Speciální teorie relatiity Speciální teorie relatiity (dále jen STR) znikla r. 95 a zabýá se zejména měřením událostí kdy, kde se staly a jak jsou zdáleny prostoru a čase. Dále se zabýá tím, jak transformoat ýsledky takoýcto měření mezi ztažnými soustaami, jež se zájemně poybují. Zabýá se jen inerciálními soustaami, na rozdíl od obecné teorie relatiity, jež znikla později. Proč lastně znikla TR? Předeším díky zjištění, že ryclost sětla nezáisí na relatiní ryclosti zdroje sětla ůči pozoroateli a je stále konstantní zledem k pozoroateli. V r. 95 fyzikoé předpokládali, že sětlo se šíří díky přítomnosti jakési nemotné látky nazýané éter, podobně jako je tomu u zuku, který potřebuje zduc. Předpokládalo se, že pokud se sětlo šíří éteru ryclostí c, pak by pozoroatel poybující se ůči éteru naměřil jinou ryclost sětla než pozoroatel klidu. Např. na obrázku by pozoroatel A měl naměřit ryclost sětla ronu odnotě c. ( doání sětelnou lnu). Takoým poybujícím se pozoroatelem měl být eperimentátor na zemi, která se poybuje kosmickým prostorem na sé pouti kolem slunce. Tento eperiment proedli Micelson a Morley roce 88 a 887. Fyzikoé měřili ryclost sětla e směru poybu země, proti směru poybu země a kolmo pomocí interferometru (sestrojenéo Micelsonem popis na str. 975 [], na konci kapitoly 36 Interference ). Zjistili ale, že e šec směrec se sětlo poybuje stejně rycle. Tento fakt (kromě jinýc) edl k postupnému opuštění předstay éteru. A. Einstein byl prní, kdo přijal princip konstantní ryclosti sětla jako skutečný a objektině eistující a yodil z něj důsledky. Při konstrukci sé teorie zaedl tyto postuláty (postulát je něco, co přijmeme jako základní nezpocybnitelný fakt): Postulát ryclosti sětla ryclost sětla e acuu má stejnou elikost c e šec směrec a e šec inerciálníc ztažnýc soustaác a nezáisí na ryclosti zdroje. To zároeň znamená, že c je nejětší dosažitelná ryclost přírodě (pro částice s nuloou klidoou motností). Postulát relatiity fyzikální zákony jsou stejné (jejic ronice mají stejný matematický tar) pro pozoroatele e šec inerciálníc ztažnýc soustaác. Žádná soustaa není preferoána. Testoání TR z Viz str. 8 []. Pro informaci. Měření událostí Události (např. rozsícení žároky, ýbuc,...) budeme měřit takto: pozoroateloě inerciální soustaě sestrojíme praoúlou mříž z tyčí po jednom metru. Každý průsečík tyčí pak osadíme přesně jdoucími y syncronizoanými odinami. Pokud dojde k nějaké události, pak zaznamenáme její souřadnici, y, z a čas t na odinác nejbližšíc k místu události. A "éter" c (zledem k éteru)
Současnost (kap. 38.4 []) Předstate si, že máme da pozoroatele e dou raketác. V okamžiku, kdy se budou míjet, dojde k ýbucu dou náloží mezi oběmi raketami předu a zadu. Čela sětelnýc záblesků od ýbuců dostinou pozoroatele č. e stejnou dobu. Ten pak zjistí měřením, že se nacázel přesně uprostřed sé lodě. Proto usoudí, že k událostem došlo e stejném čase současně. Pozoroatel č. šak dojde k jinému záěru. Sětlo z ýbucu předu totiž letí proti poybu jeo lodě a dostine jej dříe, než sětlo ze zadní události (které o musí doánět). Ze stop na lodi zjistí, že stál také uprostřed, ale protože záblesky k němu nedorazily e stejném čase a on í, že sětlo se jeo raketě šíří stejnou ryclostí šemi směry usoudí, že události Pozoroatelé, kteří se zájemně poybují, naměří časoý interal mezi děma událostmi obecně různě elký. Tento časoý interal záisí na tom, jak jsou tyto události od sebe prostoroě zdáleny prostoroá a časoá odlelost je proázána. Uedeme příklad: Pozoroatel č. jede lakem ryclostí. Má žároku, zrcadlo na stropě a detektor se stopkami. Mezi ysláním sětla žárokou a dopadem odraženéo sětla od stropu mu uběne čas: D t () = nenastaly současně! Přesto mají oba pozoroatelé pradu. Pozn.: od záblesků se šíří čelo lny to je pouze jedno obou soustaác pozorují pozoroatelé jedno a totéž čelo lny. Relatiita času (kap. 38.5 []) c Tutéž akci pozoruje pozoroatel č. na nádraží. Prní událost (yslání sětla) idí dejme tomu na začátku nádraží, událost druou (dopad sětla na detektor) idí na konci nádraží. Aby mol zrcadlo žároka (událost ) detektor (událost ) t odiny D L D L. t t. odiny. odiny měřit čas, potřebuje da pozoroatele se děma syncronizoanými odinami. Pro pozoroatele č., stojícío na nádraží, se sětlo šíří také ryclostí c. Naměří proto dobu:
L t =, kde L = t + D (). c Dosadíme-li za D = t.c/ ze ztau (), pak dostaneme: L = t + c t Po yloučení L ze ztaů () získáme zta mezi časoými interaly: t t = c Vidíme, že pozoroatelé naměří různé doby mezi týmiž děma událostmi. Pošiměte si, že čas t bude ždy ětší než čas t, protože < c. Nastáají-li dě události na stejném místě jisté inerciální soustaě, pak časoý interal mezi nimi, měřený této soustaě, se nazýá lastní časoý interal nebo lastní doba a je nejmenší. Označujeme jej indeem nula. Měření proedené jinýc soustaác dá ždy ětší ýsledek. Pozoroatel č. tedy měří lastní časoý interal a pozoroatel č. měří časoý interal, který je ětší. Toto zětšení nazýáme dilatací času. Veličinu β = c býá zykem označoat jako ryclostní parametr. Výraz γ = se nazýá Lorentzů faktor. Pro <,c je γ, a dilatace času je β tomto případě prakticky neměřitelná. Pozn.: z lediska jedoucío pozoroatele č. neměl pozoroatel č. na nádraží sé odiny spráně syncronizoané z jeo poledu ukazoaly drué odiny ětší čas než by měly! Pro dilataci času tedy můžeme psát: t = γ. t. Pozoroatelé poybující se ůči sobě se totiž nesodují tom, co je současné. Testy dilatace času byly proáděny na mikroskopické i makroskopické úroni (rozpad poybujícíc se subatomárníc částic, atomoé odiny letadlec). Relatiita délky (kap. 38.6 []) Co se stane, pokud budou pozoroatelé č. a měřit např. délku nástupiště? Pozoroatel č. změří nástupiště jednoduše metrem a naměří tz. lastní délku L (lastní proto, že je nástupiště ůči němu klidu). Může to ošem udělat také tak, že použije sýc syncronizoanýc odin a změří dobu t za kterou lak (místo, kde sedí pozoroatel č.) projede kolem nástupiště. Dostane tutéž stejnou odnotu: L =. t. Musí tedy znát ryclost. Čas t není lastním časem, neboť je měřen na různýc místec. Pozoroatel č. e laku musí udělat podstatě totéž. Zaznamená čas událostí kdy míjí začátek a konec nástupiště a délku si ypočte také z ryclosti: L =. t Čas t má inde nula, protože je pro něj lastním časem měří jej odinami na jednom a témže místě sé soustay (sedí stále u séo přístroje). Míjení začátku a konce nástupiště jsou z poledu pozoroatele č. soumístné události! Díky eistenci dilatace času mají změřené doby zta t = γ. t. 3
Zkombinujeme-li ýše uedené ronice, dostaneme: L L L L L = ; = L = t t γ. t t γ Zjišťujeme, že poybující se pozoroatel č. naměří ždy menší délku nástupiště než stojící pozoroatel č., protože je γ = >. Tedy L < L. V tomto případě mluíme o tz. β kontrakci délky předmětů či zdáleností (např. zdáleností dou těles prostoru). Opět označujeme indeem nula lastní (nejětší) délku. Kontrakce délek nastáá jen e směru poybu! Lorentzoa transformace (kap. 38.7 []) y soustaa S y soustaa S.t událost Souřadnice y a z nejsou poybem e směru osy oliněny budeme se proto zabýat pouze souřadnicemi, t,, t. Před Einsteinem se předpokládalo, že zta souřadnic poybujícíc se sousta je dán Galileoými transformacemi: = t t = t (platí za předpokladu, že počátky sousta S a S čase t = t = splýají) Předpokládalo se, že čas běží pro oba pozoroatele (obě soustay) stejně. Dnes íme, že spráné transformační ronice moou být odozeny z relatiistickýc postulátů a nazýají se Lorentzoy transformační ronice: = γ ( t) y = y kde γ = = β z = z t = γ t c je Lorentzů faktor. c Lorentz je ododil již před Einsteinem, ale neyodil z nic důsledky a záěry. Prostor a čas je zájemě proázán. V případě, že je ryclost zanedbatelná e sronání s ryclostí sětla c, nebo pokud by c, redukují se na klasické Galileoy ronice. Zpětné Lorentzoy transformace se dají snadno ododit z předcozíc: = γ ( + t ) t = γ t + c 4
Často nás zajímá rozdíl souřadnic páru událostí: =, t = t t =, t = t t. Pak můžeme lece ododit Lorentzoy transformace pro dojici událostí: = γ ( + t ) = γ ( t) t = γ t + t = γ t c c Některé důsledky z Lorentzoýc ronic (kap. 38.8 []) ) Současnost Z ronice t = γ t + plyne, že nastanou-li soustaě S současně ( t = ) dě c události na různýc místec ( ), nebudou současné soustaě S. (iz případ dou raket a ýbuců) ) Dilatace času Pokud nastanou postupně po sobě soustaě S na tomtéž místě dě události ( t, = ), pak z ronic dostaneme: t = γ. t. Interal t je měřen jednom místě soustay S (jde se o soumístné události) a proto je to lastní časoý interal t. Pak dostaneme z ronic ýraz t = γ. t, což je přesně ýraz pro dilataci času, tak jak jsme jej ododili na příkladu laku jedoucío nádražím. 3) Kontrakce délky Tyč leží ronoběžně s osami a a je zledem k soustaě S tyč klidu. Rozdíl souřadnic jejíc konců bude tedy lastní délka tyče: L =. Pozoroatel soustaě S změří tutéž tyč tak, že témže čase ( t = ) zaznamená polou obou konců e sé souřadné soustaě získá souřadnice, a délka tyče mu yjde L = =. Z ronice L = γ ( t) dostaneme = γ. = L = γ. L L =, což je ýraz odozený γ předminulé kapitole. Relatiistické skládání ryclostí (kap. 38.9 []) Žároka se poybuje ryclostí u soustaě S a zároeň ryclostí u zledem k S. Da záblesky zároky jsou dě y S y S události. Zajímá nás, jakou dráu urazila žároka mezi těmito událostmi. V soustaě S to bude, t,t t,t soustaě S to bude. Čas, který uplyne mezi událostmi bude t a t : Použijeme L. ronice pro dojice událostí: = γ ( + t ) t = γ t + c Pak ryclost žároky jednotliýc soustaác ypočteme jako: u = a u =. t t Po dosazení L. ronic do ztau pro ryclost u dostaneme: +. t u + u = =.. u t + + c c Toto je zta pro relatiistické skládání ryclostí. (klasické skládání je u = u + ) 5
Dopplerů je pro sětlo (kap. 38.9 []) Jistě znáte Dopplerů je pro zuk: frekence přijímanéo zuku záisí na ryclosti zdroje i přijímače zledem ke zducu (čili k médiu, němž se lna šíří). U sětla (elektromagnetickýc ln) je tomu jinak: zde záisí Dopplerů je pouze na zájemné ryclosti zdroje a přijímače. Sětlo nepotřebuje žádné médium šíří se i e akuu. Pro zdalující se zdroj platí: f = f β + β Pro přibližující se zdroj platí: + β f = f, β kde f je lastní frekence zdroje (frekence ysílače jeo klidoé soustaě). Vztay sobě zarnují i dilataci času. Je-li f < f, ooříme o tz. rudém posuu (protože je λ > λ a bara iditelnéo sětla se posouá směrem k čerenému konci spektra). Je-li f > f, mluíme o modrém posuu. Praktické yužití: doppleroské policejní radary, astronomie. Příčný dopplerů je Je unierzálním projeem dilatace času, zniká případě, kdy se zdroj lnění poybuje kolmo ůči detektoru (tj. nepřibližuje ani nezdaluje se). Pak platí: zdroj f = f β Příčný dopplerů je je dalším testem dilatace času. Pro periodu kmitů ysílače totiž platí: T = γ.t, kde γ =, β = β c Hybnost relatiitě V klasické fyzice platí zákon zacoání ybnosti (např. při srážce těles) pro pozoroatele e šec inerciálníc soustaác. Aby tento zákon fungoal i relatiitě, bylo nutno zaést noou definici ybnosti (fyzikoé mají rádi eličiny, které se zacoáají při interakcíc uzařenýc soustaác). Proto noá definice ybnosti: p = γ m. Ze ztau plyne, že pro c se ybnost blíží nekonečnu. Veličina m je zde motnost měřená klidoé soustaě ( některé literatuře značená bez indeu ) a nazýá se klidoá motnost. Veličina γ m se pak označuje jako relatiistická motnost m (bez indeu). Energie relatiitě Pokud použijeme ýraz pro relatiistickou ybnost na ýpočet energie potřebné k uryclení tělesa na ryclost (integrací síly podél dráy), získáme zta pro kinetickou energii: E k = m c ( γ ). detektor Pro malé ryclosti se tento zta redukuje na klasický n n( n ) binomické ěty ( + ) n = + + +... )!! Ek = m. (lze ukázat pomocí 6
Pokud zta upraíme: E k k mc mc = mc = m c γ γ m c = E + = E Dostaneme známý zta, jenž interpretujeme jako yjádření faktu, že celkoá energie poybující se částice se skládá z členu m c, jenž se nazýá klidoá energie částice a z členu E k, což je kinetická energie. Celkoá energie je pak rona součinu relatiistické motnosti m a c. Klidoá energie částice může být přeměněna na jinou formu energie (přičemž částice zanikne) a naopak. Ze ztau E = mc je též přímo idět ekialence moty a energie energie má sou motnost. Zákon zacoání motnosti (uzařenéo systému) je tedy jen jiným yjádřením zákona zacoání energie. Hmotnost i energie uzařenéo systému se zacoáá. Hybnost a kinetická energie V klasické mecanice se často užíá zta mezi ybností a energií částice: p = Ekm. V relatiitě lze takoý zta také najít, nebude již ošem tak jednoducý. Vyjdeme ze základníc ronic E = γ mc = γ E, p = γ m. : γ E ( γ ) + E = ( mc ) ( ) E 4 4 c c ( γ ) + E = p E = p E E = E + E = E γ + 4 p c = γ γ E + + c ( pc) E E = + Záěr Na záěr nutno uést, že předpoědi Einsteinoy teorie relatiity (např. zpomaloání codu poybujícíc se odin) ydržely šecny možné testy, které se dosud podařilo ymyslet a edly k lubšímu a uspokojiějšímu poledu na podstatu prostoru a času. 7
Moderní fyzika Kantoá fyzika se snaží popsat subatomoý sět, který leží mimo naší obyklou zkušenost a je plný neuěřitelnýc jeů. Zároeň kantoá fyzika dokáže odpoědět na otázky jak sítí ězdy, proč jsou prky seřazeny tak, jak se objeují periodické tabulce, jak pracuje tranzistor, proč koy edou elektřinu a jiné látky ne, a mnoo dalšíc. Pokrýá celou cemii četně biocemie. Sětlo (kap. 39. []) V 9. století konečně fyzikoé pracně prokázali, že sětlo je elektromagnetické lnění a je součástí širokéo elektromagnetickéo spektra, které se rozprostírá od γ-záření až po dloué rádioé lny. Počátkem. století šak některé eperimenty začaly ukazoat, že še nebude tak jednoducé. V r. 95 narl Einstein ypotézu, že při emisi nebo absorpci sětla atomem se předáá energie diskrétně po malýc celýc částec kantec. Od roku 96 se tole kantum nazýá foton. Podle Einsteina je energie přenášená fotonem E =. f, kde f je frekence lnění, je Planckoa konstanta, = 6,63. 34 Js. 34 (Redukoaná Planckoa konstanta je = =,54. Js) π Je, který přiměl fyziky měnit fyziku byl fotoelektrický je. Fotoelektrický je (kap. 39.3 []) akuum Na čistý ko (zaný katoda K) umístěný e acuu dopadá sětlo. To yráží z kou elektrony, které budou K dopadat na druou (neosětlenou) elektrodu, jíž nazeme A anoda A. Takoé zařízení se nazýá akuoý fotočlánek. Zapojíme-li jej podle obrázku, budou elektrony nějším odičem přitékat zpět do katody a ampérmetr zaznamená U I fotoelektrický proud I. Pomocí zdroje napětí a potenciometru můžeme nastait na anodě záporné napětí. To ytoří mezi katodou a anodou elektrické pole, kterým A můžeme elektrony letící z katody brzdit, případně zcela zabrzdit tak, až úplně přestanou na anodu dopadat. Fotoelektrický proud I zanikne. Napětí při kterém proud práě V potenciometr dosáne nuloé odnoty nazýáme brzdné napětí U b. Je zřejmé, že nejryclejší elektrony se těsně před anodou zabrzdí a rátí se zpět ke katodě.nejětší kinetická energie elektronů tedy bude: E = e. [J], kde e je náboj elektronu. kinma U b baterie okénko sětlo Pozn.: V částicoé fyzice se mnoem častěji použíá jednotka energie elektronolt [ev]. Je to energie, kterou získá elektron uryclením elektrickém poli na dráze procázející potenciáloým rozdílem Volt; ev =,6. -9 J. Zjistilo se, že pro sětlo dané frekence nezáisí E kinma na intenzitě zdroje sětla. Silné, slabé sětlo ždy stejná odnota energie elektronů. Pouze je jic íce, nebo méně. To nelze ysětlit podle klasické fyziky, kde elektromagnetická lna má ětší amplitudu při silnějším osětlení a předpoklá se tedy, že elektrony od ní získají ětší energii (lna je rozkmitá s ětší amplitudou). Ono to ošem tak není. Pokud ale interpretujeme sětlo jako proud částic fotonů s určitou energií, pak maimální energie, kterou elektron může získat je rona energii jednoo fotonu. Při silnějším osětlení je pak fotonů (a yraženýc elektronů z katody) íce a je ětší proud. 8
Další zajímaou ěc zjistíme, když budeme měnit frekenci f dopadajícío sětla. Napětí U b bude totiž záiset na frekenci. Záislost bude přímkoá a naíc bude eistoat jistá minimální praoá frekence f pod níž již fotoelektrický je nenastáá. Je tomu tak nezáisle na intenzitě dopadajícío sětla. To je ošem další záada pro klasickou fyziku: přece nezáisle na tom, jaká je frekence pokud dodáme dost energie, tedy dostatečně intenziní sětlo by měl být elektron emitoán. Ale není tomu tak. Eistenci praoé frekence šak můžeme opět ysětlit předpokladem přenosu energie fotony: pro yražení elektronu z kou je zapotřebí určitá minimální energie Φ, které se říká ýstupní práce. Pokud energie fotonu přesauje tuto energii, dojde k emisi elektronu, a její přebytek (po odečtení ýstupní práce) se projeí jako kinetická energie yraženéo elektronu. Pokud E fotonu < Φ nedojde k emisi. Na základě uedenýc skutečností Einstein sestail pro fotoje ronici: Ronice se dá uprait na tar: f = E kinma +Φ f = U. e +Φ Φ Ub = f e e což je ronice přímky pro proměnné f a U b. Pro různé koy je ýstupní práce různá, takže grafy pak ypadají např. takto: U b cesium Hybnost fotonů (kap. 39.4 []) V roce 96 Einstein ysloil předpoklad, že fotony mají ybnost a ta se též předáá po diskrétníc kantec. Jeden foton tedy nese ybnost: f p = = c λ (zta můžeme lece získat tak, že pro foton dosadíme do ronice ( ) ( ) b draslík E = pc + m c jeo klidoou motnost ta musí být rona nule, protože foton po předání sé energie zaniká) Potrzení einsteinoa ztau přišlo o 7 let později. V r. 93 proedl Artur Compton z Wasingtonoy unierzity St. Louis eperiment s rozptylem fotonů na ulíkoém terči. Uspořádání eperimentu bylo následující: U b [ V] 3 4 6 8 f sodík litium 5, 5, 5,4 5,6 5,8 6, 6, 4 f [. Hz] detektor 4 f [. Hz] RTG záření kolimační štěrbiny Terč (ulík) rozptýlené RTG záření Primární paprsek byl tořen RTG zářením s prakticky jedinnou lnoou délkou λ = 7, pm. 9
Měřením rozptýlenéo RTG záření bylo zjištěno, že se skládá z íce lnoýc délek se děma ýraznými píky (maimy) intenzitě. Prní pík je na lnoé délce λ, která se roná lnoé délce primárnío paprsku, druý pík leží na lnoé délce λ, jež je ětší. Rozdíl těcto lnoýc délek λ = λ λ, nazýaný Comptonů posu, přitom záisí na úlu rozptylu ϕ. Na obrázku je ueden průbě intenzity rozptýlenéo paprsku záislosti na lnoé délce pro úel ϕ = 35. Pro klasickou fyziku to byla záada: podle ní je RTG záření elmag. lna, elektrony terči se díky ní rozkmitají a opět by měly yzařoat lnu se stejnou frekencí do šec směrů. Compton eperiment ysětlil následujícím způsobem: při srážce docází k přenosu energie a ybnosti z fotonu RTG záření na olně ázaný elektron ulíkoém terči. Pro ybnost a energii fotonu použil Einsteinoy ztay. Foton lnoé délky λ má energii: E = f = elektron = Elektron získá při srážce s fotonem část energie a zbytek se yzáří jako jiný foton s energií: c E =. f =, λ přičemž f < f, protože energie fotonu λ je menší. Tento rozptyl se nazýá Comptonů. Při ýpočtu yjdeme ze zákona zacoání energie: f = f +, kde kinetická energie elektronu E k = γ mc mc = mc ( γ ). Dosazením do předcozí ronice dostaneme: f = f + m c ( γ ) c λ E k = + mc( γ ) λ λ Dále použijeme ektoroě zákon zacoání ybnosti ( ronice pro složky a y ), kde za ybnost fotonu dosadíme p = λ a ybnost elektronu p = γ m : = cosϕ + γ θ λ λ m cos (e směru osy ), = sinϕ γ sinθ λ m (e směru osy y ). Z ronic yloučíme a úel θ (nezajímají nás), a dostaneme zorec pro Comptonů posu, který přesně soulasí s eperimentálními ýsledky: λ = λ λ = ( cosϕ) m c Pozn.: pík λ zniká roněž díky Comptonou rozptylu na peně ázanýc elektronec blízkosti jádra jedná se lastně o rozptyl na atomu, jeož motnost je krát ětší než motnost elektronu λ je krát menší a proto neměřitelný. y elektron
Sětlo jako lna praděpodobnosti (kap. 39.5 []) V roce 8 ukázal popré T. Young, že sětlo je lnění. Pak dokázal Mawell poloině 9. století, že to je lnění elektromagnetické poay. V r. 95 šak přišel A. Einstein s ysětlením fotoefektu pomocí ypotézy, že sětlo je zároeň proud jakýcsi částic kant energie. Došlo se tedy k jakémusi podinému dualismu, kdy je zároeň pradou obojí... Nejpodinější bylo ošem zjištění, že interferenční eperimenty fungují i tedy, budeme-li zmenšoat intenzitu sětla tak, že na stínítko dopadají postupně jednotlié fotony. Na stínítku z fotocitliéo materiálu znikne po dopadu fotonu tečka, nebo pokud použijeme citliý detektor zaregistrujeme pulz. Kam konkrétně foton dopadne nedokážeme předem určit, a to fyziky elmi deprimuje. Po nějakém čase ale zjistíme, že fotony častěji dopadají do míst, kde jsou interferenční maima a téměř nedopadají do míst minim. To ošem znamená, že intenzita sětla je něco jako praděpodobnost, jež určuje fotonům kam mají dopadat! Posíláme opakoaně jeden foton nějakým systémem, a on dopadá na různá místa s praděpodobností, která se řídí interferenčními zákony lnění! Nabízí se tedy ysětlení, že sětlo je lastně jakási lna praděpodobnosti, která interferuje, odráží se, atd. a určuje praděpodobnost dopadu fotonu za jednotku času nějakém místě. Velikost této praděpodobnosti je úměrná intenzitě sětla (tj. ýkonu dopadajícímu na m ), která je, jak známo z nauky o lnění, úměrná čterci amplitudy lny tedy drué mocnině intenzity elektrickéo pole. Jednofotonoou erzi pokusu s dojštěrbinou proedl r. 99 G. I. Taylor. Zdroj sětla byl natolik slabý, že další foton emitoal dlouo po dopadu předcozío. Pokus probíal několik měsíců a na fotografickém stínítku se postupně ytořily interferenční proužky složené z teček míst dopadů jednotliýc fotonů. Jak foton í, že se aparatuře yskytuje druá štěrbina a že má interferoat? Kterou štěrbinou lastně prošel? Neíme eperiment, který by to ukázal nelze proést, protože bycom narušili dráu fotonu a interference by neznikla. Vypadá to, že fotony se projeují jen při interakci sětla s motou. Mezi zdrojem a cílem POSTULUJEME, že foton se šíří jako lna praděpodobnosti, která difraktuje a interferuje nezáisle na tom, jak je zdroj silný či slabý. Klasická fyzika nenabízí žádné ysětlení. jediná molekula Z dráa dráa dělič sazku ± zapisoač četnost det. Jednofotonoou širokoúlou erzi interferenčnío pokusu proedli r. 99 Ming Lai a Jean-Claud Diels na unierzitě Noém Meiku tomto uspořádání: Úel θ byl zolen elmi elký téměř 8. Dělič sazku je možno posouat rozsau ± 5 µm. Po průcodu oběma dráami interferuje sětlo detektoru (fotonásobič scopný detekoat jednotlié fotony), jeož ýstupem jsou pulzy. Molekula Z emituje fotony dostatečně dlouo po sobě. Naskýtají se otázky: Po jaké dráze se foton poybuje? Po prní nebo po drué? Nebo po obou draác současně? Kantoá fyzika předpokládá, že molekula ysílá při přecodu energetickýc ladin lnu praděpodobnosti do šec směrů. Tento pokus lastně zorkuje lnu ze dou téměř protilelýc směrů. Záěr: ) sětlo zniká e zdroji jako foton ) zaniká detektoru jako foton 3) prostorem se poybuje jako lna praděpodobnosti Zatím nejlepší interpretace...
Elektrony a de Broglieo lny (kap. 39.6 []) V roce 94 francouzský fyzik Louis de Broglie narl e sé doktorské disertační práci (!), že pokud fotony jsou doproázeny lnou praděpodobnosti, tak by tomu molo být i u ostatníc částic moty: moli bycom je poažoat za lny moty. Narl použít einsteinů zta p = λ i pro jiné částice (např. elektrony). Hmotným částicím tedy přiřazujeme tz. de Broglieo lnoou délku: λ=. p Eperimentální potrzení přišlo r. 97 od C. J. Daissona a L. H. Germera z Belloýc laboratoří a P. Tomsona z Aberdeenské unierzity e Skotsku. V r. 989 byl proeden pokus s dojštěrbinou pro elektrony. Stínítko je zde z materiálu, jaký se použíá u TV obrazoek (luminofor). Na obrázku prao je zřetelně idět, jak se po dopadu několika tisíc elektronů postupně objeuje interferenční obrazec se sětlými a tmaými proužky. To je šak je, který zniká pouze při interferenci ln. Znamená to, že každý elektron (o němž jsme se dříe domníali, že je téměř bodoou částicí) prošel zařízením jako de Broglieo lna. Ta interferoala a na stínítku určila praděpodobnosti dopadu elektronů do různýc míst. Podobné interference byly pozoroány i pro další mikročástice, dokonce i pro celé atomy. Se zětšoáním objektů se šak tato lnoá poaa stáá postupně nepozoroatelnou, protože lnoá délka se rycle zkracuje a dostááme se do našeo známéo nekantoéo sěta. Další je, který dokazuje lnoou poau moty, je difrakce elektronů a neutronů krystaloé mřížce (podobně jako difrakce RTG záření, jež je elektromagnetickou lnou). sazek elektronů tenký krystalický zorek fluorescenční stínítko difrakční kroužek Difrakční obrazec pro RTG záření Difrakční obrazec pro elektrony V současné době je lnoá podstata moty % prokázána a elektrony a neutrony se běžně použíají ke studiu moty na atomární úroni.
Scrödingeroa ronice (kap. 39.7 []) Pokud tedy eistují lny moty, musí být možnost je matematicky popsat lnoou funkcí. Ukazuje se, že tato funkce musí být komplení (aby ycázely ještě jiné ěci). Označujeme ji elkým písmenem psí: Ψ(, y, z, t). V jednorozměrném případě ypadá takto: j( ωt k) j( ωt + k) jωt Ψ(, t) = A.e + B.e = ψ ( ).e, () -jk jk kde ψ ( ) = A.e + B.e je prostoroě záislá část lnoé funkce Ψ(, t). Ve šec případec se kterými budeme pracoat můžeme takto separoat časoou a prostoroé proměnné. Funkce ψ () je lastně amplituda lny, která záisí pouze na poloze prostoru. Jaký je ýznam lnoé funkce? Víme, že intenzita sětla (ýkon dopadlý na m ) nějakém místě je úměrná drué mocnině amplitudy intenzity elektrickéo pole E. Intenzita sětla je úměrná počtu dopadlýc fotonů a jejic počet je zase úměrný praděpodobnosti dopadu fotonu na dané místo. Podobně tomu musí být u de Broglieo ln: praděpodobnost dopadu (nebo detekce) částice je úměrná ψ, kde ψ je elikost amplitudy lnoé funkce místě dopadu částice. ψ je nezáporná, a proto může mít fyzikální smysl, na rozdíl od funkce ψ ta je komplení. Veličinu ψ nazýáme ustota praděpodobnosti je to praděpodobnost detekce částice určitém místě za jednotku času, ztažená na jednotku objemu (rozměr [m -3 s ]). Platí často užíaný zta ψ = ψ. ψ *. (ězdička znamená kompleně sdružená ) Jak najdeme lnoou funkci pro konkrétní případ? Vlnoé funkce obecně jsou ždy řešením nějaké lnoé diferenciální ronice. Je třeba zdůraznit, že potřebujeme ronici, která by řešila poyb (či eistenci ) částice nějakém konzeratiním siloém poli. Například elektron poli jádra atomu. Pro konzeratiní siloé pole platí zákon zacoání mecanické energie: E = E kin + E p. Pokud na počátku ložíme částici do pole s celkoou energií E, bude její kinetická energie záiset na její poloze prostoru, protože potenciální energie E p je funkcí souřadnic. V r. 96 narl rakouský fyzik Erin Scrödinger lnoou ronici, jejímž řešením je práě lnoá funkce popisující de Broglieo lnu. Scrödingeroa ronice je kantoé fyzice základem, nelze ji ododit z nějakýc základnějšíc principů podobně jako Newtonů poyboý zákon či Mawelloy ronice. Pro poyb částice jednom rozměru ypadá ronice takto: d ψ m + [ E E ( ) ]. ψ = p, () d kde: = je redukoaná Planckoa konstanta π m je motnost částice. Na prní poled ronice () příliš nepřipomíná klasickou lnoou ronici: u u = (3) t Pokud ale dosadíme komplení lnoou funkci () do této ronice, pak zjistíme, že po proedení deriací se e jω t ykrátí, a zůstane nám ronice: d ψ ω + ψ = (4) d 3
Takže, aby mola být funkce () řešením lnoé ronice (3), je nezbytně nutné, aby byla prostoroě záislá část ψ () řešením ronice (4). Z klasické mecaniky šak íme, že pro fázoou ryclost a lnoou délku platí ztay: = ω/k, k = π/λ. Pro lnoou délku de Broglieo lny zase platí: λ = /p, ybnost částice můžeme yjádřit pomocí kinetické energie: p = mek a kinetickou energii yjádřit jako E E p (). Použitím a dosazením šec těcto ztaů do ronice (4) dostaneme Scrödingerou ronici (). Řešení této ronice ψ () pak popisuje amplitudu jakési zláštní stojaté de Broglieo lny, jež carakterizuje eistenci částice daném siloém poli. Proeďme zkoušku: řešme Scrödingerou ronici pro olnou částici, tj. částici na níž nepůsobí žádné siloé pole: E p () =. Její celkoá energie proto bude E = m : d ψ m +. = d m ψ, -jk jk m Řešením je funkce ψ ( ) = A.e + B.e, kde k =. Konstanta k je lnoé číslo (úloý lnočet), takže lnoá délka této lny musí být λ = π k. Dosadíme-li za k, dostaneme pro lnoou délku: = π λ m =, p což je práě de Broglieo lnoá délka lny moty, takže ronice skutečně dáá spráný ýsledek. Pokud se částice poybuje např. zlea dopraa, pak je B = a dostaneme -jk amplitudu praděpodobnostní lny: ψ ( ) = A.e. Praděpodobnost ýskytu částice je pak: ψ * jk jk * jk + jk ( e )( e ) = A ( e )( e ) = A e = = ψ. ψ = A A Vidíme, že pro olnou částici ycází ψ konstantní, nezáislá na souřadnici. Jinými sloy, praděpodobnost, že detekujeme částici m 3 je stejná celém prostoru, jenž je yplněn roinnou (de Broglieo) lnou příslušné částice. + Tuneloý je (kap. 39.9 []) Ep = mgb Předstate si, že máte bezeztrátoý míček, který ázíte E = m y / + mg proti betonoé zdi. Míček se přitom poybuje y graitačním siloém poli a zeď o ýšce může b překonat pouze případě, že součet jeo okamžité m kinetické a potenciální energie je ětší, než jeo potenciální energie odpoídající ýšce zdi. Ve sětě atomů a částic je analogií zdi potenciáloá bariéra o ýšce E p, jež je tořena nějakým siloým polem. Částice (např. elektron), pokud letí bariérou, m e musí překonáat sílu tooto pole místec a L E p (uažujeme jednorozměrný a idealizoaný případ). V E = E k + E p ostatníc místec osy je síla nuloá. Aby se částice dostala přes bariéru, tak na rozdíl od nám známéo makrosěta, nemusí být nutně její energie E L ětší než energetická ýška bariéry. Částice občas (s nenuloou praděpodobností) projde A (praděpodobnost) 4
skrze siloé pole, aniž by k tomu měla dostatek energie. Tomuto jeu se říká tuneloání. Částice, která neprojde se odrazí zpět. Kantoá fyzika popisuje je tak, že částice, která je de Broglieo lnou, prodělá částečný odraz, část prosákne bariérou a s nenuloou praděpodobností a ocitne se na drué straně. Matematicky k tomu můžeme dojít řešením Scrödingeroy ronice pro tři oblasti osy : ( ; ), ( ; L) a (L ; + ). Konstanty, které se řešení objeí, musíme pak určit tak, aby řešení funkce ψ() byla ladká (spojitá četně deriace) bodec a L. Veličina ψ () nám pak určuje praděpodobnost ýskytu částice. Její průbě je na obrázku. ) leo od bariéry idíme stojatou lnu praděpodobnosti zniklou složením lny dopadající a částečně odražené ) unitř bariéry je eponenciální pokles praděpodobnosti 3) prao od bariéry je prošlá lna s malou, konstantní amplitudou, což odpoídá olně letící L částici. Jinými sloy: praděpodobnost ýskytu částice prao je sice malá, ašak nenuloá. Praděpodobnost průcodu částice bariérou určuje tz. koeficient průcodu T : κl m( Ep E) T e, kde κ =. Ve zorci je eponenciála, takže tato praděpodobnost elmi silně záisí na šířce bariéry a dále i na motnosti částice a rozdílu energetické ýšky bariéry a energie částice. Tuneloý je má mnoo praktickýc důsledků např. tuneloé diody s elmi ryclou odezou, tuneloý rastroací mikroskop (iz str. 47 []). Pomocí tuneloéo jeu ysětluje kantoá fyzika též například radioaktiní rozpad. Potenciáloá jáma, potenciáloá past (kap. 4.3 []) Zacytíme poybující se elektron do jednorozměrné pasti, která bude tořena třemi álcoými elektrodami připojenými na potenciály, a opět oltů (iz obrázek). V = V V E p Pro potenciální energii elektronu můžeme nakreslit graf jako funkci poloy elektronu. Máme tedy lastně nekonečně lubokou potenciáloou jámu (protože jsme na elektrody připojili nekonečně elké napětí z důodu jednoducosti řešení Scrödingeroy ronice). Elektron z této jámy nemůže uniknout. Budeme-li pro tento případ řešit Scrödingerou ronici, zjistíme, že lnoá funkce elektronu má tar interalu ; L : a interalu nπ ψ n( ) = Asin, kde n =,, 3,... L ; L : ψ ( ) = n L L L Je zajímaé, že tato funkce má naprosto stejný tar jako funkce popisující stojatou lnu na 5
struně upeněné na koncíc. Z mecaniky íme, že stojatá lna může zniknout na struně jen tedy, je-li délka struny rona celočíselnému násobku poloin lnoé délky. Naskýtá se tedy analogie: elektron může eistoat této potenciáloé jámě pouze takoém stau, kdy lnoá délka jeo doproodné lny splňuje tuto podmínku. Vypadá to, jako kdyby částice moty byla jakási rezonance de Broglieo lny potenciáloé dutině. Pro lnoou délku musí tedy platit: L λ = n Dále použijeme de Broglieo zta pro lnoou délku: λ = =, kde E = m p me k Protože unitř potenciáloé jámy je E p =, je celkoá energie elektronu E = E k a dostaneme: L λ = = me n k. En ml n 8 n =,, 3,... Zde se popré setkááme s faktem, že elektron (obecně jakákoli částice) může potenciáloé pasti eistoat pouze e staec s přesně definoanou energií. Rozměr pasti a motnost částice přitom oliňuje její elikost. Energie může nabýat pouze určitýc diskrétníc odnot danýc číslem n, jež nazýáme kantoým číslem. Ve staec s jinou energií částice eistoat nemůže. Ke změnám energii částice může docázet např. yzářením nebo polcením fotonu. Ten ale musí mít energii E f =.f ronající se přesně rozdílu energetickýc ladin mezi kterými probíá přecod. Tato změna energie se nazýá kantoý skok nebo přecod. Energioé ladiny značíme indeem odpoídajícím kantoému číslu. Hladina E je nejnižší možná energie částice a nazýá n= se základní sta. Ostatní ladiny n= E, E 3,... jsou ecitoané stay. Průběy amplitudy a kadrátu / amplitudy de Broglieo ln pro prní tři stay jsou nkresleny na obrázku. n= n= Hustotu praděpodobnosti ýskytu elektronu místě pak určíme jako: nπ ψ n( ) = A sin, L kde n =,, 3,... Platí pro interal ; L. = Mimo něj je ψ ( ). n Praděpodobnost, že elektron se nacází interalu souřadnice ( ; + d) je potom rona ψ ( ) d. n / / n=3 n=3 L Amplituda stojaté lny 3 Hustota praděpodobnosti 6
Vidíme tedy, že elektron se potenciáloé jámě yskytuje některýc místec s ětší praděpodobností a některýc s menší až nuloou praděpodobností! Konstantu A e lnoé funkci musíme určit normoáním. Vycázíme z too, že: + ψ ( ) n d = (praděpodobnost, že elektron je někde od do + je jistota, tedy ). Další zajímaá ěc je, že částice se nemůže jámě yskytoat e stau s nuloou energií. Nejmenší kantoé číslo je totiž. (Pokud bycom dosadili za n =, pak by yšel integrál + ψ ( ) n d =, což lastně znamená, že elektron jámě není.) Kantoé systémy mají ždy nějakou minimální energii tz. energii základnío stau. Vázaná částice nemůže být nikdy klidu! Volná částice ano. Jak ypadá situace případě jámy konečné loubky? Řešení Scrödingeroy ronice by bylo podstatně složitější a ýsledkem jsou průběy ustoty praděpodobnosti na obrázku prao. Vidíme důležitý rozdíl oproti nekonečně 5 luboké jámě: Hustota praděpodobnosti je nenuloá i oblasti < a > L. Částice (elektron) tedy může proniknout i stěnami jámy a může se yskytnout místec, kde by podle klasické mecaniky být neměla, protože k tomu nemá dostatečnou energii (je to podobné 5 tuneloému jeu). Další rozdíl je, že staů s diskrétní energií může být jen několik pokud bycom dodali částici energii ětší než je loubka potenciáloé jámy, částice unikne a stane se olnou. 5 3 n= 5 n= 5 n=3 5 E =,9 ev 5 5 5 E =,6 ev E = 3 4,5 ev Příklady elektronoýc pastí: Nanokrystaly z poloodičoéo materiálu iz kapitola 4.5 [] a obrázek 4.8. Kantoé tečky poloodičoá struktura, která se coá jako umělý atom může uěznit elektrony iz str. 64 []. Kantoé pasti jsou e skutečnosti 3-rozměrné. Řešením Scrödingeroy ronice bycom zjistili, že lnoá funkce musí být přizpůsobena každému ze tří rozměrů zlášť. To znamená, že máme kantoání nezáisle zledem k šířce L, délce L y i ýšce L z pasti. A máme pak 3 různá kantoá čísla. Energie pak záisí na šec kantoýc číslec a je rona součtu energií, které by částice měla, kdyby byla zacycena samostatně jednorozměrnýc pastíc s rozměry L, L y či L z. (podrobně kap. 4.6 []) L 7
Atom odíku (4.7 []) Atom odíku zaměstnáal fyziky na přelomu 9. a. století. Záadou bylo zejména to, že atom při ybuzení (např. e ýboji) ydáá sětlo pouze určitýc diskrétníc lnoýc délek. Poté co Einstein přišel s ysětlením, že sětlo (elmag. lnění) se předáá po kantec nesoucíc energii f to ypadalo, že elektron atomu přecází mezi peně danými energetickými ladinami a foton odnáší rozdíl těcto ladin. To určuje jeo baru - lnoou délku. Naíc podle teorie elektromagnetickéo pole měl elektron obíající kolem kladnéo jádra ysílat elektromagnetické lny, tím yzářit eškerou energii a spadnout do jádra. Hmota by pak nemola eistoat e formě jak ji známe. Problém yřešilo (pomineme-li dočasné řešení Borů model) až použití Scrödingeroy ronice, která šak znamenala obroský zlom e ýoji fyziky. Jádro atomu odíku proton je lastně potenciáloá past pro elektron. Drží o pasti pomocí Coulomboy síly. Elektron je tak ázán na určitou část prostoru, není olnou částicí. Při řešení Scrödingeroy ronice se postupuje takto: ) sestaíme zta pro potenciální energii elektronu a protonu. Z elektrostatiky plyne: Q. Q Ep 4πε r 6 4 E p [ev] 4 6 r [pm] e Ep = 4πε r Nuloou ladinu potenciální energie olíme Základní sta pro r. Vidíme, že potenciáloá jáma je sféricky (kuloě) symetrická. 3 ) sestaíme Scr. ronici, do které dosadíme E p. Musíme ošem použít 3-rozměrný tar ronice, nelépe e sférickýc souřadnicíc. 3) řešíme ronici: matematikoé zjistili, že fyzikálně přijatelné řešení eistuje pouze pro určité odnoty celkoé energie E dané ztaem: E n me 3,6 = = [ ev], n =, 8ε n n 4, 3,... m je motnost elektronu, e náboj elektronu, ε permitiita akua. 4) Ve lnoýc funkcíc, jež jsou řešením Scr. ronice pro tyto energie, se yskytují tři celočíselné parametry: n, l a m l. Nazýají se kantoá čísla. Každý soubor kantoýc čísel (n, l, m l ) určuje tar lnoé funkce danéo stau soustay jádro-elektron. Jsou to: n l laní kantoé číslo. Určuje energii stau. orbitální kantoé číslo. Energie stau na něm nezáisí, ale jak se později ukázalo, určuje elikost momentu ybnosti danéo stau m l magnetické kantoé číslo. Souisí s orientací ektoru momentu ybnosti prostoru. Kantoá čísla moou mít pouze následující odnoty: n =,, 3,... l =,,,..., n m l = l, (l ), (l ),...,,, +,..., +(l ), +(l ), +l Výsledek řešení pomocí Scrödingeroy ronice byl elmi přesědčiý zejména tom, že přímo, bez jakýckoli dodatečnýc podmínek, dáá doolené odnoty energie, které potrzují laboratorní měření. Energie může nabýat pouze určitýc diskrétníc odnot danýc 8
laním kantoým číslem n. Ve staec s jinou energií elektron eistoat nemůže ronice prostě nemá rozumné řešení (řešení dierguje pro r ). Energioé ladiny značíme indeem odpoídajícím kantoému číslu. Hladina E je nejnižší možná energie a nazýá se základní sta. Ostatní ladiny E, E 3,... jsou ecitoané stay. Ke změnám energii elektronu může docázet např. yzářením nebo polcením fotonu. Ten musí mít energii E f = f přesně ronou rozdílu energetickýc ladin mezi kterými probíá přecod. Změna je skokoá a říkáme jí kantoý skok nebo přecod. Přecod na yšší ladinu se nazýá ecitace. V ecitoaném stau neydrží elektron dlouo a brzy přecází opět na nižší ladinu, což se nazýá deecitace. Pro frekenci emitoanéo (absorboanéo) sětla tedy platí tz. Boroa frekenční podmínka: f = E yšší E nižší Při měření proto můžeme e spektru ydáanéo nebo polcoanéo sětla najít tz. emisní nebo absorpční čáry (diskrétní lnoé délky). Všecny deecitace (seskoky z yššíc ladin), které končí na stejné ladině, nazýáme série. U odíku jsou pojmenoány podle sýc objeitelů. Série jsou yznačeny na diagramu energioýc ladin na obrázku prao. U dané série znamená rana konec diskrétní části spektra. Od této lnoé délky je spektrum již spojité, protože elektron je olný (má energii ětší než ev) a jeo energie proto není kantoána může nabýat jakékoli (kinetické) energie. Jak ypadají lnoé funkce příslušející kantoým číslům? Např. pro základní sta atomu odíku (n =, l =, m l = ) je: a r ψ ( r) =. e, kde ε a = = 5,9 m 3 π a πme a je tz. Borů poloměr jakýsi efektiní poloměr atomu. Sama lnoá funkce ψ fyzikální ýznam nemá. Ten má až kadrát její elikosti ψ (r), jenž udáá ustotu praděpodobnosti. Můžeme si ji zobrazit pomocí bodoéo grafu, kde ustota teček odpoídá ustotě praděpodobnosti. Nejětší je u jádra. Praděpodobnost too, že se elektron nacází objemoém elementu dv e zdálenosti r od jádra ypočteme jako ψ ( r) dv. Protože ψ záisí pouze na r, je odné olit objemoý element dv jako kuloou slupku oraničenou poloměry r a r + dr: a r d V = 4πr. dr 4 Pak ψ ( r) d V = e r.dr = P( r). dr 3 a je praděpodobnost, že se elektron nacází na poloměru r interalu dr. Výraz P(r) nazýáme radiální ustotou praděpodobnosti. 4 6 8 4 E [ev] Lymanoa série spojité spektrum Balmeroa série rana série Pascenoa série rana série n 6 5 4 3 rana série Bodoý graf ustoty praděpodobnosti 9
Musí platit normoací podmínka: + P( r) d r =. (praděpodobnost ýskytu elektronu e zdálenosti od do je jistota) Nakreslíme-li průbě radiální ustoty praděpodobnosti do grafu, uidíme, že elektron se nacází s nejětší praděpodobností e zdálenosti roné práě Borou poloměru. 3 P( r) [. /pm] 5 Borů poloměr a 5 5 5 Uedené skutečnosti jsou ostrém rozporu s klasickou předstaou obíajícío elektronu kolem jádra a předstaují moderní myšlenkoý model atomu (mnoem bližší realitě než model orbitální). Elektron neobíá jádro! Atom základním stau lze pokládat za rozmazanou kouli bez ostře definoané ranice a bez jedinéo náznaku orbit. Atomy, elektrony a ostatní subatomární částice prostě nejsou malé kuličky poybující se po definoané dráze. Stay atomu odíku s n = r [pm] a) Bodoý graf ustoty praděpodobnosti pro n =, l =, m l =. Je sféricky symetrický. b) n =, l =, m l = ±. Graf již není sféricky symetrický. Jde o jakýsi prstenec. c) n =, l =, m l =. Graf je rotačně symetrický podle osy z. Všecny tyto tři stay a) až c) mají stejnou energii (ta záisí na n) a nemůžeme je od sebe u izoloanéo atomu eperimentálně odlišit! Všecny stay s jedním kantoým číslem n nazýáme slupka. Stay s jedním kantoým číslem l nazýáme sournně podslupky. Např. stay s n =, l = jsou tři (m l = +, a ), doromady toří podslupku a můžeme je odlišit pouze tedy, když atom umístíme do elektrickéo nebo magnetickéo pole. Doromady toří šecny kantoé stay na obrázcíc a) až c) slupku určenou jedinným kantoým číslem n =. Ta je kuloě symetrická, protože pokud sečteme ustoty praděpodobnosti těcto staů, dostaneme sféricky symetrickou praděpodobnost. Můžeme si pak předstaoat, že elektron tráí ždy třetinu času jednom z těcto tří staů.