Relativita I příklady

Transkript

1 quation Chapter 1 ection 1 Relatiita I příklad 1 Mion Zadání: Doba žiota mionu (těžkého elektronu) je Δτ = 10 6 s Mion nikl e ýšce h = 30 km nad porchem Země interakcí kosmického áření s horními rstami atmosfér a dopadl na Zem Jakou musel mít minimální rchlost při niku? Řešení: Mion b podle klasické fik neměl na porch Země ůbec dopadnout protože se dříe ropadne na normální elektron a neutrino Z hlediska pooroatele na Zemi je ale mion pohblié soustaě a doba jeho žiota se prodlužuje na Δt = γ Δτ Mion proto může ulétnout až dálenost h cδt = cγ Δτ Z tohoto tahu počteme rchlost kterou musí minimálně mít: c Δτ c 1 = c (1) h Příklad le také řešit soustaě spojené s mionem jako kontrakci dálenosti kterou musí mion ulétnout Interal Zadání: Dokažte že interal mei děma událostmi je e šech souřadnicoých soustaách stejný Řešení: Předpokládejme že se odehrál dě události A a a každá je popsána čtřmi prostoročasoými údaji nějaké souřadnicoé soustaě počtěme interal soustaě a soustaě Ukážeme že obě hodnot jsou stejné V platí A A A A Δ s = c ( t t ) + ( ) + ( ) + ( ) () Interal přepíšeme pomocí přírůstků které určíme Lorento transformace Pro interal ted máme t = γ( t / c ) = γ( t) = = (3)

2 Δ s = c Δ t +Δ +Δ +Δ [ γ ] Δ s = c γ( Δt Δ / c ) + ( Δ Δ t) + Δ +Δ Po ronásobení se ýra úměrné Δ Δ t ruší a bude (4) γ ( ) γ ( ) γ ( ) γ ( ) Δ s = c Δt Δ + Δ + Δ t +Δ +Δ c Nní sloučíme člen s Δ a Δ t k sobě: s γ ( c ) t γ Δ = Δ + 1 Δ +Δ +Δ c Vužijeme-li definici koeficientu γ máme okamžitě Δ s = Δ + Δ + Δ c Δ t = Δ s (5) Interal mei oběma událostmi je proto e šech souřadnicoých soustaách stejný 3 lektron Zadání: lektron je urchlen napětím U = 10 6 V Určete jeho rchlost klasického i relatiistického ýrau pro kinetickou energii a ýsledk poronejte Řešení: lektron obou případech urchlením íská kinetickou energii W = QU (6) k V klasickém případě je 1 Wk QU Wk = m = = m m = 1 98 c (7) V relatiistickém případě je m0c Wk = γ m0c m0c = c 1 m0c QU + = 094c (8) Nerelatiistický ýra ted jeně nemůžeme tomto případě použít ede k rchlostem pohbu elektronu šším než je rchlost sětla 4 lunce Zadání: Jak se mění hmotnost lunce a jeden rok dík jeho ařoání? Intenita slunečního áření nad atmosférou Země je I = 14 kw/m hmotnost lunce je kg dálenost Země od lunce je d = km Řešení: Hmotnost se mění o Δm = Δ/c = PΔt /c = 4πd I Δt/c ~ kg (9) lunce přicháí o anedbatelný lomek sé celkoé hmotnosti

3 5 Dopplerů je (na přednášce) Zadání: Odoďte relatiistický Dopplerů je pomocí transformace lnoého čtřektoru (k k k ω/c) Zkuste se amslet nad tím proč docháí k Dopplerou jeu i tehd kdž droj pooroatele jen míjí a jejich dálenost se nemění (t transerální neboli příčný Dopplerů je) Řešení: nadno naleneme řešení soustaě spojené s drojem áření: ω/ c ω0 / c ω 0 / c k k cosα0 ω0/ c cosα0 = = k ksin α 0 ω0/ c sinα (10) 0 k 0 0 Nní proedeme Lorentou transformaci do sousta pooroatele (jde o inerní Lorentou transformaci): ω/ c γ γβ ω / c 0 ω0 / c cos α γβ γ ω0/ c cosα0 ω0 / c sinα = 1 0 ω0/ c sinα (11) Vhledem k tomu že nás ajímá frekence místě pooroatele postačí nalét jen nultý řádek maticoého násobení: ω = γ 1+ cos α0ω0 (1) c Tento tah je námý jako relatiistický Dopplerů je V limitě níkých rchlostí (anedbáme člen kadratické a šší /c) je γ 1 a ω = (1 + /c cos α 0 ) ω 0 Při daloání droje je α 0 = 180 a ω = (1 /c) ω 0 při přibližoání droje je α 0 = 0 a ω = (1 + /c) ω 0 Jde o námé nerelatiistické Dopplero tah Při šších rchlostech jsou tto tah modifikoán koeficientem γ Jestliže droj áření pooroatele míjí (α 0 = ± 90 ) je ω = γ ω 0 Ke měně frekence ted docháí i případě že se droj nedaluje ani nepřibližuje Tento je se naýá transerální Dopplerů je a jde o čistě relatiistický je který nemá nerelatiistické fice obdob Je působen měnou chodu času pohbující se soustaě (dilatací času) Prostoroé relace maticoé transformace dají tah ωcos α = γω ( β + cos α ) (13) ωsinα = ω sinα (14) Pokud obě ronice dělíme ískáme tah mei oběma úhl který je neáislý na frekencích a áisí jen na ájemné rchlosti sousta:

4 sin 0 tg α α = γβ + γ cos α Ze tahu je řejmé že lnoplocha měnila směr a že tato měna áisí jen na ájemné rchlosti sousta Relatiistický Dopplerů je jsme de ododili jen pro sětlo (ω = ck) a nikoli pro obecné lnění látk 0 (15) 6 Heaisideoo pole Zadání: Heaisideoo pole Určete pole nabité částice letící konstantní rchlostí Vužijte transformaci čtřektoru potenciálu pole ( A A A φ / c) Q Řešení: V soustaě spojené s nábojem je řejmě ektoroý potenciál nuloý (není de přítomno magnetické pole) a skalární potenciál je dán Coulomboým ákonem: Q φ = 4πε r (16) Proedeme inerní Lorentou transformaci do sousta pooroatele φ / c γ γβ Q/(4 πε0cr ) A γβ γ 0 A = (17) A Po násobení matic dostááme pro potenciál soustaě pooroatele γq γ βq φ = ; A ; A 0; A 0 4πε r = 4πε cr = = Ve ýsledku jsme onačili r = + + = γ ( t) + + (19) Je řejmé že magnetické pole je již nenuloé a elektrické pole je také modifikoáno Noý tar polí je 0 A γq( t) = = 3/ 4 πε 0 γ ( t) + + A = = 3/ 4 πε 0 γ ( t) + + A = = 3/ 4 πε 0 γ ( t) + + γq γq (18) (0)

5 Magnetické pole určíme jako rotaci ektoroého potenciálu: A A = = 0 A A γβq = = 3/ 4 πε 0cγ ( t) + + A A γβq = = + 3/ 4 πε 0cγ ( t) + + Důležitá je kolmá a ronoběžná složka elektrického pole určíme ji místech onačených na obráku postaičkou pooroatele: Q γ = t πε 0 + = + = 1 Q = = 4 ( ) = 0 = 0 γ 4 πε0 ( t) Vidíme že elektrické pole je napříč pohbu nataženo faktorem γ a e směru pohbu je stlačeno faktorem γ Pole se pohbuje spolu s nábojem Magnetické pole toří kružnice kolmé na pohb náboje Pro nekonečnou řadu nábojů bchom ískali pole kolem odiče P P (1) () (3) 7 Letící kondenátor Zadání: Roinný deskoý kondenátor s homogenním elektrickým polem se pohbuje hledem k pooroateli rchlostí e směru silokřiek pole Určete elektrické a magnetické pole které bude pooroatel pooroat ' 0 ' ' Řešení: Zaedeme souřadnicoou soustau spojenou s kondenátorem oustaa bude spojená s pooroatelem V soustaě spojené s kondenátorem jsou potenciál pole triiální lektrické pole musí být áporně atým gradientem skalárního potenciálu magnetické pole rotací ektoroého potenciálu odsud určíme potenciál: φ = 0 A = 0 A = 0 A = 0 (4)

6 Nní proedeme inerní Lorentou transformaci k soustaě spojené s pooroatelem: φ / c γ γβ 0 A γβ γ 0 A = (5) A Výsledné potenciál jsou: φ = γ = γ ( t) A 0 γ β 0 γβ ( t) = = c c A = 0 A = 0 Poslední částí ýpočtu je určení noých elektrických a magnetických polí: A β = = γ 0 γ 0= γ (1 / c ) 0 = 0 c A = = 0 A = = 0 A A = = A A = = A A = = Pohbuje-li se droj homogenního elektrického pole e směru silokřiek pole se nemění Toto trení ale neplatí pro pohb napříč silokřikám V tomto případě se mění elektrické pole a generuje pole magnetické (Vkoušejte!) (6) (7)