TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li Y A. Definice. Topologický prostor X je kompaktní, je-li Hausdorffův a pro každé otevřené pokrytí A prostoru X existuje konečná B A taková, že X = B, tj., z každého otevřeného pokrytí prostoru X lze vybrat konečné podpokrytí. V definici je dáno, že kompaktní prostor je Hausdorffův. Prostory které nejsou Hausdorffovy a z každého jejich otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí, se nazývají kvazi-kompaktní. Buď G systém podmnožin množiny X. Řekneme, že G má konečnou průnikovou vlastnost pokud je F pro každou konečnou neprázdnou F G. Tvrzení 3.1. Topologický prostor X je kvazikompaktní právě když má každá neprázdná množina G uzavřených podmnožin X s konečnou průnikovou vlastností neprázdný průnik. Důkaz. ( ) Předpokládejme, že X je kvazikompaktní topologický prostor a nechť G je neprázdná množina uzavřených podmnožin X s konečnou průnikovou vlastností. Pro spor předpokládejme, že G =. Položme A := {X \ G G G}. Z předpokladu G = plyne, že je A otevřeným pokrytím prostoru X. Protože je tento prostor kvazikompaktní, existuje konečná podmnožina B A taková, že X = B. Potom je {X \ B B B} konečná podmnožina G a z X = B plyne, že \ B) = X \ B B(X B =, B B Date: 20. března 2018. 1
2 PAVEL RŮŽIČKA což je ve sporu s konečnou průnikovou vlastností množiny G. ( ) Předpokládejme nyní, že každá má každá neprázdná množina uzavřených podmnožin prostoru X s konečnou průnikovou vlastností neprázdný průnik. Buď A otevřené pokrytí množiny X. Potom je množina G := {X \ A A A} neprázdnou množinou uzavřených podmnožin X. Z rovnosti X = A plyne, že G =. Z předpokladu plyne, že množina G nemá konečnou průnikovou vlastnost a proto existuje neprázdná konečná F G jejíž průnik je konečný. Potom je B := {X \ G G F} konečná podmnožina A a z F = plyne, že B = X. Důsledek 3.2. Hausdorffův topologický prostor X je kompaktní právě když má každá neprázdná množina G uzavřených podmnožin X s konečnou průnikovou vlastností neprázdný průnik. (Kvazi)kompaktnost prostoru lze charakterizovat také pomocí konvergence. Lemma 3.3. Buď X topologický prostor a S = x σ σ Σ síť v X. Pro každé σ Σ položme (3.1) G σ := {x σ σ < σ Σ} a definujme G := {G σ σ Σ}. Potom je G množinou všech hromadných bodů sítě S. Důkaz. Buď x libovolný hromadný bod sítě S. Buď dále σ Σ a U libovolné okolí bodu x. Podle definice existuje σ > σ tak, že x σ U a tedy (3.2) U {x σ σ < σ Σ} =. Odtud plyne, že x {x σ σ < σ Σ} = G σ. Proto x G. Nechť x G. Buď dále σ Σ a U libovolné okolí bodu x. Potom platí, že x G σ a proto platí (3.2), což znamená, že existuje σ > σ tak, že x σ U. Odtud je vidět, že x je hromadným bodem sítě S. Tvrzení 3.4. Topologický prostor je kvazikompaktní právě když má každá síť v X hromadný bod. Důkaz. ( ) Předpokládejme, že je topologický prostor X kvazikompaktní. Buď S = x σ σ Σ libovolná síť v X. Pro každé σ Σ definujme množinu G σ předpisem (3.1) a položme G := {G σ σ Σ} jako v Lemmatu 3.3. Z toho, že je uspořádaná množina Σ usměrněná, snadno nahlédneme, že G má konečnou průnikovou vlastnost. Podle předpokladu je prostor X kvazikompaktní, a proto je G =. Vzhledem k Lemmatu 3.3 má síť S alespoň jeden hromadný bod.
( ) Předpokládejme, že má každá síť v prostoru X hromadný bod. Buď G množina uzavřených podmnožin prostoru X s konečnou průnikovou vlastností. Buď Σ množina všech neprázdných konečných podmnožin G uspořádaná inkluzí. Je zřejmé, že je množina Σ usměrněná. Pro každé F Σ zvolme x F F. To lze neboť z toho, že G má konečnou průnikovou vlasnost plyne, že je průnik F neprázdný. Podle předpokladu má síť S = x F F Σ hromadný bod. Označme x jeden takový. Buď G G a U libovolné okolí bodu x. Potom existuje konečná {G} F G taková, že x F U. Odtud je vidět, že G F a tedy platí také, že x F G. Proto je U G. To platí pro každé okolí bodu x, odkud dostaneme, že x G = G (neboť G je uzavřená). Ukázali jsme, že x G. Důsledek 3.5. Hausdorffův topologický prostor je kompaktní právě když má každá síť v X hromadný bod. 3.2. Uzavřené podmnožiny a normalita kompaktních prostorů. O všech topologických prostorech, které se vyskytnou v této části budeme předpokládat, že jsou Hausdorffovy. Řekneme, že podmnožina K topologického prostoru (X, τ) je kompaktní, je-li z každého otevřeného pokrytí A této množiny možné vybrat konečnou podmnožinu B A tak, že K B. Lemma 3.6. Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru X je kompaktní. Důkaz. Buď G uzavřená podmnožina X a A otevřené pokrytí G. Potom je A := A {X \ G} otevřené pokrytí X a protože je prostor X kompaktní, existuje konečná B A taková, že X = B. Odtud ihned nahlédneme, že B = B \{X \G} A je konečná a G B. Lemma 3.7. Buď X regulární (tj., T 3 ) topologický prostor, G jeho uzavřená a K jeho kompaktní podmnožina. Jsou-li množiny G a K disjunktní, existují disjunktní otevřené množiny A, B takové, že G A a K B. Důkaz. Protože je prostor X regulární, existují pro každý bod x K disjunktní otevřené množiny A x a B x takové, že G A x a x B x. Množiny B x, x K, tvoří otevřené pokrytí K. Protože je K kompaktní podmnožina X, existuje konečná I K taková, že K x I B x. Položme A := x I A x a B := x I B x. Protože je množina I konečná, jsou obě množiny A, B otevřené. Množinu I jsme volili tak, že K A. Protože G B x pro všechna x I, je G B. Z distributivity průniku 3
4 PAVEL RŮŽIČKA a sjednození dostaneme, že ( ) ( ) A B = A x B x = (( ) ) A x B x x I x I x I x I x I (A x B x ) =. Proto jsou množiny A a B disjunktní. Lemma 3.8. Pro každou dvojici K, L disjunktních kompaktních podmnožin topologického prostoru X existují disjunktní otevřené množiny A, B takové, že K A a L B. Důkaz. Prostor X je dle předpokladu v úvodu podkapitoly Hausdorffův a proto pro každou dvojici bodů x K a y L existují disjunktní otvřené množiny A x,y a B x,y takové, že x A x,y a y B x,y. Fixujme x K. Množiny B x,y, y L, tvoří otevřené pokrytí množiny L a protože je tato množina kompaktní, existuje konečná J x L tak, že L y J x B x,y. Položme A x := y J x A x,y a B x := y J x B x,y. Protože je množina J x konečná, jsou obě množiny A x a B x otevřené a z toho, že x A x,y pro všechna y L plyne, že x A x. Z definice je patrné, že L B x. Podobně jako v předchozím důkazu dostaneme z distributivity průniku a sjednocení dostaneme, že ( ) ( ) A x B x = = (( ) ) B x,z y J x A x,y z J x B x,z z I x (A x,z B x,z ) =. z J x y J x A x,y Množiny A x, x K, tvoří otevřené pokrytí K a protože je množina K kompaktní, existuje konečná I K tak, že K x I A x. Položíme A := x I A x a B := x I B x. Z konečnosti množiny I plyne, že jsou obě množiny A a B otevřené. Protože L B x pro všechna x K, je L B. Z distributivity průniku s jednocení ukážeme obdobně jako výše, že jsou množiny A, B disjunktní. Podle Lemmatu 3.6 je každá uzavřená podmnožina kompaktního prostoru kompaktní. Z právě dokázaného Lemmatu 3.8 tak dostaneme, že Věta 3.9. Každý kompaktní topologický prostor je normální. Dalším důsledkem Lemmatu 3.8 je, že Lemma 3.10. Každá kompaktní podmnožina topologického prostoru X je v něm uzavřená.
Důkaz. Je-li K kompaktní podmnožina prostoru X a x bod v X \ K, potom podle Lemmatu 3.8 existují otevřené disjunktní A, B takové, že K A a x B. Jednoprvková množina {x} je totiž zřejmě kompaktní. Proto pro každý bod x, který neleží v K existuje jeho okolí disjunktní s K. Odtud plyne, že je množina K uzavřená. 5