Teorie řízení technologických procesů I

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Teorie řízení technologických procesů I testovací učební text Milan HEGER, Alois BURÝ Ostrava 207

POKYNY KE STUDIU Teorie řízení technologických procesů I Pro předmět Teorie řízení technologických procesů I jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu. Prerekvizity Nejsou nutnou podmínkou. Cílem předmětu a výstupy z učení Cílem předmětu je seznámení s problematikou automatického řízení a problematice řešení úloh řízení technologických agregátů obecně. Po prostudování předmětu by měl student být schopen: výstupy znalostí: Student bude znát základní pojmy a vztahy teorie automatického řízení. Student bude znát základní principy řízení. Student bude znát vlastnosti dynamických systémů. Student bude znát funkce řídicích systémů. výstupy dovedností: Student bude umět klasifikovat a aplikovat jednotlivé metody teorie automatického řízení v praxi. Student bude umět navrhovat postupy pro automatické řízení jednotlivých technologických agregátů. Student bude umět analyzovat problematiku technické aplikace automatického řízení technologických agregátů. Pro koho je předmět určen Předmět je zařazen do bakalářského studia na FMMI, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity. Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura. Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup: Pozorně přečíst teoretickou část kapitoly. Ihned si na počítači vyzkoušet všechny, byť jen dílčí příklady. 2

Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání úloh k řešení a snažit se je tvůrčím způsobem modifikovat. Způsob komunikace s vyučujícími: Podrobnější pokyny, tak jako úkoly, programy a projekty budou zadány vyučujícím na počátku přímé kontaktní výuky. Výsledky budou kontrolovány dle pokynů vyučujícího. Konzultace je možno domluvit s vyučujícím přímo ve výuce nebo e-mailem s vyučujícím, který naleznete v kontaktech VŠB-TU Ostrava. K orientaci v textu vám mohou sloužit následující ikony: Čas ke studiu: xx hodin Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Čas strávený nad každou kapitolou bude značně závislý na množství příkladů, které budete řešit samostatně na počítači a hloubce jejich propracování. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět popsat... definovat... vyřešit... Nejprve se seznámíte s cíli, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly. Jde o konkrétní dovednosti, znalosti a praktické zkušenosti, které studiem kapitoly získáte. Výklad Následuje výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a odkazy na výukové programy s animacemi. Shrnutí pojmů Na závěr kapitoly jsou stručně zopakovány významné pasáže a pojmy, které si máte osvojit. Otázky 3

Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických, ale i praktických otázek. Úlohy k řešení Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam předmětu, a to schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací. Spojení s pedagogem Pro studenty kombinovaného studia jsou přednášející a cvičící pedagogové připraveni konzultovat probíranou problematiku formou e-mailu, které je aktuálně snadné získat v kontaktech VŠB-TU Ostrava. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu Milan Heger M. Heger A. Burý Obsah. ZÁKLADNÍ POJMY Z OBLASTI SYSTÉMŮ A ŘÍZENÍ... 6.. Systémy a řízení... 6 2. LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ... 4

2.. Teorie logických obvodů... 3. KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ... 22 3.. Teorie kombinačních logických obvodů... 22 4. SEKVENČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ... 24 4.. Teorie sekvenčních logických obvodů... 24 ELEMENTÁRNÍ SEKVENČNÍ LOGICKÝ OBVOD... 25 5. KLOPNÉ OBVODY A JEJICH APLIKACE... 28 5.. Teorie klopných obvodů... 28 5.2. RS klopný obvod... 29 5.3. JK klopný obvod... 30 5.4. T klopný obvod... 3 5.5. D klopný obvod... 32 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY A JEJICH APLIKACE... 35 6.. Teorie dynamických systémů... 35 7. POPIS LINEÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 37 7.. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů... 37 8. CHARAKTERISTIKY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ... 40 8.. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti... 40 9. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY... 45 9.. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky... 45 0. ROZDĚLENÍ ZÁKLADNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ A JEJICH MATEMATICKÝ POPIS... 53 0.. Základní dynamické systémy... 53. BLOKOVÁ ALGEBRA... 57.. Teorie blokové algebry... 57 2. REGULAČNÍ OBVOD... 6 2.. Struktura regulačního obvodu... 6 3. REGULÁTORY... 66 3.. Struktura a popis regulátorů... 66 4. SIMULACE REGULAČNÍCH OBVODŮ... 72 4.. Pojem simulace... 72 5

. Základní pojmy z oblasti systémů a řízení.. Systémy a řízení Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat základní pojmy automatického řízení popsat a rozdělit systémy vyřešit vztahy mezi systémy, řízením, ovládáním a regulací určit vztahy automatického řízení s ostatními oblastmi IT Výklad V reálném světě se setkáváme s různými objekty, z kterých je tvořen vesmír. Od známých i neznámých galaxií, přes hvězdy, sluneční soustavy a planety přes jednotlivě rostliny a živočichy až po molekuly, atomy, jejich jádra a elektrony a další částice, které třeba budou objeveny až za několik let. Z hlediska kybernetiky a teorie řízení budeme každý takový objekt, který chceme zkoumat nebo nějakým způsobem na něj působit, nazývat systém. Z uvedeného výčtu objektů bude tedy možno systémy dělit podle různých hledisek a je zde také možno vypozorovat, že některé systémy jsou součástí (podsystémem) systémů jiných. Výběr a označení objektu zájmu za systém budou tedy závislé na potřebné rozlišovací úrovni zkoumání. Definice a rozdělení systémů z hlediska teorie řízení Systém je definován jako účelově uspořádaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi, se specifickým chováním, které spolu určují vlastnosti celku. Pro práci se složitými a rozsáhlými objekty, jako jsou například výrobní a technologické metalurgické procesy, je nutný systémový přístup, který spočívá v tom, že jevy vyskytující se při řešení vzniklých problémů, jsou chápany komplexně, ve všech souvislostech a ve svém dynamickém vývoji. 6

Prvek je část systému, který tvoří na dané rozlišovací úrovni dále nedělitelný celek. Rozlišovací úroveň charakterizuje stupeň podrobnosti zkoumání systému. Změnou rozlišovací úrovně se může prvek stát systémem a naopak. Podsystém je podmnožina systémových prvků a vazeb, která je z nějakého důvodu vyčleněna ze systému. Většinou je chápana jako nový systém. Každý systém existuje v určitém specifickém okolí. Je proto výhodné omezit se pouze na podstatné okolí, které je se systémem v přímé interakci. Pokud neexistují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém nazýváme uzavřený neboli izolovaný. Pokud existují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém nazýváme otevřený. Výstupem systému budeme označovat vazby, kterými působí systém na okolí. Aby byl systém pozorovatelný, musí mít alespoň jeden výstup. Vstupem systému budeme označovat vazby, jejichž prostřednictvím působí okolí na systém. Aby byl systém řiditelný, musí mít alespoň jeden vstup. Chování systému je způsob specifické reakce systému na podněty z okolí. Řízení, ovládání a regulace Řízení je možno chápat jako cílevědomé působení řídicího systému (ŘS) na řízený objekt (ŘO) a to tak, aby byly za všech reálných okolností splněny požadované cíle řízení. Problematikou řízení technických systémů se zabývá technická kybernetika. Rozhodující pro rozlišení dvou základních přístupů k řízení je využití tzv. zpětné vazby (znalosti skutečné hodnoty výstupu řízeného objektu řídicím systémem). 7

cíl řízení Řídicí systém působení ŘS na ŘO Řízený objekt výsledek řízení Řízení bez zpětné vazby Není li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o dopředném řízení nebo ovládání. cíl řízení Řídicí systém působení ŘS na ŘO Řízený objekt výsledek řízení zpětná vazba Řízení se zpětnou vazbou Je-li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o regulaci. Automatizace, automatické a automatizované systémy řízení Automatizace může být chápána jako cílevědomý proces zavádění a využívání prostředků automatizační techniky do všech oblastí lidské činnosti. Cílem jejího zavádění je snaha o stálé zvyšování efektivity lidských činností. Automatické řízení je řízení, které je realizováno výlučně prostředky automatizační techniky. Automatizované řízení je řízení člověkem, které je racionalizované za pomoci prostředků automatizační techniky. Vazba na technické prostředky řízení metalurgických procesů, identifikaci, modelování a simulaci Problematika řízení v tomto učebním textu bude výhradně zaměřena na informační stránku. Technická řešení spojená s fyzikální stránkou řízených procesu a tomu odpovídající technické 8

prostředky budou zmíněny jen okrajově, neboť jim je věnováno několik základních předmětů oboru (technické prostředky, počítačové sítě, řídicí systémy, PLC apod.). Identifikace slouží k získání potřebných informací o sledovaném objektu a jejím cílem je vytvořit některý z jeho matematických popisů. Modelování slouží k získání matematických nebo jiných modelů sledovaného objektu potřebných pro možné simulace. Simulace slouží k experimentování s matematickým nebo jiným modelem za účelem získání potřebných informací o sledovaném objektu. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Systém Prvek systému Podsystém Vstup systému Výstup systému Chování systémů Řízení Ovládání Regulace Automatizace Automatizovaný systém Automatický systém Identifikace Modelování Simulace 9

Otázky k probranému učivu o. Co znamená pojem systém? 2. Co znamená pojem prvek systému? 3. Co znamená pojem podsystém? 4. Co znamená pojem řízení? 5. Co znamená pojem ovládání? 6. Co znamená pojem regulace? 7. Co znamená pojem automatizace? 8. Co znamená pojem automatizovaný systém? 9. Co znamená pojem automatický systém 0. Co znamená pojem identifikace. Co znamená pojem modelování 2. Co znamená pojem simulace 0

2. Logické obvody a jejich úloha v řízení V technické praxi, ale i při běžných lidských činnostech se setkáváme s mnoha typy řízení, které se mohou ve svém přístupu diametrálně lišit. Někdy je nutné rozhodnout se výběrem jedné ze dvou opačných řešení a na základě tohoto rozhodnutí buď provést, nebo naopak neprovést nějakou operaci. Jako příklad může sloužit rozhodnutí, zda si s sebou vzít deštník, na základě zjištění toho, jestli venku prší nebo neprší. Také rozhodnutí, zda v daný okamžik otevřít dvířka pece, může být jednoznačně určeno tím, že je v tento okamžik splněn nějaký ukazatel toho, že je vsázka pece právě připravena k odebrání z pece. Oba případy mají něco společného. Míra reakce řídicího systému není přímo závislá na konkrétní okamžité hodnotě nějaké sledované fyzikální veličiny (není klasickou matematickou funkcí, např. y(t) = 0*u(t)). Řídicí systém generuje na svém výstupu rozhodnutí, která nabývají pouze jednu ze dvou protichůdných hodnot (z matematického hlediska označovaných jako výroky, které mohou z informačního hlediska nabývat pouze dvou hodnot: true-false, nebo česky: ano-ne). Tato rozhodnutí jsou generována na základě logického posouzení okamžité kombinace dvouhodnotových vstupních hodnot. Vstupy Logický obvod Výstupy Logický obvod 2.. Teorie logických obvodů Čas ke studiu: 5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat základní logické funkce popsat logický obvod logickou funkcí

vyřešit minimalizaci logické funkce Automatické řízení logického typu je realizováno pomocí logických obvodů (logických sítí, logických systémů), viz. obrázek 3. z x y LO u ŘO Obr.3 Blokové schéma obvodu řízení logického typu Do logických obvodů (LO) vstupují dvouhodnotové signály y od snímačů, které informují o stavech řízeného objektu (ŘO). Logické obvody pak působí na řízený objekt dvouhodnotovými řídícími (ovládacími) signály u, které jej přes patřičné akční členy uvedou do požadovaného stavu. A to podle algoritmu, který je dán návrhem logického obvodu, a který respektuje vnější řídící povely x i poruchové vlivy z působící na objekt řízení. Přičemž řídicí systém (logický obvod) působí na objekt řízení konečným počtem řídicích akcí (konečný automat). Logické obvody jsou takové technické systémy, které zpracovávají dvouhodnotové (binární) signály, ať již je jejich fyzikální realizace z elektromechanických, elektronických, pneumatických nebo hydraulických obvodů. Pozn.: Logické obvody se široce používají při automatickém řízení logického typu, kontrole různých technologických procesů, při automatickém řízení dopravy, při řízení spojení a dálkovém přenosu zpráv ve spojovací technice, při řízení práce číslicových počítačů a mikroprocesorových systémů, atd. Formální logika 2

Při návrhu logického obvodu, jenž by vytvářel binární výstupní (ovládací) signály podle požadované zákonitosti (algoritmu), je nutno tuto zákonitost matematicky formulovat. K získání matematického popisu funkce logického obvodu se používá pravidel a zákonů formální logiky. Formální logika pracuje s výroky. Základním pojmem pro logické vztahy je výrok. Výrokem se rozumí každá věta, o které můžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá. Příklad výroku: Výrobní stroj pracuje (produkuje). Toto je výrok, protože má smysl se zeptat: Je pravda, že výrobní stroj pracuje? A odpověď by byla (dle konkrétní situace): Ano je to pravda (TRUE). Nebo: není to pravda (FALSE). V tomto smyslu výroky mají určitou hodnotu (TRUE či FALSE) a jsou nositeli elementární informace. Matematicky můžeme výroky formulovat, přiřadíme li pravdivosti daného výroku pravdivostní hodnotu. Například bude li výrok pravdivý, bude jeho pravdivostní hodnota rovna, bude li nepravdivý bude jeho pravdivostní hodnota rovna 0. Vlastní slovní vyjádření výroku se pak nahradí vhodným symbolem. Například písmenem z abecedy (a,b,c,d,e,f,...), nebo písmenem s indexem ( x, x 2, x 3,..., y, y 2,..., u,u 2,...), apod. Logické funkce Ze dvou nebo i více jednoduchých výroků lze jejich vhodným spojováním získat výroky nové, jejichž pravdivost či nepravdivost závisí na způsobu jejich spojení a na pravdivostních hodnotách jednoduchých výroků. Nejčastěji používaným názvem těchto složených výroků je logická funkce. Přitom se příslušné jednoduché výroky označují jako logické proměnné, které mohou nabývat pravdivostních hodnot nebo 0 (logické jedničky nebo logické nuly). Základní logické funkce Nejjednodušší logickou funkcí je logická funkce negace. Vstupní logická proměnna je zde označena písmenem a (může nabývat hodnoty logické jedničky a nebo logické nuly). Výstupní logickou proměnnou je u (která nabývá také dvou hodnot logické nuly a jedničky a to inverzně). Její algebraický zápis je uveden ada). Definice pomocí kombinační tabulky je adb). Obecná obdélníková značka logického prvku, který realizuje logickou funkci negace je uvedena adc). 3

Negace: a) u a b) c) a u 0 0 Další základní logické funkce jsou tvořeny jakožto výsledek kombinací dvou vstupních logických proměnných (zde označených písmeny a a b). Funkce logického součtu je definována v kombinační tabulce adb), algebraický zápis této funkce je ada), obecná obdélníková značka prvku, který realizuje tuto funkci je adc). Logický součet: a) u a b Logický součin: a) u = a. b b) c) b a u 0 0 0 0 0 b) c) b a u 0 0 0 0 0 0 0 Tyto tři elementární logické funkce tvoří úplný soubor logických funkcí tak, jak jej stanovil irský matematik Henry Boole. Vlastností úplného souboru logických funkcí je, že pomocí něj se dají vyjádřit všechny ostatní logické funkce. Respektive dají se realizovat pomocí logických prvků: typu negace (NOT), logického součinu (AND) a logického součtu (OR). Takže realizace dalších jednoduchých logických funkcí pro dvě vstupní proměnné a jednu výstupní logickou proměnnou je právě pomocí těchto prvků a nejsou vyráběny ani prezentovány odpovídající logické prvky. Výjimku tvoří Shefferova a Peirceova funkce, které samy o sobě mají vlastnost úplného souboru logických funkcí to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní. 4

Implikace: a) b) u a b b a u 0 0 0 0 0 Ekvivalence: a) b) u a b b a U 0 0 0 0 0 0 Nonekvivalence: a) u a b b) b a U 0 0 0 0 0 0 Inhibice: / a) u a b b) b a U 0 0 0 0 0 0 0 Zpětná implikace u, zpětná inhibice u 2, nulová funkce u 3, jednotková funkce u 4, aserce a u 5, aserce b u 6. b a u u 2 u 3 u 4 u 5 u 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

Shefferova funkce: a) u a. b b) c) b a u 0 0 0 0 0 Shefferova logická funkce je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NAND, jehož obdélníková grafická značka je uvedena adc). Peirceova funkce: a) u a b b) c) b a u 0 0 0 0 0 0 0 Peirceova funkce, je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NOR, viz. adc). Jak již bylo výše uvedeno, Shefferova a Peirceova funkce mají samy o sobě vlastnost úplného souboru logických funkcí a to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní a to včetně funkcí negace, logického součtu a logického součinu, což je s výhodou používáno při realizaci logických obvodů na úrovni TTL logiky (číslicových integrovaných obvodů). Booleova algebra Tato logická algebra se opírá o úplný soubor logických funkcí, tvořený třemi elementárními logickými funkcemi: logickým součtem, logickým součinem a negací. Priorita vazeb logických proměnných v logických rovnicích (funkcích) je tato:. negace 2. logický součin 3. logický součet. Axiomatická pravidla této logické algebry slouží k minimalizaci, čili zjednodušování logických funkcí. zákon komutativní a + b = b + a a. b = b. a zákon asociativní a + (b + c) = (a + b) + c a. (b. c) = (a. b). c zákon distributivní a + b. c = (a + b). (a + c) a. (b + c) = a. b + a. c zákon dvojí negace a = a zákon vyloučeného třetího a + a = a. a = zákon absorpce a + a = a a. a = a 6

zákon agresivity hodnot 0 a a + = a. 0 = 0 zákon neutrality hodnot 0 a a + 0 = a a. = a zákony de Morganovy =. b = a + b odvozená pravidla absorpce a + a. b = a. ( + b ) = a a + a. b = a.( + b) = a a b a a.b Úplná disjunktní a úplná konjunktní normální forma Úplná disjunktní normální forma (ÚDNF) vyjadřuje logickou funkci zadanou kombinační tabulkou, algebraickým výrazem (logickou rovnicí) ve tvaru logických součtů mintermů. Přičemž každý minterm je tvořen logickým součinem logických proměnných, respektive jejich negací. S tím, že je li v daná logická funkce v tabulce charakterizována n proměnnými, pak každý minterm musí obsahovat n těchto logických proměnných. Obdobně úplná konjunktní normální forma (ÚKNF) je algebraickým vyjádřením logické funkce, zadané kombinační tabulkou, ve tvaru logických součinů maxtermů (logických součtů) logických proměnných. V každém maxtermu musí být n logických proměnných, je-li logická funkce v kombinační tabulce zadána n logickými proměnnými. Logickou funkci, převedeme na ÚDNF tak, že procházíme v kombinační tabulce výstupní logickou proměnnou, a kde tato obsahuje logickou jedničku, pak odpovídající kombinace logických proměnných vypisujeme ve tvaru mintermu. Tyto mintermy se pojí operandem logického součtu. V daném mintermu je logická proměnná zastoupena svou původní hodnotou jestliže v dané kombinaci v tabulce je uvedena logická jednička a má-li však hodnotu logické nuly, pak je zastoupena svou negací. Příklad Převeďte logickou funkci vyjádřenou v kombinační tabulce do úplné disjunktní normální formy. a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 Řešení : u = a. b. c + a.b.c + a.b.c Pozn. Vyjádření ÚKNF se realizuje obdobně s tím, že se berou v úvahu maxtermy, kde výstupní logická proměnná u má hodnotu 0. Maxtermy se pak spojují operandem logického součinu. V daném 7

maxtermu jsou logické proměnné vyjádřeny svými negacemi, nabývají li hodnot logické jedničky a naopak. Grafická minimalizační metoda Minimalizace logických funkcí užitím zákonů Booleovy algebry je někdy dosti obtížná. Obtížnost se zvětšuje, je-li logická funkce zadána větším počtem mintermů či maxtermů. Proto se používají k minimalizaci různé metody, z nichž je velmi výhodná metoda Kaurnaughovy mapy, pro čtyři až pět logických proměnných. Lze ji použít i pro šest logických proměnných, dále pak již jen s doplňujícími šablonami. Tato grafická minimalizační metoda spočívá ve dvou krocích : ) Vytvoření grafické mapy a zapsání dané logické funkce ve tvaru ÚDNF nebo ÚKNF do mapy. 2) Grafická minimalizace logické funkce v mapě a výpis výsledné minimalizované logické funkce. ad ) Zápis (záznam) logické funkce do mapy. Obecně je velikost mapy (počet políček) dána počtem logických proměnných dle vztahu: M = 2 n kde n - je počet logických proměnných a M - je počet políček tvořících mapu (počet kombinací). Například mapa pro tři logické proměnné má: 2 3 = 8 políček, pro čtyři-šestnáct, pro pět-třicet dva a pro šest proměnných-šedesát čtyři políček. Převod dané logické funkce z ÚDNF do mapy se provádí tak, že jednotlivé mintermy se prezentují v mapě hodnotou logické jedničky, dle příslušného grafického označení logických proměnných po stranách mapy. Zbylá políčka mapy se vyplní hodnotou logické nuly. (V případě ÚKNF je tomu obráceně). ad2) Grafická minimalizace Grafická minimalizace se opírá o představu tzv. sousedních políček sousedících spolu přes hrany (ne přes vrcholy). Sousední políčka lze graficky sdružovat, čímž dochází k minimalizaci, protože spojením dvou sousedních políček obsahujících jedničky, do jediného útvaru nazvaného dvojice se vyloučí jedna logická proměnná. Při zpětném výpisu, takto zminimalizované logické funkce z mapy, se na spojená políčka pohlíží jako na jeden útvar, který představuje jeden logický součin. 8

Sousední políčka lze graficky sdružovat do dvojic, čtveřic, osmic, šestnáctic, atd. Dvojice je potom popsána logickým součinem o jednu proměnnou chudším, o kterou se právě dvě sousední políčka liší a která se tímto vy-eliminuje, dle zákonů Booleovy algebry. Čtveřice, tj. grafický útvar vzniklý sdružením čtyř sousedních políček, je pak určena logickým součinem o dvě logické proměnné jednodušším. Osmice je pak určena logickým součinem o tři proměnné, jednodušším. Šestnáctice o čtyři proměnné, atd. Při čemž při grafické minimalizaci se snažíme sdružovat políčka do co možná největších útvarů (vyloučí se tím více logických) a dále se snažíme, aby těchto útvarů bylo co nejméně. (Počet útvarů odpovídá počtu logických součinů, výsledné logické funkce). Označení logických proměnných na okraji mapy musí být provedeno tak, aby sousední políčka opravdu spolu sousedila i podle grafické představy a to hranou, nikoliv však vrcholem. Příklady: Na obrázcích P až P4 je uvedeno pět příkladů grafické minimalizace. V příkladu jež je prezentován obrázkem P obsahovala původní logická rovnice ve tvaru ÚDNF osm mintermů (každý tvořený logickým součinem čtyř logických proměnných), obr.p2 pak šest mintermů, obr.p4 deset mintermů, obr. P5 dokonce dvanáct mintermů. Pod každým obrázkem je pak uvedena výsledná minimalizovaná logická rovnice. Pozn. Znaménka X některých políčcích mapy (v obr. P3) znamenají, že takováto kombinace logických proměnných nikdy nenastane a proto můžeme do takového políčka vepsat hodnotu 0, nebo podle toho, co bude výhodnější s hlediska minimalizace. Z obrázku je vidět, že pro minimalizaci bude výhodné zapojit čtyři políčka s označením X do dvou čtverců. Do zbylých tří políček s označením X zapíšeme nuly, protože ta nám k minimalizaci neprospějí. Obr. P 9

Obr. P2 Obr. P3 Obr. P4 Obr. P5 Příklad.. Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c Řešení u = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c = a. c.( b + b ) + a. c ( b + b ) = a. (c + c )= a Příklad.2. Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a. ( a+b).( a +b) Řešení u = a. ( a+b).( a +b) = ( a + a.b). ( a + b) = a.( + b). ( a + b)= a. ( a + b) = a. b 20

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Logický obvod Logická proměnná Logické funkce Úplná normální disjunktní forma Minimalizace Mapa Otázky k probranému učivu 3. Co je to logický obvod? 4. Čím se vyznačuje logická proměnná? 5. Jaké základní logické funkce znáte? 6. Co je to úplná normální disjunktní forma? 7. Jaké způsoby minimalizace znáte? 8. Co je to mapa a k čemu slouží? 2

3. Kombinační logické obvody a jejich úloha v řízení 3.. Teorie kombinačních logických obvodů Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem kombinačních obvod popsat princip kombinačních obvodů vyřešit úlohy s použitím kombinačních obvodů Výklad Kombinační logické obvody (KLO) realizují logické funkce v závislosti na kombinaci stavů vstupních logických proměnných. Analýza KLO znamená, že získáme popis již realizovaného logického obvodu. Syntéza KLO znamená, že získáme logickou funkcí příp. schéma logického obvodu (realizaci) na základě požadavků na jeho funkci. Při návrhu KLO budeme využívat právě syntézu. Syntéza KLO obvodů obsahuje následující postup: definice přiřazení logických hodnot vstupním a výstupním proměnným vyjádření požadované činnosti obvodu prostřednictvím logických funkcí v kombinační tabulce převedení logické funkce (logických funkcí) z kombinační tabulky do logické rovnice (logických rovnic) pomocí ÚDNF (respektive ÚKNF). minimalizace logické funkce (logických funkcí) sestavení symbolického schématu pro danou logickou funkci, nebo funkce z grafických značek logických prvků, mající vlastnost úplného souboru logických funkcí. realizace logické funkce (funkcí) konkrétními logickými prvky průmyslově 22

vyráběnými. Příklad.3. Navrhněte kombinační logický obvod (bez posledních dvou bodů syntézy), který bude pro tři vstupní logické proměnné (a =, b=, c=) vyhodnocovat: a) překročení mezního stavu u jedné proměnných ze tří (u ) b) překročení mezního stavu u dvou proměnných ze tří (u 2) c) všech tří proměnných najednou (u 3) Řešení Kombinační tabulka a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 u 2 0 0 0 0 0 u 3 0 0 0 0 0 0 0 ÚDNF: u = a. b. c + a. b. c + a. b. c u 2 = a. b. c + a. b. c + a. b. c u 3 = a. b. c Pozn. Uvedené tři ÚDNF jsou současně i minimálními logickými výrazy. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Kombinační logický obvod Analýza KLO Syntéza KLO Otázky k probranému učivu 9. Co je to kombinační logický obvod? 20. Co je to analýza KLO? 2. Co je to syntéza KLO? 23

4. Sekvenční logické obvody a jejich úloha v řízení 4.. Teorie sekvenčních logických obvodů Čas ke studiu: hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem sekvenční obvod popsat princip sekvenčních obvodů vyřešit úlohy s použitím sekvenčních obvodů Výklad Sekvenční logické obvody jsou složitější oproti kombinačním logickým obvodům. Ve své struktuře obsahují i kombinační logické obvody (KLO) a navíc pak ještě i paměťovou část systému (PČS). Okamžité hodnoty výstupních logických proměnných U, U2, U3... Um jsou pak určeny nejen okamžitými kombinacemi vstupních logických proměnných X, X2, X3... Xm, ale také jejich předcházejícími kombinacemi. x u x 2 u 2 x 3. kombinační u 3. logický x n obvod u m Q k Q k- Q q q 2 paměťová část systému q k Blokové schéma struktury sekvenčního logického obvodu Předcházející kombinace hodnot vstupních logických proměnných vedly k nastavení paměťové části systému do určitého stavu, představovaného kombinací hodnot vnitřních proměnných Q, Q2,... Qk. Hodnoty vnitřních stavových proměnných jsou v sekvenčním 24

systému uchovány do následujícího okamžiku v paměťové části. Proměnné q, q2 až ql jsou budoucí signály PČS. Sekvenční logický obvod, nazývaný také sekvenční automat, může být synchronní nebo asynchronní. U synchronních sekvenčních logických obvodů je každá změna vstupních a výstupních logických proměnných řízena synchronizačními impulsy, které zajišťují stejné okamžiky změn všech proměnných v systému. V asynchronních sekvenčních logických obvodech nejsou zajištěny stejné okamžiky změn logických proměnných. Změny vnitřních proměnných a výstupních proměnných jsou odvozovány od změn vstupních proměnných. Vztahy mezi vektorem vstupních logických proměnných [x, x2,.. xn], vektorem vnitřních stavů [Q, Q2,.. Qk] a vektorem výstupních logických proměnných [u, u2,.. um] jsou určeny přechodovou funkcí a výstupní funkcí f. Přechodová funkce určuje pro daný vnitřní stav sekvenčního automatu a pro daný vektor vstupů následující vnitřní stav : Q t+ = (Q t, x t ) Výstupní funkce λ vyjadřuje realizaci vektoru výstupů pro daný sekvenční logický obvod. Je-li: u t = f (Q t, x t ), pak jde o sekvenční automat nazývaný konečný automat Mealyho typu. Závisí-li vektor výstupních signálů pouze na vnitřním stavu sekvenčního logického automatu u t = λ (Q t ), pak jde o konečný automat Mooreova typu. Elementární sekvenční logický obvod Tento elementární automat je nejzákladnějším sekvenčním logickým obvodem a je nazýván logickým obvodem typu paměť. Elementární sekvenční logický obvod obsahuje jedinou zpětnovazební smyčku, a tedy i jedinou vnitřní proměnnou, která se navíc ztotožňuje s výstupní logickou proměnnou (Q=u). 25

Blokové schéma elementárního sekvenčního logického obvodu Tento obvod si pamatuje předchozí zapůsobení vstupního signálu x (inicializační vstup), i když již dále nemá úroveň logické jedničky, až po dobu, kdy se hodnotou log. vstupu x2 tato paměť zruší. Příklad.4. Realizujte pomocí SLO regulaci výšky hladiny v nádobě tak, aby snímač minimální hladiny spustil čerpadlo a to by se zastavilo až po dosažení maximální hladiny snímané dalším snímačem. Řešení Pravdivostní tabulka (čidla max, min, stav čerpadla SČ, aktivace čerpadla Č): Obpovídající mapa: vstupy výstup min max SČ Č 0 0 0 0 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 min 0 max x x 0 0 SČ 26

Výsledná logická funkce: Č max min max SČ max min SČ Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Sekvenční logický obvod (SLO) Synchronní sekvenční logický obvod Asynchronní sekvenční logický obvod Konečný automat Otázky k probranému učivu 22. Co je to sekvenční logický obvod? 23. Jak vypadá popis a schéma SLO? 24. Které základní konečné automaty znáte? 25. Jaký je rozdíl mezi synchronním sekvenčním logickým obvodem a asynchronním sekvenčním logickým obvodem? 27

5. Klopné obvody a jejich aplikace 5.. Teorie klopných obvodů Čas ke studiu: hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem klopný obvod popsat typy klopných obvodů vyřešit úlohy za použití klopných obvodů Výklad Klopné obvody jsou svou konstrukcí sekvenčními logickými obvody. Jde o nejjednodušší sekvenční obvody, které jsou schopny zapamatovat si hodnotu jednoho dvojkového čísla jeden bit. Z klopných obvodů různých typů je možno sestavit složitější logické obvody registry, čítače apod. Jejich název vznikl z principu jejich funkce, kdy se opakovaně překlápějí z jednoho logického stavu do druhého. Podle toho, kolik mají stabilních stavů (tj. stavů ve kterých mohou setrvat libovolnou dobu), dělíme klopné obvody: Monostabilní mají jeden stabilní stav, z kterého mohou být vstupním signálem na předem definovanou dobu (τ) překlopeny do stavu nestabilního. Bistabilní mají dva stabilní stavy, mezi kterými mohou být v libovolném okamžiku přepínány vstupními signály. Astabilní nemají žádný stabilní stav, opakovaně překlápí na vždy definovanou dobu (τ) do stavu true a následně na dobu (τ2) do stavu false. Tento proces se neustále opakuje, ale může být aktivován a deaktivován vstupním signálem. Klopné obvody se dále dají rozdělit na: 28

Synchronní ke své činnosti potřebují taktovací pulsy, které inicializují funkci obvodu s uchováním hodnot vstupů do dalšího taktu. To umožňuje realizovat klopné obvody tak, aby nehrozilo nebezpečí hazardních stavů. Asynchronní pracují bez taktovacích pulsů, výstupy jsou dány logickou kombinací okamžitých hodnot vstupů (jsou zde i zpětné vazby z výstupů jde o sekvenční obvod). Doba, za kterou se změní stav jeho výstupů od okamžiku změny signálů na řídicích vstupech, závisí jen na době šíření signálů od vstupů k výstupům. Některá zapojení by proto mohla být zatížena nebezpečím vzniku hazardních stavů. 5.2. RS klopný obvod Základním, nejjednodušším a nejpoužívanějším typem bistabilních klopných obvodů je RS klopný obvod. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku: vstupy S Q RQ výstupy Pravdivostní tabulka RS klopného obvodu: R S Q n 0 0 Předchozí stav Q n Q n Předchozí stav 0 0 0 0 Nepovolený stav Nepovolený stav Q n Tímto typem klopného obvodu je realizováno mnoho aplikací, které bychom mohli označit jako paměť b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy R nebo S jeho stav změněn a to tak, že přivedením hodnoty true na vstup S se překlopí jeho výstup Q do hodnoty true (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty true na vstup R se překlopí jeho výstup Q do hodnoty false (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane). R S Q 29 čas

Realizace RS klopného obvodu pomocí hradel typu NOR: R Q S Q 5.3. JK klopný obvod Dalším typem bistabilních klopných obvodů je JK klopný obvod. Odstraňuje problém RS klopného obvodu s nepovolenými stavy. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku: vstupy J Q K Q výstupy H (synchronní JK-klopný obvod) Pravdivostní tabulka JK klopného obvodu: R S n Q Q n 0 0 Předchozí stav Q n Předchozí stav Q n 0 0 0 0 Negovaný předchozí stavq n Negovaný předchozí stav Q n Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako paměť b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy J nebo K jeho stav změněn a to tak, že přivedením hodnoty true na vstup J se překlopí jeho výstup Q do hodnoty true (pokud již 30

v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty true na vstup K se překlopí jeho výstup Q do hodnoty false (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane). Na rozdíl od RS klopného obvodu po přivedení hodnot true na oba vstupy současně, dojde vždy k překlopení JK klopného obvodu. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí JK klopný obvod pracovat jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, neboli hodinové pulsy H). J K Q H čas 5.4. T klopný obvod Podobným typem bistabilních klopných obvodů je T klopný obvod. Principiálně zastává funkci JK klopného obvodu s propojenými vstupy J a K. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku: vstup T Q Q výstupy H (synchronní T-klopný obvod) Pravdivostní tabulka T klopného obvodu: T H Q n Q n 0 0 Předchozí stav Q n Předchozí stav Q n 0 Předchozí stav Q n Předchozí stav Q n 0 Předchozí stav Q n Předchozí stav Q n Negovaný předchozí stavq n Negovaný předchozí stav Q n Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako paměť b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem T jeho stav změněn a to tak, že přivedením hodnoty true na vstup T dojde vždy k překlopení T klopného obvodu. Aby pro tento 3

případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí T klopný obvod pracovat rovněž jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). Tyto obvody bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu true a false. Uplatňují se v zapojeních jako děliče kmitočtu a čítače. T Q H čas 5.5. D klopný obvod Posledním typem bistabilních klopných obvodů je D klopný obvod. Principiálně funguje tak, že okamžitou logickou hodnotu ze vstupu přenese na výstup. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku: vstup D Q Q výstupy H (synchronní D-klopný obvod) Pravdivostní tabulka T klopného obvodu: D H Q n 0 0 Předchozí stav Q n Q n Předchozí stav 0 0 0 Předchozí stav Q n Předchozí stav Q n 0 Q n Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako paměť b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem D jeho stav změněn a to tak, že přivedením hodnoty true na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu true a přivedením hodnoty false na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu 32

false. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí D klopný obvod pracovat rovněž jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). I tyto obvody bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu true a false. Uplatňují se v zapojeních jako posuvný registr, převodník z paralelního sériový přenos a opačně. D Q H čas Příklad.5. Navrhněte RS klopný obvod pomocí hradel typu NAND. Řešení Vytvoříme pravdivostní tabulku: R S Q n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X X Q n Pro minimalizaci použijeme Svobodovou mapu: S 0 R 0 0 X X Q n Q n Napíšeme minimalizovanou funkci, která odpovídá popisu dvou smyček z mapy: Q n SR Q R n 33

Pro realizaci pomocí hradel typu NAND aplikujeme de Morganovy zákony: Q n SR Q R n Navrhneme zapojení z hradel typu NAND: Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Klopný obvod RS klopný obvod JK klopný obvod T klopný obvod D klopný obvod Otázky k probranému učivu 26. Co je to klopný obvod? 27. Jak pracuje RS klopný obvod? 28. Jak pracuje JK klopný obvod? 29. Jak pracuje T klopný obvod? 30. Jak pracuje D klopný obvod? 34

6. Dynamické systémy a jejich aplikace 6.. Teorie dynamických systémů Čas ke studiu: 0,5 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat pojem dynamický systém popsat typy dynamických systémů vyřešit úlohy o dynamických systémech Výklad Základní rozdělení systémů Statický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy zůstávají v čase neměnné. Dynamický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy se v čase obecně mění. Lineární systém je takový systém, jehož matematický popis vystačí s lineárními operacemi. Nelineární systém je takový systém, jehož matematický popis obsahuje alespoň jednu nelineární operaci. Časově variantní systém je takový systém, jehož matematický popis se v čase mění. Časově invariantní systém je takový systém, jehož matematický popis zůstává v čase neměnný. Spojitý systém (analogový) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v libovolném čase. Nespojitý systém (digitální) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v jen v určitých časových okamžicích. V této části výuky se budeme zabývat pouze lineárními, časově invariantními, spojitými dynamickými systémy. I když jde o určitou idealizaci, mnohé systémy námi definovaným požadavkům s dostatečnou přesností vyhovují a matematický aparát pro řešení úkolů spojených s těmito systémy je podstatně jednodušší. 35

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Statický systém Dynamický systém Lineární systém Nelineární systém Časově variantní systém Časově invariantní systém Spojitý systém Nespojitý systém Otázky k probranému učivu 3. Co znamená pojem statický systém? 32. Co znamená pojem dynamický systém? 33. Co znamená pojem lineární systém? 34. Co znamená pojem nelineární systém? 35. Co znamená pojem časově variantní systém? 36. Co znamená pojem časově invariantní systém? 37. Co znamená pojem spojitý systém? 38. Co znamená pojem nespojitý systém? 36

7. Popis lineárních dynamických systémů 7.. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů Čas ke studiu: hodina Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat lineární dynamické systémy popsat je diferenciálními rovnicemi a přenosy vyřešit převod diferenciálních rovnic na přenosy a opačně Výklad Popis lineárních systémů je možný několika způsoby: diferenciální rovnicí operátorovým přenosem frekvenčním přenosem přechodovou charakteristikou impulsní charakteristikou frekvenční charakteristikou v komplexní rovině amplitudo-fázové frekvenčně logaritmické charakteristiky rozložením pólů a nul přenosu v komplexní rovině stavovým popisem Lineární spojitý systém nebo regulační člen se vstupem u(t) a výstupem y(t) je obecně popsán diferenciální rovnicí Diferenciální rovnice Lineární časově invariantní spojitý systém nebo regulovaná soustava se vstupem u(t) a výstupem y(t) je obecně popsán lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty: any (n) + an-y (n-) + an-2y (n-2) + + aiy (i) + a2y + ay + a0y = b0u + bu + b2u + +bmu (m) 37

kde ai a bj jsou konstanty diferenciální rovnice, n je řád diferenciální rovnice, m je řád nejvyšší derivace pravé strany diferenciální rovnice. Podmínka fyzikální realizovatelnosti systému: n m Časový průběh výstupu y(t) můžeme zjistit dosazením průběhu vstupního signálu u(t) do této rovnice a jejím vyřešením. Časový průběh výstupu y(t) je také určen počátečními podmínkami y(0), y (0), y (n-) (0). Operátorový přenos Při řešení problematiky automatizace se velmi často používá tzv. Laplaceuv operátorový přenos, který je definován jako poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) lineárního systému k obrazu vstupního signálu U(s) při nulových počátečních podmínkách. Y Gp U G p s s bms a s n m n b a s m m n ns... b s... a 2 2 2 2s b s b0 a s a 0 Příklad.6. Zjistěte operátorový přenos systému, který je popsán diferenciální rovnicí: ay (t) + a0y(t) = b0u(t) Řešení Provedeme Laplaceovu transformaci rovnice a dostaneme výraz: asy(s) + a0y(s) = b0u(s) vytkneme Y(s): Y(s)(as + a0 ) = b0u(s) 38

a nyní vyjádříme poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) k obrazu vstupní veličiny U(s) dle definičního vztahu operátorového přenosu: G s Y U s b0 s as a0 Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Popis dynamických systémů Lineární dif. rov. s konst. koeficienty Operátorový přenos Otázky k probranému učivu 39. Čím lze popsat dynamické systémy? 40. Jak vypadá popis pomocí diferenciálních rovnic? 4. Jak vypadá popis pomocí operátorového přenosu? 39

8. Charakteristiky dynamických systémů 8.. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti Čas ke studiu: hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat jednotlivé charakteristiky dynamických systémů popsat statické a dynamické charakteristiky dynamických systémů Výklad Vedle diferenciálních rovnic a operátorových přenosů se v automatizaci často setkáváme s grafickými časovými průběhy, které rovněž o dynamických systémech mnoho vypovídají a navíc jsou uživatelsky přívětivější, neboť je s dostatečnou přesností na první pohled vidět o jaký systém se jedná a jaké jsou jeho parametry. Těmto charakteristikám odpovídají i matematické funkce, jejichž parametry udávají i kvantitativní parametry sledovaného systému. Statická charakteristika Statická charakteristika je grafickým vyjádřením závislosti hodnoty výstupu systému na vstupní hodnotě v ustáleném stavu. I když tento typ charakteristik nic nevypovídá o dynamických vlastnostech systému, je jednou ze základních charakteristik systému a většinou vypovídá o tom, zda je systém lineární nebo není, jaké má zesílení apod. Charakteristiku je pak možno popsat obyčejnou obecně nelineární funkcí ve tvaru: y f u U lineárních systémů je statická charakteristika přímka procházející počátkem, její sklon odpovídá zesílení k systému: b k a 0 0 tg yi u i y i y α u i u 40

4 Přechodová funkce a přechodová charakteristika Přechodová funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru Heavisideova jednotkového skoku. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která se v tomto případě označuje h(t). Přechodovou funkci můžeme určit výpočtem z diferenciální rovnice nebo z obrazového přenosu systému G(s). Přechodová charakteristika je grafickým vyjádřením přechodové funkce. Přechodovou funkci získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L -. ) ( ) ( ) ( s G s U L s Y L t y Přechodová funkce je pak definována vztahem: ) ( ) ( ) ( s G s L s H L t h kde H(s) - je Laplaceuv obraz výstupní veličiny s - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny konkrétně Heavisideova jednotkového skoku Příklad.7. Určete přechodovou funkci a sestrojte přechodovou charakteristiku systému s operátorovým přenosem: 0 0 a a s b s U s Y G s Řešení Přechodová funkce je dána vztahem: ) ( ) ( ) ( s G s L s H L t h

42 po dosazení obdržíme: 0 0 ) ( ) ( a a s b s L s H L t h Z Laplaceova slovníku nalezneme odpovídající tvar obrazu: a s a s a jemu odpovídá originál v časové oblasti: e at Aby byl obraz podobný, provedeme úpravu našeho výrazu: 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( a a s a a s L a b a a s a a s a b L s H L t h Přechodovou funkci získáme provedením zpětné Laplaceovy transformace. t a a e a b s H L t h 0 ) ( ) ( 0 0 Graf přechodové charakteristiky pro a0 =, a = a b0 =, tedy: t e s H L t h ) ( ) ( vypadá následovně:

Přechodová charakteristika,2 0,8 h(t) 0,6 0,4 0,2 0 0 2 3 4 5 t [s] Impulsní funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru Diracova impulsu. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která se v tomto případě označuje g(t). Přechodovou funkci můžeme rovněž určit výpočtem z diferenciální rovnice nebo z obrazového přenosu systému G(s). Impulsní charakteristika je grafickým vyjádřením impulsní funkce. Impulsní funkci také získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L -. Přechodová funkce je pak definována vztahem: g( t) L kde G( s) H(s)- je Laplaceuv obraz výstupní veličiny - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny konkrétně Diracova impulsu Jelikož mezi přechodovou funkcí a impulsní funkcí platí následující vztahy: g( t) dht dt a naopak: 43

h( t) t 0 g d je snadné získat z přechodové funkce impulsní tím, že provedeme derivaci. Rovněž impulsní charakteristiku můžeme snadno získat grafickou derivací přechodové charakteristiky. Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly) V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je nutné znát (můžete je stručně charakterizovat): Statická charakteristika Přechodová funkce Přechodová charakteristika Impulsní funkce Impulsní charakteristika Otázky k probranému učivu 42. Co je to statická charakteristika? 43. Co je to přechodová funkce a charakteristika? 44. Co je to impulsní funkce a charakteristika? 45. Jaký je vztah mezi přechodovou impulsní funkcí? 44

9. Frekvenční charakteristiky 9.. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky Čas ke studiu: 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět definovat frekvenční přenos a frekvenční charakteristiku popsat dynamické systémy pomocí frekvenčních charakteristik vyřešit frekvenční charakteristiky dynamických systémů Výklad Někdy je výhodné sledovat dynamické systémy ve frekvenční oblasti. V tom případě jde o odezvu systémů na vstupní harmonický signál: u(t) = A(ω) sin(ωt) G(jω) y(t) = A2(ω) sin(ωt+φ(ω)) kde G(jω) je frekvenční přenos systému a můžeme ho formálně získat z Laplaceova operátorového přenosu náhradou komplexní proměnné s komplexní proměnnou jω: G(jω) G(s) Tvar frekvenčního přenosu obecného lineárního dynamického systému: bm G j a n m m 2 j bm j... b2 j b j b0 n n 2 j an j... a2 j a j a0 45

Vynesení obou signálů u(t), y(t) do grafu je provedeno na následujícím obrázku. Srovnáme-li oba signály, můžeme získat dva základní parametry. Prvním je poměr amplitud obou signálů: A(ω) = A2(ω)/A(ω) poměr amplitud mezi výstupním a vstupním harmonickým signálem - modul frekvenčního přenosu druhým pak: φ(ω) fázový posuv mezi vstupním a výstupním harmonickým signálem - fáze frekvenčního přenosu. Amplituda signálu Odezva dynamického systému na harmonický signál 0,8 A (ω) 0,6 A 2(ω) 0,4 0,2 0-0,2 0 5 0 5-0,4-0,6-0,8 φ(ω) - čas [s] u(t) y(t) Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině Tyto dva údaje můžeme vynést jako vektor frekvenčního přenosu G(jω) do komplexní roviny, pro konkrétní úhlovou frekvenci ω: Im A(ω) Re φ(ω) G(jω) 46

Frekvenční přenos G(j) je funkce komplexní proměnné a můžeme ho vyjádřit následujícími základními tvary: algebraický (reálnou a imaginární složkou): G(jω) = Re{ G(jω)}+ j Im{ G(jω)} exponenciální (amplitudou a fázi): G(jω) = A(ω) e jφ(ω) kde A(ω) vypočteme dle vztahu: A ReG j 2 ImG j 2 a φ(ω) vypočteme dle vztahu: Im G arctg Re G j j Budeme-li měnit úhlovou frekvenci ω od 0 do, vytvoří koncové body vektorů frekvenčního přenosu G(jω) tzv. frekvenční charakteristiku v komplexní rovině: Im G(jω 0) Re φ(ω) G(jω ) A(ω) G(jω i) G(jω i) G(jω i) 47

48 Příklad.8. Nakreslete charakteristiku setrvačného členu. řádu s následujícím přenosem: 0 0 a a s b G s pro a = a 0 = b 0 = Řešení Laplaceuv operátorový přenos změníme na frekvenční přenos: 0 0 a j a b j G čitatele i jmenovatele přenosu vynásobíme komplexně sdruženým číslem: j a a j a a a j a b j G 0 0 0 0 obdržíme výraz: 2 2 2 0 0 0 0 a a ja b b a j G po dosazení konstant obdržíme výraz: 2 j j G Rozdělíme na reálnou a imaginární část: 2 Re j G 2 Im j G Nyní do obou výrazů postupně dosazujeme za úhlovou frekvenci čísla od 0 do, hodnotu Re(G(jωi)) a Im(G(jωi)) vykreslíme do grafu a získáme tak frekvenční charakteristiku. Re Im