v kloubu při zátěži určený na základě metody optimalizace 2.3 Obtáčení svalu Metodu redukce jsme využili k tomu, abychom zjistili, jak důležitá je pohoha wrapping pointu. Udělali jsme matematický model, kde jsme definovali čtyři různé vzdálenosti bodu obtáčení, tzn. měnili jsme parametr p. Průběhy sil při změně tohoto parametru pro p=5, 10, 15, 20 mm jsou viditelné na obrázcích 2.11 a 2.12. Obrázek 2.11: Graf závislosti velikosti síly ve svalu při proměnné vzdálenosti wrapping pointu určený na základě metody redukce 11
Obrázek 2.12: Graf závislosti velikosti reakce v kloubu při proměnné vzdálenosti wrapping pointu určený na základě metody redukce Můžeme usoudit, že poloha wrapping pointu je poměrně důležitá, hodnoty se při jeho změně poměrně výrazně mění. Síla v kloubu však zůstává stále jen v malém intervalu hodnot. Předcházející modely uvažovaly s fixní pozicí bodu obtáčení svalu kolem zápěstí. Předpoklad fixního bodu obtáčení není fyziologický. Proto jsme náš model upravili tak, že je možné uvažovat obtáčení svalu. Bude nás zajímat, jak se mění rozložení sil a momentů v závislosti na obtáčení svalu kolem kulové plochy (obr.2.13). Má nám to simulovat sval, který se obtáčí kolem zápěstí. Pokud si představíme model ruky a napnutého svalu při pohybu, zjistíme, že pod určitým natočením ruky se opásání ztrácí, protože daný sval se v určité poloze od kulové plochy odpoutá. Tzn., že od určitého okamžiku nemá sval s kulovou plochou žádný bod dotyku a prochází mimo kulovou plochu. Tato situace je znázorněna na obrázku 2.14. Pro tento model platí následující rovnice: r S = 0 S = [P x s x, P y s y ] P x (P x s x ) + P y (P y s y ) = 0 Po úpravě dostáváme rovnice, ze kterých lze vypočítat polohu bodu P při proměnné velikosti úhlu ϕ. Obdobný postup použijeme pro výpočet polohy bodu Q, tento bod je neměnný, jeho souřadnice je ve všech polohách stejná. Protože tento postup vede na kvadratické rovnice, je nutné vždy vybrat správné kořeny. Bod P se pohybuje po kružnici a bod Q zůstává na stejném místě. Aby byla splněna podmínka odpoutání, bylo určeno, že od místa, kdy by se bod P měl dostat za bod Q, dochází k odpoutání svalu od kulové plochy. Takto nadefinovaný model byl vyřešen v programu Matlab. Při definování modelu jsme si určili, že víme poloměr kulové plochy kolem níž se sval otáčí a že wrapping pointy P, Q jsou tečné body. Průběhy sil ve svalu a kloubu jsou znázorněny na obrázku 2.15. Z výsledků je vidět, že velikost sil ve svalu a v kloubu při takto definovaném modelu má téměř stejný průběh. V místě odpoutání svalu od kulové plochy dochází ke změně a funkce má od tohoto okamžiku odlišný průběh. 12
Obrázek 2.13: Obtáčení svalu kolem zápěstního kloubu Obrázek 2.14: Odpoutání od bodu obtáčení Obrázek 2.15: Graf závislosti velikosti síly ve svalu a v zápěstním kloubu při obtáčení a následném odpoutání 13
2.4 Závěr Pomocí předešlých postupů byly nadefinovány různé matematické modely zápěstí. Pomocí těchto výsledků dostáváme představu, jak vypadá zatížení v kloubu a ve svalech při určitých podmínkách. Z výsledků vyplývá, že velký význam na síly ve svalech při pronaci a supinaci má obtáčení svalů kolem zápěstí. Tím se zabezpečí rovnoměrná svalová aktivace. Tento poznatek je velice důležitý a proto na něj bude v další části kladen důraz. 14
Kapitola 3 Anatomický model Anatomický model je založen na přímém určení svalově-kosterní geometrie z CT snímků 3.1 Zpracování CT snímků Námi použitý počítačový systém využívá kombinací již v minulosti vyvinutých počítačových programů. Z tohoto důvodu má tento počítačový program stavebnicové uspořádání, ve kterém je použito několi podprogramů. Posouzení trojrozměrného svalově-kosterního modelu bylo rozděleno do tří stupňů: 1. zpracování CT snímků 2. vizualizace 3D kostní geometrie 3. definice svaliového modelu Obrázek 3.1: Schéma systému pro určení kvantitativní geometrie svalově-kosterního systému 3.1.1 Zpracování CT snímků Zpracování CT snímků se sestává z filtrování, vyrovnání histogramu, snižování šumu atd. Metody na zvýšení obrazu jsou definovány jako matematické operace na dvojrozměrné matici obrazových pixelů. Počítačová tomografie, která snímá oblast zájmu poskytuje sérii snímků v lékařském obrazovém formátu DICOM. DICOM je standard pro manipulaci, uchování, tisk a 15
přenos informací v lékařských zobrazovacích metodách. DICOM se liší od ostatních datových formátů tím, že slučuje informace do jednoho souboru dat (date set). Tím se myslí, že např. CT snímek páteře obsahuje také pacientovu totožnost (ID). Tak nemůže dojít chybou k oddělení snímku od této informace. Datový objekt DICOMu se skládá z množství příznaků zahrnující položky jako jméno, ID atd., a také jeden speciální příznak obsahující data obrazu ve formě pixelů (tj. logicky hlavním předmětem není hlavička jako taková - jen seznam příznaků obsahující obrazová data). Pro určení kvantitativní geometrie je důležitý také fakt, že ve formátu DICOM jsou uchovávány také informace o fyzikálních rozměrech obrazových pixelů, tj. rozměr pixelu v jednotkách délky, a také informace o vzdálenosti jednotlivých řezů. Pro načítání do systému na zpracování obrazu je nutno konvertovat soubor DICOM do datové struktury formátu bmp. Pro konverzi se použilo volně dostupného programu Dicom2, který promění DICOM soubory do samostatného formátu bitově mapovaného obrazu (bmp). Soubor bmp je importován do výpočtového prostředí pro numerický výpočet - GNU Octave. GNU Octave poskytuje vhodné prostředí pro zpracování obrazu použitím předdefinovaných postupů jako obraz zobrazovacího zařízení, analýza obrazu, způsoby zesílení kontrastu, geometrické zobrazení, filtrování, Fourierovy transformace atd. Použitím jazykového zápisu, který je nejvíce slučitelný s Matlab, mohou být definovány nové filtry a speciální transformační funkce a může být zpracována série snímků. Celé série snímků jsou zpracovány a výstup je zapsán do souboru, kam se 3D prvek uloží a jsou definovány hodnoty. 3.1.2 Generování 3D kostní geometrie Systém pro 3D interaktivní vizualizaci bal naprogramován ve specializovaném vizualizačním prostředí OpenDX - také známém jako Data Explorer (DX). OpenDX je programovací prostředí pro vizualizaci dat a analýzu, která používá datový tok řízený klientským serverem výpočtového modelu. V našem zpracování bylo pro vybudování finální aplikace využito grafické uživatelské rozhraní, vizuální programování a také zapsání skriptu v programovacím jazyku OpenDX. Aplikace vykonává datový import, množství vyobrazení a výpočet 3D iso hladiny. Jak dobře jsou kostní struktury odděleny na CT snímcích, tak dobře je vytažen 3D model kostního obrazu. 3.1.3 Definice svalové geometrie V biomechanické anyláze jsou celé svaly obvykle popisovány jako pružná vlákna s určitým směrem působení. Směr působení svalu může být považován za přímý od počátku do úponu. Z tohoto důvodu byla v naší práci geometrie jednotlivého svalu definována : bodem proximálního úponu rprox=[xprox; yprox; zprox], kde rprox je polohový vektor proximálního úponu, bodem distálního úponu rdist=[xdist; ydist; zdist], kde rdist je polohový vektor distálního úponu, fyziologickým průřezem svalu (PCSA), který je možné definovat jako poměr mezi objemem svalu a jeho délkou. Délku svalu je možné určit na základě znalostí proximálního a distálního úponu. Pro definici geometrie jsme použili speciální vizualizační jednotku v OpenDX, která na základě vstupu od uživatele určuje polohu daného bodu na kosti. Když jsou definovány proximální a distální body úponu svalu, je sval vizualizován jako vlákno napnuté mezi těmito body. 3.1.4 Zdroj dat Pro určení geometrie zápětí s ruky jsme využili CT snímky dostupné z The Visible Human Project. Tyto snímky bohužel nebyly ve standardním formátu Dicom, ale byly formátu GE. Proto bylo prvním krokem konverze těchto snímků do formátu Dicom, aby bylo možné použít výše popsaný postup. Pro konverzi jsme využili program MRIcro verze 1.39. Tento program také umožňuje určení fyzikálních rozměrů obrazových pixelů z hlavičky formátu General Electric. Na základě těchto hodnot byly rozměry pixel určeny následovně. 16
Osa Fyzikální velikost voxelu v mm x 0,9735 y 0,9735 z 1 Orientace souřadnicových os byla také určena na základě programu MRIcro a to následovně. Osa x probíhá mediolatrálně, osa y probíhá posteroanteriorně, přičemž rovina xy je shodná s rovinou snímku. Osa z je kolmá na rovinu nímku a je shodná s podélnou osou těla. Osa z probíhá kapitokaudálně. Počátek souřadnicového systému je shodný s počátkem snímkování, které bylo vedeno od hlavy směrem kaudálně. 3.1.5 Definice geometrie svalů ruky Kvůli mnohačetnému obtočení svalů ruky kolem jednotlivých anatomických struktur jsme byli nuceni rozdělit sval mezi odstupem a úponem na několi samostatných částí, tzn. kromě bodu odstupu a úponu jsme definovali také body efektivních odstupů a efektivních úponů, které vymezují pohyb ruky. 3.1.6 Kvantitatiční anatomie ruky Na základě CT snímků z Human Visible Project byl vytvořen kosterní model ruky (obr. 3.2). Tento model byl upravem a převeden do vizualizačního programu OpenDX. Tímto programem byly definovány body odstupů a úponů svalů ruky (obr. 3.3). Poté byly vymodelovány jednotlivé kosti (obr. 3.4). Nyní jsou známy prostorové souřadnice jednotlivých bodů svalů a kostí, s nimiž se bude dále pracovat. Pomocí rotačních a transformačních matic vytvoříme podrobný matematický model. Obrázek 3.2: Původní model z CT snímků 17
Obrázek 3.3: Model svalů Obrázek 3.4: Model kostí 18
Závěr Výsledky této práce jsou určeny pro praktickou aplikaci při návrhu kloubní náhrady pro firmu MEDIN. Informace o silách působících v zápěstí při určitých polohách a zatížení jsou důležité z hlediska možného zatížení protézy, možnosti použití jiných materiálů, možnosti fyziologického zlepšení náhrady, vyloučení poškození, zkvalitnění další generace náhrady atd.. Dalším postupem bude vytvořit ještě přesnější matematický model, určit zatížení anatomického modelu a vypočítat jaké změny vzniknou v zatížení po inplantaci protézy, kterou vyrobila firma MEDIN. Toho se pokusíme dosáhnout zpracováním dat, které jsme získali díky CT snímkům a jejich následném zpracování. 19
Literatura [1] Čihák, R.: Anatomie 1, Grada Publishing, Praha, 2001 [2] Dauber, W.: Feneisův obrazový slovník anatomie, Grada Publishing, Praha, 2007 [3] Konvičková, S., Valenta, J.: Biomechanika kloubů člověka a jejich náhrady, VIENALA a ŠTROFFEK, Košice, 2000 [4] Valášek, M., Bauma V., Šika Z.: Mechanika B, ČVUT, Praha, 2004 [5] Hall, S.: Basic biomechanics, McGraw-Hill, 1995 20