Antirovnoběžnost Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Příspěvekvysvětlujeprincipantirovnoběžnostinamnohaúloháchzčeských i zahraničních soutěží. Ukazuje i využití antirovnoběžnosti v moderní geometrii trojúhelníka. Ocojde? Definice. Jedánúhel XVY ajehoosa o.přímky paqnazvemeantirovnoběžné vúhlu XVY,pokudproosovýobraz p přímky ppodle oplatí p q.pokudnavíc V pav q,říkáme,že paqjsouizogonálnívúhlu XVY. Úhlem v přechozí definici rozumíme i dvojici rovnoběžných přímek. Osou úhlu pak v tomto případě rozumíme osu pásu mezi rovnoběžkami. Bez nároku na přesnou formulaci a přesný důkaz uvedeme klíčové tvrzení, které propojí antirovnoběžnost s tětivovými čtyřúhelníky. Tvrzení. Přímky p a q jsou antirovnoběžné v daném úhlu, právě když nastane jedna ze situací zachycených na obrázcích níže. 32
MICHAL KENNY ROLÍNEK Tvrzení. Pokud jsou p a q antirovnoběžné vzhledem ke dvěma různým úhlům, pak mají tyto úhly kolmé či rovnoběžné osy. Tvrzení. Pokud jsou p a q antirovnoběžné vzhledem ke dvěma různým úhlům, pak dvojice antirovnoběžných přímek v těchto úhlech splývají. Lehké příklady Příklad1. Nakružnici kjedánatětiva AB.Označme Šstředkratšíhooblouku AB.Bodem Švedemedvěrůznépřímky,kteréprotnou ABa kvečtyřechdalších bodech. Ukažte, že tyto body leží na kružnici. Příklad2. Ať ABCDjetětivový.Buď P= AB CDaQ=AD BC.Ukažte, žeosyúhlů AQBand BPCjsoukolmé. Příklad3. Jsoudánykružnice k, l,kteréseprotínajívbodech A, B.Označme K, Lpořadědotykovébodyjejichspolečnétečnyzvolenétak,žebod Bjevnitřním bodemtrojúhelníku AKL.Nakružnicích kalzvolmepořaděbody N a M tak, abybod Abylvnitřnímbodemúsečky MN.Dokažte,žečtyřúhelník KLMN je tětivový, právě když přímka M N je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. (Domácí kolo MO 2010) Příklad 4. Ať ABC je trojúhelník. Kružnice procházející body B a C protne strany ABa AC podruhépostupněvc a B.Ukažte,že BB,CC a HH,kde H a H jsoupostupněortocentratrojúhelníků ABC a AB C,procházejíjedním bodem. (IMO shortlist 1995) 33
ANTIROVNOBĚŽNOST Kamarádi Ha O Tvrzení5. V ABCje HprůsečíkvýšekaOstředkružniceopsané.Pak AHa AOjsouizogonálnívúhlu BAC. Příklad 6. V trojúhelníku ABC platí, že výška a těžnice z vrcholu A rozdělí úhel BAC na třetiny. Určete vnitřní úhly v ABC. Příklad7. Vtrojúhelníku ABCplatí,ževýška,těžniceaosaúhluzvrcholu A rozdělí úhel BAC na čtvrtiny. Určete vnitřní úhly v ABC. Příklad 8. Úhlopříčky AC a BD tětivového čtyřúhelníka ABCD se protínají v P. Středykružnicopsaných ABCD, ABP, BCP, CDPa DAPoznačmepostupně O, O 1, O 2, O 3 a O 4.Ukažte,že OP, O 1 O 3 a O 2 O 4 procházejíjednímbodem. (Čína 1990) Příklad 9. Trojúhelník ABC je ostroúhlý. Buďte D a E body na stranách BC a ACtakové,že A, B, DaEležínakružnici.Dálepředpokládejme,žekružnice opsaná D, Ea Cprotnestranu ABvedvoubodech Xa Y.Ukažte,žestřed XY je zároveňpatouvýškyzcna AB. (BalticWay2010) Příklad10. Vroviněsekružnice k 1 a k 2 ostředechpořadě I 1 a I 2 protínajíve dvoubodech AaB.Nechťjeúhel I 1 AI 2 tupý.tečnake k 1 vbodě Aprotíná k 2 ještěvbodě C atečnake k 2 vbodě Aprotíná k 1 ještěvbodě D.Označme k 3 kružnici opsanou trojúhelníku BCD. Nechť E je střed toho oblouku CD kružnice k 3,kterýobsahujebod B.Přímky ACa ADprotínají k 3 pořaděještěvbodech K a L.Dokažte,žepřímky AEa KLjsounavzájemkolmé. (MEMO2011) Symediány Definice 11. Je dán trojúhelník ABC. Přímku, která je izogonální s těžnicí z vrcholu A v úhlu BAC, nazveme A-symediánou trojúhelníka ABC. Tvrzení12. Kekružniciopsané ABCsestrojímetečnyvbodech Ba Cajejich průsečíkoznačíme S.Pak ASjesymediánav ABC. Příklad 13. Ať ABC je rovnoramenný trojúhelník se základnou AB. Dále nechť Pjejehovnitřníbodtakový,že PAB = PBC.Označme Mstřed AB.Ukažte, že APM + BPC =180. (Polsko2000) Příklad14. Jsoudánydvěkružnice k 1 a k 2,kteréseprotínajívbodech AaB. Nakružnici k 2 zvolmebod Ctak,žeúsečka BCprotnekružnici k 1 vboděrůzném od B,kterýoznačíme L.Přímka ACprotnekružnici k 1 vboděruznémod A,který označíme K. Dokažte, že přímka, na níž leží težnice z vrcholu C trojúhelníku KLC, prochází pevným bodem nezávislým na poloze bodu C. (zobecněné domácí kolo MO 2011) 34
MICHAL KENNY ROLÍNEK Tvrzení 15. Symediány se protínají v jednom bodě. Nazveme ho Lemoinovým bodem ABC. Příklad 16. Buď ABC trojúhelník s Lemoinovým bodem L. Rovnoběžka s AB vedenábodem Lprotnestrany CAaCB vbodech C 1, C 2.Podobnědefinujme A 1,A 2, B 1, B 2.Ukažte,žepaktěchtošestbodůležínakružnici.Kdejestředtéto kružnice? Příklad 17. Buď ABC trojúhelník s Lemoinovým bodem L. Antirovnoběžka s AB vúhlu ACBvedenábodem Lprotnestrany CAaCBvbodech C 1, C 2.Podobně definujme A 1,A 2, B 1, B 2.Ukažte,žepaktěchtošestbodůležínakružnici.Kdeje střed této kružnice? Isogonal conjugates Definice18. Body Pa P vtrojúhelníku ABCnazvemeisogonalconjugatesvůči ABC,pokudjsou AP a AP izogonálnívúhlu BACapodobnědvojicepřímek BP, BP a CP, CP jsouizogonálnípostupněvúhlech ABCa BCA. Tvrzení 19. Ke každému bodu v rovině, který neleží na kružnici opsané ABC, existuje isogonal conjugate vůči ABC. Příklad20. Ať Pa P jsouisogonalconjugatesvzhledemk ABC.Pakprojekce bodů Pa P nastranytrojúhelníkaležínajednékružnici. Příklad21. Jedántrojúhelník ABC,ΓjeGergonneůvbodaH + středkladné stejnolehlosti, která zobrazí kružnici vepsanou ABC na kružnici opsanou. Pak Γ a H + jsouisogonalconjugates. Příklad 22. Jedántrojúhelník ABC, N jenagelůvbodah středzáporné stejnolehlosti, která zobrazí kružnici vepsanou ABC na kružnici opsanou. Pak N a H jsouisogonalconjugates. Příklad 23. Uvnitř čtyřúhelníka ABCD je dán bod P neležící na BD tak, že PBC = DBA a PDC = BDA.Ukažte,že ABCDjetětivovýprávě tehdy,když AP = PC. (IMO2004) Příklad24. Ať P a P jsouisogonalconjugatesvůči ABC.Ukažte,že P je střed kružnice opsané trojúhelníku tvořenému obrazy bodu P přes strany ABC. Příklad 25. Kružnice k vytne na každé straně trojúhelníka ABC úsečku. Ukažte, že potenční střed kružnic, jejichž průměry jsou tyto úsečky, je isogonal conjugate středu kružnice k. (zobecněné IMO 2008) 35
ANTIROVNOBĚŽNOST Příklad26. Uvnitřtrojúhelníka ABCjedánbod P.Označme A, B, C paty kolmicspuštěnýchzbodu Pnapříslušnéstrany.Dálenechť A jeprůsečíkkružnice opsanétrojúhelníku A B C astrany BCrůznýod A.Konečněnalezněmenaúsečce A B bod Xtakový,že XAC = PAB.Ukažte,že AXB =90. (iks G3) Tvrzení27. Jedán ABCapřímka l.množinabodů X,kteréjsouisogonal conjugateknějakémubodu X l,jekuželosečka. Příklad28.(GeneralFeuerbachTheorem) Jedán ABCavněmXaX isogonal conjugates.pokudpřímka XX procházístředem Okružniceopsané ABC,pak kružniceopsanáprojekcímbodů Xa X nastrany ABCsedotýkákružnicedevíti bodů. Příklad 29. Jedántrojúhelník ABC ( AB = AC ).Najehovýšce AA 0,kde A 0 ležína BC,zvolímebod X.Označíme B 1 resp. C 1 průsečíky BXs AC,resp. CXs AB.Pokudje BCC 1 B 1 tětivový,ukažte,že Xjeprůsečíkvýšektrojúhelníka ABC. (Celostátní kolo MO 2007) Literatura a zdroje [1] Nathan Altshiller-Court: College Geometry, Dover Publication, New York, 2007 [2] http://www.mathlinks.ro 36