Aplikace 1-VMV ohodnocení grafů. Applications of 1-VMV labelings graphs

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Aplikace 1-VMV ohodnocení grafů Applications of 1-VMV labelings graphs 2012 Matěj Krbeček

Rád bych zde vyjádřil svůj vděk Mgr. Petru Kovářovi, Ph.D.za jeho cenné rady, vedení a připomínky při tvorbě této bakalářské práce. Bez jeho pomoci by práce v této podobě nikdy nevznikla. Dále bych chtěl poděkovat všem lidem, kteří mě při mém studiu na VŠB podporovali, zejména mým rodičům.

Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá problematikou magických ohodnocení grafů. Shrnuje základní pojmy, známé výsledky existence 1-VMV (1-Vertex Magic Vertex) grafů a přináší nové výsledky pro grafy na lichém počtu vrcholů, konkrétně přehled řádů, pro které existuje 14-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu vrcholů, tento výsledek nebyl doposud znám. Tvrzení rozšiřuje výsledky jiných autorů týkající se 2-, 4-, 6-, 8-, 10-, 12- pravidelných grafů (viz články [1], [2], [3], [4], [5]). Výsledky práce by se mohly využít i v praxi při plánovaní neúplných vyrovnaných/nevyrovnaných turnajů, jejichž problematika jde do teorie 1-VMV grafů přeformulovat. Klíčová slova: 1-VMV ohodnocení, neúplné nevyrovnané/vyrovnané turnaje, 14-pravidelné grafy. Abstract This thesis deals with magic graphs labeling. Thesis sums up basic concepts, known results on 1-VMV graphs and gives some new results for graphs of odd orders, in particular orders for which exist a 14-regular 1-VMV graph of odd order. This result was not known yet. The claim extends related results of other authors 2-, 4-, 6-, 8-, 10-, 12-regular graphs (see articles [1], [2], [3], [4], [5]) Thesis results can be used in practice for scheduling of equalized/fair incomplete tournaments which is a problem, that can be, formulated in the language of 1-VMV graphs. Key words: 1-VMV labeling, incomplete equalized/fair tournaments, 14-regular graphs.

Seznam použitých symbolů a zkratek G = (V,E) K n K m,n NNT P n C n T n G f(x) w f (x) deg(x) (G) δ(g) 1-VMV k G[H] A Graf G s množinou hran E a množinou vrcholů V Kompletní graf s n vrcholy Kompletní bipartitní graf s partitami o m a n vrcholech Neúplné nevyrovnané turnaje Cesta na n vrcholech Cyklus na n vrcholech Strom na n vrcholech Doplněk grafu G ohodnocení vrcholu x Váha vrcholu x při ohodnocení f Stupeň vrcholu x Maximální stupeň v grafu G Minimální stupeň v grafu G Magické ohodnocení Magická konstanta Kompozice grafu G s grafem H podgraf využívaný v konstrukci důkazu 14-pravidelných grafů

OBSAH 1 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Neúplné turnaje................................. 3 1.1.1 Neúplné nevyrovnané turnaje (NNT)................. 3 1.1.2 Neúplné vyrovnané turnaje (NV T)................... 4 1.1.3 Využití 1-VMV grafů pro neúplné turnaje............... 5 1.2 Definice...................................... 7 1.3 Přehled známých výsledků............................ 12 1.3.1 Základní výsledky............................ 12 1.3.2 Sudý počet vrcholů............................ 14 1.3.3 Lichý počet vrcholů........................... 15 1.3.4 r-pravidelné grafy s malou hodnotou r................. 15 1.3.5 Grafy, pro které 1-VMV ohodnocení neexistuje............ 16 2 Nové výsledky 18 2.1 14-pravidelné grafy................................ 18 2.1.1 Podgraf A................................. 18 2.1.2 Důkaz existence 14-pravidelných 1-VMV grafů............ 20 2.1.3 Hledání podgrafu A ve startovních grafech.............. 25 3 Závěr 29 4 Literatura 30

SEZNAM OBRÁZKŮ 2 Seznam obrázků 1 Příklad části neúplného nevyrovnaného turnaje (každý tým hraje 10 zápasů) pro nejslabší tým 1 (s obtížností turnaje 346) a nejsilnější tým 40 (s obtížností turnaje 121).................................... 4 2 Příklad části neúplného vyrovnaného turnaje pro nejslabší (tým 1) a nejsilnější (tým 40) tým, kde mají oba týmy obtížnost zápasů 220....... 5 3 Graf ukázkového turnaje, kde součet sil soupeřů je 30 pro každý vrchol... 6 4 Graf G s množinou vrcholů V = {w, x,y, z} a množinou hran E = {wx, wy, xy, yz} 7 5 Vrchol x je sousedním s y, vrcholy jsou spojeny hranou xy.......... 7 6 Kompletní graf K 5................................ 8 7 Kompletní bipartitní graf K 3,2......................... 8 8 Podgraf G = (V, E ) v grafu G s množinou vrcholů V = {x, y,z} a množinou hran E = {xz, yz}.......................... 9 9 Cesta P n...................................... 9 10 Cyklus C n..................................... 9 11 Strom T n..................................... 10 12 1-VMV graf s magickou konstantou k=5.................... 10 13 3-pravidelný graf................................. 11 14 Cesta s 1-VMV ohodnocením a magickou konstantou k = 3......... 13 15 Podgraf A..................................... 19 16 Přidání 4 vrcholů do podgrafu A, který je podgrafem G........... 21 17 14-pravidelný graf na 19 vrcholech s podgrafem A.............. 24 18 14-pravidelný graf na 21 vrcholech s podgrafem A.............. 25 19 Podgraf B..................................... 27 20 Magický čtverec 3 3 s magickou konstantou k = 15............. 27 21 Rozložení vrcholů pro 1-VMV tripartitní graf na 21 vrcholech......... 28

1 ÚVOD 3 1 Úvod 1.1 Neúplné turnaje Turnaj je soutěž určitého počtu účastníků ve sportovní, nebo jakékoliv jiné disciplíně, kteří mezi sebou soupeří o celkové umístění. Turnajů známe mnoho typů. Jsou turnaje, kde soutěžící začínají skupinovou fází, ze které postupují do play-off části. Tímto způsobem se hraje většina fotbalových turnajů, jako například Mistrovství světa, Mistrovství Evropy, Liga mistrů, nebo také basketbalová liga NBA a mnoho dalších. Další typem turnajů mohou být turnaje založené pouze na systému play-off, tedy turnaje, ve kterých jakmile jakýkoliv soupeř prohraje zápas, ihned z turnaje vypadává. Tento systém se využívá převážně u tenisových turnajů, jako je například Wimbledon. Hrají se také turnaje, které mají více skupinových fází s navazující play-off částí, typickým příkladem takového turnaje byly do roku 2012 například hokejová Mistrovství světa. Týmy byly rozděleny do dvou skupin po 4 celcích, ze kterých postupovali vždy 3 nejlepší účastníci do 2 finálových skupin. Z těchto dvou skupin postupovali první 3 do play-off. Známe také turnaje, kde ve fázi play-off se hraje více zápasů (fotbalová Liga mistrů, playoff část v hokejové soutěži NHL...). Jelikož způsobů jakým systémem uspořádat turnaj je celé řada, budeme se zabývat pouze skupinovou částí turnajů. Skupinovou část turnajů můžeme rozdělit do dvou kategorií: Úplné turnaje Neúplné turnaje Úplné turnaje jsou takové turnaje, kde každý tým hraje se všemi protihráči. Máme-li tedy například fotbalovou soutěž s 5 týmy (tým 1, tým 2, tým 3, tým 4, tým 5), bude každý tým hrát v jarní i zimní části 4 zápasy. Vezmeme-li například tým 2, potom tento tým bude hrát zápas se všemi ostatními týmy, tedy týmem 1, 3,4 a týmem 5. Protože jako příklad uvádíme fotbalovou ligu bude s každým z těchto týmů hrát 2 krát, jednou v podzimní částí a podruhé v části jarní. Jak již logicky vyplývá, jsou neúplné turnaje takové turnaje, ve kterých týmy nehrají každý s každým, ale pouze s určitým počtem soupeřů. To může být způsobeno například velkým počtem týmů, kdy není z časového hlediska možné všechny zápasy odehrát. Počet zápasů, které musí každý tým odehrát, se domluví dopředu. Tento typ turnajů se v praxi běžně nevyužívá, problém velkého počtu týmů se převáže řeší jejich rozdělením do více skupin. Důvodem, proč se s neúplnými turnaji setkáváme velice zřídka, je nesnadné uspořádání turnaje tak, aby pro každý tým byla soutěž stejně obtížná. 1.1.1 Neúplné nevyrovnané turnaje (NNT) Jak jsme zmínili výše, v případě neúplných turnajů se počet zápasů volí dopředu. Představme si ted soutěž se 40 týmy, kde každý tým hraje 10 zápasů. Je zřejmé, že všechny

1 ÚVOD 4 týmy nebudou mít stejné soupeře. Může tedy nastat případ, že nejslabší tým v soutěži bude hrát s 10 předními (nejlepšími) týmy a současně nejsilnější tým bude mít své soupeře převážně z konce tabulky. Turnaj, kde je silný tým zvýhodněný o proti týmům slabším, nebude vyrovnaný. Tento turnaj budeme označovat jako neúplný nevyrovnaný turnaj. Na Obrázku 1 je znázorněn příklad takového turnaje, kde síla týmu je opačná, jako pořadí týmu. Tedy nejslabší tým je tým 1 a nejsilnější tým je tým 40. Jak spolu souvisí graf na Obrázku 1 a zmíněný turnaj je lépe vysvětleno v podkapitole využití 1-VMV grafů pro neúplné turnaje. Obrázek 1: Příklad části neúplného nevyrovnaného turnaje (každý tým hraje 10 zápasů) pro nejslabší tým 1 (s obtížností turnaje 346) a nejsilnější tým 40 (s obtížností turnaje 121) 1.1.2 Neúplné vyrovnané turnaje (NV T) Vezměme stejnou soutěž, kterou jsem zmiňovali i v případě NNT. Máme tedy soutěž se 40 týmy, kde každý tým hraje 10 zápasů. Chceme-li, aby takový turnaj byl vyrovnaný, požadujeme, aby každý tým hrál 10 zápasů takových, že obtížnost v těchto zápasech bude pro tento tým stejná, jako obtížnost ostatních týmu v jejich zápasech. Jinak řečeno, požadujeme, aby platilo, že každý tým odehraje v součtu 10 stejně těžkých zápasů, kde obtížnost těchto zápasů záleží na síle týmu, pro který soupeře vybíráme. Pokud je toto splněno, budeme takový turnaj označovat jako neúplný vyrovnaný. Na Obrázku 2 je znázorněno rozlosování soupeřů pro nejslabší tým (tým 1) a nejsilnější tým (tým 40) tak aby oba týmy měly stejně obtížnou (těžkou) soutěž(v tomto případě 220). Síla jednotlivých týmů je rozdělená stejně jako v případě NNT turnajů. Obrázek 2 je jen ukázkou, jak by vypadal turnaj pro nejsilnější a nejslabší tým, stejně bychom postupovali pro zbývající týmy.

1 ÚVOD 5 Obrázek 2: Příklad části neúplného vyrovnaného turnaje pro nejslabší (tým 1) a nejsilnější (tým 40) tým, kde mají oba týmy obtížnost zápasů 220 1.1.3 Využití 1-VMV grafů pro neúplné turnaje Pomocí znalostí teorie magických grafů je možné naplánovat neúplný turnaj, který bude navíc vyrovnaný. V kapitole Přehled známých výsledků je sepsáno pro jaký počet týmů a zápasů jde takovýto turnaj sestavit. Pokusme se postup vytvoření takového turnaje popsat na následujícím příkladu. Mějme soutěž s 9 týmy (tým 1, tým 2, tým 3, tým 4, tým 5, tým 6, tým 7, tým 8, tým 9) a určeme, že každý tým bude hrát 6 zápasů. Jednotlivé týmy si můžeme představit jako vrcholy grafu. Hrany tohoto grafu budou tvořit jednotlivé zápasy. Pokud tedy bude tým 1 hrát s týmem 2, potom tento zápas v grafu znázorníme jako hranu mezi vrcholem představujícím tým 1 a vrcholem představujícím tým 2. Tato soutěž tedy bude mít podobu 6 pravidelného grafu na 9 vrcholech (9 týmů, každý bude hrát 6 zápasů, proto každý vrchol bude mít 6 sousedů, tedy 6 incidentních hran). Jeden takový graf je znázorněn na Obrázku 3. Pokud navíc požadujeme, aby tento turnaj byl vyrovnaný, musíme zohlednit kvalitu jednotlivých týmů. Jejích kvalitu/sílu můžeme vyčíst například z umístění v předchozím ročníku turnaje. Každému týmu přiřadíme celé číslo od 1 do n, kde n je celkový počet týmů v soutěži. V našem případě tedy budeme přiřazovat čísla od 1 do 9. Nejslabší tým bude ohodnocen číslem 1, druhý nejslabší číslem 2, takto budeme pokračovat až po tým nejsilnější, který bude ohodnocen číslem 9. Konečné rozdělení ohodnocení týmu je v tabulce 1. Pokud máme takto ohodnocené týmy, můžeme nyní začít plánovat jednotlivé zápasy. Zápasy naplánujeme tak, že všechny vrcholy v grafu budou mít stejnou váhu (vysvětleno v podkapitole 1.2 ). Jednoduše řečeno, pokud si zvolíme nějaký vrchol (tým) a sečteme jednotlivá ohodnocení sousedních vrcholů (soupeřů) tohoto vrcholu (týmu), dostaneme přirozené číslo. Pokud je toto číslo stejné pro všechny vrcholy v grafu, jedná se o 1- VMV graf. Ve sportovní terminologii řečeno, pokud bychom ze všech protivníků vybraného

1 ÚVOD 6 Obrázek 3: Graf ukázkového turnaje, kde součet sil soupeřů je 30 pro každý vrchol Název týmu Síla týmu Ohodnocení týmu Tým 1 nejslabší 1 Tým 2 druhý nejslabší 2 Tým 3 třetí nejslabší 3 Tým 4 čtvrtý nejslabší 4 Tým 5 středně silný 5 Tým 6 čtvrtý nejsilnější 6 Tým 7 třetí nejsilnější 7 Tým 8 druhý nejsilnější 8 Tým 9 nejsilnější 9 Tabulka 1: tabulka ohodnocení týmů podle jejich kvality/síly týmu udělali jednoho soupeře, který by byl silný jako součet jednotlivých ohodnocení vrcholů (sila(p) = f(souper1) + f(souper2) + f(souper3) + f(souper4) + f(souper5) + f(souper6)), bude každý tým hrát se stejně silným soupeřem. Můžeme tedy mluvit o neúplném vyrovnaném turnaji.

1 ÚVOD 7 1.2 Definice V této podkapitole jsou uvedeny základní pojmy a definice potřebné pro správné pochopení dalšího textu. Uvedené pojmy a definice jsou jen výběrem velkého množství pojmů v teorii grafů. Jsou zde uvedeny pouze pojmy a definice používané v této bakalářské práci. Definice 1.2.1. Graf (obyčejný či jednoduchý neorientovaný graf) je uspořádaná dvojice G = (V,E), kde V je množina vrcholů a E je množina hran množina vybraných dvouprvkových podmnožin množiny vrcholů. Prvky množiny V budeme značit malými písmeny, např. x, prvky množiny E jsou potom {x, y}, nebo zkráceně xy. Na množinu hran odkazujeme jako na E(G), na množinu vrcholů V (G). Grafy se často zadávají přímo názorným obrázkem, jinak je lze také zadat výčtem vrcholů a výčtem hran. Obrázek 4: Graf G s množinou vrcholů V = {w, x,y, z} a množinou hran E = {wx, wy, xy, yz} Definice 1.2.2. Dva vrcholy x, y V (G) jsou sousední, pokud mezi nimi existuje hrana xy E(G) Obrázek 5: Vrchol x je sousedním s y, vrcholy jsou spojeny hranou xy Definice 1.2.3. Množina sousedních vrcholů vrcholu x je tvořena všemi vrcholy y, pro které platí xy E(G). Množinu sousedních vrcholů vrcholu x budeme značit N(x). Pokud si vrchol x představíme jako sportovní tým (tým x), který hraje turnaj, potom jeho soused bude tým, který s ním odehraje zápas. Množina sousedních vrcholů k tomuto vrcholu bude tedy představovat množinu týmů, které s týmem x odehrají zápas. Jinak

1 ÚVOD 8 řečeno, pokud si za vrcholy představíme sportovní týmy, potom hrana mezi těmito týmy bude představovat jedno jejich vzájemné sportovní utkání. Definice 1.2.4. Kompletní graf je takový graf, který má každé dva vrcholy navzájem sousední. Značí se K n, kde n je počet vrcholů. Obrázek 6: Kompletní graf K 5 Kompletní graf je tedy takový graf, kde každý vrchol je spojený hranou se všemi ostatními vrcholy. Kompletní 1-VMV graf lze sestrojit pouze pokud n = 1. Ve sportovní tématice nám kompletní graf představuje klasický úplný skupinový turnaj, tedy turnaj, kde hraje každý s každým. Definice 1.2.5. Graf, jehož množina vrcholů je sjednocením dvou neprázdných disjunktních množin U a W a množina hran E = { u U w W : uw}, se nazývá kompletní bipartitní graf s partitami U a W. Značíme jej K m,n, kde m = U a n = W. Obrázek 7: Kompletní bipartitní graf K 3,2 Kompletní bipartitní graf si můžeme představit jako dvěskupiny (partity) vrcholů, kde vrchol není spojen hranou s vrcholy ve stejné skupině (parititě), ale je spojen se všemi ostatními vrcholy v druhé skupině (partitě). Jinak řečeno je spojen se všemi vrcholy, které s ním nejsou v jedné partitě. Definice 1.2.6. Podgrafem grafu G rozumíme libovolný graf A na podmnožině vrcholů V (A) V (G), který má za hrany libovolnou podmnožinu hran grafu G mající oba vrcholy ve V (A). Píšeme A G.

1 ÚVOD 9 Obrázek 8: Podgraf G = (V, E ) v grafu G s množinou vrcholů V = {x, y,z} a množinou hran E = {xz, yz} Definice 1.2.7. Cesta délky n se značí P n a má n + 1 vrcholů spojených za sebou n hranami. Obrázek 9: Cesta P n Definice 1.2.8. Cyklus délky n se značí C n a má n 3 vrcholů spojených do jednoho cyklu n hranami. Obrázek 10: Cyklus C n Definice 1.2.9. Strom T n je souvislý acyklický graf takový, jehož žádný podgraf není cyklus.

1 ÚVOD 10 Obrázek 11: Strom T n Definice 1.2.10. Ohodnocení grafu G je funkce f, která vrcholům nebo hranám v grafu G přiřadí čísla, nejčastěji z množiny přirozených čísel. V této bakalářské práci se budeme zabývat pouze vrcholovým ohodnocením grafu. Tedy ohodnocením kdy jsou hodnoty v ohodnocení f přiřazeny pouze vrcholům. Hranovým ohodnocením (hodnoty jsou přiřazeny jednotlivým hranám) a totálním ohodnocení (hodnoty jsou přiřazeny hranám i vrcholům) se zabývat nebudeme. Definice 1.2.11. Váha vrcholu x grafu G při ohodnocení f, značíme w f (x) se rovná: w f (x) = u N(x) f(u); Obrázek 12: 1-VMV graf s magickou konstantou k=5 Má-li každý vrchol v grafu stejnou váhu w f (x), potom je tento graf 1-VMV. Definice 1.2.12. 1-VMV ohodnocení grafu G = (V,E) je bijektivní zobrazení f : V (G) {1,2,3,...,n} takové, že pro každý vrchol x V (G) platí w f (x) = u N(x) f(u) = k;

1 ÚVOD 11 kde k je magická konstanta. 1-VMV ohodnocení se také často označuje anglickým názvem distance magic labeling. Jedná se o vrcholové ohodnocení, které přiřazuje každému vrcholu z grafu G číslo z množiny přirozených čísel, tak aby součet hodnot sousedních vrcholů byl stejný pro všechny vrcholy v grafu G. Pokud má nějaký graf takové ohodnocení, existuje v tomto grafu magická konstanta k. Příklad grafu s 1-VMV ohodnocením je na obrázku 12. Definice 1.2.13. Stupeň vrcholu x je roven počtu všech hran, které jsou s vrcholem x incidentní. Stupeň vrcholu x značíme deg(x). Ze stupně vrcholu x také získáváme informaci o tom, s kolika vrcholy je vrchol x sousední. Je zřejmé, že stupeň žádného vrcholu nemůže být větší než počet vrcholů v grafu bez vrcholu samotného. Vrchol sám se sebou nemůže být v jednoduchém grafu sousední. Nejvyšší možný stupeň, kterého může vrchol x V (G) nabývat, je deg(x) = V (G) 1. Definice 1.2.14. Pravidelný nebo také regulární graf je graf, který má všechny vrcholy stejného stupně. Často se takové to grafy označují například 3-pravidelný, kde číslovka před slovem pravidelný udává stupeň vrcholů v pravidelném grafu. 3-pravidelný graf má tedy všechny vrcholy stupně 3. Obrázek 13: 3-pravidelný graf Definice 1.2.15. Kompozice nebo také složení grafů G a H je graf, který má vrcholovou množinu V (G) V (H) a dva vrcholy (u 1, v 1 ) a (u 2, v 2 ) V (G) V (H) jsou spojeny hranou právě tehdy, když platí u 1 = u 2 a v 1 v 2 E(H), nebo u 1 u 2 E(G). Kompozici grafu G a H (v tomto pořadí) značíme G[H]. Kompozici si můžeme představit jako složení libovolného grafu s nějakým jiným grafem. Pokud máme tedy graf K p s 10 vrcholy (p = 10) a složíme tento graf s grafem K n se

1 ÚVOD 12 4 vrcholy (n = 4), bude mít výsledný graf K p [K n ] 40 vrcholů. Často také požadujeme, aby se při kompozici dvou grafů neporušila vlastnost být pravidelný. Technika kompozice je v teorii 1-VMV grafů velice užitečná a používaná. Vybrané věty, kde je kompozice použita, jsou uvedené v podkapitole 1.3. 1.3 Přehled známých výsledků V této kapitole se seznámíme se základními výsledky dosaženými na poli 1-VMV grafů. Tyto výsledky byly objeveny nezávisle na sobě. 1.3.1 Základní výsledky Věta 1.1. ([1]) Necht m, n > 1. Kompletní m-partitní graf, který má každou partitu velikosti n, je 1-VMV grafem tehdy a jen tehdy, pokud n je sudé, nebo pokud n a m jsou současně lichá čísla. Věta 1.2. ([1]) Necht f je magické ohodnocení grafu G = (V,E) pak x V (G) deg(x)f(x) = kn, kde n je počet vrcholů v grafu G a k je magická konstanta. Důsledek 1.1. ([1]) Necht G je r-pravidelný 1-VMV graf s magickou konstantou k na n vrcholech pak platí: k = r(n+1) 2 Důsledek 1.2. ([1]) Neexistuje takový 1-VMV r-pravidelný graf a kde r je liché. Věta 1.3. ([1]) Cesta P n je 1-VMV graf právě tehdy a jen tehdy, když n = 1, nebo n = 3. Cyklus C n je 1-VMV graf právě tehdy a jen tehdy, když n = 4. Kompletní graf K n je 1-VMV graf právě tehdy a jen tehdy, když n = 1. Kolo W n = C n + K 1 je 1-VMV graf právě tehdy a jen tehdy, když n = 4. Strom T je 1-VMV graf právě tehdy a jen tehdy, když T = P 1, nebo T = P 3. Tuto skupinu vět můžeme považovat za jádro teorie 1-VMV grafů. Obsahují základní vzorec (Věta 1.2), z tohoto vztahu můžeme odvodit vzorec pro výpočet magické konstanty k = r(n+1) 2. Pokud tedy máme nějaký pravidelný graf G, který je 1-VMV, můžeme pro tento graf za předpokladu, že známe počet vrcholů n a pravidelnost r dopočítat magickou konstantu k. Jako příklad si můžeme uvést 14-pravidelný graf na 19 vrcholech. Jak je ukázáno v kapitole 2, tento graf je 1-VMV grafem. Můžeme tedy dosadit hodnoty do vzorce:

1 ÚVOD 13 k = r(n+1) 2, k = 14(19+1) 2, k = 140, magická konstanta je tedy 140. Podíváme-li se na tento vzorec podrobněji, zjistíme, že nemůžeme za pravidelnost dosadit liché číslo a počet vrcholů sudé číslo. Pokud bychom tak učinili, vyšla by nám magická konstanta jako desetinné číslo. Z definice magické konstanty je zřejmé, že k musí být celé číslo. Po tomto zjištění tedy můžeme říct, že neexistuje 1-VMV, graf který by měl lichou pravidelnost. Pro sudá n to vyplývá z důsledku 1.1, pro lichá n z principu sudosti. Věta 1.1 hovoří o kompletních multipartitních grafech. Máme-li graf s m partitami a navíc každá partita má velikost n, kde m, n > 1, potom tento graf může být distance magic pouze tehdy, je-li n sudé, nebo n a m jsou lichá čísla. Jinak řečeno neexistuje kompletní multipartitní 1-VMV graf, který by měl sudý počet partit a lichý počet vrcholů. Obrázek 14: Cesta s 1-VMV ohodnocením a magickou konstantou k = 3 Dále jsou zde uvedeny počty vrcholů pro několik základních tříd grafů, pro které existuje 1-VMV graf dané třídy. Jako první můžeme zmínit graf cesty P n. Takový graf může byt distance magic pouze ve dvou případech. Prvním je, že tuto cestu vytvoříme pouze jedním vrcholem. Takový graf je 1-VMV vždy. Druhou možností je vytvořit cestu třemi vrcholy a dvěmi hranami, příklad této cesty je na Obrázku 14. Na cestu můžeme nahlížet jako na speciální typ stromu. Pro stromy jsou počty vrcholů umožňující existenci 1-VMV stejné. Tedy bud strom tvořený jedním, nebo třemi vrcholy. Dalším typem grafu je graf kolo. Tento graf podle definice vznikne ze dvou částí. První část tvoří nějaký cyklus, druhou část tvoří samostatný vrchol, který je sousední se všemi vrcholy v cyklu. Takový graf může být 1-VMV pouze tehdy, pokud cyklus, který tvoří první část tohoto grafu, bude sestrojen čtyřmi vrcholy. Pokud z kola W n = C 4 +K 1, které je magic distance, odebereme vrchol K 1, získáme cyklus C 4. Protože všem vrcholům v tomto cyklu vezmeme jednoho souseda, zmenší se váha každého vrcholu o stejné číslo. Tento cyklus bude tedy 1-VMV. Pro jiný počet vrcholů než n = 4 1-VMV cyklus neexistuje. Při aplikaci uvedených vět v podkapitole 1.3.1 na neúplné turnaje se dozvídáme, že nemůžeme uspořádat neúplný vyrovnaný turnaj takový, kde každý tým bude hrát lichý počet zápasů. V případě neúplného vyrovnaného turnaje jsme také schopni vypočítat obtížnost turnaje pro jednotlivé týmy (jde o vyrovnaný turnaj, je tedy tato obtížnost pro všechny týmy stejná). Obtížnost turnaje je ekvivalentem pro magickou konstantu, budeme tedy dosazovat do vzorce k = r(n+1) 2, kde k je výsledná obtížnost turnaje, r je počet zápasů, který každý tým odehraje a n je počet týmů v turnaji.

1 ÚVOD 14 1.3.2 Sudý počet vrcholů Existence 1-VMV grafu je pro sudý počet vrcholů zcela vyřešena, proto se při hledání 14-pravidelných 1-VMV grafů budeme zabývat pouze lichým počtem vrcholů. Věta 1.4. ([2]) r-pravidelný 1-VMV graf na sudém n existuje právě tehdy, je-li r-sudé v rozmezí 2 r n 2, r 0 (mod 2) a je splněná některá z následujících dvou podmínek: r 0 (mod 4) n r + 2 2 (mod 4) V praxi to znamená, že nemůžeme uspořádat neúplný vyrovnaný turnaj, pokud počet týmů i počet zápasů, které tyto týmy mají odehrát, není dělitelný 4 beze zbytku. Jako příklad si můžeme představit turnaj s 10 týmy, kde každý tým má hrát 6 zápasů. Počet týmů 10 není beze zbytku dělitelný 4 (10/4 = 2 zbytek 2), počet zápasů, který každý tým má odehrát, také není beze zbytku dělitelný 4 (6/4 = 1 zbytek 2). Tento turnaj tedy nemůže být vyrovnaný dle Věty 1.4. Věta 1.5. ([1]) Necht G je libovolný r-pravidelný graf. Pak G[K n ] je 1-VMV pro všechna sudá n. Tato věta nám tedy říká, máme-li libovolný r-pravidelný graf G, můžeme provést kompozici (složení grafu) grafu G s grafem K n tak, že pokud počet vrcholů n v grafu K n bude sudý, potom tento graf bude 1-VMV. Všimněte si, že výsledný graf G[K n ] má sudý počet vrcholů. Věta 1.6. ([1]) Necht G je libovolný r-pravidelný graf s k vrcholy, kde k je liché číslo a n je liché přirozené číslo. Pak r je sudé a graf G[K n ] je 1-VMV graf. Představme si, že máme opět graf G, tentokrát s lichým počtem vrcholů. Provedeme kompozici tohoto graf s grafem K n, který má také lichý počet vrcholů. Pokud navíc pravidelnost (r) bude sudé číslo, tak výsledný graf kompozice G[K n ] je 1-VMV graf. Věta 1.7. ([1]) Graf mk p [K n ], kde np je liché a m je sudé, p > 1, m 2 je 1-VMV právě tehdy, když p 3 (mod 4). Z Věty 1.7 tedy plyne, že můžeme složit m kopií grafu K p s grafem K n tak, aby byl výsledný graf 1-VMV, pokud platí, že: np je liché a m je sudé, p > 1, m 2 p 3 (mod 4).

1 ÚVOD 15 1.3.3 Lichý počet vrcholů Pokud bychom chtěli sestrojit nějaký pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu vrcholů, můžeme využít následující věty. Věta 1.8. ([1]) Necht m 1, n > 1 a p 3. mc p [K n ] má 1-VMV ohodnocení právě tehdy, když n je sudé nebo mnp je liché nebo n je liché a p 0 (mod 4). V této větě se opět setkáváme s pojmem kompozice (složení) grafů. Z Věty 1.8 se dozvídáme, že za předpokladu, kdy počet vrcholů v cyklu C p je nejméně tři (p 3), počet vrcholů v doplňku úplného grafu K n je větší než jedna (n > 1) a vezmeme nejméně jednu kopii (m 1), potom můžeme sestrojit lichý počet m-kopií grafu C p s grafem K n, tak, aby výsledný graf této kompozice byl 1-VMV, pokud počet vrcholů v grafu K n je sudý, nebo součin počtu kopií m, vrcholů v grafu C p a grafu K n je liché číslo (mnp je liché), nebo pokud je počet vrcholu v cyklu C p dělitelný čtyřmi bezezbytku (p 0 (mod 4)). 1.3.4 r-pravidelné grafy s malou hodnotou r Existence 1-VMV ohodnocení pravidelných grafů je na lichém počtu vrcholů zcela vyřešena pro 2-, 4-, 6-, 8-, 10- a 12-pravidelné grafy. Věta 1.9. ([1]) Graf G na n vrcholech je 1-VMV graf s magickou konstantou k = n + 1 právě tehdy a jen tehdy, když G = tc 4, kde t je přirozené číslo. 2-pravidelný 1-VMV graf existuje pouze na sudém počtu vrcholů, jinak řečeno, 1-VMV 2-pravidelný graf G existuje pouze je-li G t kopií cyklu C 4, tedy na 4,8, 12,16... vrcholech. Z věty 1.8 je zřejmé, že na lichém počtu vrcholů neexistuje 2-pravidelný graf takový, který by měl 1-VMV hodnocení. Věta 1.10. ([3]) 4-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu n existuje právě tehdy a jen tehdy, když n 17. Je zřejmé, že z tvrzení věty o 1-VMV 4-pravidelných grafech na lichém počtu vrcholů vyplývá, že takový nejmenší graf existuje na 17 vrcholech a pro všechna lichá n větší. Pro sudá n už od 6 vrcholů. Věta 1.11. ([4]) 6-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu n existuje právě tehdy a jen tehdy, když n = 9, nebo n 13. 1-VMV 6-pravidelný graf na sudém počtu vrcholů existuje na n = 8 a dále pro všechna n 12. Nejmenší 6-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu vrcholu existuje na 9 vrcholech. Můžeme tedy říct, že 6-pravidelný 1-VMV graf existuje, pro všechna lichá n větší, nebo rovno 9 s vyjímkou n = 11. 1-VMV graf na 11 vrcholech s pravidelností 6 neexistuje. Věta 1.12. ([4]) 8-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu n existuje právě tehdy a jen tehdy, když n 15.

1 ÚVOD 16 Nejmenší 8-pravidelný 1-VMV graf existuje pro sudá n na n = 10, n = 12 a dále pro všechna n 14. V případě 8-pravidelných grafů na lichém počtu vrcholů je hranice existence 1-VMV ohodnocení na 15 vrcholech. 1-VMV 8-pravidelný graf může existovat, pokud počet vrcholů je lichý a je nejméně 15. Věta 1.13. ([4]) 10-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu n existuje právě tehdy a jen tehdy, když n 15. Na sudém n může existovat 10-pravidelný 1-VMV graf, pokud n = 12, a n 14. V případě lichého počtu u vrcholu u 10-pravidelných grafů, je hranice existence stejná jako u grafů 8-pravidelných. Tedy pro všechny grafy, které mají počet vrcholů lichý a nejméně 15, může existovat 1-VMV 10-pravidelný graf. Věta 1.14. ([4]) 12-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu n existuje právě tehdy a jen tehdy, když n 15. 12-pravidelné 1-VMV grafy existují na sudém počtu vrcholů jen tehdy, pokud n 14. 1-VMV 12-pravidelné grafy mohou existovat pro lichá n, pouze pokud platí n 15, stejně jako u 8 nebo 10 pravidelných grafů. 1.3.5 Grafy, pro které 1-VMV ohodnocení neexistuje Pokud se zabýváme 1-VMV grafy, můžeme se také zajímat o to, jak poznáme, že pro nějaký graf 1-VMV ohodnocení neexistuje. V následujícím souboru vět je ukázáno, pro které grafy 1-VMV ohodnocení neexistuje. Věta 1.15. ([1]) Necht u a v jsou vrcholy z 1-VMV grafu G. Pak N(u) N(v) = 0 nebo N(u) N(v) 3 (symbolem A B značíme symetrickou diferenci množiny A a množiny B ). Setkáváme se zde s pojmem symetrická diference množin. Tato množinová operace je někdy také označována jako symetrický rozdíl, A B je tedy množina prvků, které náleží do A nebo do B, nikoliv však do A i do B současně. Důsledek 1.3. ([1]) Necht G je graf řádu n, který má dva vrcholy stupně n 1. Pak G není 1-VMV. Pokud se v libovolném grafu nacházejí dva vrcholy stejného stupně velikosti n 1 (deg(u) = deg(v) = n 1), potom tento graf nemůže být 1-VMV, protože z celkového součtu n i=1 (i), bude každému vrcholu scházet jiné číslo. Důsledek 1.4. ([1]) Každý kompletní multipartitní graf se dvěma partitami velikosti 1 není 1-VMV. Máme-li multipartitní graf se dvěma partitami, kde každá partita má 1 vrchol, tak tento graf není nic jiného než dva sousední vrcholy. Takový graf nemůže být nikdy 1-VMV. Důsledek 1.5. ([1]) Pokud graf G má cestu (u, v, w, t,p) se stupněm vrcholů deg(v) = deg(t) = 2, pak G není 1-VMV.

1 ÚVOD 17 Sdělení této věty je zcela zřejmé. Jsou-li stupně vrcholů v a t v cestě (u, v, w, t,p) rovny dvěma, potom graf obsahující tuto cestu nemá 1-VMV ohodnocení. Pokud platí deg(v) = deg(u) = 2, potom váha vrcholu v je rovna W f (v) = f(u) + f(v)= w f (t) = f(w) + f(p), kde ohodnocení f(w) se zkrátí pro f(u) = f(v), což není možné. Z toho vyplývá, že f není injektivní a graf není 1-VMV. Věta 1.16. ([1]) Pokud G obsahuje dva vrcholy u a v takové že N(u) N(v) = deg(v) 1 = deg(u) 1, pak G nemá 1-VMV ohodnocení. Pokud průnik množiny sousedních vrcholů vrcholu u a vrcholu v je o jedničku menší než stupeň vrcholu v a současně o jedničku menší než stupeň vrcholu u, potom tento graf nemá 1-VMV ohodnocení. Obecnější než důsledek 1.3. Věta 1.17. ([1]) Necht G je graf na n vrcholech s maximálním stupněm a minimálním stupněm δ. Pokud ( + 1) > δ(2n δ + 1) pak G není 1-VMV. Jsou-li v grafu velké rozdíly mezi stupni vrcholů, tak v takovém grafu neexistuje 1- VMV ohodnocení. Věta 1.18. ([1]) Graf mk p [K n ] kde np je liché, m je sudé, p 1 (mod 4) a p > 1, není 1-VMV. O grafu mk p [K n ] jsme se již v podkapitole 1.3 zmiňovali. Kdy pro tento graf 1-VMV ohodnocení neexistuje? Pokud je součin počtu vrcholů v grafu K n a počtu vrcholů v grafu K p lichý (np je liché), počet kopii je sudý (m je sudé), p je větší než jedna (p > 1) a není dělitelné 4 bezezbytku (p 1 (mod 4)), potom tento graf není 1-VMV. Věta 1.19. ([1]) Necht n je liché, k r 2 (mod 4) a G je r-pravidelný graf s k vrcholy. Pak G[K n ] není 1-VMV. Vezmeme-li r-pravidelný graf G na k vrcholech a provedeme jeho kompozici (složení) s doplňkem kompletního grafu K n, který má lichý počet vrcholů (n je liché), potom tento graf není 1-VMV pokud, k i r dávají zbytek 2 po dělení 4.

2 NOVÉ VÝSLEDKY 18 2 Nové výsledky V této podkapitole jsou zahrnuty nové výsledky, kterých jsme dosáhli při práci na této bakalářské práci. Jak již bylo zmíněno v podkapitole 1.3, pro sudý počet vrcholů je existence pravidelných 1-VMV grafů vyřešena. Z tohoto důvodu jsme se zabývali pouze grafy s lichým počtem vrcholů, přesněji existencí 1-VMV ohodnocení 14-pravidelných grafů na lichém počtu vrcholů. 2.1 14-pravidelné grafy V článku ([5]) byly nalezeny všechny (n 3)-pravidelné grafy na n vrcholech. Věta 2.1. ([5]) (n 3) pravidelný graf na n vrcholech existuje právě, tehdy když n 0 (mod 3). Navíc struktura grafu je jednoznačně určena-jedná se o K n 3 [K 3]. Nyní ukážeme, že: Věta 2.2. 14-pravidelný 1-VMV graf na n vrcholech neexistuje pro žádné n < 19. Důkaz. Nejmenší případ, kdy lze sestrojit 14-pravidelný graf, je na 15 vrcholech. Takový graf nazýváme grafem kompletním. V tomto grafu je každý vrchol v 1, v 2,...,v 15 spojený hranou se všemi zbývajícími 14 vrcholy. Pro vrchol s ohodnocením i je váha v magickém ohodnocení w i rovna součtu vah vrcholů sousedních, w(v i ) = f(v 1 )+f(v 2 )+...+f(v 15,) f(v i ), z toho plyne, že pro každý vrchol v takovémto grafu bude váha jiná. Graf K 15 nemá 1-VMV. Z Věty 2.1 je zřejmé, že ani na 17 vrcholech neexistuje 14-pravidelný 1-VMV graf, protože 17 není dělitelné číslem 3. 2.1.1 Podgraf A V následující konstrukci budeme používat graf A. Proto si jej nyní popíšeme. Graf A je uspořádaná dvojice A = (V, E ), kde V (A) je množina vrcholů: a E (A) je množina všech hran: E (A) = V (A) = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 1, y 2, y 3, y 4 y 5, y 6 } {x 1 x 2, x 1 y 2, y 1 x 2, y 1 y 2, x 2 x 3, x 2 y 2, y 3 x 2, y 2 y 3, x 1 x 3, x 1 y 3, y 1 x 3, y 1 y 3, x 3 x 4, x 3 y 4, y 3 x 4, y 3 y 4, x 4 x 5, x 4 y 5, y 4 x 5, y 4 y 5, x 5 x 6, x 5 y 6, y 5 x 6, y 5 y 6, x 4 x 6, x 4 y 6, y 4 x 6, y 4 y 6, x 1 x 6, x 1 y 6, y 1 x 6, y 1 y 6, }

2 NOVÉ VÝSLEDKY 19 Pro vrcholy x 1, y 1,...,x n, y n bude platit: f(x 1 )+f(y 1 ) = f(x 2 )+f(y 2 ) = f(x 3 )+f(y 3 ) = f(x 4 ) + f(y 4 ) = f(x 5 ) + f(y 5 ) = f(x 6 ) + f(y 6 ) = n + 1. Hrany, které nejsou tučně zvýrazněny x 1 x 2, x 1 y 2, y 1 x 2, y 1 y 2, x 1 x 3, x 1 y 3, y 1 x 3, y 1 y 3, x 3 x 4, x 3 y 4, y 3 x 4, y 3 y 4, x 4 x 5, x 4 y 5, y 4 x 5, y 4 y 5, x 4 x 6, x 4 y 6, y 4 x 6, y 4 y 6, x 1 x 6, x 1 y 6, y 1 x 6, y 1 y 6, budou při vytváření grafu G z podgrafu A odstraněny. Tyto hrany jsou v obrázku 15 zvýrazněny červenou barvou. Dále budeme množinu hran, které mají být odstraněny, označovat velkým písmenem O. Naopak hrany zvýrazněné tučně jsou, v obrázku 15 zvýrazněny barvou zelenou: x 2 x 3, x 2 y 2, y 3 x 2, y 2 y 3, x 5 x 6, x 5 y 6, y 5 x 6, y 5 y 6, v podgrafu A ponecháme, budou důležité v dalším kroku konstrukce. Obrázek 15: Podgraf A

2 NOVÉ VÝSLEDKY 20 2.1.2 Důkaz existence 14-pravidelných 1-VMV grafů Nyní ukážeme: Věta 2.3. Pokud existuje 14-pravidelný 1-VMV graf G na n vrcholech, kde n 19 a n je liché s podgrafem A (Obrázek 15), kde f(x 1 ) + f(y 1 ) = f(x 2 ) + f(y 2 ) = f(x 3 ) + f(y 3 ) = f(x 4 )+f(y 4 ) = f(x 5 )+f(y 5 ) = f(x 6 )+f(y 6 ) = n+1, pak existuje 14-pravidelný 1-VMV graf na n + 4t vrcholech pro všechna nezáporná celá čísla t. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí vzhledem k počtu vrcholů, ukážeme, že pokud máme 14-pravidelný 1-VMV graf G na n vrcholech (n 19 a n je liché) s podgrafem A u kterého platí: f(x 1 ) + f(y 1 ) = f(x 2 ) + f(y 2 ) = f(x 3 ) + f(y 3 ) = f(x 4 ) + f(y 4 ) = f(x 5 ) + f(y 5 ) = f(x 6 ) + f(y 6 ) = n + 1. Pak můžeme sestavit na V (G) + 4 vrcholech 1-VMV graf G takový, který bude obsahovat jiný podgraf A, kde bude pro nějaké vrcholy x 1, y 1,...,x n, y n platit f(x 1 ) + f(y 1 ) = f(x 2 ) + f(y 2 ) = f(x 3 ) + f(y 3 ) = f(x 4 ) + f(y 4 ) = f(x 5 ) + f(y 5 ) = f(x 6 ) + f(y 6 ) = n + 5. Zároveň bude graf G mít 1-VMV ohodnocení. Předpokládejme, že G je 14-pravidelný 1-VMV graf na n vrcholech (kde n 19 a n je liché) s magickým ohodnocením f, který obsahuje podgraf A. Obrázek 16 znázorňuje přidání 4 nových vrcholů s 1, s 2, s 3, s 4 do podgrafu A grafu G. Nově vzniklý graf budeme označovat G. Ukážeme, že existuje 1-VMV ohodnocení f grafu G na n + 4 vrcholech, kde G vzniká z G odstraněním 24 hran množiny O (tyto hrany jsou na Obrázku 16 zakresleny červenou barvou), přidáním 4 nových vrcholů s 1, s 2, s 3, s 4, pro které platí: f(s 1 ) + f(s 2 ) = f(s 3 ) + f(s 4 ) = n + 5 a přidáním dalších 52 hran. V Obrázku 16 jsou přidané hrany zakresleny barvou černou a modrou, jsou to hrany: s 1 x 1, s 1 x 2, s 1 x 3, s 1 x 4, s 1 x 5, s 1 x 6, s 1 y 1, s 1 y 2, s 1 y 3, s 1 y 4, s 1 y 5, s 1 y 6, s 2 x 1, s 2 x 2, s 2 x 3, s 2 x 4, s 2 x 5, s 2 x 6, s 2 y 1, s 2 y 2, s 2 y 3, s 2 y 4, s 2 y 5, s 2 y 6, s 3 x 1, s 3 x 2, s 3 x 3, s 3 x 4, s 3 x 5, s 3 x 6, s 3 y 1, s 3 y 2, s 3 y 3, s 3 y 4, s 3 y 5, s 3 y 6, s 4 x 1, s 4 x 2, s 4 x 3, s 4 x 4, s 4 x 5, s 4 x 6, s 4 y 1, s 4 y 2, s 4 y 3, s 4 y 4, s 4 y 5, s 4 y 6 Množinu přidaných hran dále budeme označovat velkým písmenem P. Je zřejmé, že budeme-li provádět operace přidávání a odebírání hran, můžeme tím narušit pravidelnost grafu. Pokud odebereme hrany O, tak se vrcholům x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6 zmenší stupeň o 4. Znamená to tedy, že jejich stupeň nyní bude pouze (14 4) = 10. Chybějící 4 hrany každého vrcholu doplníme přidáním hran z množiny P. Každý vrchol x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 1, y 2, y 3, y 4, spojíme jednou hranou s každým z vrcholů s 1, s 2, s 3, s 4. Tím budeme mít u vrcholů x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 1, y 2, y 3, y 4 opět zajištěn stupeň 14. Nově přidané vrcholy s 1, s 2, s 3, s 4 mají zatím stupeň pouze 12. Chybějící dvě

2 NOVÉ VÝSLEDKY 21 hrany u vrcholů s 1, s 2, s 3, s 4 doplníme přidáním hran: s 1 s 3, s 1 s 4, s 2 s 3, s 2 s 4 (modré hrany na obrázku 16). Tím budeme mít zajištěn stupeň 14 i u těchto zbývajících vrcholů. Obrázek 16: Přidání 4 vrcholů do podgrafu A, který je podgrafem G Podívejme se na následující ohodnocení f grafu G. f (v) = f(v) + 2 pro v V (G), 1 pro v = s 1, n + 4 pro v = s 2, 2 pro v = s 3, n + 3 pro v = s 4 (1) Protože čísla 1,2 jsou přiřazeny vrcholům s 1, s 3 a čísla 3,4,...,n + 2 jsou na vrcholech V (G) a zbývající čísla n+3 a n+4 jsou na vrcholech s 2 a s 4, tak je každé z čísel 1,2,...,n+4 použito právě jednou. Je zřejmé, že f je bijekcí V (G ) {1,2,...,n + 4}. Nyní ukážeme, že váha všech vrcholů v v grafu G je 7(n + 5). Začneme nejprve nově přidanými vrcholy s 1, s 2, s 3, s 4. Pro s 1 a s 2 platí: w f (s 1 ) = w f (s 2 ) = 6 i=1 (f (x i ) + f (y i )) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = f (x 1 ) + f (y 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 ) + f (x 6 ) + f (y 1 ) + f (y 2 ) + f (y 3 ) + f (y 4 ) + f (y 5 ) + f (y 6 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = f(x 1 ) + 2 + f(x 2 ) + 2 + f(x 3 ) + 2 + f(x 4 ) + 2 + f(x 5 ) + 2 + f(x 6 ) + 2 + f(y 1 ) + 2 + f(y 2 ) + 2 + f(y 3 ) + 2 + f(y 4 ) + 2 + f(y 5 ) + 2 + f(y 6 ) + 2 + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 12 2 + ( f(x 1 ) + f(y 1 ) ) + ( f(x 2 ) + f(y 2 ) ) + ( f(x 3 ) + f(y 3 ) ) + ( f(x 4 ) + f(y 4 ) ) + ( f(x5 ) + f(y 5 ) ) + ( f(x 6 ) + f(y 6 ) ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) =

2 NOVÉ VÝSLEDKY 22 = 24 + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + 2 + (n + 3) = = 24 + 6(n + 1) + 2 + (n + 3) = (7n + 35) = = 7(n + 5). Pro s 3 a s 4 budeme postupovat stejně jako v předešlém případě. w f (s 3 ) = w f (s 4 ) = 6 i=1 (f (x i ) + f (y i )) + f (s 1 ) + f (s 2 ) = = f (x 1 ) + f (y 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 ) + f (x 6 ) + f (y 1 ) + f (y 2 ) + f (y 3 ) + f (y 4 ) + f (y 5 ) + f (y 6 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) = = f(x 1 ) + 2 + f(x 2 ) + 2 + f(x 3 ) + 2 + f(x 4 ) + 2 + f(x 5 ) + 2 + f(x 6 ) + 2 + f(y 1 ) + 2 + f(y 2 ) + 2 + f(y 3 ) + 2 + f(y 4 ) + 2 + f(y 5 ) + 2 + f(y 6 ) + 2 + f (s 1 ) + f (s 2 ) = = 12 2 + ( f(x 1 ) + f(y 1 ) ) + ( f(x 2 ) + f(y 2 ) ) + ( f(x 3 ) + f(y 3 ) ) + ( f(x 4 ) + f(y 4 ) ) + ( f(x5 ) + f(y 5 ) ) + ( f(x 6 ) + f(y 6 ) ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) = = 24 + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + 1 + (n + 4) = = 24 + 6(n + 1) + 2 + (n + 3) = (7n + 35) = = 7(n + 5). Nyní budeme počítat váhu vrcholů x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6. Pro x 1 a y 1 : w f (x 1 ) = w f (y 1 ) = = w f (x 1 ) + 10 2 f (x 6 ) f (y 6 ) f (x 2 ) f (y 2 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f(x) + 20 [ f(x 6 ) + f(y 6 ) + f(x 2 ) + f(y 2 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5). U zbývajících vrcholu v podgrafu A budeme postupovat stejně. Pro x 2 a y 2 : w f (x 2 ) = w f (y 2 ) = = w f (x 2 ) + 10 2 f (x 6 ) f (y 6 ) f (x 1 ) f (y 1 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f (x) + 20 [ f(x 6 ) + f(y 6 ) + f(x 1 ) + f(y 1 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5). Pro x 3 a y 3 : w f (x 3 ) = w f (y 3 ) = = w f (x 3 ) + 10 2 f (x 4 ) f (y 4 ) f (x 5 ) f (y 5 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f (x) + 20 [ f(x 4 ) + f(y 4 ) + f(x 5 ) + f(y 5 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5).

2 NOVÉ VÝSLEDKY 23 Pro x 4 a y 4 : w f (x 4 ) = w f (y 4 ) = = w f (x 4 ) + 10 2 f (x 3 ) f (y 3 ) f (x 5 ) f (y 5 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f (x) + 20 [ f(x 3 ) + f(y 3 ) + f(x 5 ) + f(y 5 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5). Pro x 5 a y 5 : w f (x 5 ) = w f (y 5 ) = = w f (x 5 ) + 10 2 f (x 3 ) f (y 3 ) f (x 4 ) f (y 4 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f (x) + 20 [ f(x 3 ) + f(y 3 ) + f(x 4 ) + f(y 4 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5). Pro x 6 a y 6 : w f (x 6 ) = w f (y 6 ) = = w f (x 6 ) + 10 2 f (x 1 ) f (y 1 ) f (x 2 ) f (y 2 ) + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = w f (x) + 20 [ f(x 1 ) + f(y 1 ) + f(x 2 ) + f(y 2 ) ] + f (s 1 ) + f (s 2 ) + f (s 3 ) + f (s 4 ) = = 14(n+1) 2 + 20 2(n + 1) + 2(n + 5) = = 7n + 7 + 20 2 + 10 = = 7(n + 5). Nyní zbývá vypočítat váhu pro zbývající vrcholy v grafu G w f (v) = u N B (V ) f (u) = u w G (V )(f(u) + 2) = w f (v) + 14 2 = 14(n+1) 2 + 28 = 7(n + 5). Tímto jsme dokázali, že váha pro všechny vrcholy v grafu G je stejná. Sestrojíme G s n + 4. Opakováním postupu t-krát, dostaneme graf s n + 4t vrcholy. Důkaz končí. V kapitole 1.3 jsme ukázali, pro jaké počty vrcholů existují 2-, 4-, 6-, 8-, 10-, 12- pravidelné grafy. Nyní ukážeme, pro jaké počty vrcholů existují 14-pravidelné grafy. Věta 2.4. 14-pravidelný 1-VMV graf na lichém počtu vrcholů existuje právě tehdy, když n 19.

2 NOVÉ VÝSLEDKY 24 Důkaz. Jak jsme dokázali výše, pro n < 19 žádný 1-VMV graf na lichém počtu vrcholů neexistuje. Na obrázku 17 je nakreslen 1-VMV graf pro n = 19, v tomto grafu je červeně zvýrazněn podgraf A, který umožňuje konstrukci podle Věty 2.3. Z Věty 2.3 plyne, že tím máme zajištěno 1-VMV ohodnocení ve všech n = 19 + 4t grafech, kde t je reálné číslo. Obrázek 17: 14-pravidelný graf na 19 vrcholech s podgrafem A Kompozicí grafu na 19 vrcholech o 4 vrcholy ovšem nepokryjeme celou množinu grafů, pro které platí n 19. Tímto postupem vynecháme všechny grafy na n vrcholech, pro které platí: n = 19 + 2c, kde c je liché přirozené číslo. Pro tyto grafy musíme použít nejlépe nový startovní graf na 21 vrcholech. Jak je vidět na Obrázku 18 i tento graf obsahuje požadovaný podgraf A. Na tento graf tedy můžeme také použít techniku Věty 2.3, kterou jsem využili v případe grafu na 19 vrcholech. Tím máme zaručeno, že existuje 1-VMV ohodnocení i pro zbývající grafy na n = 19 + 2c vrcholech.

2 NOVÉ VÝSLEDKY 25 Obrázek 18: 14-pravidelný graf na 21 vrcholech s podgrafem A 2.1.3 Hledání podgrafu A ve startovních grafech. Nyní si ukážeme, jakým způsobem jsme hledali podgraf A ve startovních podgrafech kterými jsou: 14-pravidelný graf na 19 vrcholech 14-pravidelný graf na 21 vrcholech V případě grafu s 19 vrcholy jsme postupovali následovně: Použili jsme pomocný software jehož autorem je Petr Kovář, který hledá pro daný počet vrcholů a danou pravidelnost všechny grafy (tento software je vhodný pouze pro malé počty vrcholů). Jako parametry jsme zadali 19 vrcholů a pravidelnost 14. Výsledkem spuštěného vyhledávaní byl seznam všech 14-pravidelných 1-VMV grafů na 19 vrcholech, který měl následující podobu: (vybrali jsme ukázku) Labeling #12: Vertex 1 ; label= 1, degree= 14, neighbours: 2,3,4,5,6,7,8,9,12,14,16,17,18,19 Vertex 2 ; label= 2, degree= 14, neighbours: 1,3,4,5,7,8,9,10,11,14,15,16,18,19 Vertex 3 ; label= 3, degree= 14, neighbours: 1,2,4,6,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18 Vertex 4 ; label= 4, degree= 14, neighbours: 1,2,3,5,6,7,10,11,12,13,16,17,18,19 Vertex 5 ; label= 5, degree= 14, neighbours: 1,2,4,6,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18 Vertex 6 ; label= 6, degree= 14, neighbours: 1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19 Vertex 7 ; label= 7, degree= 14, neighbours: 1,2,4,6,8,9,10,11,12,13,14,15,16,19

2 NOVÉ VÝSLEDKY 26 Vertex 8 ; label= 8, degree= 14, neighbours: 1,2,3,5,6,7,10,12,13,14,15,16,17,19 Vertex 9 ; label= 9, degree= 14, neighbours: 1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,16,18,19 Vertex 10 ; label= 10, degree= 14, neighbours: 2,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,18 Vertex 11 ; label= 11, degree= 14, neighbours: 2,3,4,5,6,7,9,10,13,14,15,16,17,19 Vertex 12 ; label= 12, degree= 14, neighbours: 1,3,4,5,6,7,8,10,13,14,15,17,18,19 Vertex 13 ; label= 13, degree= 14, neighbours: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,17,18 Vertex 14 ; label= 14, degree= 14, neighbours: 1,2,3,5,7,8,9,11,12,13,15,17,18,19 Vertex 15 ; label= 15, degree= 14, neighbours: 2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,18,19 Vertex 16 ; label= 16, degree= 14, neighbours: 1,2,4,6,7,8,9,10,11,13,15,17,18,19 Vertex 17 ; label= 17, degree= 14, neighbours: 1,3,4,5,6,8,10,11,12,13,14,16,18,19 Vertex 18 ; label= 18, degree= 14, neighbours: 1,2,3,4,5,9,10,12,13,14,15,16,17,19 Vertex 19 ; label= 19, degree= 14, neighbours: 1,2,4,6,7,8,9,11,12,14,15,16,17,18 Příklad výpisu z PC software. Na příkladu lze vidět, že v prvním řádku je udáno číslo grafu, tedy číslo udávající pořadí v jakém byl graf programem objeven. V prvním sloupci jsou jednotlivé vrcholy, ve druhém jejich hodnota, ve třetím pravidelnost a ve čtvrtém jsou všichni sousedé daného vrcholu. Jak bylo již zmíněno, v podgrafu A jsou velice důležité ty dvojice vrcholů, pro které platí f(x i ) + f(y i ) = n + 1. Ve 14-pravidelném grafu na 19 vrcholech jsou dvojice, které tento předpis splňují následující: (1,19); (2,18); (3,17); (4,16); (5,15); (6, 14); (7,13); (8, 12); (9,11); Zjistili jsme, se kterou dvojicí je každý vrchol spojený. Vezmeme li si například vrchol 1, jehož sousedem je vrchol 2 a vrchol 18. Bude tento vrchol spojený s dvojicí (2,18). Takto jsme zjistili všechny ostatní dvojice pro všechny vrcholy. Jakmile jsme všechny tyto dvojice našli, začali jsme se zabývat tím, které dvojice jsou spolu sousední. Způsob jakým jsme postupovali si můžeme ukázat například na dvojici (1,19). Pokud již víme se kterou dvojicí je spojený vrchol 1 a vrchol 19, tak dvojice, které jsou pro tyto vrcholy společné jsou sousední s dvojicí (1,19). Tedy pokud je vrchol 1 a 19 spojený s dvojicí (2,18) je dvojice vrcholů (1,19) s dvojicí (2,18) sousední. V grafu ve kterém hledáme podgraf A jsem tedy určili, které dvojice vrcholů dávající součet vah n + 1 obsahuje a jak jsou tyto dvojce mezi sebou sousední. Nyní je na řadě abychom prošetřili, zda nalezené dvojice, tvoří v grafu se kterým pracujeme podgraf A. Pro ulehčení hledání podgraf A zjednodušíme. Každou dvojici která splňuje podmínku f(x i )+f(y i ) = n+1, si představíme jako vrchol jeden. Tyto nově vzniklé vrcholy označme q 1,...,q m (kde m je počet těchto dvojic v prohledávané grafu). Čtyři hrany, které jsou mezi incidentními dvojicemi vrcholů, splňující tuto podmínku, znázorníme jako hranu jednu. Na obrázku 19 je zakreslen výsledný zjednodušený podgraf, který vznikl z grafu A výše zmíněnými úpravami. Tento graf budeme značit B.

2 NOVÉ VÝSLEDKY 27 Obrázek 19: Podgraf B V posledním kroku budeme dosazovat do schématu na Obrázku 19 jednotlivé vrcholy q 1,...,q n a kombinovat je tak aby podgraf B utvořili. Jakmile najdeme takovou kombinaci vrcholů, která tento podgraf tvoří, a při tvorbě tohoto podgrafu jsme postupovali podle výše popsaného postupu, nalezli jsem zároveň podgraf A. Pro graf s 21 vrcholy, jsme postupovali následovně: Tento graf je tripartitní. Každá partita má 7 vrcholů, jednotlivé vrcholy v paritě jsou sousední se všemi vrcholy ve zbývajících dvou paritách. V jedné partitě vrcholy navzájem sousední nejsou. Pokud tedy tento graf sestavíme tak, aby se rovnal součet vrcholů v jednotlivých paritách dostaneme 1-VMV graf. To lze snadno provést. Začneme tím že si nakreslíme magický čtverec 3 3 (Obrázek 20), magický čtverec, který má součet prvků v jednotlivých sloupcích a řádcích stejný. Sestrojením magického čtverce docílíme toho, že bude mít 3 parity s 3 prvky, kde každá partita dává stejný součet. Obrázek 20: Magický čtverec 3 3 s magickou konstantou k = 15 Zbývající 4 prvky do každé partity doplníme tak, že pod magický čtverec začneme psát postupně další vrcholy od nejmenšího po největší. Začneme zleva doprava a na novém řádku směr obrátíme, tím vytvoříme 1-VMV graf na 21 vrcholech. Navíc pokud jsem takto postupovali, tak vrcholy od 4 až do 7 řádku, které jsou ve stejném sloupci dávají stejný součet.

2 NOVÉ VÝSLEDKY 28 Obrázek 21: Rozložení vrcholů pro 1-VMV tripartitní graf na 21 vrcholech. Když máme takto rozmístěné vrcholy, vyhledáme v každé paritě, tak jako předešlém případě, dvojice splňující f(x i )+f(y i ) = n+1. Protože se jedná a tripartitní graf, tak dvojice v jedné partitě bude spojená s každou dvojicí ve zbývajících dvou partitách. Můžeme také jednotlivé dvojice, které potřebujeme mít v podgrafu A, získat prohozením vhodných dvojic vrcholů v partitách, a to využitím toho, že od 4 řádku mají dva vrcholy pod sebou v každém řádku vždy stejný součet. Tedy když prohodíme vrcholy v jednotlivých paritách pod sebou za vrcholy na stejné pozici v jiné paritě, nezmění se celkový součet partity. Prohazováním jednotlivých vrcholů dostaneme potřebné dvojice, které se svým uskupením tvoří podgraf A. Takové to výsledné rozložení vrcholů je na Obrázku 21, kde každá partita je reprezentována jedním sloupcem.

3 ZÁVĚR 29 3 Závěr V této bakalářské práci jsme se zabývali problematikou 1-VMV ohodnocení grafů a jeho aplikaci na sportovní turnaje. Jsou zde zahrnuty základní pojmy a dosud známé výsledky, které jsme rozšířili o konstruktivní důkaz existence 14-pravidelných grafů, pro liché počty vrcholů. Zjistili jsme, že zatím co pro 14-pravidelné grafy na sudém počtu vrcholů existuje magické ohodnocení již na 16 vrcholech, tak pro liché počty vrcholů je hranicí existence 19 vrcholů. Nejmenší počet vrcholů, kdy 14-pravidelný graf existuje, je 15, tento graf je grafem kompletním a není 1-VMV. Jak bylo dokázáno Petrem Kovářem a Adamem Silberem, v článku Distance magic graphs of high regularity (v této práci Věta 2.1) ani na 17 vrcholech neexistuje 14-pravidelný 1-VMV graf. Dalším lichým počtem vrcholů v pořadí je tedy 19. Podařilo se najít 19.pravidelný 1-VMV graf. Dále jsem ukázali, že pokud v takovém to grafu existuje speciální podgraf A, bude tento graf 1-VMV. Následně jsem dokázali, že takový to podgraf je možné nalézt ve všech grafech, kde počet vrcholů je 19 + 2t, kde t je celé kladné číslo. K tomuto důkazu jsme zvolili důkazovou techniku matematickou indukcí. Vycházeli jsme ze dvou startovních grafů. Ze 14-pravidelného grafu na 19 vrcholech, kde jsem dokázali, že 1-VMV ohodnocení existuje pro všechny grafy na 19 + 4t vrchole a z grafu na 21 vrcholech, kde jsme stejný způsobem ukázali, že magické ohodnocení existuje ve všech grafech na 21 + 4t vrcholech. Tím jsme dokázali existenci 14-pravidelných 1-VMV grafů pro všechny liché počty vrcholů n 19. Tento důkaz rozšiřuje dosud známé výsledky pravidelných magicky ohodnocených grafů na lichém počtu vrcholů. Původní výsledky 1-VMV 2-, 4-, 6-, 8-, 10-, 12-pravidelných grafů tato práce rozšiřuje o grafy 14-pravidelné. Navázali jsem na sérii obdobných článků, z nichž některé jsou zaslané a některé již přijaté, nebo publikované. V podobném duchu čekáme, že je možno řešit i 16- nebo 2t-pravidelné grafy pro přirozené číslo t, u kterých však bude konstrukce náročnější. Bude zapotřebí provést větší indukční krok, tedy přidat více vrcholů a bude mnoho velkých startovních grafů.