. Systé my se souvislým časem ELEKTRICKÉ SYSTÉ MY Signá l nemůže existovat bez prostředí, v němžvzniká, šíříse, je uchová vá n nebo se přeměňuje na jiný typ signá lu. Takovému prostředíse říká systém. Dělení systémů a jejich modelů se odvíjíod typů signá lů, které v systému působí: 1) systémy pracujícísouvisle v čase (continuous-time) analogové (analog) systémy se signá ly souvislými v hodnotá ch systémy pracujícídiskrétně čase - diskrétnísystémy (discrete-time) v číslicové (digital) systémy se signá ly diskrétními v hodnotá ch (kvantovanými) (quantized) ) lineá rnísystémy (linear) hybridní- smíš ené - systémy stacioná rnísystémy (s neproměnnými parametry) (stationary) nelineá rnísystémy (nonlinear) nestacioná rnísystémy (s časově proměnnými parametry) (nonstationary, time varying) 3) systémy statické (nesetrvačné, bez paměti, bez akumulačních prvků), popsané algebraickými rovnicemi systémy dynamické (setrvačné, s pamětí, s akumulačními prvky), popsané dierenciá lními rovnicemi. SYSTÉ MY SE SOUVISLÝ M Č ASEM LINEÁ RNÍ STACIONÁ RNÍ SYSTÉ MY Existujízde lineá rnízá vislosti mezi budicími a vyvolanými veličinami (vstupy a výstupy). Platízde princip superpozice: Vstupnísigná l x 1 vyvolá vá výstupnísigná l y 1. Vstupnísigná l x vyvolá vá výstupnísigná l y. Pak: Vstupnísigná l x 1 + x vyvolá vá výstupnísigná l y 1 + y (princip aditivity). Vstupnísigná l ax 1 vyvolá vá výstupnísigná l ay 1, a reá lné číslo (princip multiplicity). Lineá rnísystém může být buď stabilnínebo nestabilní. Stabilní systém reaguje na časově ohraničené zanikající buzení odezvou, která je také zanikající. Nestabilní systém reaguje na časově ohraničené zanikající buzení odezvou, která má tendenci neomezeně růst. 73
Systé my, procesy a signá ly I - sbírka příkladů Systém, sklá dajícíse z prvků, které ke své činnosti nevyžadujízvláštnípřívod energie (prvky R,L,C), je v praxi vždy stabilní. Některé systémy obsahujícíaktivníprvky (tranzistory, operačnízesilovače,..) mohou vykazovat nestabilníchová ní. Budíme-li stabilní lineá rní systém harmonickým signá lem, systém přejde do harmonického ustá leného stavu: všechna vnitřnínapětía vnitřníproudy jsou harmonická stejného kmitočtu jako je kmitočet buzení. Poměr amplitud výstupního a vstupního signá lu systému v harmonickém ustá leném stavu zá visína kmitočtu buzení. Tato zá vislost je zná ma jako amplitudová kmitočtová charakteristika. Rozdíl počá tečních ázívýstupního a vstupního signá lu systému v harmonickém ustá leném stavu zá visírovněžna kmitočtu buzení. Tato zá vislost je zná ma jako á zová kmitočtová charakteristika. Obě kmitočtové charakteristiky lze vyjá dřit najednou komplexní kmitočtovou charakteristikou, která popisuje kmitočtovou zá vislost poměru komplexních Fourierových koeicientů výstupního a vstupního harmonického signá lu: jϕ c& c e C = = = c& c e C e jϕ1 & j( ϕ ϕ ) ( ) K ω 1 1 1 1 (.1) ϕ ω K( ω) &K ( ω ) je komplexnípřenos systému na kmitočtu ω. Kmitočtová závislost komplexního přenosu vynesená v komplexní rovině je komplexní kmitočtová charakteristika. Kmitočtová závislost modulu komplexního přenosu K(ω), t.j. poměru amplitud, je amplitudová (modulová ) kmitočtová charakteristika. Kmitočtová závislost argumentu komplexního přenosu K(ω), t.j. ázový posuv, je á zová (argumentová ) kmitočtová charakteristika. Komplexnípřenos systému lze určit jeho analýzou v harmonickém ustá leném stavu. Komplexnípřenos je unkcí komplexního kmitočtu jω. Nahradíme-li jej ormá lně symbolem p = jω, získá me z komplexního přenosu tzv. přenosovou unkci: ( ) = K( ) K p & ω. (.) j ω = p Přenosová unkce je u elektrických obvodů se soustředěnými parametry racioná lní lomená unkce proměnné p. Nejvyššímocnina p v přenosové unkci udá vá řá d obvodu (viz ná sledující čá st o lineá rních iltrech). Budíme-li stabilní lineá rní systém periodickým signá lem, systém přejde do periodického ustá leného stavu: všechna vnitřnínapětía vnitřníproudy jsou periodická stejného kmitočtu jako je kmitočet buzení. V souladu s principem superpozice obsahuje výstupní periodický signá l obecně stejný počet harmonických složek jako budicísigná l. Harmonická složka výstupního signá lu na kmitočtu F je vyvolá na harmonickou vstupního signá lu na kmitočtu F, která je modiiková na vstupně-výstupním komplexním přenosem na kmitočtu F (změna amplitudy a počá tečníáze). Ve výstupním signá lu se nemohou objevit harmonické na jiných kmitočtech, nežjsou kmitočty harmonických vstupního signá lu. Aby měl výstupní signá l stejný tvar jako vstupní signá l, musí se amplitudy všech spektrá lních složek přenést se stejnou vahou (zesílením, zeslabením, beze změny) a stejným časovým zpožděním. Ideá lnípřenosový člá nek - musímít: ( ) 74
. Systé my se souvislým časem konstantníamplitudovou kmitočtovou charakteristiku lineá rní ázovou kmitočtovou charakteristiku (linearita áze znamená konstantní časové zpožděnípro všechny harmonické, viz př.1.0). V praxi stačí, jsou-li obě podmínky splněny jen pro rozsah kmitočtů, v němžse nachá zejí spektrá lnísložky zpracová vaného signá lu. Nejsou-li obě podmínky splněny, dochá zí k lineá rnímu zkreslení signá lu, a to buď amplitudovému, á zovému nebo kombinaci obojího. Dva odlišné pohledy na lineá rnízkreslení: Nepříznivý jev, který se snažíme vyloučit všude tam, kde jde o věrný přenos signá lu beze změny jeho tvaru. Jev, kterého využív á me při lineá rníkmitočtové iltraci signá lu, kdy iltrem přenášíme na výstup pouze ty spektrá lnísložky vstupního signá lu, o které má me zá jem, a jiné potlačujeme. Lineá rní kmitočtové iltry Patřík často v praxi používaným dynamickým systémům. Jejich důležitou charakteristikou je řád iltru. Zjednodušená deinice (nemá obecnou platnost): Řád iltru je roven počtu akumulačních prvků (L a C), z nichž se sklá dá. Ve skutečnosti může být řá d menšínežudá vá zjednodušená deinice. Čím je vyššířá d iltru, tím lepšímůže být jeho iltračníúčinek, roste však obvodová složitost iltru. Podle zá kladního průběhu amplitudové kmitočtové charakteristiky se iltry dělína: dolnípropust (DP), angl. Low-Pass ilter (LP) hornípropust (HP), angl. High-Pass ilter (HP) pá smovou propust (PP), angl. Band-Pass ilter (BP) pá smovou zá drž(pz), angl. Band-Reject ilter (BR) á zovacíčlá nek (FČ ), angl. All-Pass ilter (AP) DP HP PP PZ Obr..1. Příklady tolerančních schémat amplitudové kmitočtové charakteristiky. 75
Systé my, procesy a signá ly I - sbírka příkladů Fá zovací člá nek má mít konstantní amplitudovou a lineá rní ázovou kmitočtovou charakteristiku. Jeho ú kolem neníiltrace signá lu v pravém slova smyslu, pouze časový posuv signá lu, t.j. posouvá níá zíspektrá lních složek v zá vislosti na jejich kmitočtu. Na obr..1 jsou zná zorněna toleranční schémata amplitudových kmitočtových charakteristik zá kladních typů iltrů, kterými speciikuje zá kazník své požadavky na kmitočtovou zá vislost přenosu iltru. Skutečná charakteristika nemůže mít ideá lní pravoú hlý průběh, musí však prochá zet nevyšraovanou oblastí. Charakter křivky, vyhovující tolerančnímu poli, může být rozmanitý. Hovoříme o různých aproximacích ideá lníamplitudové kmitočtové charakteristiky. Volba aproximace ovlivnídůležité vlastnosti iltru. V praxi se často používajítyto aproximace (uká zka na obr.. pro iltr typu DP): Besselova - velmi plochý monotónníprůběh z propustného do ú tlumového pá sma. Výhody: V propustném pásmu probíhá charakteristika bez zvlnění, není velké amplitudové zkreslenívýstupního signá lu. Fá zová kmitočtová charakteristika je blízká lineá rnímu průběhu, nenítedy velké ani á zové zkreslení. Nevýhoda: Příliš pozvolný přechod z propustného do ú tlumového pá sma a tudížš patné oddělení užitečného signá lu od nežá doucích spektrá lních složek. Butterworthova - plochý monotónníprůběh z propustného do ú tlumového pá sma. Vlastnosti podobné jako u Besselovy aproximace, ale prudší přechod mezi propustným a ú tlumovým pásmem (lepšíiltračníúčinek) a méně lineá rníprůběh ázové charakteristiky (větší ázové zkreslenívýstupního signá lu). Č ebyševova - rovnoměrné zvlnění v tolerančním poli propustného pásma, pak poměrně strmý přechod do ú tlumového pá sma. Čím většízvlnění, tím strmějšípřechod. Výhody: Větší strmost přechodu z propustného do ú tlumového pásma než u předchozích aproximací. Nevýhody: Amplitudové lineá rní zkreslení v důsledku zvlnění amplitudové kmitočtové charakteristiky. Zvlněná á zová charakteristika v propustném pá smu, vznik á zového zkreslení. Inverzní Č ebyševova - monotónníprůběh v propustném pásmu, pak poměrně strmý přechod do ú tlumového pá sma, zvlněnív ú tlumovém pá smu. Výhody: Stejná strmost přechodu z propustného do ú tlumového pá sma. Malé amplitudové zkreslení v propustném pásmu - lepší než u předchozích aproximací. Nevýhody: Fá zové zkreslení většínežu Besselovy a Butterworthovy aproximace, lepšínežu Č ebyševovy. Menšíútlum v ú tlumovém pá smu nežu předešlých aproximací. Většinou složitějšíobvodová realizace nežu předešlých aproximací. Cauerova - zvlněnív propustném i ú tlumovém pá smu. Výhody: Velmi strmý přechod z propustného do ú tlumového pásma, nejstrmější ze všech aproximací. Nevýhody: Největšílineá rnízkreslenívýstupního signá lu ze všech aproximací. Většinou složitějšíobvodová realizace. Filtry zkonstruované podle aproximacícauerovy a Č ebyševovy mohou být menšího řá du nežu aproximacíbesselovy a Butterworthovy při splněnípodmínek daného tolerančního pole (viz obr..). 76
. Systé my se souvislým časem Butterworth Bessel Č ebyšev Inverzní Č ebyšev Cauer Obr... Dané tolerančnípole splňujíiltry typu: Bessel 7. řá du, Butterworth 5. řá du, Č ebyšev 4. řá du, Inv. Č ebyšev 4. řá du, Cauer 3. řá du. Př enos impulsů lineá rním systémem Lineá rnísystém v počá tečním stavu bez energie je vybuzen impulsem s 1 (t) o spektrá lníunkci &S ω, přičemžplatí &S 1 ( ω ). Reaguje na něj výstupním impulsem s (t) o spektrá lníunkci ( ) kde &K ( ω) je komplexnípřenos systému. ( ω) ( ω) ( ω) S & = K & S &, (.3) 1 Č asové průběhy obou signá lů jsou svá zá ny konvolučním integrá lem (bude studová no v navazujícím kurzu Systémy, procesy a signá ly II). Odezvu systému na vstupnísigná l je možné určit i zpětnou Fourierovou transormací.tohoto postupu lze samozřejmě využít jen tehdy, existují-li spektrá lníunkce vstupního a výstupního signá lu. Integrá l zpětné Fourierovy transormace se však obecně velmi nesnadno řeší. V praxi můžeme použít numerickou metodu založenou na DFT. Spektrá lní hustoty energie výstupního a vstupního signá lu spolu souvisí takto (platí pro jednostranné i dvoustranné hustoty): ( ω) ( ω) 1( ω) L = K & L (.4) V zá vislosti na tvaru amplitudové kmitočtové charakteristiky systému dojde k přerozdělení energie ve spektru mezi vstupním a výstupním signá lem. Energie impulsu vstupujícího do systému je obecně jiná neženergie impulsu vystupujícího. U pasivních obvodů bez přídavných přívodů energie je energie výstupního impulsu menšíneženergie vstupního impulsu, neboť čá st se přeměnív teplo na rezistivních prvcích uvnitř obvodu. NELINEÁ RNÍ STACIONÁ RNÍ SYSTÉ MY Existujízde nelineá rnízá vislosti mezi budicími a vyvolanými veličinami (vstupy a výstupy). Neplatízde princip superpozice. 77
Systé my, procesy a signá ly I - sbírka příkladů Nelineá rnísystém může být buď stabilnínebo nestabilní. Charakter chová ní(stabilní, nestabilní) však zá visína počá tečním stavu systému a na budicím signá lu. Vlivem nelineá rních vstupně-výstupních zá vislostídochá zík tvarovému zkreslenísigná lu, kterému říká me nelineá rnízkreslení. Budíme-li stabilní nelineá rní systém harmonickým signá lem o kmitočtu F, systém přejde do periodického ustá leného stavu: vnitřní napětí a proudy nebudou harmonické, nýbržperiodické. Opakovacíkmitočet je v mnoha případech stejný jako kmitočet harmonického buzení. Periodický signá l se sklá dá z harmonických složek na kmitočtech F, F, 3F,... Při průchodu harmonického signá lu jistými typy nelineá rních obvodů (hysterezní systémy apod.) vznikne periodický signá l s opakovacím kmitočtem, který je 1/n tinou kmitočtu budicího signá lu, n celé. Obecně tedy nelineá rnísystém z harmonického signá lu o kmitočtu F generuje množinu harmonických signá lů o vyšších kmitočtech nf (ultraharmonické složky), případně i množinu harmonických složek o kmitočtech F/n (subharmonické složky). Tomuto jevu se říká obohacení spektra nelineá rním systémem, neboť ve spektru výstupního signá lu se objevily složky, které vůbec nejsou přítomny ve spektru vstupního signá lu. Nelineá rnízkreslení, vyvolané systémem při působeníjediného budicího harmonického signá lu, se nazývá harmonické zkreslení. Číselně se vyhodnocuje činitelem harmonického zkreslení(anglicky THD - Total Harmonic Distortion): THD = Se + S3e + S4e +... = S 1e k= S S 1e ke, (.5) kde S ke je eektivní hodnota k-té harmonické zkresleného signá lu. V souladu s Parsevalovým teorémem je v čitateli eektivní hodnota čá sti signá lu, tvořeného vyššími harmonickými spektra, rozšíř eného nelineá rním zkreslením. Č asto se aktor THD udá vá v procentech, pak THD% = THD. 100. (.6) Budíme-li nelineá rnísystém několika harmonickými signá ly o kmitočtech F 1, F,..., F n, systém generuje spektrá lnísložky na tzv. kombinačních kmitočtech a F + a F +... + a F. (.7) 1 1 Celá čísla a 1, a,..., a n se vyskytujíve všech kombinacích, které vedou na nezá porný součet (.7). Dva odlišné pohledy na nelineá rní zkreslení (= tvarové zkreslení signá lu, = obohacení spektra signá lu): Nepříznivý jev, který se snažíme vyloučit všude tam, kde jde o věrný přenos signá lu beze změny jeho tvaru. Jev, kterého využív á me při nelineá rním zpracová nísigná lu, kdy nejprve nelineá rním systémem zkreslíme signá l a vytvoříme tak spektrá lnísložky, které nejsou přítomny ve spektru budicích signá lů, a kmitočtovým iltrem pak tyto složky vybereme na výstup zařízení. Na tomto principu pracuje řada radiotechnických zařízení, např. násobiče kmitočtu, usměrňovače, směšovače, modulá tory a demodulá tory apod. n n 78