Kapitola 1. Teorie portfolia. 1.1 Výnos a riziko akcie

Kapitola 1 Teorie portfolia 1.1 Výnos a riziko akcie Výnosem akcie rozumíme míru zisku, která plyne z investice do akcie. Tento zisk se v t²inou skládá ze dvou sloºek kapitálového výnosu a výnosu z dividend. Kapitálový výnos realizujeme nákupem akcie a jejím pozd j²ím prodejem za vy²²í cenu. Kapitálový výnos je hlavní motivací ke spekulativním obchod m s akciemi. Dividendový výnos získáváme z dividend vyplacených b hem drºení akcie. Ozna íme-li ceny akcie p i nákupu a prodeji P t 1, P t a dividendy vyplacené b hem tohoto období D t, lze výnos z této akcie za sledované období ur it (bez ohledu na asové rozloºení dividend 1 ) dle následujícího vztahu: r t = (P t P t 1 ) + D t P t 1 (1.1) Pozn. V této kapitole budeme ve shod s v t²inou literatury na toto téma pouºívat pro výnos zna ení r místo dosud pouºívaného i. Pokud uvaºujeme m období v celkové délce n, ur íme pr m rný výnos za asovou jednotku jako geometrický pr m r výnos za jednotlivá období. ( m 1/n ˆr = (1 + r t )) 1 (1.2) t=1 Celkovvý výnos ur íme z principu stejných výnosu dle vztahu: 1 + r G = m (1 + r t ) (1.3) t=1 1 v t²inou bereme asové období s výplatou jedné dividendy 1

2 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA P íklad 1.1. Dále jsou uvedeny výnosy ze p t období. Ur ete celkový výnos, pr m rný ro ní výnos a pr m rný m sí ní výnos. Období r t 1.3.1997-31.10.1997 3.56 1.11.1997-30.9.1998 4.32 1.10.1998-31.8.2000-2.87 1.9.2000-31.8.2001 5.23 1.9.2001-30.9.2002 4.26 e ení Ur íme celkový výnos 1 + r G = (1 + 0.0356)(1 + 0.0432)(1 0.0287)(1 + 0.0523)(1 + 0.0426) = 1.1513 a poté pr m rný ro ní výnos za 5.5 roku ˆr r = 1.1513 1/5.5 1 = 0.0259 a pr m rný m sí ní výnos za 66 m síc ˆr m = 1.1513 1/66 1 = 0.002136 Celkový výnos je 15.13%, pr m rný ro ní výnos je 2.59% a pr m rný m sí ní výnos je 0.21% Na výnosy akcie pohlíºíme jako na náhodné veli iny. St ední hodnotu t chto náhodných veli in budeme povaºovat za st ední výnos a sm rodatnou odchylku (rozptyl) za riziko (volatilitu). V t²í sm rodatná odchylka znamená v t²í vychýlení a tedy v t²í riziko dané akcie. Pokud výnosy akcie ze jednotlivá období mají stejné rozd lení, potom jejich st ední hodnotu r a riziko m ºeme odhadnout následujícími nestrannými odhady. u t = ln (1 + r t ) (1.4) ˆr = 1 N u t (1.5) N t=1 ˆσ = 1 N (r t ˆr) N 1 2 (1.6) t=1

1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 3 P íklad 1.2. V následující tabulce jsou uvedeny kursy akcie na konci posledních m síc spolu s eventuální výplatou dividendy. Odhadn te m sí ní st ední výnos a riziko a ro ní st ední výnos a riziko. M síc P t D t r t = (P t P t 1 + D t)/p t 1 u t 0 345 1 349 0.011594203 0.011527505 2 356 25 0.091690544 0.087727453 3 356 0 0 4 340-0.04494382-0.045985113 5 345 0.014705882 0.014598799 6 357 0.034782609 0.034191365 7 370 0.036414566 0.035767224 8 380 0.027027027 0.026668247 9 385 0.013157895 0.013072082 10 390 0.012987013 0.012903405 11 350-0.102564103-0.108213585 12 356 0.017142857 0.016997576 13 354-0.005617978-0.005633818 14 345 25 0.04519774 0.044206092 15 368 0.066666667 0.064538521 16 378 0.027173913 0.026811257 Suma 0.245415016 0.229177011 e ení î = 1 0.229177011 = 0.014323563 16 ˆσ = 0.044151338 M sí ní st ední výnos je 1.432% a riziko je 4.415% P ibliºný ro ní st ední výnos je 12 0, 014323563 = 17.19% a ro ní riziko 12σ = 12 0.044151338 = 15.29% Snahou investora je dosáhnout maximální výnos p i minimálním riziku. Taková ideální investice neexistuje. Velký výnos sebou nese i velké riziko. Pro daný výnos je moºné sníºení rizika konstrukcí souboru investi ních instrument do portfolia. 1.2 Konstrukce portfolia Na trhu investujeme do r zných titul a vytvá íme tak diverzikované portfolio. Kombinací r zných aktiv vytvá íme portfolio dle svých p edstav v t²inou vzhledem k poºadovanému výnosu i minimalizaci rizika. Problematikou konstrukce takových portfolií se zabývá teorie portfolia.

4 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Portfolia v t²inou zobrazujeme gracky v rovin riziko-výnos, která se také nazývá (σ, r) - rovina. Kaºdému portfoliu v této rovin odpovídá jeden bod s daným výnosem a rizikem portfolia. Porfolio tvo ené pouze akcií z p íkladu 2 bude v (σ, r)-rovin znázorn no bodem se sou adnicemi [15.15,18.41]. Teorie porfolia ukazuje postupy konstrukce potfolií s poºadovaným výnosem a p im eným rizikem. Výhodnou vlastností takto konstruovaných porfoliích je riziko men²í neº je riziko aktiv, které tvo í portfolio. Vyuºíváme záporné korela ní koecienty mezi aktivy v portfoliu. Nap. máme zastoupená aktiva vojenského pr myslu a rem zabývajících se turistikou a rekreací. V praxi není nutné kombinovat aktiva se zápornou korelací, posta ují i aktiva s mírn pozitivní korelací a men²í. Investo i tak asto pouºijí aktiva, do kterých by vzhledem k malé výnosností i velkému riziku nikdy neinvestovali. Investo i se li²í svou averzí v i riziku, která m ºe být vyjád ena v (σ, r)- rovin indiferen ními k ivkami. ƒím je investorova averze v i riziku v t²í, tím je jeho indeferen ní k ivka strm j²í. B ºní investo i se p i daném riziku snaºí maximalizovat výnos a nebo pro poºadovaný výnos minimalizovat riziko. Portfolio vytvo ené dle t chto poºadavk e²ením optimaliza ní úlohy, nazýváme ecientní potfolio. Pro následující výklad budeme pouºívat toto zna ení Základní pojmy r i výnos i-tého aktiva (náhodná veli ina) r i st ední hodnota E(r i ) i-tého aktiva σ(r i ) = σ i = σ ii riziko i-tého aktiva cov(r i, r j ) = σ ij kovariance mezi i-tým a j-tým aktivem w i váha (pom r) ur ující zastoupení i-tého aktiva v portfoliu Uvaºujeme portfolio sloºené obecn z K aktiv. Cílem p i konstrukci portfolia poºadovaných vlastností (výnos, riziko) je tedy ur it hodnotu vah w 1,..., w K. Hodnota vah není omezena pouze na nezáporná ísla, ale p ipou²tíme i zápornou hodnotu. V takovém p ípad se jedná o výp j ní portfolio s úrokovou sazbou r i, které m ºe být reprezentováno prodejem daného aktiva na krátko. Abychom mohli konstruovat poºadované portfolio, uvádíme dále zp sob výpo tu výnosu a rizika celého portfolia. ( K ) r = E w i r i = w i E(r i ) = w i r i (1.7)

1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 5 ( K ) σ 2 = var w i r i = w i w j σ ij = j=1 K 1 wi 2 σi 2 + 2 j=i+1 Kovariance σ ij odhadneme z dat stejn jako ve vztahu 1.6. w i w j σ ij (1.8) ˆσ ij = 1 N 1 l=1 (r i,l r i )(r j,l r j ) = 1 N 1 1 r i,l r j,l N(N 1) l=1 l=1 r i,l K r j,l (1.9) Nyní jiº m ºeme ur it st ední výnos a riziko portfolia vyuºitím vztah 1.7 a 1.8, ve kterým místo st edních výnos r i pouºijeme jejich odhady ˆr i a místo kovariancí σ ij odhady ˆσ ij. 1.2.1 Konstrukce portfolia ze dvou aktiv Pro zjednodu²ení analyzujme nejd íve portfolio skládající se ze dvou aktiv. Vzorce 1.7 a 1.8 p epí²eme do následujícího tvaru pro K = 2. l=1 r = w 1 r 1 + (1 w 1 ) r 2 (1.10) σ 2 = w 2 1σ 2 1 + (1 w 1 ) 2 σ 2 2 + 2w 1 (1 w 1 )σ 1 σ 2 ρ 12 (1.11) kde ρ 12 = σ 12 /(σ 1 σ 2 ) je korela ní koecient mezi výnosy obou aktiv. Pokud ρ 12 = 1 je mezi výnosy obou aktiv vztah p ímé úm rnosti, pokud ρ 12 = 1, je mezi výnosy vztah nep ímé úm ry a pokud ρ 12 = 0, jsou výnosy navzájem nekorelované. Na obrázku 1.1 jsou znázorn na v (σ, r)-rovin v²echna moºná portfolia pro aktivum s výnosem r 1 = 11% a rizikem σ 1 = 14% a aktivum s výnosem r 2 = 6% a rizikem σ 2 = 8%. Jednotlivá portfolia na vybrané k ivce se li²í hodnotou w 1 a w 2 = 1 w 1. Jednotlivé k ivky jsou mnoºinou p ípustných portfolií pro daný korela ní koecient. Zvýrazn ny jsou mnoºiny pro hodnoty koecient ρ 12 { 1, 0, 1}. Pro ρ 12 = 1 je takovou mnoºinou p ímka, procházející ob mi aktivy, pro ρ 12 = 1 je touto mnoºinou lomená ára, procházející aktivy a pro ρ 12 = 0 je to parabolická k ivka, procházející danými

6 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA 0.16 0.14 0.12 0.1 ρ 12 = 1 výnos 0.08 0.06 0.04 0.02 ρ 12 =1 ρ 12 =0 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 riziko σ Obrázek 1.1: P ípustná portfolia s r zným korela ním koecientem aktivy. P ípustná portfolia s vahou 0 w 1 1 (resp. 0 1 w 1 1) leºí na úse kách i k ivkách mezi body znázor ujícími pouºitá aktiva. Záporné hodnoty w 1 (w 2 ) znamenají prodej daného aktiva nakrátko. Pokud nalezneme pomocí derivace vztahu 1.11 dle prom né w 1 a jejího nulování minimální hodnotu σ 2, ur íme hodnotu w1 pro p ípustné portfolio s minimálním rizikem. w 1 = σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 2 1 + σ 2 2 2σ 1 σ 2 ρ 12 (1.12) w 2 = 1 w 1 (1.13) Pomocí vztah 1.10 a 1.11 jiº snadno ur íme minimální moºné riziko σ a odpovídající výnos portfolia pouºitých aktiv r. Na záv r n kolik poznámek. Investor v t²inou neuvaºuje portfolia, která mají výnos men²í neº r. Proto akceptuje portfolia pouze z horní asti k ivky mnoºiny p ípustných portfolií. Pokud promítneme do obrázku 1.1 p ípadné indeferen ní k ivky investora, zjistíme, ºe "strm j²í"k ivky (investor averzní v ºi riziku) se dotýkají k ivky p ípustných portfolií v bod s men²ím rizikem

1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 7 ale i výnosem neº je to v p ípad "pozvoln j²í"k ivky investora s v t²í ochotou riskovat. Z obrázku je patrna i moºnost konstrukce portfolií s rizikem men²ím neº riziko obou uvaºovaných aktiv. 1.2.2 Konstrukce portfolia z K aktiv Pokud tvo íme portfolio z K aktiv a p edpokládáme nezáporné váhy w i 0 pro i {1,..., K} (nep ipou²tíme prodej na krátko), potom mnoºina p ípustných portfolií má typický "de²tníkový"tvar (umbrella shape). Na severozápadní hranici (ecient frontier) této mnoºiny leºí ecientní portfolia rizikov averzního investora. Tato optimální portfolia p i pevn daném st edním výnosu r minimalizují riziko resp. p i daném riziku σ maximalizuji st ední výnos. P íklad 1.3. Ur ete v²echna p ípustná portfolia sestavená z akcií 5 uvedených spole ností. Vývoj výnos jednotlivých titul za posledních 10 období je uveden v tabulce. P edpokládejte pouze nákupy akcií. Období a.s. A a.s. B a.s. C a.s. D a.s. E 1 0.12 0.14 0.08 0.09 0.10 2 0.11 0.15 0.07 0.09 0.11 3 0.11 0.14 0.06 0.10 0.12 4 0.12 0.13 0.07 0.11 0.10 5 0.10 0.12 0.08 0.11 0.11 6 0.11 0.12 0.08 0.11 0.13 7 0.10 0.13 0.07 0.12 0.13 8 0.09 0.14 0.08 0.11 0.12 9 0.12 0.15 0.09 0.10 0.11 10 0.11 0.14 0.10 0.11 0.12 ˆr i 0.109 0.136 0.078 0.105 0.115 ˆσ i 0.0094 0.0102 0.0108 0.0092 0.0102 e ení Pomocí vztah 1.7 a 1.8 ur íme pro v²echny kombinace vah w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 0, 1, pro které platí 5 w i = 1, hodnoty r a σ 2 (σ). Dvojice [σ, r] ur ují jednotlivá p íspustná portfolia. Na obrázku 1.2 jsou zobrazena portfolia v (σ, r)-rovin. Mnoºina p ípustných portfolií tvo í typický "de²tníkový"tvar (umbrella shape).

8 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA 0.14 Pripustna portfolia 0.13 0.12 E(r) 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 3 4 5 6 7 Riziko σ 8 9 10 11 x 10 3 Obrázek 1.2: P ípustná portfolia tvo ená 5 aktivy Základním problémem je hledání daného ecientního portfolia, neboli k pevn danému st edním výnosu nalézt minimální riziko i k pevn danému riziku ur it odpovídající maximální st ední výnos. e²íme tedy následující optimaliza ní úlohu: min σ 2 = w 1,...,w K s následujícími podmínkami w i w j σ ij (1.14) j=1 r = w i r i (1.15) w i = 1 (1.16) w i 0 i {1,..., K} (1.17) Podmínky (omezení) zaji² ují vstupní poºadavky. 1.15 zaji² uje nalezení p ípustného portfolia, 1.16 zaru í investici v²ech prost edk do daného port-

1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 9 folia a 1.17 umoº uje pouze nákupy akcií. Pokud umoº ujeme i prodeje nakrátko, poslední omezení neuvaºujeme. Uvedený optimaliza ní problém je úlohou kvadratického programování. e²ením této optimaliza ní úlohy nalezneme pro daný st ední výnos r p ípustné ecientní portfolio s minimálním rizikem. Následující modikace optimaliza ní úlohy ur í pro r zné parametry 0 θ 1 v²echna p ípustná ecientní portfolia. min σ 2 = θ w 1,...,w K s následujícími podmínkami w i w j σ ij (1 θ) j=1 w i r i (1.18) w i = 1 (1.19) w i 0 i {1,..., K} (1.20) Existují r zné algoritmy pro e²ení vý²e uvedených optimaliza ních úloh. Zájemci mohou najít jedno z moºných e²ení v [Cipra, 2000] str.129-132. P íklad 1.4. Sestavte portfolio za 1 mil. K z p ti titul p íkladu 3. Ur ete rozloºení portfolia tak, aby jste minimalizovali riziko. e ení Úkolem je nalézt mnoºinu ecientních portfolií a ur it portfolio s minimálním rizikem z této mnoºiny. Z uvedených hodnot sestavíme kovarian ní matici 0.089 0.026 0.008 0.045 0.055 0.026 0.104 0.012 0.060 0.030 0.008 0.012 0.116 0.010 0.000 0.045 0.060 0.010 0.085 0.055 0.055 0.030 0.000 0.055 0.105 a poté eventuáln matici korela ní 10 3 1.0000 0.2702 0.0787 0.5174 0.5689 0.2702 1.0000 0.1093 0.6382 0.2871 0.0787 0.1093 1.0000 0.1007 0.0000 0.5174 0.6382 0.1007 1.0000 0.5822 0.5689 0.2871 0.0000 0.5822 1.0000

10 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Nyní máme jiº v²echny údaje pot ebné pro výpo et st edních o ekávaných výnos a rizik porfolií a ur ení ecientních portfolií z nichº hledaná portfolia rizikov averzního investora leºící na severozápadní hranici ukazuje obrázek 1.3. K výpo tu lze pouºít nap. Matlab a funkcí ewstats a frontcon (portopt). 0.145 Eficientni portfolia 0.14 0.135 E(r) 0.13 0.125 0.12 0.115 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Riziko σ x 10 3 Obrázek 1.3: Ecientní portfolia tvo ená 5 aktivy Následující tabulka ukazuje 10 vybraných portfolií leºících podél ecientní hranice. V tabulce je pro kaºdé portfolio ur en výnos, riziko jako standartní odchylka a váhy ur ující pom rné zastoupení jednotlivých aktiv v portfoliu. ˆr [%] ˆσ A [%] B [%] C [%] D [%] E [%] 11.51 0.0030 27.58 25.38 0.04 35.44 11.56 11.74 0.0031 21.52 33.51 0 33.08 11.89 11.98 0.0035 15.41 41.67 0 30.69 12.23 12.21 0.0041 9.31 49.83 0 28.29 12.57 12.44 0.0048 3.20 58.00 0 25.89 12.91 12.67 0.0056 0 65.22 0 19.77 15.01 12.90 0.0066 0 71.40 0 9.55 19.05 13.14 0.0076 0 77.90 0 0 22.10 13.37 0.0088 0 88.95 0 0 11.05 13.60 0.0102 0 100 0 0 0

1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 11 Z tabulky lze ur it výnos 11.51 % portfolia s minimálním rizikem. Toto portfolia sestrojíme tak, ºe nakoupíme akcie A za 275800 K, akcie B za 253800 K, akcie C za 400 K, akcie D za 354400 a akcie E za 115600 K. Rizika v²ech uvedených portfolií jsou men²í nebo rovna neº rizika pouºitých aktiv. 1.2.3 Konstrukce portfolia s bezrizikovým aktivem V této asti analyzujeme portfolio, ke kterému jsme p idali bezrizikové aktivum (nap. krátkodobé SPP). Portfolio tvo ené pouze tímto aktivem leºí v rovin (σ, r) na svislé ose s nulovým rizikem. Mnoºina ecientních portfolií musí tedy obsahovat toto portfolio, ale take portfolio s maximálním výnosem leºící v mnoºin ecientních portfolií. K ivka p edstavující ecientnií portfolia se v tomto p ípad m ní na polop ímku s po átkem v bezrizikovém portfoliu a procházejícím portfoliem na p vodní k ivce ecientních portfolií, ve kterých je výnos maximální neboli p ímka je te nou k p vodní k ivce ecientních portfolií. Bod, ve kterém se te na dotýka k ivky ozna íme M (trºní portfolio, market portfolio). V²echna portfolia s bezrizikovým aktivem jsou kombinací bezrizikového portfolia a portfolia reprezentovaného bodem M. Uvedená p ímka se d lí na 2 polop ímky. Od bezrizikového portfolia k bodu M, ve kterém jsou portfolia sestavena áste n z bezrizikového aktiva (portfolio na svisle ose se skládá pouze z bezrizikového aktiva) a zbytek z aktiv s nenulovým rizikem. Výnos maximalizujeme portfoliem znázorn ným bodem M. Polop ímka od bodu M dále sm rem od bezrizikového portfolia p edstavuje portfolia tvo ená pouze aktivy s nenulovým rizikem, jejichº nákup jsme z ásti pokryli vlastními zdroji a ást jsme nancovali z p j ky za danou úrokovou sazbu. Dosti asto se pouºívá r f. V tomto p ípad je váha mnoºství bezrizikového aktiva záporná a celková váha ostatních aktiv je v t²í neº jedna. K dosud pouºívaným váhám pro riziková aktiva v portfoliu lze nyní p idat i váhu w r, která ur uje podíl bezrizikových aktiv. Pro v²echny váhy aktiv v portfoliu s K rizikovými aktivy nyní platí: w i + w r = 1 (1.21) Pokud w r = 0, portfolio se skládá pouze z rizikových aktiv (portfolio M). Jestliºe w r > 0, portfolio zahrnuje i investici do bezrizikových aktiv (nákup SPP). Jestliºe w r < 0, p j ili jsme si za bezrizikovou sazbu a investovali jsme do dal²ích rizikových aktiv. Pro w r = 1 jsme sestavili bezrizikové portfolio. P íklad 1.5.

12 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Ur ete v²echna portfolia sestavená z akcií 5 spole ností z p íkladu 3 a bezrizikové SPP s výnosem 11.5%. Dal²í prost edky si lze p j it za 11.5%. e ení e²ení je výsledkem optimaliza ní úlohy, ve které hledáme optimální (s maximálním výnosem) ecientní portfolio, které je zárov bodem p ímky, procházející bezrizikovým portfoliem na svislé ose v bod 11.5%. Hledáme tedy bod M na k ivce ecientních portfolií, kterým lze vést te nu ke k ivce, procházející bezrizikovým portfoliem. Portfolia mezi hledaným bodem M a bezrizikovým portfoliem jsou tvo ena rizikovými aktivy (rizikovým portfoliem) a bezrizikovým aktivem. Optimální rizikové portfolio s maximálním výnosem je tvo eno pouze 5 rizikovými aktivy (rizikové portfolio). K výpo tu lze pouºít nap. Matlab a funkcí ewstats, portopt a portalloc. Výsledek je na obrázku 1.4. 0.145 0.14 Portfolia s bezrizikovym aktivem Eficientni portfolia Optimalni portfolio vzhledem k riziku Optimalni rizikove portfolio E(r) 0.135 0.13 M 0.125 0.12 r f 0.115 0 0.002 0.004 0.006 Riziko σ 0.008 0.01 0.012 Obrázek 1.4: Portfolia obsahující bezrizikové aktivum Z obrázku je patrná alokace optimálního rizikového portfolia s výnosem 13.10% a rizikem 0.74%. Toto portfolio se skládá ze 76.91% z aktiva B, 1.45% aktiva D a 21.64% aktiva D. Na obrázku je znázorn no i optimální portfolio vzhledem k zadanému riziku. Toto porfolio leºí na polop ímce s po átkem v bod M sm rem od bezrizikového

1.3. MODEL OCEŒOVÁNÍ KAPITÁLOVÝCH AKTIV 13 portfolia. Proto se skládá pouze z rizikových aktiv, na které si áste n p j íme za úrokovou sazbu 11.5%. Váha rizikového portfolia (rizikových aktiv) bude 1.4443 tj. 44.43% prost edk si p j íme. Výnos tohoto portfolia bude 13.81% p i poºadovaném riziku 1.08%. 1.3 Model oce ování kapitálových aktiv 1.3.1 P ímka kapitálového trhu P ímka, kterou jsme zkonstruovali v p íkladu 5 se nazývá p ímka kapitálového trhu - CML (Capital Market Line). V rámci daného kapitálového trhu se pouºívá pro stanovení st edního výnosu nebo rizika ecientního portfolia. Rovnici této p ímky odvodíme dále. Uvedený p íklad ukázal také existenci portfolia ozna eného bodem M. Doplníme p íklad sestavením modelu pro optimaliza ni úlohu, která nalezné dane portfolio. Cílem je tedy nalézt obecn hodnotu vah w 1,..., w K uvaºovaných K aktiv, které tvo í v nalezených podílech portfolio M. Krom jiº zavedeného zna ení ozna me r M, σ M výnos a riziko hledaného portfolia. Kaºdé ecientní portfolio na p ímce r f M je kombinací podílu w bezrizikového aktiva a 1 w rizikového portfolia M. To ukazují následující vztahy: r = wr f + (1 w) r M σ = (1 w)σ M Vyjád íme w z druhého vztahu a dosadime do prvního. Dostaneme tak hledaný vztah r, σ pro kaºdé portfolio na p ímce. r = r f + r M r f σ M σ (1.22) Podobn bychom mohli najít vyjád ení p ímky pomocí dvou bod na této p ímce [0, r f ], [σ M, r M ]. Jak tedy najdeme portfolio M tj. jeho riziko-výnos [σ M, r M ]? Snaºíme se najít takovou p ímku, obsahující bezrizikové aktivum, která obsahuje ecientní portfolio M, mající maximální výnos. Taková p ímka je te nou ke k ivce ecientních portfolií v bod M. Optimaliza ní úloha je tedy maximalizací sm rnice p ímky za vztahu 1.22 p i spln ní v²ech uvedených podmínek. Portfolio M je ecientním portfoliem tj. jeho riziko-výnos

14 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA spl ují vztahy 1.7 a 1.8 a sou asn pro hledané váhy w i 0, i {1,..., K} platí K w i = 1. Na základ uvedeného m ºeme sestavit následující optimaliza ní úlohu. s následujícími podmínkami max w 1,...,w K r r f σ (1.23) σ 2 = r = w i r i (1.24) K 1 wi 2 σi 2 + 2 j=i+1 w i w j σ ij (1.25) w i = 1 (1.26) w i 0 i {1,..., K} (1.27) Dosazením do kriteriální funkce dostaneme kone nou podobu optimaliza ní úlohy max w 1,...,w K s následujícími podmínkami K w i r i r f ( K w2 i σ2 i + 2 K 1 ) 1/2 (1.28) K j=i+1 w iw j σ ij w i = 1 (1.29) w i 0 i {1,..., K} (1.30) e²ením úlohy je vektor vah, které ur ují podíl jednotlivých aktiv v optimálním portfoliu. Z p edcházejících úvah vyplývá, ºe investo i konstruují svá portfolia kombinací rizikových aktiv, bezrizikového aktiva i investicí za p j ené prost edky se sazbou r f. Kaºdý investor vºdy sestavuje rizikové portfolio, které má optimální proporce p edstavované bodem M. Podíly kaºdého aktiva jsou v rizikové skupin portfolií pro kaºdého investora nezávislé na individuálních preferencích kaºdého z nich. Vlastní portfolio investora je poté ur eno dle jeho preferencí bodem dotyku investorovi indeferen ní k ivky s p ímkou kapitálového trhu. Toto nijak neovliv uje poloºení bodu M.

1.3. MODEL OCEŒOVÁNÍ KAPITÁLOVÝCH AKTIV 15 1.3.2 Trºní portfolio Abychom nemuseli portfolio M konstruovat z velkého mnoºství aktiv na trhu, pouºíváme tzv. trºní portfolio, market portfolio, které reprezentuje kapitálový trh. Toto portfolio by m lo zahrnout v²echna aktiva kapitálového trhu a s vahami, odpovídajícími jejich skute nému podílu na trhu. V praxi se jako trºní portfolio pouºívá vhodný trºní index. Kaºdé portfolio poté m ºeme sestavit jako kombinaci tohoto trºního portfolia a bezrizikového aktiva. 1.3.3 P ímka trhu cených papír Podívejme se na vyjád ení sm rnice v kriteriální funkci 1.28 z pohledu libovolného uvaºovaného aktiva a jeho kombinace s popsaným trºním portfoliem. Na rozdíl od CML nyní neuvaºujeme pouze ecientní portfolia s aktivy pln korelujícími s trºním portfoliem, ale hledáme vztah mezi výnosem libovolného aktiva a trºního portfolia neboli trhu za p edpokladu, ºe toto aktivum nemusí korelovat s trºním portfoliem. Sestavujeme tedy libovolné p ípustné portfolio. Pomocí tohoto portfolia nalezneme sm rnici p ímky zkoumaného aktiva neboli p ímku trhu cenných papír - SML (Security Market Line) i charakteristickou p ímku. Dále budeme st ední výnos zkoumaného aktiva zna it r i a pomocí vztah 1.7 a 1.8 vytvá íme portfolia s výnosy a rizikem r p, σ p. r p = w r i + (1 w) r M (1.31) σ p = [w 2 σ 2 i + (1 w) 2 σ 2 M + 2(1 w)σ i,m ] 1/2 (1.32) Hledáme vztah mezi r p a σ p jako funkci váhy w. Tento vztah je vlastn sm rnicí dané funk ní závislosti r p = f(σ p ). V tomto p ípad ur ení této sm rnice není tak triviální jako v p edcházejícím. Sm rnici najdeme jako první derivaci dané funkce podle σ p. r p σ p = d r p dw dσ p dw (1.33) Dosadíme výnos a riziko pomocného portfolia ze vztah 1.31 a 1.32 a zderivujeme. V nalezené derivaci poloºíme w = 0, coº je derivace v bod M, která musí být sm rnicí p ímky procházející bodem M tj. CML p ímky a je tedy shodná se sm rnicí ze vztahu 1.22. To vede k následujícímu vztahu. r i r M ( σ 2 M + σ i,m)/σ M = r M r f σ M (1.34)

16 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Z tohoto odvodíme hledané vyjád ení vztahu mezi výnosem aktiva a rizikem trºního portfolia. r i = r f + ( r M r f ) σ i,m σ 2 M = r f + ( r M r f )β (1.35) kde koecient β = σ i,m σ 2 M (1.36) je míra beta, která m í systematické riziko plynoucí ze vztahu výnos daného aktiva k výnos m trºního portfolia. Rovnice 1.35 je vyjád ením SML p ímky neboli vyjád ením lineární závislosti st edního výnosu libovolného aktiva na systematickém riziku daném mírou beta. Daný vztah m ºeme p epsat do následující podoby r i = r f + r M r f σ M ρ i,m σ (1.37) který p ipomíná vztah 1.22. Pro aktivum pln korelované s trºním portfoliem ρ i,m = 1 se p ímka SML stává p ímkou CML.

Literatura [Cipra, 2005] CIPRA T.: Pr vodce nan ní a pojistnou matematikou,, Praha 2005, ISBN [Cipra, 2000] CIPRA T.: Matematika cenných papír, Edice HZ, Praha 2000, ISBN 80-86009-35-1 17