..8 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 7 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně píše minut na řešení příkladů 6, 7, 8, 9. Snažím e kvůli tomu neobětovat příklad (ten e tudentům bude hodit), píše odvození vzorců pomocí plochy pod grafem jenom ukážu tím, že i ho tudenti nemají pát (v případě potřeby ho najdou v učebnici). Co zatím víme o rovnoměrně zrychleném pohybu (rovnání rovnoměrným pohybem): rovnoměrný pohyb v = kontanta = + vt rovnoměrně zrychlený pohyb a = kontanta v = v + at =? Chybí rovnice pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu, tato rovnice nebude mít obdobu u rovnoměrného pohybu. Nejdříve zkuíme zíkat rovnici dráhy pro jednodušší případ = pohyb nulovou počáteční rychlotí Nápad: Při výpočtu zrychlení jme dvakrát dělili dráhu čaem při výpočtu dráhy ze zrychlení muíme dvakrát čaem náobit možný vzorec = at. Pedagogická poznámka: Snažím e, aby návrh na vzorec podal někdo ze tudentů. Zatím e pokaždé někdo našel, mezi zajímavé zdůvodnění druhé mocniny patři nápad, že tejně jako u rovnoměrného pohybu muíme vynáobit rychlot čaem. Př. : Proveď jednotkovou kontrolu vzorce = at. m Doadíme za veličiny jednotky: ( ) m = at = = = m Rozměrově je náš vzorec právný. Pedagogická poznámka: U náledujícího příkladu nechávám třídu bez nápovědy jen chvilku. Pak i ukážeme, které zrychlení použít a že nejpřenější budou výledky počítané ze loupců, které jou nejvíce vpravo. Př. : Ověř vzorec = at z údajů naměřených při pádu míče. ča [],,,,,,3 dráha [m],,,,3,74,8,96 rychlot [m/],,,,48,78,8,36 zrychlení [m/ ],,4 3,6,6 6, 6,,6
Zkuíme podle našeho vzorce vypočítat dráhu míče za,3 a rovnáme ji dráhou v tabulce. Jakou hodnotu zrychlení pro výpočet použít? Předpokládáme, že e míč pohyboval e tále tejným zrychlením použijeme průměrné zrychlení za prvních,3 ekundy: v,36 m/ 4,3m/ a = = = t,3 žádnou olnivou hodu. Zkuíme ještě prvních, : v,78 a = = m/ = 3,9m/ t, = at = 4,3,3 m =,477 m hodnota v tabulce je přibližně poloviční nejde o = at = 3,9, m =,6m hodnota v tabulce je opět přibližně poloviční právný vzorec má zřejmě tvar = at Pedagogická poznámka: Ještě než tudenti začnou příklad řešit je dobré i popovídat, jaké zrychlení by měli do vzorce použít. Pro porovnání počtené a naměřené dráhy je lepší i hodnoty zaokrouhlit (tejně nejou přené). Jak jinak odvodit vzorec pro dráhu? Víme, že dráhu libovolného pohybu můžeme určit jako plochu pod grafem rychloti. Př. 3: Nakreli graf rychloti libovolného rovnoměrně zrychleného pohybu nulovou počáteční rychlotí. Rychlot je přímo úměrná čau jde o přímku procházející počátkem. v[m/] 3 4 t[] Do grafu vyznačíme libovolný ča t. v[m/] 3 t 4 t[]
Př. 4: Zakreli do grafu dráhu uraženou od začátku pohybu do čau t. Urči tuto dráhu. Předpokládej rovnoměrně zrychlený pohyb e zrychlením a. Dráha odpovídá ploše pod grafem rychloti v[m/] 3 t 4 t[] Vyznačená plocha tvoří pravoúhlý trojúhelník ab S = v[m/] v=at 3 t 4 t Velikoti tran: vodorovná a = t (od počátku pohybu uplynul právě vyznačený ča t) vilá b = v = at (od počátku pohybu zíkal předmět okamžitou rychlot v = at ) Doadíme do vzorce: ab vt ( at) t S = = = = at = t[] Dodatek: Z obrázku je velmi dobře vidět, proč vzorec = vt = ( at) t = at dává dvoj náobné hodnoty. Za rychlot do vzorce, který je jinak vzorcem pro dráhu rovnoměrného pohybu doazujeme rychlot, kterou při zrychlování předmět doáhne až na konci ledovaného intervalu a tak dráha vyjde větší než jaká ve kutečnoti je. Správnější by bylo doadit průměr z počáteční a koncové rychlot + v v at = =, čímž dojdeme opět ke právnému vzorci = at. Zíkali jme tejný vzorec jiným potupem ai máme pravdu. Jak e vzorec změní, když počáteční rychlot nebude nulová? Př. : Předtavíme i vlak jedoucí rovnoměrně po kolejích rychlotí v. Uvnitř vlaku e začne průvodčí rozbíhat za černým paažérem rovnoměrně zrychleně nulovou počáteční rychlotí a zrychlením a. Urči: a) Jakou dráhu urazí vlak za ča t vzhledem k nádraží. 3
b) Jakou dráhu urazí za ča t vzhledem k vlaku průvodčí c) Jakým způobem e pohybuje průvodčí vzhledem k nádraží. d) Jakou dráhu urazí za ča t průvodčí vzhledem k nádraží. a) Jakou dráhu urazí vlak za ča t vzhledem k nádraží. Vlak e vzhledem k nádraží pohybuje rovnoměrně = vt b) Jakou dráhu urazí za ča t vzhledem k vlaku průvodčí Průvodčí e vzhledem k vlaku pohybuje rovnoměrně zrychleně nulovou počáteční rychlotí = at c) Jakým způobem e pohybuje průvodčí vzhledem k nádraží. Vzhledem k nádraží e průvodčí pohybuje rovnoměrně zrychleně nenulovou počáteční rychlotí. d) Jakou dráhu urazí za ča t průvodčí vzhledem k nádraží. průvodní urazí jednak dráhu, kterou uběhne a jednak dráhu, kterou ujede vlakem = at + vt Pedagogická poznámka: Ačkoliv jme doud neřešili problém vztažných outav nemají tudenti předchozím příkladem problémy a pokud ano, tak hned v bodě a), kde e bojí napat = vt. Správnot výledku opět můžeme potvrdit pomocí grafu rychloti nenulovou počáteční rychlotí a plochy pod ním v[m/] S S v=at v 3 t 4 t[] t S = S + S = vt + a ( at) = vt + at = Můžeme doplnit naši tabulku: rovnoměrný pohyb v = kontanta = + vt rovnoměrně zrychlený pohyb a = kontanta v = v + at = + vt + at 4
Pedagogická poznámka: Náledující příklady muí tudenti řešit zcela ami. Nejde o nic těžkého, jde o jeden z rozhodujících okamžiků (polu náledujícími dvěma hodinami) v tom, zda budou dále chopni počítat příklady ami nebo budou už navždy odkázáni na opiování z tabule. Trvám na tom, že řešení muí obahovat vzorec, do kterého doazují, doazení konkrétních (v případě potřeby převedených) hodnot (zdroj největšího množtví chyb v náledujících příkladech) a výledek. Mezivýpočty e nažím potlačovat, vedou k nepřenotem a omylům (ve třídách, kde učím i matematiku, mají tudenti za ebou dvě hodiny cvičení práce kalkulátorem, takže pro ně nemí být problém počítat všechny výledky ve fyzice na kalkulátoru naráz). Pokud někdo nedopočítá příklady ve škole, muí je dodělat doma. Pedagogická poznámka: V náledujících hodinách je třeba trvat (a žáci na to v tomto mítě upozornit), že znalot vzorců pro rovnoměrně zrychlený pohyb je zcela nutná (a neznalot e bude tretat). Př. 6: Urči dráhu, kterou urazí kámen puštěný z věže (padá e zrychlením m/ ) za: a), b), c) 3, d) 4. Jak e ve výledcích projevuje, že pohyb kamene je zrychlený? v =, a = m/, t =, =? = + vt + at = + t + at = at Nyní doadíme jednotlivé čay: t = : = at = m = m, t = : = at = m = m, t = 3 : = at = 3 m = 4m, t = 4 : = at = 4 m = 8m. Zrychlenot pohybu e projevuje tím, že ačkoliv e čay liší tále o jednu ekundu, rozdíly mezi dráhami e neutále zvětšují. Př. 7: Řidič po projetí venice rychlotí km/h šlápne na plyn a začne zrychlovat e zrychlením,m/. Urči jeho rychlot po pěti ekundách. Kolik metrů od cedule při tom ujel? Muíme převét rychlot na m/. v = km/h = 3,9m/, a =,m/, t =, v =? =? v = v + at = 3,9 +, m/ = 4, 4 m/ = 87,8 km/h = vt + at = 3,9 +, m = 9,7 m Řidič zrychlil na 87,8 km/h a ujel při tom 9,7 m.
Př. 8: Jarda zareagoval při běhu na m až,8 po výtřelu ze tartovní pitole. Během,9 ekundy zrychlil na 6,9 m/. Stejnou rychlotí pak běžel zbytek tray. Jaké bylo jeho zrychlení po tartu? Na jaké dráze zrychlil? Jaký byl jeho celkový ča? Zrychlená čát pohybu: v =, t =,9, v = 6,9 m/, a =?, =? v 6,9 v = at a = = m/ =,4 m/ t,9, 4,9 = at = m = m Zbývající čát běhu již běží rovnoměrně. 9 = vt t = = = 3, v 6,9 Celkový ča (počítá e od výtřelu tartovní pitole): t c =,8 +,9 + 3 = 6,7 Jarda e rozbíhal e zrychlením,4 m/ na m. Doáhl celkového čau 6,7. Př. 9: Urči, za jak dlouho padne z výšky,6 m nafukovací míč, pokud padá e zrychlením,8m/. v =, a =,8 m/, =,6 m, =, t =? Neznáme ani ná nezajímá konečná rychlot zvolíme rovnici pro dráhu Počáteční rychlot i počáteční dráha jou nulové vzorec e zjednoduší: = + vt + at = + t + at = at Vyjádříme t: = at / = at / : a t = a / t =,6 = =,73 a,8 Nafukovací míč padne z výšky,6 m e zrychlením,8m/ za,73. v t at = + +. Shrnutí: Pohybové veličiny při rovnoměrně zrychleném pohybu popiují tyto rovnice: a = kontanta, v = v + at, = + vt + at. 6