BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Tomáš Ibehej Selfkonzistentní a neselfkonzistentní částicové modelování v sondové diagnostice plazmatu

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Tomáš Ibehej Selfkonzistentní a neselfkonzistentní částicové modelování v sondové diagnostice plazmatu Katedra fyziky povrchů a plazmatu Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Rudolf Hrach, DrSc. Studijní program: Obecná fyzika 2008

Děkuji především panu Prof. RNDr. Rudolfu Hrachovi, DrSc. za nepostradatelné radyapodporupřitvorběmodelůapsanítextu,dálesvýmrodičůmapřítelkyniza motivaci a podporu při práci a v neposlední řadě také tvůrcům použitého softwaru. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 9. srpna 2008 Tomáš Ibehej 2

Obsah 1 Úvod 5 2 Teoretický úvod 6 2.1 Definiceplazmatuaschopnoststínění............. 6 2.2 Srážkovéprocesyvplazmatu....... 8 2.3 Metodamolekulárnídynamiky...... 10 2.4 MetodaParticle-In-Cell.......... 11 2.5 Metodanulovésrážky........... 12 3 Cíl práce 14 4 Popis modelů 15 4.1 1Dmodelsrovinnougeometrií...... 15 4.2 1Dmodelsválcovougeometrií...... 19 4.3 2Dneselfkonzistentnímodelsválcovougeometrií...... 24 4.4 Zdrojčástic..... 24 5 Výsledky 27 5.1 Parametrymodelů............ 27 5.2 Selfkonzistentnímodely.......... 28 5.3 Neselfkonzistentnímodel......... 29 5.4 Srovnánímodelů............. 31 6 Závěr 35 Literatura 37 3

Název práce: Selfkonzistentní a neselfkonzistentní částicové modelování v sondové diagnostice plazmatu Autor: Tomáš Ibehej Katedra(ústav): Katedra fyziky povrchů a plazmatu Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Rudolf Hrach, DrSc. e-mail vedoucího: rudolf.hrach@mff.cuni.cz Abstrakt: Práce je věnována počítačovému modelování procesů probíhajících při interakci nízkoteplotního plazmatu s povrchy vnořených pevných látek. Při této interakci se na rozhraní mezi nenarušeným plazmatem a elektrodou vytvoří přechodová oblast, tzv. stínící vrstva, jejíž vlastnosti výrazně ovlivňují procesy probíhající na podložce nebo sondě. Při analýze naměřených experimentálních charakteristik v sondové diagnostice plazmatu se velmi dobře uplatňuje částicové modelování. Jeho dvě základní metodiky- selfkonzistentní a neselfkonzistentní přístup- se výrazně liší v efektivitě i v dalších vlastnostech. Cílem práce je diskutovat klady i zápory obou technik. Klíčová slova: Selfkonzistentní a neselfkonzistentní částicové modelování, nízkoteplotní plazma, počítačový model Title: Self-consistent and non self-consistent particle modelling in probe diagnostics of plasma Author: Tomáš Ibehej Department: Department of Surface and Plasma Science Supervisor: Prof. RNDr. Rudolf Hrach, DrSc. Supervisor s e-mail address: rudolf.hrach@mff.cuni.cz Abstract: The presented work focuses on the processes during interaction of lowtemperature plasma with substrates of immersed solids using computer simulation. During this interaction a transition area, so-called sheath, is formed on the boundary between the undisturbed plasma and the electrode. The characteristics of the sheath dramatically influence the processes going on the probe or on the substrate. During the analysis of the measured experimental characteristics in probe diagnostics of plasma, the particle simulation asserts very well. Its two basic methodics self-consistent and non self-consistent approach differ in efficiency and other characteristics.theaimofthepresentedworkistodiscussprosandconsofboth techniques. Keywords: Self-consistent and non self-consistent particle modelling, low-temperature plasma, computer simulation 4

Kapitola 1 Úvod Ve všech oborech fyziky je zapotřebí řešit mnoho problémů, pro které buď nemáme ještě vytvořené rovnice, nebo jsou tyto rovnice analyticky neřešitelné. Speciálně to platí pro plazma, které je velmi složitým systémem často mnoha typů částic v různých kvantových stavech a ve kterém probíhá mnoho dějů, počínaje složitými srážkovými procesy a konče chemickými reakcemi, které si chemik v jiném prostředí nedokáže představit. Popisovat takto složité systémy bylo dříve možné pouze s pomocí experimentu. V dnešní době je v bouřlivém rozvoji relativně nový způsob práce vedle teorie a experimentu se rozvíjí počítačové modelování. Plazmajeskupenství, vněmžsenacházíaž99%veškeré známéhmotyve vesmíru, přesto o jeho existenci víme až od 19. století. Existuje mnoho teorií, které se pomocí různých aproximací snaží co nejpřesněji popsat různé jevy v plazmatu, stále jsou ale pouze přibližné a platí jen v oboru platnosti svých aproximací. Ani samotné měření v plazmatu není jednoduché. Díky schopnosti plazmatu odstínit všechna vnořená tělesa, tedy i sondy, se parametry naměřené takovou sondou nevztahují k objemu plazmatu, ale ke stínící vrstvě, která se kolem sondy vytvoří. Ze všech výše uvedených důvodů je výhodné zkoumat plazma pomocí počítačového modelování. Výsledky počítačových modelů mohou mít v dnešní době důležitost blížící se experimentálním výsledkům. Experimentální data, např. účinné průřezy různých interakcí, nám budou sloužit jako vstupní data do poměrně přesných výpočtů metodou molekulární dynamiky. Velké omezení této metody je ve výpočetní náročnosti a také z tohoto hlediska se budeme snažit posoudit dva odlišné přístupy částicového modelování v plazmatu selfkonzistentní a neselfkonzistentní. Získané výsledky by mohly pomoci například při hledání metody pro řešení složitějších problémů a podají základní informace o podstatách, odlišnostech a způsobu praktického využití obou přístupů. Protože se v práci objeví i absolutní informace o výpočetních časech obou metod, uvádím zde i základní parametry počítače, na kterém byly výpočty prováděny: procesor: Intel Core 2 Duo T7250, 2GHz operační paměť: 2GB DDR2 SDRAM operační systém: Windows Vista Home Premium, Service Pack 1 Programy jsou psané v jazyku C, překládány kompilátorem lcc-win32 za použití kreslící knihovny DISLIN, verze 9.2. 5

Kapitola 2 Teoretický úvod 2.1 Definice plazmatu a schopnost stínění Předmětem této práce je studium plazmatu metodami počítačového modelování. Proto věnuji úvodní část krátkému teoretickému popisu plazmatu a dějů, které se v něm odehrávají. Jednazdefinicplazmatujepopsanáv[1]azní: Plazma je kvazineutrální plyn nabitých a neutrálních částic, který vykazuje kolektivní chování. Nejprve si všimneme pojmu kolektivní chování. Díky tomu, že součástí plazmatu jsou i nabité částice, můžeme předpokládat vznik míst s nenulovou lokální hustotou náboje. V okolí takového místa vznikne elektrické pole. Coulombovské síly jím vyvolané jsou dalekodosahové, a tak budou ovlivňovat pohyb částic v relativně velké vzdálenosti. Kolektivním chováním tak můžeme nazvat pohyby, které nezávisí pouze na lokálních podmínkách, ale rovněž na stavu plazmatu ve vzdálených oblastech[1]. Označmenyní n e koncentracielektronůan i koncentraciiontů.plazmajekvazineutrální,pokudmůžemepoložit n e = ni = n,kde njespolečnáhustotaplazmatu. Nesmí být ale zase tak neutrální, aby se ztratily elektromagnetické síly způsobující kolektivní chování. Kvazineutralita i kolektivní chování úzce souvisí se schopností plazmatu odstínit vnořený potenciál. Následující část se věnuje právě této schopnosti a nakonec pomocí nových znalostí doplňuje definici plazmatu. Pokud je plyn v tepelné rovnováze, vyskytují se v něm částice všech rychlostí. Jejich nejpravděpodobnější rozdělovací funkce je tzv. Maxwellovo rozdělení. Maxwellova rozdělovací funkce jako pravděpodobnostní rozdělení velikosti rychlosti částic má tvar ( )3 m 2 f(v)=4π v 2 exp 2πk B T ) ( mv2, (2.1) 2kT kde mjehmotnostčástic, vjevelikostrychlostiak B jeboltzmannovakonstanta. Konstanta T se nazývá teplota částic a určuje šířku rozdělení f(v). Tzv. neizotermické plazma, kterým se zabývá i tato práce, je charakteristické rozdílnými teplotami jednotlivých komponent. 6

Je-li do plazmatu vnořeno těleso nabité na určitý elektrický potenciál, dokáže plazma tento potenciál na krátkou vzdálenost odstínit. Ze znalosti elektronové rozdělovací funkce v místě s nenulovým potenciálem a pomocí Poissonovy rovnice můžeme podle[1] nebo[2] získat zjednodušením průběh potenciálu v okolí ponořeného tělesa ( U= U 0 exp r ), (2.2) λ D kde λ D jekonstantaudávajícítloušťkustínícívrstvyanazývásedebyovadélka. V případě, že v plazmatu budou nabité částice představovat pouze elektrony a jednonásobně kladně nabité ionty, dále že koncentrace elektronů a iontů v nekonečné vzdálenosti od ponořeného tělesa bude stejná(značíme n), a navíc ještě bude teplotaiontů T i mnohemmenšínežteplotaelektronů T e,budedebyovadélkapodle [1] přibližně rovna ǫ0 k B T e λ D =. (2.3) ne 2 Je-licharakteristickýrozměrplazmatu Laplatí-li L λ D,dojdekdekoliv v objemu plazmatu k odstínění vzniklého lokálního náboje nebo k odstínění přivedeného potenciálu. Většina plazmatu tak zůstává bez velkých elektrických polí či potenciálů. Stínící vrstva, která se v plazmatu vytvoří, se dá rozdělit na dvě části, jejichž anglické názvy jsou sheath a presheath. V oblasti sheathu dochází k odstínění většiny vnořeného potenciálu a k přímé interakci plazmatu s pevnou látkou. V oblasti presheathu, který je delší než sheath, se stále ještě projevuje pole vytvořené vnořeným předmětem, jeho účinky jsou však velmi malé. Za stínící vrstvou již můžeme hovořit opět o nenarušeném plazmatu. Průběh potenciálu pro záporné vnořené předpětí je zobrazen na obrázku 2.1. Obrázek 2.1: Schéma stínící vrstvy, převzato z[3], originál z[4]. Protože vznik stínící vrstvy je spjat především s rozdílnou hmotností elektronů a iontů v plazmatu, vznikne stínící vrstva i u překážek, které nejsou nabité, 7

např. u stěn nádoby. Elektrony tečou na překážku rychleji, a tak ji nabijí záporně. Vzniklé pole brání přístupu dalších elektronů a naopak přitahuje kladné ionty. Vzniklýpotenciálnapůvodněnenabitépřekážcesenazývá plovoucípotenciál, resp.anglicky floatingpotential. DalšíveličinoujepočetčásticvDebyověkouli,kterýseznačí N D ajeroven N D = n 4 3 πλ3 D. (2.4) Pokud by nebyl dostatek částic v okolí vnořeného potenciálu, nemohlo by dojít k odstínění a statistický vzorec(2.3) by neplatil. Zavedeme-li ještě frekvenci charakteristických oscilací ω a střední dobu mezi dvěma srážkami τ, můžeme zapsat poslední tři kritéria, které musí plazma vždy splňovat a která jsou úzce spjata právě s kvazineutralitou a kolektivním chováním: λ D L N D 1 (2.5) ωτ > 1 Poslední nerovnost vyjadřuje podmínku, že plazma je ovlivňováno více elektromagnetickými silami, než srážkami. 2.2 Srážkové procesy v plazmatu Srážky nabitých částic s neutrálními jsou v nízkoteplotním plazmatu velmi důležitým procesem. Z hlediska energie je můžeme rozdělit na srážky pružné a nepružné. Pružné srážky(pružný rozptyl) probíhají beze změny vnitřní energie částice, zatímco u srážek nepružných ke změně vnitřní energie dochází a částice tak musí mít alespoň danou prahovou energii, aby k interakci došlo. Mezi nepružné srážky patří např. ionizace, excitace elektronových stavů, deexcitace, rekombinace a jiné. K popisu srážek používáme veličiny jako střední volná dráha λ, srážková frekvence νaúčinnýprůřez σ. Účinný průřez lze definovat na následujícím příkladu. Na částici jednoho typu(rozptylové centrum) proudí rychlostí v svazek částic jiného typu o koncentraci n.početčástic N r,kteréserozptýlízajednotkučasubudedán vztahem N r = nvσ, (2.6) kde σjejeúčinnýprůřezsrážkyamájednotkuplochy.protožezávisíina rychlosti pohybu rozptylového cetra, je rychlost v relativní rychlostí svazku a rozptylového centra. Střední volná dráha λ je průměrná dráha, kterou částice urazí mezi dvěma srážkamianaúčinnémprůřezu σakoncentracirozptylovýchcenter n c závisí vztahem λ= 1 n c σ. (2.7) 8

Srážková frekvence ν je počet interakcí částice jednoho typu v plynu částic druhéhotypuokoncentraci n c zajednotkučasu.relativnírychlostčásticea rozptylového centra je v a platí vztah ν= n c vσ(v). (2.8) Máme-livplazmatu ksrážkovýchprocesů,každýsúčinnýmprůřezem σ i, resp.stř.volnoudráhou λ i, i=1,2,..., k,můžemespočítatcelkovýúčinný průřez σ, resp. stř. volnou dráhu λ, pomocí vztahu σ = k σ i (2.9) i=1 1 k λ = 1. (2.10) λ i Jak už bylo naznačeno ve vztahu(2.8), účinný průřez, resp. stř. volná dráha, jsou často závislé na rychlosti částic, potažmo na jejich kinetické energii. Závislost účinných průřezů na energii pro tři typy srážek elektronů s argonovými atomy je uvedena na obrázku 2.2. i=1 Obrázek 2.2: Účinné průřezy pro srážky elektronu s Ar atomy, převzato z[3]. Ve výpočtech se objevují pouze srážky nabitých částic s neutrály. Účinné průřezy ionizace a excitace pro elektrony jsou vůči pružnému rozptylu nezanedbatelné až v oblastech vyšších energií, kterých mohou dosahovat částice v našich modelech až v oblastech těsně blízko elektrody. Započítáním těchto typů srážek provádíme korekci energetického rozdělení ve vysokoenergetické oblasti. Dále započítáváme pružné srážky iontů s neutrálními atomy a tzv. resonanční přenos ná- 9

boje(charge transfer). O použitých srážkových procesech a jejich rovnicích informuje tabulka 2.1. Coulombovské srážky, tedy srážky mezi nabitými částicemi, zanedbáváme z toho důvodu, že pracujeme se slabě ionizovaným plazmatem, kde je těchto srážek v porovnání se srážkami nabitých částic a neutrálů zanedbatelně málo. Nicméně Coulombovská interakce jako taková samozřejmě v modelech zahrnuta být musí. Metoda modelování srážek, jejichž účinné průřezy jsou závislé na energii, je popsaná v kapitole 2.5. název srážky rovnice srážky pružnýrozptylelektronunaar e + Ar e + Ar excitacearelektronem e + Ar e + Ar ionizacearelektronem e + Ar e + Ar + + e pružnýrozptylar + naar Ar + + Ar Ar + + Ar resonančnípřenosnáboje Ar + + Ar Ar+ Ar + Tabulka 2.1: Srážkové procesy použité v modelech. 2.3 Metoda molekulární dynamiky Metoda molekulární dynamiky je metoda částicového modelování, která může být použita na velké množství fyzikální problémů, od zkoumání plynů a kapalin s rozlišenímažnajednotlivéatomy,přespevnélátkyažkastrofyzice.jednáseodeterministickou metodu, která sice s velkou výpočetní náročností, ale s maximální vypovídací hodnotou řeší pohyb částic ve zkoumané látce a tím získává kompletní informaci o simulovaném jevu. Ačkoliv částice v plazmatu svojí velikostí a chováním spadají do oblasti kvantové fyziky, můžeme jejich pohyb v první aproximaci popisovat pomocí klasické mechaniky. Pro numerické řešení Newtonových pohybových rovnic existuje opět mnoho metod. V našich modelech používáme rychlostní modifikaci Verletovy metody, která je metodou druhého řádu přesnosti. Známe-li rychlosti a polohy částic včase t,potomvdalšíčasovéiteracibudeplatit: r i (t+ t) = r i (t)+ v i (t) t+ 1 2m i Fi (t)( t) 2 F i (t+ t) =... (2.11) v i (t+ t) = v i (t)+ 1 Fi (t)+ F i (t+ t) t, m i 2 kde tjezvolenýčasovýkrok.tatometodajepoužitelnápouzeusil,kterézávisí na poloze částice, nikoliv na její rychlosti. Tahle podmínka je u elektrostatických sil splněna. Verletův algoritmus bychom ale nemohli použít hned např. u magnetických sil, které v našich modelech zanedbáváme. Tvar pracovní oblasti, ve které budeme s částicemi pohybovat, se volí co nejjednodušší podle charakteru problému, stejně tak počet dimenzí co nejmenší vzhledem 10

k symetrii úlohy. Velikost pracovní oblasti volíme s uvážením počtu částic. Současné vybavení osobních počítačů umožňuje pracovat s počtem částic řádově mezi 10 3 a10 7.Okrajovépodmínkypracovníoblastimohoubýtrůzné,opětpodlecharakteru problému. Můžeme použít tzv. otevřené okrajové podmínky(v případě, že můžeme do pracovní oblasti zahrnout kompletní izolovaný systém), periodické okrajové podmínky, nebo jiné. V případě periodických podmínek je situace velmi zajímavá. Pracovní oblast s částicemi je rozmnožena na nekonečně mnoho stejných oblastí(nejčastěji krychle), které jsou naskládány vedle sebe. Částice, která opustí oblastnajednéstraně,sevrátídooblastinastranědruhé.nakaždoučásticipřitom působí silou právě jeden exemplář všech částic pracovní oblasti a to ten, který je k částici nejblíže. Ilustrace periodických okrajových podmínek je na obrázku 2.3. Proud částic z vnějšku oblasti můžeme též simulovat a počítat s proměnným počtem částic v pracovní oblasti, což je případ našich modelů. Zdroji částic se podrobněji věnuje kapitola 4.4. Obrázek 2.3: Ilustrace periodických okrajových podmínek ve 2D, převzato z[5]. 2.4 Metoda Particle-In-Cell Ve vztazích(2.11) jsme neuvedli, jak probíhá výpočet síly. U krátkodosahových sil stačí do výpočtu síly působící na částici zahrnout pouze několik okolních částic. Stačí tedy sílu počítat pomocí principu superpozice F i = q i ζ ext ( r i )+ N j=1, j i f ij, (2.12) 11

kde q i jenábojčástice, ζ ext ( r i )jeintenzitaexternísílyzávislánapolozečásticea f ij jesíla,kteroupůsobí j-táčásticena i-tou.totoovšemplatípouzezapředpokladu, že ve studované soustavě princip superpozice platí. Tento předpoklad však obvykle splněn nebývá, a proto výpočty za přítomnosti krátkodosahových sil(např. v pevných látkách) mohou být též výpočetně velmi náročné. Vpřípadědalekodosahovýchsilje Nvevztahu(2.12)velké,aprotožejerychlosttohotovýpočtu O(N 2 ),stávásevýpočetsílyneúnosněpomalý.nejpoužívanější metodou na zrychlení výpočtu síly je metoda Particle-in-Cell(PIC). Princip metody je v rozdělení prostoru pomocí mříže na jednotlivé buňky a sesumování náboje částic do těchto buněk. Metod sesumování je více, nejjednodušší metodou je tzv. Nearest-Grid-Point(NGR), kdy se skutečně do jednotlivých buněk započítají náboje částic, které se v nich vyskytují. Přesnější metodou je např. Cloud-In-Cell (CIC),kterýspočíváv rozmazání náboječásticdonejbližšíchbuněkpomocí lineární interpolace. Existují ale i další, přesnější ale výpočetně náročnější metody. Sesumovaný náboj se vydělí objemem buňky, čímž se získá hustota náboje, kterou lze dosadit do Poissonovy rovnice U= ρ ǫ 0. (2.13) Tuto rovnici lze řešit obecně metodou sítí, v 1D je možné najít potenciál pomocí speciálních úprav Gaussovy eliminační metody, protože se jedná o třídiagonální matici. Intenzitu elektrického pole nalezneme numerickým výpočtem rovnice E= U. (2.14) 2.5 Metoda nulové srážky Srážky částic lze popsat veličinami, které jsme uvedli v kapitole 2.2. Zatím jsme nezavedli pojem náhodná volná dráha, což je náhodné číslo určující vzdálenost, kterou urazí částice mezi dvěma určitými, po sobě jdoucími srážkami. Pokud je střední volná dráha, resp. účinný průřez interakce, nezávislý na energii, můžeme náhodnou volnou dráhu ξ podle[6] generovat pomocí vztahu ξ i = λln γ i, (2.15) kde γ i jenáhodnéčíslosuniformnímrozdělenímvintervalu(0,1). Střední volná dráha, a tedy ani účinný průřez, však často nejsou konstantní. Jak ukazuje graf na obrázku 2.2, je možné získat závislost např. účinného průřezu naenergii.máme-li ktypůinterakcí,každousdanouzávislostí σ=σ(e)nebo λ=λ(e),celkovýúčinnýprůřez σ c,resp.střednívolnádráha λ c,jsoutakéfunkce energie a udává je vzorec(2.9), resp.(2.10). Principem metody nulové srážky je přidánídalšíhotypuinterakce,jejížúčinnýprůřez σ 0 jeopětzávislýnaenergii, podle vztahu σ 0 (E)=K σ c (E), (2.16) kdekonstanta Kjevětšíneborovnamaximuzávislosti σ c (E).Zevztahu(2.16) je zřejmé, že celkový účinný průřez i se započítanou nulovou srážkou bude roven 12

K, a bude tedy konstantní. Tímto umělým obratem jsme splnili podmínku použití vzorce(2.15). Náhodné volné dráhy budeme generovat pomocí celkové střední volné dráhy λ, kterou získáme ze vzorce(2.7) takto: λ= 1 nk, (2.17) kde n je koncentrace center (v našem případě neutrálů). Jakmile dojdeme ke srážce, vygenerujeme náhodně, která interakce zrovna nastala. i-tá interakce nastane s pravděpodobností P i = σ i(e) K, (2.18) kde E je aktuální energie částice. Pokud dojde k nulové srážce, vygenerujeme pouze novou náhodnou volnou dráhu a částici necháme letět stejným směrem i stejnou rychlostí. 13

Kapitola 3 Cíl práce Jak už bylo uvedeno v abstraktu, předmětem práce je počítačové modelování interakce nízkoteplotního plazmatu s povrchy vnořených pevných látek. Cílem práce není však vytvořit model, který bude co nejpřesněji zobrazovat realitu, nýbrž porovnat dva různé přístupy k modelování v plazmatu selfkonzistentní a neselfkonzistentní. Prácesebudeskládatzetříhlavníchčástí.Prvnímcílemjeseznámitsesproblematikou selfkonzistentního částicového modelování pomocí jednorozměrného modelu nízkoteplotního plazmatu, do kterého je vložena rovinná sonda s kladným předpětím. Model by měl zobrazit vzniklou stínící vrstvu pomocí prostorového průběhu elektrického potenciálu a koncentrace částic. Druhá část zahrnuje taktéž jednorozměrný model nízkoteplotního plazmatu, tentokrát však se sondou tvaru válce. V nízkoteplotním plazmatu, na rozdíl od vysokoteplotního, se velmi často používají sondy jednoduchých tvarů, a proto jsou oba modely aplikovatelné s použitím konkrétních parametrů na skutečný fyzikální problém, a sice diagnostiku argonového plazmatu metodou jedné sondy. V těchto dvou částech je cílem vytvořit dva funkční modely plazmatu se zahrnutím srážek, ale se zanedbáním magnetického pole, což je zjednodušení použitelné pouze pro většinu aplikací nízkoteplotního plazmatu. Poslední částí bude dvourozměrný neselkonzistentní model se stejnou geometrií jako model v druhé části. Za pomoci selfkonzistentně vypočítaného průběhu potenciálu se pokusíme namodelovat tentýž problém pomocí stochastického přístupu metody Monte Carlo. Výstupy ze všech modelů by měly zobrazovat prostorové závislosti elektrického potenciálu a koncentrace elektronů a iontů, tedy dvou uvažovaných typů nabitých částic v argonovém plazmatu. Hlavním cílem práce bude porovnat druhý a třetí model z hlediska přesnosti a rychlosti výpočtu. 14

Kapitola 4 Popis modelů 4.1 1D model s rovinnou geometrií První model počítá s nekonečně velkou rovinnou sondou ponořenou do nízkoteplotního, neizotermického plazmatu. Sonda má určité předpětí vůči plazmatu, a elektrické pole sondy tak bude mít vliv na pohyb nabitých částic v plazmatu. Budeli mít sonda kladné předpětí, volné elektrony v plazmatu vytvoří v blízkosti sondy stínící vrstvu, tzv. sheath, který odstíní silové působení sondy. Do určité vzdálenosti od sheathu by měl vzniknout tzv. presheath, tedy oblast, kde se stále, ale velmi málo projevuje elektrické pole sondy. Za presheathem bude však pokračovat zcela nenarušené plazma. Výsledky modelu se mohou uplatnit i v případě konečně velké sondy, pokud nás nezajímají informace o plazmatu v blízkosti jejích okrajů. Geometrie modelu je znázorněna na obrázku 4.1. Z něj je zřejmé, že budou koncentrace částic nebo elektrický potenciál záviset pouze na souřadnici x. Díky symetrii lze tedy vytvořit jednorozměrný model. Obrázek 4.1: Geometrie rovinné sondy. 15

Rozehrání počátečních podmínek Před tím, než začneme v modelu hýbat částicemi, počítat elektrická pole, či vyhodnocovat srážky částic, je nutné programu zadat množství počátečních podmínek. Protože je náš model založen převážně na metodě molekulární dynamiky, je nutné znát informace o počáteční poloze všech částic ve fázovém prostoru. Tyto údaje nám však nemůže žádný přístroj změřit. Počáteční polohy a rychlosti částic tak musíme generovat jako náhodné veličiny. Do programu tedy vstupuje metoda Monte Carlo a počet pravděpodobnosti. Pokud na plazma nepůsobí žádné vnější síly, odpovídá koncentrace částic difúzní dovnici n=0. (4.1) V případě jednorozměrného rovinného modelu se jedná o obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu, jíž přidělíme Dirichletovy okrajové podmínky v místě myšlené sondy n(0)=0anakoncipracovníoblasti n(l)=n L,kdebymělabýtkoncentrace shodná s koncentrací nenarušeného plazmatu. Řešení je lineární funkce n(x)= n L L x. (4.2) Tady se projevuje hlavní nedostatek jednorozměrného rovinného modelu, a sice ostrý zlom v průběhu koncentrace na konci pracovní oblasti. Pro významné ušetření výpočetního času můžeme předpokládat, že koncentrace částic na počátku výpočtu již zaujala svoje difúzní řešení(4.2) a částice podle této funkce rozehrát do pracovní oblasti. Toto provedeme podle vztahu x i = γ i L, (4.3) kde γ i jsourovnoměrněrozdělenánáhodnáčíslavintervalu(0,1). Nyní zbývá rozehrát rychlosti. V případě, že plazma nijak neproudí, je nejpravděpodobnějším rozdělením rychlosti částic Maxwellovo rozdělení(2.1). V našem případě máme dvě komponenty, elektrony a ionty, každou s jinou teplotou, tedy dvě různé rozdělovací funkce. Pokud definujeme střední kvadratickou rychlost jako v kv = v 2 f(v)dt= můžeme rozdělovací funkci přepsat do tvaru ( 54 v 2 f(v)= exp 3 π 2 0 v 3 kv 3kT m, (4.4) v 2 v 2 kv ). (4.5) Toto rozdělení je možné pomocí počítače generovat různými způsoby. Metoda inverzní funkce, popsaná v[6], není v tomto případě aplikovatelná, protože neexistuje analytické vyjádření funkce ξ 0 f(v)dv pomocí elementárních funkcí. Další možností je využití přibližného vzorce popsaného opět v[6]: v= ln γ 1 ln γ 2 cos(2πγ 3 ) 2, (4.6) 16

kde γ i jsouopětrovnoměrněrozdělenánáhodnáčíslav(0,1).tentovzorecby byl užitečný, pokud bychom nepotřebovali znát i jednotlivé komponenty rychlosti. Ty sice můžeme získat generováním náhodného směru pomocí tzv. směrových kosinů, z hlediska rychlosti výpočtu je však tento postup nevhodný museli bychom v každé iteraci generovat 5 pseudonáhodných čísel a k tomu ještě několikrát vyhodnocovat netriviální funkce ln, cos, sin a odmocninu. Konečně třetí metoda, která už je obsažena v našich modelech, využívá skutečnosti, že jednotlivé komponenty rychlosti, která má Maxwellovo rozdělení, mají rozdělení Gaussovo. Standardní Gaussova rozdělovací funkce má tvar g(x)= 1 2π exp x2 2 (4.7) a náhodné číslo ζ, které má toto rozdělení, lze generovat opět podle[6] vzorcem ζ= 2ln γ 1 cos(2πγ 2 ). (4.8) Výsledná velikost rychlosti, složená z takových tří náhodných komponent sice bude mít Maxwellovo rozdělení, to však nebude odpovídat naší zadané střední kvadratickérychlosti.náhodnoukomponentujetřebaještěpřenásobitfaktorem v kv / 3, který určí správný rozptyl gaussovského rozdělení pravděpodobnosti. Velikost rychlosti, která bude mít správné maxwellovské rozdělení, teď získáme vypočtením velikosti vektoru složeného ze tří generovaných komponent. Tyto komponenty zároveň poslouží jako kartézské složky této rychlosti. Pohybové rovnice Newtonovy pohybové rovnice m i ri = F i, (4.9) kde indexem i číslujeme částice, lze řešit, jak je uvedeno v teoretické části, např. Verletovou metodou(2.11). V rovinné geometrii je přepis Verletovy rychlostní metody triviální. Vektory ve vzorci pouze nahradíme x-ovými složkami. Horší je to svolboučasovéhokroku t.ocitámesevsituaci,kdymámevsystémudvarůzné typy částic s řádově odlišnými středními kvadratickými rychlostmi. V tomto případě jsou i ideální časové kroky pro elektrony a pro ionty řádově odlišné. Řešením této situace je tzv. adiabatická aproximace. Pohybujeme pouze s jedním typem částicvpolidanémčásticemivklidu.pourčitédobědojdekustálenípohybu.poté vezmeme částice druhého typu a necháme je pohybovat s jejich časovým krokem v poli částic prvního typu a opět počkáme na ustálení. Celý proces opakujeme, dokud nedostaneme očekávaný výsledek. Ke správnému výsledku však lze dojít, aniž bychom čekali na ustálení. Pohybujeme prostě najednou částicemi obou typů, každou ale s jejím časovým krokem. Touto aproximací ztratíme informaci o tom, jak se systém vyvíjí v čase. Zajímá-li nás však pouze výsledný stav systému, můžeme ji použít a ke správnému výsledku dojdeme za nesrovnatelně kratší výpočetní dobu. Popsaný postup není z matematického hlediska příliš korektní, vede však k cíli, a proto se v literatuře často používá. 17

Řešení Poissonovy rovnice e x y z Kvůli výpočetní náročnosti není možné počítat silové působení všech částic navzájem a kombinovat jej se silovým působením nabité nekonečně veliké roviny, ačkoliv by byl tento přístup nejpřesnější. Zrychlení výpočtu umožní metoda PIC, zároveň však vnese do modelu další nepřesnosti, zejména absenci silového působení velmi blízkých částic. Síly působící na jednotlivé částice spočteme pomocí elektrického potenciálu. Ten najdeme jako řešení Poissonovy rovnice. Po diskretizaci času přichází tedy vtétofázinařaduidiskretizaceprostoru.pracovníoblastdélky Ljerozdělenana mstejnědlouhýchúsečekodélce x= L.Propřiblíženíznačeníkpřiloženému m zdrojovémukódučíslujmejednotlivéúsekyosy xod0do(m 1).Vkaždémtakovém úseku odečteme počet elektronů od počtu iontů, a po vynásobení získámenábojovouhustotu ρ h v h-témúseku.nynímůžemediskretizovatpoissonovu rovnici. Vztah d 2 U dx = ρ (4.10) 2 ε 0 přejde na diferenční rovnice U h 1 2U h + U h+1 ( x) 2 = ρ h ε. (4.11) Praktické je zavést Dirichletovy okrajové podmínky, kterými určíme potenciál elektrodyumístěnévbodě x=0,symbolicky U 1 = V 0 ataképotenciálnenarušenéhoplazmatu,kterýjevmémmodelurovennuleajeumístěndoposledního úseku: U m 1 = V L.Vztahy(4.11)aokrajovépodmínkydajídohromadysoustavu rovnic: 2U 0 + U 1 = ρ 0 ε ( x)2 V 0 p 0 U 0 2U 1 + U 2 = ρ 1 ε ( x)2 p 1.. (4.12) U m 4 2U m 3 + U m 2 = ρ m 3 ( x) 2 p m 3 ε U m 3 2U m 2 = ρ m 2 ( x) 2 V L p m 2 ε Vztahy(4.12) zároveň definují vektor pravých stran soustavy p, a tu tak můžemejednodušenapsatdotvaruā U=p.MaticeĀmátvar 2 1 0............ 0 1 2 1 0.. 0............. Ā=................................. (4.13).. 0 1 2 1 0. 0 1 2 1 0............ 0 1 2 18

Soustavu(4.12) můžeme analyticky vyřešit, pokud vynásobíme rovnice od poslednínahorupostupněčísly1,2,3,...,(m 1)avšechnyrovnicesečteme.Po součtu a jednoduché úpravě zůstane rovnice ( U 0 = 1 m 2 ) m p h (h+1 m). (4.14) h=0 Zprvnírovnicevsoustavě(4.12)spočteme U 1 adálepro h=2...(m 2)platí U 1 = p 0 +2U 0 (4.15) U h = p h 1 U h 2 +2U h 1. (4.16) Zbývá jen vyřešit, jaké bude elektrické pole v jednotlivých úsecích. Z diskretizacevztahu E = gradu,resp.projedenrozměr E = du,auváženívýše dx zadaných okrajových podmínek plyne E 0 = U 1 V 0 2 x E h = U h+1 U h 1 pro h=1...(m 2). 2 x E m 1 = E m 2 (4.17) 4.2 1D model s válcovou geometrií Sonda, jíž se měří parametry nízkoteplotního plazmatu, bývá často ve tvaru tenkého drátu. Jako druhé nejjednodušší uspořádání použijeme tedy válcovou geometrii, kterou znázorňuje obrázek 4.2. Sonda ve tvaru válce musí mít nekonečnou výšku. Tím je zajištěna symetrie, díky níž postačí opět jednorozměrný model.vokolísondysurčitýmpředpětímseopětvytvořísheath,nanějnavazuje presheath a dále již pokračuje nenarušené plazma. Výsledky modelu mohou být použity opět i u konečně rozměrné válcové sondy ve tvaru dlouhého drátu, pokud nás nezajímají procesy na jeho koncích. Koncentrace částic, či elektrický potenciál pak budou záviset pouze na souřadnici r, pro sestavení pohybových rovnic ve válcových souřadnicích budeme však potřebovat kroměrychlosti v r irychlost v ϕ.protožepracujemesjednoudimenzíprostorua třemi dimenzemi rychlostí, můžeme tento model označit symbolem 1d3v. Rozehrání počátečních podmínek Řešení difúzní rovnice(4.1) ve válcovém případě je složitější, než v rovinném modelu. Předpokládáme-li závislost koncentrace pouze na r, můžeme difúzní rovnici ve válcových souřadnicích napsat ve tvaru 1 r d dr ( r dn dr 19 ) =0 (4.18)

Obrázek 4.2: Geometrie válcové sondy. spočátečnímipodmínkami n(l)=0an(l)=n 0.Řešenímtétorovnicejefunkce ln r l n(r)=n 0. (4.19) ln L l K rozehrání počátečních poloh částic podle vypočtené koncentrace potřebujeme transformovat náhodnou veličinu γ, jejíž rozdělení je rovnoměrné na intervalu (0, 1). Spočítáme nejprve pravděpodobnost, že se částice nachází mezi vzdálenostmi rar+drodstředusoustavy.tutorozdělovacífunkcipolohyoznačíme f(r)abuderovnapodílupočtučásticvezmíněnévzdálenostiodstředuacelkovému počtu částic. f(r)dr = Prob {r (r, r+dr)}= dn N = = z ϕ r+dr 0 0 r z ϕ L 0 0 l ln r l n 0 rdrdϕdz ln L l ln r l n 0 rdrdϕdz ln L l 4rln r l L ( 2 2ln L 1 ) + l2dr. (4.20) l PoprovedeníintegracejsemfunkcirozvedldoTaylorovyřadyprodr 0azanedbalvšechnyčlenys(dr) n, n 2. Podle známého transformačního vztahu popsaného v[6] získáme náhodnou veličinu ξsrozdělením f(r)(4.20)nalezením ξzrovnice γ= ξ l f(r)dr. (4.21) 20

Po spočtení integrálu získáme rovnici jejímž řešením je ξ= ± γ= ξ2 ( 2ln ξ l 1) + l 2 L 2 ( 2ln L l 1 ) + l 2, (4.22) γ [ L 2 ( 2ln L l 1 ) + l 2] l 2 W ( 1 e [ ( γ l L 2 2ln L 1 ) + l 2] 1 ), (4.23) 2 l kde W(x) je tzv. Lambertova W-funkce, někdy též nazývaná Omega funkce, nebo Productlog.Tatofunkcejedefinovanájakoinverzníkfunkci f(w)=wexp wa její průběh lze zjistit numericky. V našem modelu je spočítaná pomocí Newtonovy metody, zdrojový kód pochází z[7]. Počáteční rychlosti generujeme stejně, jako v kapitole 4.1. Protože pracujeme s válcovými souřadnicemi, bude počet částic i při zachování konstantní koncentrace směrem ke středu pracovní plochy klesat. Malý počet částic však způsobí fluktuace koncentrace a potažmo i potenciálu v blízkosti sondy a je nežádoucí pro počítání potenciálu pomocí metody PIC. Proto zavedeme pro částice novou, nefyzikální vlastnost, kterou nazveme statistická váha. Pracovní oblast si rozdělíme vmístech r= r 1 a r=r 2 natřičásti.částicevoblastinejvzdálenějšíodstředu budoumítstatistickouváhu1.částicezprostředníoblastibudoumítváhu 1 2, což znamená poloviční náboj a hmotnost. Jejich počet tak musí být dvojnásobný. Podobněčásticevoblastinejblížekelektroděbudoumítstatistickouváhu 1 4,a tedy i čtvrtinový náboj a hmotnost. Tímto umělým obratem dosáhneme lepšího statistického souboru částic, a tudíž i výsledků s menším šumem. Pokud částice přejdezoblastidáleodelektrodydooblastiblížekelektrodě,rozdvojísenadvě částice s váhou dvakrát menší, než měla částice původní. Pokud přejde rozhraním opačným směrem, s pravděpodobností 0,5 zmizí. Řešení pohybových rovnic Pohybové rovnice budeme řešit podobně, jako u rovinné sondy, pomocí Verletova algoritmu. Převodní vztahy pro válcové a kartézské souřadnice jsou x = rcosϕ y = rsin ϕ (4.24) z = z. Kinetickou energii T částice o hmotnosti m ve válcových souřadnic můžeme vyjádřit jako Zobecněné rychlosti jsou T= 1 2 m ( ṙ 2 + ϕ 2 r 2 + ż 2). (4.25) v r = ṙ v ϕ = ϕr (4.26) v z = ż. 21

Sílapůsobícínačásticejeradiální.Prosložkyzobecněnésíly Q i budetedyplatit Q r = f(r) Q ϕ = Q z = 0. (4.27) Nyní si napíšeme pohybové rovnice. Z Lagrangeových rovnic 2. druhu ( ) d T T dt q j q j= Q j (4.28) plyne po úpravě dv r dt dv ϕ dt dv z dt = f(r) m + v2 ϕ r = v rv ϕ r = 0 (4.29) Rychlostní Verletův algoritmus(2.11) můžeme tedy přepsat do válcových souřadnic pro model typu 1d3v takto: r(t+ t) = r(t)+v r (t) t+ 1 2m f(t)( t)2 v r (t+ t) = v r (t)+ f(t)+f(t+ t) t+ v2 ϕ (t) 2m r(t) t v ϕ (t+ t) = v ϕ (t) v r(t)v ϕ (t) t r(t) v z (t+ t) = v z (t) (4.30) Řešení Poissonovy rovnice Pro vyřešení Poissonovy rovnice potřebujeme znát nábojové hustoty v jednotlivých úsecích daných metodou PIC. Každá částice přispívá k celkové nábojové hustotě ve svém úseku adekvátně ke svému náboji. Zde je nutné započítat i statistickou váhu částic, která zmenšuje v oblasti blízké středu soustavy náboj jednotlivých částic. Sesumovaný náboj v každém úseku je ještě třeba vydělit objemem daného úseku, který už ve válcové symetrii není konstantní. Když máme spočítané nábojové hustoty, můžeme přejít k řešení Poissonovy rovnice ve válcových souřadnicích, která má tvar d 2 U(r) + 1 du(r) = ρ(r). (4.31) dr 2 r dr ǫ 0 Podobně jako u rovnice(4.11) můžeme rovnici(4.31) přepsat na diferenční vztahy U i 1 2U i + U i+1 + 1 U i 1 + U i+1 ( r) 2 r i 2 r = ρ i ǫ 0. (4.32) Povynásobení( r) 2 aúpravě r i = i rdostanemerovnice ( 1 1 ) ( U i 1 2U i + 1+ 1 ) U i+1 = ρ i ( r) 2. (4.33) 2i 2i ǫ 0 22

DáleuvážímeDirichletovypočátečnípodmínky.Proindexy a < b; a, b N zavedemepodmínky U a = V a a U b = V b.budenászajímatprůběhpotenciálumezi těmitodvěmabody,ataksizrovnic(4.33)vyberemepouzeněkteréazapíšemeje do matice Ā. V maticové symbolice tedy dostaneme soustavu rovnic Ā= Ā U=p 2 1+ 0,5 0............ 0 a+1 1 0,5 2 1+ 0,5 0. a+2 a+2. 0............................................... 0 1 0,5 2 1+ 0,5 0 b 3 b 3. 0 1 0,5 2 1+ 0,5 b 2 b 2 0............ 0 1 0,5 U= U a+1 U a+2... U b 3 U b 2 U b 1, p= kdeprovektorpravýchstranpplatí p a+1 ( 1 0,5 a+1) Va p a+2... p b 3 p b 2 p b 1 ( 1+ 0,5 b 1) Vb b 1 2,, (4.34) p i = ρ i ǫ 0 ( r) 2. (4.35) Soustavu vyřešíme tak, že jednotlivé rovnice od poslední vynásobíme postupně koeficienty K i, i=(b 1),(b 2),...,(a+1)arovnicesečteme.Pokudnajdeme koeficienty správně, zůstane nám po sečtení rovnic vztah, pomocí něhož lze spočítat U a+1.zvolíme K b 1 =1.AbyseodečetlyčlenysU b 1,musíprodalšíkoeficient platit 2 1+ ( 1+ 0,5 b 2 ) K b 2 =0. (4.36) DáleabyseodečetlyčlenysU i,musíplatitrekurentnívzorec ( 1 0,5 ) ( K i+1 2K i + 1+ 0,5 ) K i 1 =0. (4.37) i+1 i 1 Tímtomámezadányvšechnykoeficienty K i apovynásobení,sečtenívšechrovnic soustavy(4.34) a malé úpravě získáme vztah b 1 ( (K i p i ) K a+1 V a 1 0,5 ) ( V b 1+ 0,5 ) a+1 b 1 U a+1 = i=a+1 K a+2 ( 1 0,5 a+2 23 ) 2Ka+1. (4.38)

Zbylé U i spočtemepodlevztahu(4.33). Intenzitu elektrického pole spočítáme podobně, jako u rovinné geometrie přepsáním gradientu ve válcových souřadnicích na diferenční rovnice. Výsledkem budou rovnice analogické s(4.17). 4.3 2D neselfkonzistentní model s válcovou geometrií Interakci plazmatu s elektrodou lze modelovat i přístupem založeným více na metodě Monte Carlo. V literatuře(např.[6]) se často hovoří o tzv. transportním problému. Neselfkonzisentním přístupem však nemůžeme získat průběh potenciálu, ten je třeba dodat jako vstupní parametr modelu. Budeme předpokládat, že přidáním jedné částice do systému nijak významně nenarušíme elektrické pole, či jiné makroskopické veličiny v pracovní oblasti. Dále budeme mít k dispozici průběh elektrického potenciálu v prostoru, který získáme buď z teoretických výpočtů, nebo z výpočtů selfkonzistentního modelu, jak tomu je v této práci. Z tohoto jediného údaje můžeme pomocí neselfkonzistentního modelu získat o systému všechny další potřebné informace, jako je rozdělení koncentrace nabitých částic, energetické rozdělení, nebo elektrický proud v elektrodě. Do pracovní oblasti pošleme částice jednu po druhé s rychlostmi, které získáme předem ze zdroje částic. Jejich pohyb v pracovní oblasti bude ovlivněn zadaným elektrickým polem a srážkami, které modelujeme podobně jako v selfkonzistentním modelu. Příklad takových trajektorií vykreslených neselfkonzistentním modelem je na obrázku 4.3. V pravidelných časových intervalech zapisujeme veličiny, které nás zajímají, jako např. energii částic nebo jejich polohu, což je případ našeho modelu. Z průletu jedné částice pracovní oblastí tak můžeme získat desítky souřadnic. Aby byly zapisované souřadnice nezávislé, musí mezi dvěma po sobě jdoucími zápisy proběhnout alespoň několik srážek. Ze získaných údajů pak získáme např. prostorové rozložení koncentrace daného typu částic v pracovní oblasti. Příklad podobnéhomodelujev[8],kdejezkoumánvlivsrážekvsheathunaiontovýproud v elektrodě za použití teoreticky zadaného potenciálu. V dalším podobném článku [9] můžeme najít popis modelu, který se, stejně jako my, zabývá sheathem kolem elektrody s kladným předpětím, avšak při vyšších tlacích a s magnetickým polem. 4.4 Zdroj částic V obou selfkonzistentních modelech počítáme s proměnným počtem částic. Na začátku si zvolíme počet částic tak, aby výsledky modelu nebyly příliš zašuměné a zároveň aby výpočet netrval příliš dlouho. Optimální počet částic samozřejmě velmi záleží na rychlosti hardwaru, velikosti operační paměti a mnoho dalších parametrech, včetně optimalizace samotného modelu. Pro použitou konfiguraci se ukázalo vhodné použít dva miliony částic od každého znaménka(tedy čtyři miliony dohromady). Během výpočtu mnoho částic opustí pracovní plochu a tyto ztráty je nutné kompenzovat opačným tokem částic, tedy z vnějšku do pracovní oblasti. Tuto část 24

Obrázek 4.3: Trajektorie nabitých částic za různých tlaků při předpětí sondy +10V.Dopracovní oblasti spoloměrem0,5cmbylo posláno50elektronů a 50iontůAr +,poloměrsondy100 µm,ekvipotenciálypo1v.tlaka:133pa, b:13,3pa,c:1,33pa,d:0,133pa. modelu nazýváme zdrojem částic a pro jeho realizaci je v zásadě možné použít různé algoritmy. Předpokládáme-li maxwellovské rozdělení rychlosti částic vně pracovní oblasti, budou dovnitř létat částice s tzv. tokem Gaussova rozdělení rychlosti ve směru kolmém k hranici pracovní oblasti. Ve směrech rovnoběžných s hranicí oblasti bude rozdělení složek rychlosti zachováno, tedy zůstane gaussovské. Vkolmémsměrukhranicipracovníoblasti(směr xvrovinnéasměr rveválcové konfiguraci) budou mít částice rychlosti odpovídající toku Gaussova rozdělení, které lze generovat pomocí analyticky spočítaného vzorce v = v kv 2 ln γ, (4.39) 3 25

kde v kv jestředníkvadratickárychlostdefinovanávztahem(4.4)aγjerovnoměrně rozdělené náhodné číslo z intervalu(0, 1). V našich modelech byla však použita obecnější varianta zdroje. Pokud by částice vně pracovní oblasti měly jiné rozdělení rychlostí než Maxwellovo, je velmi pravděpodobné, že by nebylo možné analyticky spočítat vzoreček pro generování toku takového rozdělení. Z tohoto důvodu lze nezávisle na hlavním programu namodelovat ještě část nenarušeného plazmatu o určitém počtu částic v objemu, který navazuje na pracovní oblast. Zde můžeme sledovat rychlosti částic dopadajících na styčnou plochu zdroje s pracovní oblastí a v okamžiku, kdy k takovému dopadu dojde, započítat částici do pracovní oblasti. Ať už mají částice ve zdroji jakékoliv rozdělení rychlosti(ovlivněné třeba i srážkami ve zdroji), je zaručeno, že do pracovní oblasti budou částice přilétat s tokem tohoto rozdělení v souřadnici kolmé na hranici pracovní oblasti. V případě neselfkonzistentního modelu lze postupovat stejně, pouze s tou změnou, že zdroj spustíme na začátku modelu(nikoliv paralelně s modelem) a do zásobníku si načteme rychlosti požadovaného počtu částic, které potom do pracovní oblasti posíláme jednu po druhé. 26

Kapitola 5 Výsledky 5.1 Parametry modelů V modelech jsem počítal s nízkoteplotním argonovým plazmatem, jehož součástí byly pouze elektrony a ionty. Teplota částic byla zadávána nepřímo pomocí střední kvadratické rychlosti, převodní vztah je(4.4). Celková střední volná dráha je součtem středních volných drah jednotlivých srážkových procesů pro daný typ částice, včetně nulové srážky(kapitola 2.5). V tabulce 5.1 jsou shrnuty všechny důležité parametry, které byly v modelech použity. název parametru Společné parametry Tabulka 5.1: Parametry modelů. typ částice hodnota hmotnost e 9,10938 10 31 kg Ar + 6,68173 10 26 kg středníkvadratickárychlost e 5 10 5 m.s 1 Ar + 5 10 2 m.s 1 celkovástřednívolnádráha e 1,179 10 4 m Ar + 2,824 10 5 m časovýkrok e 1 10 12 s Ar + 1 10 9 s koncentracevnenarušenémplazmatu e 1 10 15 m 3 Ar + 1 10 15 m 3 tlak plazmatu 133 Pa Rovinný model délka pracovní oblasti 1 cm početčástic e 2 10 6 Válcový model Ar + 2 10 6 poloměr pracovní oblasti 1 cm poloměr elektrody 100 µm 27 pokračování na další straně

pokračování z předchozí strany název parametru typ částice hodnota početčástic e 2 10 6 Neselfkonzistentní válcový model Ar + 2 10 6 poloměr pracovní oblasti 1 cm poloměr elektrody 100 µm 5.2 Selfkonzistentní modely Výstupy ze selfkonzistentních modelů jsou tři průběh koncentrace elektronů, iontů a průběh potenciálu. Na obrázku 5.1 můžeme vidět a srovnat koncentrace elektronů a iontů v závislosti na vzdálenosti x od elektrody v rovinné konfiguraci. Difúzní řešení koncentrace (4.2) je lineární funkce vzdálenosti od elektrody. Na obrázku také vidíme lineární závislosti obou koncentrací až do oblasti, kde začíná sheath. Zde jsou už trajektorie částic ovlivněny elektrickým polem. Ionty(červená barva) jsou vyháněny, zatímco elektrony jsou přitahovány k elektrodě, a tak v oblasti sheathu výrazně převládá koncentrace elektronů nad koncentrací iontů. 1e+015 8e+014 6e+014 n [m -3 ] 4e+014 2e+014 koncentrace elektronu koncentrace iontu 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 Obrázek 5.1: Koncentrace částic v rovinné konfiguraci v závislosti na vzdálenosti od elektrody při předpětí +10 V. x [m] Rovinné uspořádání však příliš neodpovídá realitě právě kvůli lineární závislosti koncentrace. Za pracovní oblastí by totiž mělo být nenarušené plazma, jehož koncentrace je konstantní pro elektrony i pro ionty. Pokud bychom ale zvolili delší, 28

resp. kratší pracovní oblast, koncentrace by opět rostla lineárně, a tak bychom pro různé délky pracovních oblastí v daných místech nedostali srovnatelné koncentrace částic. V tomto ohledu se jedná samozřejmě o zjednodušení, protože v praxi nemůže existovat nekonečně velká rovinná elektroda. Válcová konfigurace je z tohoto hlediska věrohodnější, protože na konci pracovní oblasti nedochází k tak velkému zlomu(skoku 1. derivace). Zcela přesně lze však v jednorozměrném modelu získat řešení pouze pro kulovou sondu. Obrázek 5.2 ukazuje stejnou závislost pro válcovou konfiguraci. Koncentrace částic opět přibližně sledují difúzní řešení až do oblasti, kde začíná sheath. Zde se významně zvětší koncentrace elektronů a naopak sníží koncentrace iontů. Elektrony, kromě toho, že jsou přitahovány k elektrodě jejím elektrickým polem, jsou také hnány stále do menšího objemu. Proto dochází k tak velkému nárůstu koncentrace. V blízkosti elektrody se však musí koncentrace vždy blížit nule, což je také na výsledném grafu částečně patrné. 1e+015 8e+014 6e+014 n [m -3 ] 4e+014 2e+014 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 r [m] koncentrace elektronu koncentrace iontu y(x) Obrázek 5.2: Koncentrace částic ve válcové konfiguraci v závislosti na vzdálenosti od elektrody při předpětí +10 V. Graf na obrázku 5.3 ukazuje, že průběh potenciálu v sheathu pro rovinnou a válcovou konfiguraci je kvalitativně odlišný. Souvisí to s výše zmíněným efektem. Protože koncentrace elektronů ve válcovém modelu tak rychle stoupá a dosahuje číselněmnohemvyššíchhodnot,nežjetomuvpřípaděrovinnésondy,musíbýti druhá derivace potenciálu větší. Sheath je proto oproti rovinné konfiguraci znatelně kratší. 5.3 Neselfkonzistentní model Abychom mohli srovnávat přesnost selfkonzistentního a neselfkonzistentního modelu, zvolil jsem takový počet vyslaných částic, aby celkový počet zaznamena- 29

10 potencial pri rovinne konfiguraci potencial pri valcove konfiguraci 8 6 U [V] 4 2 0 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 Obrázek 5.3: Srovnání průběhu potenciálu v rovinné a válcové konfiguraci v závislosti na vzdálenosti od elektrody. r [m] ných poloh byl srovnatelný s počtem částic v selfkonzistentním válcovém modelu, tedy2milióny.přičasovémkroku1 10 12 saintervaluzaznamenávánípolohy 1,1 10 9 sbylotřebavypustit58000částic.výslednýpočetzaznamenanýchpoloh byl 2036554, tedy podobný jako u selfkonz. modelu. Výstup z neselfkonzistentního modelu je na obrázku 5.4. Stejný model byl napsán i pro nalezení koncentrace iontů, tentokrát však bez úspěchu. Ionty mají oproti elektronům velmi malou teplotu. Přestože jsem v selfkonzistentním modelu počítal s velkým počtem částic, je výsledný potenciál zatížen šumem. V selfkonzistentním modelu není tento šum na obtíž, protože z každé nové polohy částic počítáme nový potenciál. V neselfkonzistentním modelu je to však podstatný problém, především pro částice s malou teplotou, jako jsou ionty. Zatímcoelektronyšumsvojírychlostí rychlepřeletí,pohybiontůješumemvelice ovlivněn, a proto nelze takovým způsobem jejich pohyb řešit. Pro ukázku uvádím obrázek 5.5, na kterém je koncentrace iontů spočítaná pro nulový potenciál. V tomto případě koncentrace přibližně zaujímá svoje difúzní řešení(4.19). V tomto modelu jsem vypustil do pracovní oblasti 100000 iontů s časovým krokem1 10 9 saintervalemzaznamenánípolohyčástice2 10 6 s.celkovýpočet zaznamenaných poloh byl 3749687, což je číslo vyšší, než u elektronů, přesto jsou patrné větší fluktuace. Zvlnění na okraji pracovní oblasti je skutečně náhodného charakteru a ukazuje, že srážky mají na ionty větší vliv, než na elektrony. Dalším výstupem z neselfkonzistentního modelu jsou trajektorie částic na obrázku 4.3. Při nižších tlacích odpovídají trajektorie bezesrážkovému plazmatu a je dobře vidět vliv elektrického pole na jejich pohyb. Naopak při vyšších tlacích, se kterými počítáme v této práci, mají srážky výrazný vliv na pohyb částic. 30

1e+015 8e+014 6e+014 n [m -3 ] 4e+014 2e+014 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 r [m] koncentrace elektronu Obrázek 5.4: Koncentrace elektronů z neselfkonzistentního válcového modelu při předpětí +10 V. 1e+015 8e+014 6e+014 n [m -3 ] 4e+014 2e+014 0 koncentrace iontu, neselfkonzistentni model, nulovy potencial 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 r [m] Obrázek 5.5: Koncentrace iontů z neselfkonzistentního válcového modelu při nulovém potenciálu. 5.4 Srovnání modelů Srovnání přesnosti výpočtů pro elektrony ukazuje obrázek 5.6. Pro elektrony jsou fluktuace mimo sheath srovnatelné při podobném počtu částic, resp. zazname- 31

naných poloh. V oblasti sheathu je neselfkonzistentní model méně přesný z toho důvodu, že nepočítáme se statistickými vahami. Ve větší části presheathu je koncentrace u neselfkonzistentního modelu vyšší, než u selfkonzistentního. Tento jev neumím bohužel vysvětlit. Počet částic je, jak už jsem uvedl, vyšší u neselfkonzistentního modelu, ne však tak výrazně aby to způsobilo tento efekt. Tato nepřesnost není však podstatná také proto, že normování koncentrace částic proběhlo na počet částic a s předpokládanou logaritmickou závislostí danou difúzním řešením (4.19). Proto může malá chyba vzniknout i při normování, neboť koncentrace částic v sheathu už dále nekopíruje difúzní řešení. Pro elektrony je přesnost neselfkonzistentního modelu postačující, záleží však na přesnosti dodaného potenciálu. Je samozřejmě možné dodat teoretickou závislost potenciálu, jako např. v[8] nebo[9]. Teoretické vztahy jsou však vypočtené za určitých zjednodušení, která nemusí být pro některé problémy akceptovatelná. Pro ionty se tento typ neselfkonzistentního modelu ukázal nepoužitelný, při použití teoretické závislosti by to však v principu možné bylo. 1e+015 8e+014 6e+014 n [m -3 ] 4e+014 2e+014 0 koncentrace elektronu, neselfkonzistentni model koncentrace elektronu, selfkonzistentni model 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 r [m] Obrázek 5.6: Srovnání výpočtu koncentrace elektronů selfkonzistentním a neselfkonzistentním modelem. Další kritérium srovnání je strojový čas. U selfkonzistentního válcového modelu jsemměřilprůměrnoudobu,zakterousevypočítá1časovýkrokvzávislostina počtu částic v modelu. Výsledek je na obrázku 5.7 a zobrazuje lineární závislost. DíkypoužitímetodyPICbyzávislostpodle[6]mělabýt O(N log N).Tato závislost by se však projevila jen při velkém rozmezí hodnot N, neboť při změnách počtu částic v modelu bývá obvyklé měnit i dělení pracovní oblasti pro metodu PIC a toto dělení právě vede na přídavnou logaritmickou závislost. Dále jsem měřil, jakou měrou přispívají jednotlivé části selfkonzistentního modelu k celkovému strojovémučasupřipočtučásticjednohotypu5 10 5.Výsledekjsemznázornildo diagramu na obrázku 5.8. 32