Teorie míry. je důraz kladen na vlastnosti a prominentní postavení Lebesgueovy míry mezi Radonovými

Transkript

1 Teorie míry Kapitoly 2 14 zahrnují nejzákladnější pojmy a výsledky z teorie míry. Výklad sleduje dvojí cíl: na jedné straně přiblížit fundamentální konstrukce v abstraktní teorii míry generování vnější míry, Carathéodoryovu metodu vytváření míry z vnější míry, rozšíření pramíry na míru či aplikaci Dynkinových systémů k tvrzením o jednoznačnosti), na druhé straně ukázat využití abstraktního přístupu ke studiu d-rozměrné Lebesgueovy míry a Lebesgue-Stieltjesovy míry důležité obzvláště v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice. Zejména je důraz kladen na vlastnosti a prominentní postavení Lebesgueovy míry mezi Radonovými mírami v R d. Tento text užívá pro zavedení Lebesgueovy míry klasický přístup založený na vnější aproximaci. Alternativní způsob založený na vnitřní aproximaci, na pojmu vnitřní míry, lze nalézt v textech pro studenty Lebesgueova míra) na V závěru textu kapitola 15) jsou pro zájemce o hlubší pochopení látky připojeny poměrně rozsáhlé komentáře, historické poznámky a vybrané bibliografické odkazy. Upozornění na nedostatky v textu a případné komentáře jsou vítány netuka@karlin. mff.cuni.cz). březen 2016 Ivan Netuka 1

2 Obsah 1 Úvod 3 2 Měřitelný prostor 6 3 Prostor s mírou 7 4 Dynkinův systém 12 5 Úplný prostor s mírou 15 6 Radonova míra v R d 17 7 Vnější Lebesgueova míra 20 8 Generování vnější míry 21 9 Carathéodoryova věta pro vnější míru Lebesgueova míra a Lebesgueova-Stieltjesova míra v R Pravděpodobnostní míry a distribuční funkce Lebesgueova míra v R d Invariantní míry na R d Transformace Lebesgueovy míry při lineárních zobrazeních Komentář a historické poznámky Významné osobnosti klasické teorie míry a integrálu 63 2

3 Kapitola 1 Úvod Teorie míry si klade za cíl vytvořit vhodný abstraktní a dostatečně flexibilní rámec pro vytvořemí adekvátního způsobu přiřazení číselné velikosti = míra) určitým vyvoleným množinám = množinový systém) ze zadané základní množiny = prostor). Pod takovou číselnou velikostí si můžeme představit obsah rovinných obrazců, pravděpodobnost náhodných jevů, délku křivky v eukleidovském prostoru, hmotnost či objem tělesa v trojrozměrném prostoru, elektrický náboj, délku množiny na přímce atd., prakticky cokoli, u čeho lze očekávat vlastnost aditivity: velikost celku sestávajícího ze dvou částí, které nemají nic společného = jsou disjunktní), je součtem velikostí obou částí. Množiny, kterým umíme velikost přiřadit, se nazývají měřitelné. Intuitivně nám připadá zřejmé, co je délka úsečky, obsah obdélníku či objem kvádru. Přitom nezáleží na tom, jak jsou v příslušném prostoru umístěny neboli shodným měřitelným množinám přiřazujeme stejnou velikost). Elementární úvaha nás na základě intuitivně přirozeného požadavku aditivity vede např. k délce lomené čáry v prostoru či k obsahu pravoúhlého trojúhelníku: úhlopříčka dělí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Proto považujeme za velikost každého z nich polovinu obsahu obdélníku. Libovolný trojúhelník je výškou rozdělen na sjednocení dvou pravoúhlých trojúhelníků strany trojúhelníku jsou úsečky v rovině, jejichž velikost považujeme za nulovou). Tedy obsah trojúhelníku takto umíme určit. Nemáme vlastně žádné pochybnosti o přijetí těchto přirozených pravidel: a) jsou-li dvě množiny shodné, mají stejnou míru = v rovině obsah); b) jsou-li A 1,..., A n množiny, z nichž žádné dvě nemají společné body, pak míra množiny A 1... A n je rovna součtu měr množin A 1,..., A n. Takto nám elementární úvahy stačí např. na určení míry mnohoúhelníků. Komplikace nastávají, uvažujeme-li o tom, co vlastně je obsah kruhu. Ten již jako konečné sjednocení mnohoúhelníků vyjádřit nelze. Kruh však je možné vyjádřit jako spočetné sjednocení nepřekrývajících se) trojúhelníků např. takto: vepíšeme do kruhu rov- 3

4 nostranný trojúhelník, nad každou jeho stranou sestrojíme zřejmým způsobem rovnoramenný trojúhelník s třetím vrcholem na kružnici a postup opakujeme. Tak vytvoříme trojúhelníkovou mozaiku, která kruh vyplňuje úsečky zanedbáváme). Tento příklad dává motivaci pro novou vlastnost, kterou bychom od pojmu velikosti = míry) očekávali: jestliže A 1, A 2,... je nekonečná) posloupnost po dvou disjunktních množin, jejichž míry jsou α 1, α 2,..., pak sjednocení A n má velikost = míru) α n. Užitím této vlastnosti říká se jí σ-aditivita) bychom pomocí výše zmíněné trojúhelníkové mozaiky mohli obsah kruhu definovat. Je to však metoda velice speciální a vzniká navíc zřejmý problém: co vyjde, když se užije jiná mozaika? Z dob školní docházky si připomeneme elementární přístup k zavedení míry rovinných obrazců. Uvažujme sít tvořenou přímkami rovnoběžnými s osami a procházejícími mřížovými body tj. body s celočíselnými souřadnicemi). Pak sít zjemníme - přidáme přímky v poloviční vzdálenosti, proces opakujeme a dostaneme tak postupně čtverečky o délce strany 2 n, které umožňují přibližně zdola a přibližně shora odhadnout obsah obrazce D: sečte se obsah čtverečků obsažených v D a obsah čtverečků, jejichž sjednocení D obsahuje, a to postupně pro sít se vzdáleností přímek 1, 1, 1,... V jednoduchých případech mají 2 4 dolní a horní odhady společnou limitu md), kterou je rozumné nazvat mírou = obsahem) obrazce D. Takovou množinu D nazýváme měřitelnou v Jordanově-Peanově smyslu pro krátkost: J.-P. množinu) a číslo md) definované analogicky i v prostorech R d, d 1, obecně) se nazývá Jordanův-Peanův objem. Na J.-P. množinách má funkce m vlastnost aditivity, dokonce σ-aditivity, ovšem jen v této formě: jsou-li A 1, A 2,... J.-P. množiny a navíc A := A n je J.-P. množina, pak ma) = ma n). Uvedený typ aproximace, který je úspěšný pro množiny s jednoduchou geometrií, se nehodí např. pro změření velikosti množiny A := {r 1, r 2,...} všech racionálních čísel z intervalu [0, 1]. Každá horní aproximace je 1, každá dolní aproximace je rovna 0. Přitom A n := {r n } má Jordanův-Peanův objem roven 0 a A := A n není J.-P. množina. Tedy někdy spočetné sjednocení J.-P. množin je J.-P. množina, jindy ne. Dá se řící, že pro J.-P. množiny neplatí příjemná pravila pro množinové počítání, neoperuje se s nimi dobře: systém J.-P. množin není uzavřený ke spočetným sjednocením, dokonce ani ke spočetným sjednocením intervalů v R! Pojem velikosti = míry) množiny jde, jak víme, ruku v ruce s pojmem integrálu. Např. pro omezenou funkci f : [a, b] [0, ) je M := {x, y) : x [a, b], 0 y fx)} J.-P. množina, právě když f je riemannovsky integrovatelná a pak mm) = R) b a f). Jedním z významných momentů pro formování teorie míry a integrálu byla snaha po nalezení obecného přístupu k zavedení geometrické míry v R d definované pokud možno) na všech podmnožinách. Ovšem zda lze elementární objem např. v R 3 rozšířit na σ-aditivní množinovou funkci - to je velmi netriviální problém. Prozradíme již nyní, že z požadavku rozšíření na úplně všechny množiny je nutné slevit. 4

5 Mírou se rozumí nezáporná σ-aditivní množinová funkce definovaná na množinovém systému, na němž si přejeme bezproblémově manipulovat kalkulovat) s množinami; například takový systém má být uzavřený vzhledem k rozdílu množin a ke spočetným sjednocením. Takové požadavky vedou k pojmu σ-algebry. Na základě pojmu míry se přirozeným způsobem definuje abstraktní integrál, jehož vlastnosti jej předurčují k širokému uplatnění v matematice a jejích aplikacích. Je to právě σ-aditivita, která stojí v pozadí dostatečně silných vět o limitních přechodech za znamením integrálu; je klíčem k mimořádně cenné vlastnosti prostorů integrovatelných funkcí totiž k jejich úplnosti; v teorii pravděpodobnosti umožňuje dokázat fundamentální limitní věty. Skutečnost, že se setkáváme se σ-aditivitou v různých situacích, často vzdálených od původních elementárních geometrických úvah, dává možnost rozsáhlého uplatnění teorie míry v analýze, geometrii a stochastice. 5

6 Kapitola 2 Měřitelný prostor Je-li X množina, značíme PX) systém všech podmnožin množiny X. Pro A PX) místo X\A píšeme A c. Necht X je množina a A PX). Říkáme, že A je σ-algebra na X), jestliže platí: a) A; b) pro každou množinu A A je A c A ; c) pro každou posloupnost {A n } množin z A je A n A. Je-li A σ-algebra na X, pak se dvojice X, A) nazývá měřitelný prostor. Zřejmě je každá σ-algebra uzavřená vzhledem ke konečným sjednocením a průnikům, k rozdílu množin a ke spočetným průnikům Jednoduché příklady σ-algeber. a) PX); b) {, X}; c) systém podmnožin, které jsou spočetné nebo mají spočetný doplněk. Pro S PX) je průnik všech σ-algeber obsahujících S σ-algebra plyne bezprostředně z definice). Značí se σs) a nazývá se σ-algebra generovaná systémem S. Je-li X topologický prostor a S je topologie tj. systém všech otevřených množin v X), pak se σs) značí BX) a nazývá se systém borelovských množin. Pro X := R d píšeme B d místo BR d ) Cvičení o disjunktním sjednocení). Necht {A n } je posloupnost podmnožin množiny X, B n := A n \ n 1 j=1 A j, n N. Potom množiny B n, n N, jsou po dvou disjunktní a je A n = B n. Dále platí rovnost B n = A c n n 1 c. j=1 A j) Jestliže A PX) je systém uzavřený vzhledem k doplňku a ke konečným sjednocením, pak A je σ-algebra, právě když systém A je uzavřený vzhledem ke spočetným disjunktním sjednocením. 6

7 Kapitola 3 Prostor s mírou Necht X, A) je měřitelný prostor. Funkce µ : A [0, ] se nazývá míra, jestliže a) µ ) = 0; b) je µ A n) = µa n) pro každou posloupnost {A n } po dvou disjunktních množin z A tedy µ je σ-aditivní). Trojice X, A, µ) se nazývá prostor s mírou. Je-li µx) = 1, pak se µ nazývá pravděpodobnostní míra a X, A, µ) pravděpodobnostní prostor. Zřejmě je každá míra µ konečně aditivní, neboli pro množiny A 1,..., A n A, které jsou po dvou disjunktní, platí µ n j=1 A j) = n j=1 µa j). Jestliže A, B A, A B a µa) <, pak µb\a) = µb) µa). Necht X, A, µ) je prostor s mírou. Množina N X se nazývá zanedbatelná podrobněji: X, A, µ)-zanedbatelná), jestiže existuje množina B A taková, že N B a µb) = 0. Systém všech zanedbatelných množin značíme N µ) Jednoduché příklady měr. a) Pro x X, A := PX), definujeme ε x A) = 1, pokud x A a ε x A) = 0, pokud x / A. Míra ε x se nazývá Diracova míra soustředěná v bodě x. b) Je-li A := PX), pro A X necht µa) je počet prvků množiny A, pokud A je konečná, µa) =, pokud A je nekonečná. Míra µ se nazývá aritmetická nebo počítací) míra na X. c) Je-li X := N, A := PN), α n [0, ], n N. Pro A A definujeme µa) := ) α n := lim α j. n A Potom N, PN), µ) je prostor s mírou. 7 n j A, j n

8 d) Necht X je nespočetná množina a A je systém množin, které jsou spočetné nebo mají spočetný doplněk. Pro A A definujeme µa) = 0, pokud A je spočetná, µa) = 1, pokud A c je spočetná. Potom X, A, µ) je prostor s mírou Fundamentální příklad míry Lebesgueova míra v R d ). Existuje právě jedna míra λ d na B d, která každému intervalu v R d přiřazuje jeho objem. Míra λ d je invariantní vůči posunutí, tj. pro každou množinu A B d a každé x R d platí λ d A + x) = λ d A). Označme L d := {A N : A B d, N N λ d )}. Potom L d je σ-algebra a existuje právě jedno rozšíření míry λ d na míru definovanou na L d rozšíření budeme značit také λ d ). Množiny z L d se nazývají lebesgueovsky měřitelné množiny a míra λ d na L d se nazývá Lebesgueova míra v R d. Pro množinu A R d jsou následující podmínky ekvivalentní: i) A L d ; ii) pro každé ε > 0 existují uzavřená množina A a otevřená množina A takové, že A A A a λ d A \A ) < ε; iii) existují množina A typu K σ tj. spočetné sjednocení kompatních množin) a množina A typu G σ tj. spočetný průnik otevřených množin) takové, že A A A a λ d A \A ) = 0. Je-li µ míra na B d, která je invariantní vůči posunutí a µ[0, 1] d ) = 1, potom µ = λ d. Viz věty 12.3 a 13.1 a poznámka 12.4a).) 3.3. Důležitý příklad Lebesgueova-Stieltjesova míra). Necht G : R R je neklesající zprava spojitá funkce. Potom existuje právě jedna míra µ G na B 1 taková, že µ G a, b]) = Gb) Ga), a, b R, a < b. Označme S G := {A N : A B 1, N N µ G )}. Potom S G je σ-algebra a existuje právě jedno rozšíření míry µ G na míru definovanou na S G rozšíření budeme značit také µ G ). Míra µ G na S G se nazývá Lebesgueova-Stieltjesova míra generovaná funkcí G. Viz věta 10.7 a poznámka 10.8a).) Jestliže G : x x, pak zřejmě S G = L 1 a µ G = λ 1. Je tedy Lebesgueova míra λ 1 definovaná na L 1 speciálním případem Lebesgueovy-Stieltjesovy míry na R. Následující věta ukazuje, že L 1 PR) Věta o existenci neměřitelné množiny). Necht A je σ-algebra na R, B 1 A a µ je míra na A, která je invariantní vůči posunutí a každému intervalu přiřazuje jeho délku. Je-li A A a µa) > 0, potom existuje B A, B / A. 8

9 Důkaz. Zřejmě existuje otevřený interval I délky 1 takový, že µa I) > 0. Protože µ je invariantní vůči posunutí, lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že A 0, 1). Řekněme, že bod x R je v relaci s bodem y R, jestliže x y Q. Pišme x y, jestliže x je v relaci s y. Zřejmě má tato relace za následek rozklad R na třídy ekvivalence. Označme T systém těchto tříd ekvivalence. Pro každé = T T je zřejmě T 0, 1). Z axiomu výběru plyne, že existuje množina M, která z každé množiny T 0, 1), T T, obsahuje právě jeden prvek. Necht r 1, r 2,... je prostá posloupnost všech racionálních čísel z 1, 1). Pro každé n N definujeme M n := M + r n. Potom M n 1, 2). Necht m n. Kdyby existoval bod z M n M m, existovaly by body x, y M takové, že z = x + r n = y + r m. Pak by platilo x y = r m r n 0 a x, y by byly různé body z M, pro něž x y. Dokázali jsme, že množiny M n, n N, jsou po dvou disjunktní. Je-li y R, pak existují r Q a x M takové, že y = x + r. Jestliže y 0, 1), pak r = y x < 1, tudíž existuje n N takové, že r = r n a y M n. Odtud plyne, že 0, 1) M n. Definujme A n := A M n. Předpokládejme, že A n A pro všechna n N; odvodíme spor. Protože A = A n a µa) > 0, existuje m N takové, že µa m ) > 0. Definujme S n := A m r m + r n, n N. Potom S n A. Jestliže z S n, existuje u A m takové, že z = u r m + r n. Protože u M m, existuje x M takové, že u = x + r m, neboli z = x + r n M n. Dokázali jsme, že S n M n pro každé n N, tudíž množiny S n jsou po dvou disjunktní. Zřejmě µs n ) = µa m ) > 0 pro každé n N. Jelikož S n M n 1, 2), je µ S n) µ 1, 2)) = 3. Na druhé straně, protože µs n ) = µa m ) > 0 pro všechna n N, µ ) S n = µs n ) =, což je spor. Existuje tedy n N takové, že pro B := A n, je B A a B / A Věta základní vlastnosti míry). Necht X, A, µ) je prostor s mírou. Potom platí: a) monotonie) je-li A, B A, A B, potom µa) µb); b) subaditivita) je-li {A n } posloupnost množin z A, potom µ A n) µa n); c) spojitost zdola) je-li {A n } posloupnost množin z A, A 1 A 2..., potom µ A n) = limn A n ; d) spojitost shora) je-li {A n } posloupnost množin z A, A 1 A 2... a µa 1 ) <, potom µ A n) = limn A n. Důkaz. a) Je-li A B, je µa) µa) + µb\a) = µb). 9

10 b) Definujme B n := A n \ n 1 j=1 A j, n N. Víme cvičení 2.2), že B n A, B n A n, množiny B n jsou po dvou disjunktní a A n = B n. Podle a) je µ ) ) A n = µ B n = µb n ) µa n ). c) Necht A 0 :=. Můžeme předpokládat, že pro všechna n N je µa n ) <. Platí µ ) A n = µ A j \A j 1 ) ) = j=1 µa j \A j 1 ) j=1 = lim n n j=1 µa j \A j 1 ) = lim n µa n ), nebot µa j \A j 1 ) = µa j ) µa j 1 ), j N. d) Položme B n := A 1 \A n, n N. Potom B 1 B 2... a A 1 = A n B n. Podle c) dostáváme µa 1 ) = µ ) A n + lim µb n ) = µ ) A n + µa1 ) lim µa n ), n n nebot, díky konečnosti µa n ), µb n ) = µa 1 ) µa n ), n N. Odečtením µa 1 ) dostaneme výsledek Příklad. Necht µ je aritmetická míra na N a A n := {n, n+1,...}. Potom A n =, takže µ A n) = 0 a µan ) = pro všechna n N. Vlastnost spojitosti shora tedy obecně neplatí Věta. Necht µ je míra definovaná na B 1 a konečná na omezených borelovských množinách. Definujme Gx) := µ0, x]) pro x 0 a Gx) := µx, 0]) pro x < 0. Potom je G neklesající zprava spojitá funkce a pro a < b platí µa, b]) = Gb) Ga). Je-li navíc míra µ konečná tj. µr) < ) a F x) := µ, x ]), x R, potom F je neklesající zprava spojitá funkce na R, pro niž F +) = 0, F ) = µr). Důkaz. Necht 0 x < y. Protože 0, x] 0, y], monotonie míry dává Gx) Gy). Je-li x < y < 0, je y, 0] x, 0], tedy µy, 0]) µx, 0]), neboli Gx) Gy). Odtud plyne, že G je neklesající. Necht x R a necht {x n } je nerostoucí posloupnost čísel z intervalu x, ) s limitou x. Je-li x 0, potom je {0, x n ]} nerostoucí posloupnost borelovských množin, 0, x n] = 0, x] a µ0, x 1 ]) <. Spojitost shora dává lim n µ0, x n ]) = µ0, x]), 10

11 tedy lim n Gx n ) = Gx). Je-li x < 0, je {x n, 0]} neklesající posloupnost borelovských množin a x n, 0]) = x, 0]. Ze spojitosti zdola dáváme lim n µx n, 0]) = µx, 0]), neboli lim n Gx n ) = Gx). Dokázali jsme, že funkce G je zprava spojitá. Zřejmě µa, b]) = Gb) Ga), a < b. Necht µ je konečná míra a c := µ, 0]). Potom F x) = c + Gx) pro každé x R, tedy F je neklesající a zprava spojitá. Protože, n] = R, platí F ) = µr). Dále, n] = a µ, 1]) <. Platí tedy F +) = Věta Cantelliovo lemma). Necht X, A, µ) je prostor s mírou, {A n } je posloupnost množin z A a A := {x X : x A n pro nekonečně n N}. Potom A = j=1 n=j A n. Jestliže µa n) <, potom µa) = 0. Důkaz. Vyjádření množiny A je zřejmé. Volme ε > 0 a j N tak, že n=j µa n) < ε. Potom µa) µ n=j A n) n=j µa n) < ε. Odtud plyne, že µa) = 0. 11

12 Kapitola 4 Dynkinův systém Začněme touto motivační úvahou. Necht X je množina, S PX) a µ a ν jsou míry na σs) takové, že µs) = νs) pro všechna S S. Označme T := {A σs) : µa) = νa)}. Je zřejmé, že pro A 1, A 2,... T platí A n T, pokud jsou množiny A 1, A 2,... po dvou disjunktní. Je-li např. navíc X S a µx) <, pak také A c T pro každé A T. V takovém případě se tedy rovnost měr µ a ν přenáší z S na nejmenší množinový systém, který obsahuje S a je uzavřený vůči doplňku a sjednocení spočetného systému po dvou disjunktních množin. Proto je užitečné množinové systémy s touto vlastností studovat. Necht X je libovolná množina a D PX). Potom se D nazývá Dynkinův systém na množině X), když má tyto vlastnosti: a) X D; b) A c D, kdykoliv A D; c) je-li {A n } posloupnost po dvou disjunktních množin z D, potom je A n D. Pro krátkost budeme místo Dynkinův systém říkat D-systém. Zřejmě každý D-systém D obsahuje a pro A, B D, A B, je také B\A D, nebot B\A = A B c ) c. Samozřejmě každá σ-algebra je D-systém. Je-li n N a X konečná množina sestávající se z 2n prvků, definujme D jako systém všech podmnožin sestávajících ze sudého počtu prvků. Pak D je D-systém a pro n > 1 není D σ-algebra Věta. Necht D je D-systém. Pak D je σ-algebra, právě když průnik každých dvou množin z D je prvkem D. Důkaz. Víme, že každá σ-algebra je uzavřená vzhledem dokonce spočetným) průnikům. Předpokládejme, že D je D-systém obsahující s každými dvěma množinami jejich průnik. Je-li A, B D, pak A B D, A B A, tudíž A\B = A\A B) D. Z vlastnosti c) 12

13 z definice D-systému plyne, že také A B = A\B) B D. Necht {A n } je posloupnost prvků z D. Položme B 0 :=, B n := A 1... A n, n N. Potom A n = B n \B n 1 ) D opět podle c) z definice D-systému. Tudíž D je σ-algebra. Je-li S PX) libovolný množinový systém, potom existuje nejmenší D-systém obsahující S ten je definován jako průnik všech D-systémů, které S obsahují). Tento D-systém se značí δs) a nazývá D-systém generovaný systémem S. Zřejmě vždy platí δs) σs) Věta. Necht S PX) obsahuje průnik každých dvou množin z S. Potom δs)=σs). Důkaz. Protože δs) σs), stačí dokázat, že δs) je σ-algebra. Podle věty 4.1 k tomu stačí dokázat, že δs) obsahuje s každými dvěma množinami jejich průnik. Zvolme A δs) a vyšetřujme pomocný systém D A := {Q PX) : Q A δs)}. Zřejmě X D A. Je-li Q D A, je Q c D A, nebot Q c A = A\Q A) δs). Sjednocení posloupnosti po dvou disjunktních množin z D A je zřejmě prvkem D A. Dokázali jsme tedy: Pro každé A δs) je D A D-systém. Necht B S. Podle předpokladu o S je S D B, tudíž δs) D B, nebot D B je D-systém. Dokázali jsme, že A B δs) pro každé A δs) a B S. Odtud plyne, že pro každé A δs) je S D A a tudíž δs) D A, nebot D A je D-systém. Jinými slovy: A B δs), kdykoliv A, B δs) Věta. Necht S PX) obsahuje s každými dvěma množinami jejich průnik a necht {S n } je neklesající posloupnost množin z S taková, že X = S n. Necht µ a ν jsou míry na σs) takové, že µs) = νs) pro všechna S S a necht µs n ) < pro všechna n N. Potom µa) = νa) pro všechna A σs). Důkaz. Zvolme nejprve množinu B S takovou, že µb) <. Definujme D B := {A σs) : µa B) = νa B)}. Potom S D B a zřejmě X D B. Je-li {A n } posloupnost množin z D B, které jsou po dvou disjunktní, potom µ A n B) = µa n B) = takže A n D B. Je-li A D B, pak νa n B) = ν A n B), µa c B) = µb\a B)) = µb) µa B) = νb) νa B) = νa c B), 13

14 tudíž A c D B zde jsme užili, že µb) < ). Tím je dokázáno, že D B je D-systém obsahující S, tedy podle věty 4.2 dostáváme σs) = δs) D B σs). Pro každou množinu A σs) a pro každou B S, pro niž µb) <, tedy platí µa B) = νa B). Speciálně pro každou A σs) a každé n N je µa S n ) = νa S n ). Spojitost zdola dává µa) = νa). 14

15 Kapitola 5 Úplný prostor s mírou Necht X, A, µ) je prostor s mírou. Připomeňme, že množina A X se nazývá zanedbatelná podrobněji: X, A, µ)-zanedbatelná), jestliže existuje množina B A taková, že A B a µb) = 0. Systém všech zanedbatelných množin značíme N µ) Příklad. Necht X := {0, 1, 2}, A := {, X, {0}, X\{0}} a pro A A definujeme µa) = 1, pokud 0 A, µa) = 0, pokud 0 / A. Potom X, A, µ) je prostor s mírou a {1} N µ)\a existuje tedy neměřitelná zanedbatelná množina). Říkáme, že X, A, µ) je úplný prostor s mírou, jestliže každá zanedbatelná množina je měřitelná, tedy N µ) A Věta o zúplnění prostoru s mírou). Necht X, A, µ) je prostor s mírou a  je systém všech množin A X, pro něž existuje dvojice A, A ) množin z X taková, že A, A A, A A A a µa \A ) = ) Pro A  definujeme µa) := inf{ µb) : A B A }. Potom µ = µ na A a X, Â, µ) je úplný prostor s mírou. Důkaz. Budeme říkat, že dvojice A, A ) je aproximující pro množinu A X, jestliže platí 5.1). Zřejmě je dvojice {, } aproximující pro, tedy Â. Je-li A  a A, A ) je aproximující pro A, potom A ) c, A ) c) je aproximující pro A c, tedy A c Â. Jeli {A n } posloupnost množin z Â, A n, A n) je aproximující dvojice pro A n, n N, potom A n, n) A je aproximující pro A n. Dokázali jsme, že  je σ-algebra. Necht A  a A, A ) je aproximující pro A. Potom µa ) = inf{ µb) : A B A } inf{ µb) : A B A } inf{ µb) : A B A } = µa ) = µa ) + µa \A ) = µa ), 15

16 tedy µa) = µa ) = µa ). Z definice µ vidíme, že µa) = µa) pro každou A A. Necht {A n } je posloupnost po dvou disjunktních množin z Â. Je A := A n Â. Necht A n, A n) je aproximující pro A n, n N. Potom A n, n) A je aproximující pro A, tudíž µa) = µ ) = µa n) = µa n ), nebot {A n} je posloupnost po dvou disjunktních množin z A. A n Dokázali jsme, že X, Â, µ) je prostor s mírou. Necht množina N je X, Â, µ)-zanedbatelná. Existuje tedy množina A  taková, že N A a µa) = 0. Necht A, A ) je aproximující pro A. Potom µa ) = µa) = 0 a, A ) je aproximující pro N, tedy N Â. Dokázali jsme, že X, Â, µ) je úplný prostor s mírou. Prostor X, Â, µ) se nazývá zúplnění prostoru X, A, µ),  se nazývá zúplnění σ-algebry A vzhledem k míře µ a µ se nazývá zúplnění míry µ Poznámka. Je-li µ míra na σ-algebře Â, µ A = µ, A  a A, A ) je aproximující pro A, pak µa ) = µa ) µa) µa ) = µa ). Víme, že µa) = µa ) = µa ), takže míry µ a µ se rovnají na Â. Tudíž µ je jediná míra rozšiřujcí µ z A na míru na Â. Dále je užitečné si uvědomit, že  = {A N : A A, N N µ)}. Je-li totiž C  a A, A ) je aproximující pro C, stačí zvolit A := A a N := A \C. Je-li A A a N N µ), existuje B A taková, že N B a µb) = 0. Potom A, A B) je aproximující pro A N a tudíž A N Â. 16

17 Kapitola 6 Radonova míra v R d Necht X je topologický prostor a X, A, µ) je prostor s mírou. Potom µ se nazývá topologická míra, jestliže A obsahuje všechny otevřené množiny a tudíž BX) A). Necht X, A, µ) je prostor s topologickou mírou. Míra µ se nazývá lokálně konečná, jestliže pro každý bod x X existuje otevřené) okolí V bodu x takové, že µv ) <. Pro případ X := R d je tato podmínka ekvivalentní s touto podmínkou: pro každou kompaktní množinu K R d je µk) <.) Míra µ se nazývá zevnitř regulární, jestliže pro každou množinu A A platí µa) = sup { µk) : K A, K kompaktní }. Míra µ se nazývá Radonova míra na X, jestliže µ je topologická úplná lokálně konečná míra, která je zevnitř regulární. Zde se budeme zabývat pouze Radonovými mírami na R d. Pro m N definujeme B m := {x R d : x m} Věta o struktuře měřitelných množin). Necht µ je Radonova míra na R d, A) a A R d. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní: i) A A; ii) pro každé ε > 0 existují uzavřená množina A a otevřená množina A takové, že A A A a µa \A ) < ε; iii) existují množina A typu K σ a množina A typu G δ takové, že A A A a µa \A ) = 0. Důkaz. i) ii) Necht A A a ε > 0. Označme L 1 := B 1, L n := B n+1 \B n, A n := A L n, n N. Potom µa n ) < a existuje kompaktní množina K n A n taková, že platí 17

18 µk n ) > µa n ) ε 2 n 1. Definujme A := K n. Potom A A a µa\a ) = µa n \K n ) < 1 2 ε. Množina A je uzavřená, nebot pro každé m N je množina A B m uzavřená. Protože A c A, existuje podle první části důkazu) uzavřená množina B taková, že B A c a µa c \B) < 1 2 ε. Potom A := B c je otevřená množina, A A a platí odhad µa \A) = µb c \A) = µa c \B) < 1 2 ε, tudíž µa \A ) = µa \A) + µa\a ) < ε. ii) iii) Pro každé n N existují uzavřená množina A n a otevřená množina A n takové, že A n A A n a µa n\a n) < n 1. Definujme A := A n, A := A n. Potom A je typu K σ, nebot A = {A n B m : m, n N}, A typu G δ, A A A, a pro každé n N je µa \A ) µa n\a n) < n 1, tedy µa \A ) = 0. iii) i) Množina A je sjednocením borelovské množiny A a zanedbatelné množiny A\A. Protože µ je úplná topologická míra, je A\A A, tedy A A Věta charakterizace Radonových měr). Necht R d, A, µ) je prostor s mírou. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní: i) µ je Radonova míra; ii) µ je zúplněním lokálně konečné míry definované na B d. Důkaz. i) ii) Necht µ je Radonova míra. Víme, že B d A. Označme µ 0 := µ B d. Zřejmě je µ 0 lokálně konečná míra. Označme R d, B d, µ 0 ) zúplnění prostoru R d, B d, µ 0 ). Necht A B d a necht A, A ) je aproximující pro A. Potom A\A A \A, tedy A\A je R d, B d, µ 0 )-zanedbatelná. Protože µ = µ 0 na B d, je A\A také R d, A, µ)-zanedbatelná. Jelikož je míra µ úplná, je A\A A, tudíž také A A, a µa) = µa ) = µ 0 A ) = µ 0 A). Necht A A. Podle věty 6.1 existují borelovské množiny A, A takové, že A A A a µa \A ) = 0. Tudíž A, A ) je aproximující pro A, a proto A B d. Protože µ je úplná míra, je µa\a ) = 0 a platí µa) = µa ) + µa\a ) = µa ) a µ 0 A) = µ 0 A ) = µa ), neboli A = B 0, µ = µ 0. Vidíme, že µ je zúplněním míry µ 0. ii) i) Necht µ 0 je lokálně konečná míra definovaná na B d a µ je její zúplnění definované na σ-algebře A. Zřejmě je µ lokálně konečná a úplná. Dokážeme, že µ je zevnitř regulární. Definujeme R := { A A : existuje A typu K σ, A A, µa\a ) = 0 }, S := { A R : A c R }. Necht {A n } je posloupnost množin z R a A := A n. Tvrdíme, že pak je A R. Je-li K n spočetný systém kompaktních podmnožin množiny A n takový, že µ A n \ {K : K K n } ) = 0, 18

19 pak K := K n je spočetný systém kompaktních podmnožin množiny A. Protože A\ {K : K K} An \ {K : K K n } ), je µ A\{K : K K} ) = 0 a tedy A R. Necht A n R a A := A n. Dokážeme, že A R. Pro každé n N existuje posloupnost {K nk } k=1 kompaktních množin taková, že K nk A n a µ A n \ k=1 K nk) = 0. Definujme K nj := j k=1 K nk. Potom pro každou množinu M A platí µm A n ) = lim j µm K nj), n N. Tudíž pro každé m a každé n N existuje jm, n) N takové, že za M zvolíme A n B m ) µ A n B m ) K njm, n)) µ An B m ) ) 2 m+n). Definujme K m := K njm, n). Potom K m je kompaktní podmnožina množiny A, nebot K njm, n) A n pro každé n. Protože A B m )\K m An B m )\K njm, n)), platí ) µ A B m )\K m ) µ A n B m )\K njm, n) 2 m+n) = 2 m. Množina K := m=1 K m je množina typu K σ, K A a pro každé k N a m k platí ) ) µ A B k )\K µ A B m )\K m 2 m. Vidíme, že tedy platí µ A B k )\K ) = 0 pro každé k N, tedy µa\k) = 0, nebot A\K = = k=1 A Bk )\K ). Dokázali jsme, že A R. Dokážeme, že S je σ-algebra. Zřejmě S nebot a R d jsou typu K σ ). Je-li A S, je A c R a také A c ) c = A R, tedy A c S. Již víme, že systém R je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením a spočetným průnikům, tedy S je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením. Vidíme, že S je σ-algebra. Každá otevřená množina a každá uzavřená množina je typu K σ, proto systém otevřených množin je obsažen v S. Tudíž B d S A. Necht A A. Protože µ je zúplněním míry definované na B d existuje množina à Bd, à A, taková, že µa\ã) = 0. Protože Bd R, existují kompaktní množiny K j Ã, j N, takové, že µ Ã\ j=1 K j) = 0. Odtud ) n ) µa) = µ K j = lim K j sup { µk) : K A, K kompaktní } µa) j=1 n µ a tudíž µ je zevnitř regulární. j= Poznámka. Necht R d, A, µ) je prostor s Radonovou mírou. Potom A je zúplnění B d vzhledem k µ B d. Viz úvaha v důkazu implikace i) ii) věty

20 Kapitola 7 Vnější Lebesgueova míra Body prostoru R d budeme zapisovat ve tvaru a := a 1,..., a d ), x := x 1,..., x d ) apod. Necht a, b R d. Polouzavřeným intervalem zde rozumíme množinu a, b ] := { x R d : a j < x j b j, j {1,..., d} }. Systém všech polouzavřených intervalů značíme J d. Je-li I := a, b] J d, pak je bud to I = nebo pro každé j {1,..., d} je a j = inf {x j : x I}, b j = sup {x j : x I}. Pokud tedy I, vyjádření I ve tvaru a, b] je jednoznačné. Pro I J d definujeme objem λ d I) intervalu I takto: položíme λ d I) = 0, pokud I = a pro I := a, b] definujeme Pro množinu A R d definujeme λ da) := inf λ d I) = d b j a j ). j=1 { λ d I n ) : I n J d, A I n }. Číslo λ d A) se nazývá vnější d-rozměrná Lebesgueova míra množiny A Poznámky. Zřejmě pro každou množinu A R d a každé x R d je λ d A + x)=λ d A), tedy vnější Lebesgueova míra definovaná na PR d ) je invariantní vůči posunutí. Očekáváme, že pro každý interval I J d platí λ d I) = λ di), tedy že λ d je rozšířením objemu. Toto je pravda, ale tato rovnost není nikterak zřejmá viz lemma 12.1). Odtud pak plyne z věty 3.4 pro d = 1 a snadnou modifikací pro d > 1), že λ d není míra na PRd ). Ukážeme však, že existuje dostatečně bohatá σ-algebra L d obsahující B d ) taková, že R d, L d, λ ) d L d je prostor s úplnou mírou viz věta 12.3 a poznámka 12.4a)). Postup vytváření vnější míry zevně pomocí pokrývání užitý v definici λ d můžeme studovat ve zcela abstraktním kontextu. 20

21 Kapitola 8 Generování vnější míry 8.1. Věta. Necht X je množina, T PX), T, X T, a necht funkce τ : T [0, ] splňuje τ ) = 0. Pro A X definujeme µ A) := inf { τt n ) : T n T, A T n }. Potom množinová funkce µ : PX) [0, ] má tyto vlastnosti: a) µ ) = 0; b) pro A B platí µ A) µ B); c) pro posloupnost {A n } množin z X platí µ A n) µ A n ). Důkaz. Vlastnosti a) a b) plynou bezprostředně z definice. Necht A n X, n N, a A := A n. K dokončení důkazu stačí nerovnost z c) ověřit pro µ A n ) <. Necht ε > 0. Pro každé n N existují množiny T n, j) T, n, j) N N, takové, že A n j=1 T n, j) a τt n, j) ) µ A n ) + ε 2 n. j=1 [ V tomto místě důkazu se obvykle říkává: jelikož A n, j=1 T n, j) a τt n, j) ) µ A n ) + ε, n, j=1 platí µ A) µ A n ). Protože µ je formálně vzato definována pomocí jedné pokrývací posloupnosti a nikoli pomocí dvojných posloupností a dvojné sumy jsme zatím nezavedli, dejme zde přednost pedantskému odůvodnění. ] 21

22 Necht ϕ je prosté zobrazení N na N N. Tvrdíme, že A k=1 T ϕk). Je-li totiž x A, existuje n N takové, že x A n j=1 T n, j). Tudíž existuje j N takové, že x T n, j). Pro k := ϕ 1 n, j) ) je pak x T ϕk). Dokážeme, že τt ϕk) ) k=1 j=1 τt n, j) ). Zvolme m N. Existuje p N takové, že pro každé k m je ϕk) Q := {r, s) N N : r p, s p }. Čísla τt n, j) ) jsou nezáporná a pro každé r, s) Q existuje nejvýše jedno k N takové, že ϕk) = r, s). Proto m τt ϕk) ) k=1 p j=1 j=1 p τt n, j) ) τt n, j) ) p j=1 τt n, j) ) µ A n ) + ε 2 n ). Odtud dostáváme a τt ϕk) ) µ A n ) + ε k=1 µ A) µ A n ) + ε. 22

23 Kapitola 9 Carathéodoryova věta pro vnější míru Necht µ : PX) [0, ] je množinová funkce s vlastnostmi a), b), c) z věty 8.1. Potom se µ nazývá vnější míra na X). Vlastnost c) se nazývá σ-subaditivita Poznámka. Vnější míra µ z věty 8.1 se nazývá vnější míra generovaná T, τ). V uvažované obecnosti nelze očekávat, že µ je rozšířením τ, tj. že pro každou množinu A T platí µ A) = τa); viz příklad 9.2a). Ani v případě, že X, T, τ) je prostor s mírou, nemusí být vnější míra µ generovaná T, τ) míra tj. σ-aditivní, dokonce obecně µ není aditivní; viz příklad 9.2b) Příklady. a) Necht X := N, T necht je systém sestávající z konečných množin a z doplňků konečných množin a necht τa) = 0, pokud A N je konečná, τa) = 1, pokud A má konečný doplněk. Protože jednoprvkové množiny pokrývají N, pro vnější míru µ generovanou T, τ) platí µ N) = 0 < 1 = τn). b) Necht X := {0, 1}, T := {, X}, τ ) = 0, τx) = 1. Potom X, T, τ) je prostor s mírou a pro vnější míru µ generovanou T, τ) platí µ {0}) = 1 = µ {1}) a µ {0} {1} ) = 1, tedy µ není aditivní. c) Necht X, ρ) je metrický prostor a pro A X necht diam A je průměr množiny A tedy diam = 0 a pro A je diam A := sup { ρx, y) : x, y A}). Necht p 0, δ > 0, necht T je systém všech množin T, pro něž diam T δ, a τt ) := diam T ) p, T T. Označme H p, δ vnější míru generovanou T, τ). Pro 0 < δ < η a A X je H p, η A) H p, δ A). Množinová funkce H p : PX) [0, ] definovaná pro A X rovností H p A) := lim δ 0+ H p, δa) 23

24 je vnější míra. Nazývá se p-rozměrná vnější) Hausdorffova míra v R d. Poznamenejme, že se někdy uvažuje místo funkce τ její násobek zvolený tak, aby H d = λ d ; dokázat tuto nesamozřejmou rovnost není snadné.) Necht µ je vnější míra na X. Množina A X se nazývá µ -měřitelná, jestliže pro každou množinu E X platí µ E) = µ E A) + µ E A c ). 9.1) Obrazně nematematicky vyjádřeno: µ -měřitelná množina je nůž, který rozřízne každou testovací množinu E aditivně.) Systém všech µ -měřitelných množin označíme A. Ukážeme, že A je σ-algebra a že X, A, µ A ) je prostor s mírou Poznámky. a) Necht vnější míra µ je generovaná T, τ). Může se stát, že některé množiny z T nejsou µ -měřitelné. Je-li např. X := {1, 2, 3}, T := PX) a τ ) = 0, τx) = 2 a τa) = 1, pokud A X je neprázdná, potom µ = τ a snadno se ověří, že systém µ -měřitelných množin je roven {, X}. Např. pro A := {1} a E := {1, 2} rovnost 9.1) neplatí, totéž pro A := {1, 2} a E = {1} atd.) Z tohoto příkladu je také vidět, že pro vnější míru µ není µ -měřitelnost množiny A důsledkem podmínky µ X) = µ A) + µ A c ). Např. pro A := {1} rovnost platí obě strany jsou rovny 2) a A přitom není µ -měřitelná. b) Je-li A X, E X, pak subaditivita dává µ E) µ E A) + µ E A c ). Tudíž množina A je měřitelná, právě když pro každou množinu E X, pro niž µ E) <, platí µ E) µ E A) + µ E A c ) Věta. Necht µ je vnější míra na X a A je systém všech µ -měřitelných množin. Potom X, A, µ A ) je úplný prostor s mírou. Důkaz. Budeme postupovat v několika krocích. 1. Zřejmě A a A A implikuje A c A plyne ze symetrie podmínky 9.1) vzhledem k A a A c ). 24

25 2. Systém A je uzavřený vzhledem ke sjednocení dvou a tedy konečně mnoha) množin: Necht A, B A a E X. Budeme užívat tuto množinovou rovnost: E A B) = E A B) E A B c ) E A c B). Z definice µ -měřitelnosti množiny A testovací množina je E), µ -měřitelnosti množiny B testovací množiny jsou E A a E A c ) a ze subaditivity µ dostáváme Vidíme, že A B A. µ E) = µ E A) + µ E A c ) = µ E A) B ) + µ E A) B c) + µ E A c ) B ) + µ E A c ) B c) µ E A B) ) + µ E A B) c). 3. Vnější míra je na A aditivní: Necht A, B A, A B =. Potom testovací množina je A B) µ A B) = µ A B) A ) + µ A B) A c) = µ A) + µ B). 4. Systém A je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením: Podle cvičení 2.2 stačí ověřit, že A je uzavřený vzhledem ke spočetným disjunktním sjednocením. Necht {A n } je posloupnost po dvou disjunktních množin z A, B 0 :=, B j := j A n, j N, A := A n. Necht E X. Potom testovací množina je E B j ) pro j N platí µ E B j ) = µ ) E B j ) A ) j + µ E B j ) A c j = µ E A j ) + µ E B j 1 ). Indukcí odtud plyne, že µ E B j ) = Protože B j A, platí pro každé j N j µ E A n ). µ E) = µ E B j ) + µ E B c j) j µ E A n ) + µ E A c ), tedy pro j dostáváme užijeme σ-subaditivitu a subaditivitu) µ E) µ E A n ) + µ E A c ) µ ) E A n ) + µ E A c ) = µ E A) + µ E A c ) µ E). 25

26 Odtud plyne, že množina A je µ -měřitelná a µ E) = µ E A n ) + µ E A c ). 5. Množinová funkce µ je na A σ-aditivní: V poslední rovnosti stačí zvolit E := A. 6. Jestliže µ A) = 0, potom A A odtud plyne, že X, A, µ A ) je úplný prostor s mírou): Je-li µ A) = 0 a E X, pak tudíž A A. µ E) µ E A) + µ E A c ) = µ E A c ) µ E), 9.5. Lemma. Necht µ je vnější míra generovaná T, τ). Necht A X a necht pro každou množinu T T platí T A T, T A c T a τt ) = τt A) + τt A c ). Potom množina A je µ -měřitelná. Důkaz. Necht E X a necht {T n } je posloupnost množin z T taková, že E T n. Potom E A T n A), E A c T n A c ), tudíž µ E A) + µ E A c ) τt n A) + τt n A c ) = τt n ). Odtud plyne, že µ E A) + µ E A c ) µ E), tedy množina A je µ -měřitelná. Z věty 9.4 a lemmatu 9.5 snadno plyne věta o rozšíření pramíry na míru. Nejprve dvě definice. Necht X je množina a R PX). Říkáme, že R je algebra na X), jestliže platí: a) R; b) pro každou množinu R R je R c R; c) jsou-li R 1,..., R n R, potom n j=1 R j R. Je-li R algebra na X, pak funkce ρ : R [0, ] se nazývá pramíra, jestliže a) ρ ) = 0; b) je-li {R n } posloupnost po dvou disjunktních množin z R a R n R, potom ρ R n) = ρr n). 26

27 9.6. Věta. Necht R PX) je algebra, ρ je pramíra na R a A := σr). Potom existuje míra µ na A taková, že µ R = ρ. Jestliže existuje posloupnost {R n } množin z R taková, že X = R n a ρr n ) <, n N, a ν je míra na A, pro niž ν R = ρ, potom ν = µ. Důkaz. Necht ρ je vnější míra generovaná R, ρ). Protože R je algebra a ρ je konečně aditivní, plyne z lemmatu 9.5, že každá množina z R je ρ -měřítelná. Je-li R R a R R n, R n R, n N, existují podle cvičení 2.2 po dvou disjunktní množiny S n R takové, že S n R n a R n = S n. Jelikož ρ je pramíra, je ρr) ρ R S n) ) = ρr S n) ρr R n), tedy ρr) ρ R). Obrácená nerovnost je zřejmá, stačí zvolit R 1 = R a R n = pro všechna n 2. Víme, že systém všech ρ -měřitelných množin tvoří σ-algebru obsahující R, tedy také obsahující σr) = A. Nyní stačí položit µ := ρ A. Jednoznačnost plyne z věty

28 Kapitola 10 Lebesgueova míra a Lebesgueova-Stieltjesova míra v R Lemma. Necht n {1,..., d}, c R a P n c) := {x R d : x n > c}. Potom P n c) je λ d-měřitelná množina. Důkaz. Vnější míra λd je generovaná J d, λ d ). Je-li I P n c) nebo I P n c) =, je rovnost λ d I) = λ d I Pn c) ) + λ d I\Pn c) ) zřejmá. V ostatních případech je I := a, b ] a a n < c < b n. Necht J := {1,..., d}\{n}, x j := a j pro j J, x n := c, y j := a j pro j J a y n := c. Potom I P n c) = x, b ], I\P n c) = a, y ], tudíž λ d I Pn c) ) + λ d I\Pn c) ) = b n c) b j a j ) + c a n ) b j a j ) = λ d I). Tvrzení plyne z lemmatu Věta. Každá borelovská množina v R d je λ d -měřitelná. j J Důkaz. Protože systém všech λ d-měřitelných množin je σ-algebra, stačí dokázat, že každá otevřená množina je λ d -měřitelná. Je-li M Rd otevřená množina, pak existuje posloupnost {I n } intervalů z J d taková, že M = I n. Stačí tedy ověřit, že každý polouzavřený interval je λ d -měřitelný. Necht I := a, b ] J d. Potom I = d Pn a n )\P n b n ) ). Podle lemmatu 10.1 je I λ d-měřitelná množina. j J Lemma. Necht G : R R je neklesající zprava spojitá funkce. Pro I := a, b ] definujeme µ G I) := Gb) Ga), pokud a < b, µ G I) = 0, pokud a b. Necht µ G je vnější míra generovaná J 1, µ G ). Potom pro každé c R je množina c, ) µ G -měřitelná. 28

29 Důkaz. Pro A := c, ) a T, τ) := J 1, µ G ) jsou splněny předpoklady lemmatu Věta. Každá borelovská podmnožina R je µ G -měřitelná. Důkaz. Plyne z tvrzení 10.3, nebot pro a < b je a, b ] = a, )\b, ) a zřejmě je σj 1 ) = B 1, nebot každou otevřenou množina v R lze vyjádřit jako spočetné sjednocení intervalů z J Lemma. Necht G, µ G a µ G mají stejný význam jako v lemmatu Je-li I J 1, potom µ G I) = µ GI). Důkaz. Necht I J 1. Definujme I 1 := I, I n := pro n 2. Z definice µ G I) plyne, že µ G I) µ GI). K důkazu obrácené nerovnosti stačí dokázat toto tvrzení: Je-li I J 1 a {I n } je posloupnost intervalů z J 1 taková, že I I n, potom µ G I) µ G I n ). 10.1) Necht J, J J 1, J J. Protože G je neklesající, je µ G J ) µ G J). Je-li I =, je nerovnost 10.1) zřejmá. Necht I := a, b ], kde a < b. Pro c R definujeme P c) := c, ), ) M := {c [a, b ] : µ G c, b ] } µ G I n P c)) a m := inf M. Zřejmě M, nebot b M. Tedy m [a, b ]. Protože P c) P m) pro každé c M a G je zprava spojitá v bodě m, platí ) µ G m, b ] = Gb) Gm) = Gb) Gm+) { } ) } = sup Gb) Gc) : c M = sup {µ G c, b ] : c M { sup µ G In P c)) ) } : c M µ G In P m)) ). Vidíme, že m M. Dokázat 10.1) znamená ověřit, že m = a. Předpokládejme, že m > a; odvodíme spor. Existuje interval I j := c j, d j ] obsahující bod m. Položme y := max {c j, a}, takže y < m a y, d j ] = y, m ] m, d j ], takže µ G Ij P y) ) =Gd j ) Gy)=Gd j ) Gm)+Gm) Gy)=µ G Ij P m) ) +Gm) Gy), 29

30 tedy užije se, že m M) platí µ G In P y) ) µ G In P m) ) + Gm) Gy) ) µ G m, b ] + Gm) Gy) = Gb) Gm) + Gm) Gy) ) = Gb) Gy) = µ G y, b ]. Dokázali jsme, že y M, tedy y m, což je spor, nebot y < m Lemma. Necht µ je vnější míra generovaná T, τ) viz věta 8.1), A je σ-algebra µ -měřitelných množin a µ := µ A. Necht T A, µ = τ na T a necht existují X m σt ) takové, že X = m=1 X m a µx m ) <, m N. Jestliže A A, potom existují množiny A, A σt ) takové, že A A A a µa \A ) = 0. Důkaz. Necht A A. Nejprve předpokládejme, že µa) <. Necht n N. Existuje posloupnost {T j } j=1 množin z T taková, že A A n := j=1 T j a µt j ) µa) + 1 n. Platí tedy j=1 µa n\a) = µa n) µa) µt j ) µa) 1 n. Pro A := A n platí A σt ), A A a µa \A) = 0, nebot µa \A) µa n\a) pro každé n N. 1 n Nyní opustíme dodatečný předpoklad. Můžeme předpokládat, že množiny X m jsou po dvou disjunktní cvičení 2.2). Necht A A a A m := A X m, m N. Potom A m A a podle první části důkazu existuje množina A m σt ) taková, že A m A m a µa m\a m ) = 0. Můžeme předpokládat, že A m X m jinak bychom uvažovali průnik s X m ). Jestliže A := m=1 A m, pak A σt ), A A a µa \A) = 0, nebot A \A = m=1 A m\a m ). Je-li B := A c, pak podle druhé části důkazu existuje B σt ) taková, že A c B a µb \B) = 0. Tudíž pro A := B ) c je A σt ) a j=1 µa\a ) = µ A ) c \A c) = µb \B) = 0. Dostáváme µa \A ) = µa \A) + µa\a ) = 0. 30

31 10.7. Věta Lebesgueova-Stieltjesova míra). Necht G : R R je neklesající zprava spojitá funkce. Potom na R existuje právě jedna Radonova míra µ G taková, že µ G a, b ] ) = Gb) Ga), a, b R, a < b. 10.2) Důkaz. Pro I := a, b ] J 1 definujeme µ G I) = Gb) Ga), pokud a < b, µ G I) = 0 pro a b. Označme µ G vnější míru generovanou J 1, µ G ) a S G σ-algebru µ G -měřitelných množin. Víme věta 10.4), že platí B 1 S G a µ G a, b ] ) = µg a, b ] ) = Gb) Ga) lemma 10.5). Bez nebezpečí kolize označení definujeme µ G := µ G S G. Podle věty 9.4 je R, S G, µ G ) úplný prostor s mírou. Míra µ G je zřejmě lokálně konečná, tedy podle věty 6.2 je µ G Radonova míra, nebot je zúplněním míry µ G B 1 podle lemmatu 10.6 za T, τ) volíme J 1, µ G ), připomeneme, že σj 1 ) = B 1 a užijeme větu 10.4 a lemma 10.5). Zbývá dokázat jednoznačnost. Protože systém J 1 je uzavřený vzhledem k průniku, σj 1 ) = B 1 a µ G n, n ] ) < pro n N, je podle věty 4.3 míra µg jednoznačně určená na B 1. Podle poznámky 6.3 je µ G jediná Radonova míra splňující rovnost 10.2) Poznámky. a) S ohledem na příklad 3.3 zdůrazňujeme, že S G je zúplnění B 1 vzhledem k µ 0 := µ G B 1 a µ G je jednoznačně určené) rozšíření µ 0 na S G = { A N : A B 1, N N µ 0 ) } ; viz poznámka 5.3. b) Pro G : x x, x R, věta 10.7 dává existenci a jednoznačnost Lebesgueovy míry λ 1 v R viz příklad 3.2). c) Pro každé x R je {x} = x 1, x ] ) ), tedy λ n 1 {x} = 0, nebot λ 1 {x} 1 n pro všechna n N. Odtud plyne, že λ 1 a, b) ) = λ1 a, b ] ) = λ1 [a, b) ) = λ1 [a, b ] ) = b a, a b. Zřejmě pro každou spočetnou množinu S R platí λ 1 S) = 0. Pro neklesající zprava spojitou funkci G je µ G x 1 n, x ]) = Gx) G x 1 n), x R, n N, tedy µ G {x} ) = Gx) Gx ). Platí tedy µg a, b) ) = Gb ) Ga), µ G [a, b) ) = Gb ) Ga ), µg [a, b ] ) = Gb) Ga ). d) Na R existují nespočetné kompaktní množiny, které mají míru 0. Uvedeme nepominutelný příklad, tzv. Cantorovo diskontinuum. Je známo, že každé číslo a [0, 1 ] lze vyjádřit v trojkové soustavě ve tvaru a = a a zápis: a = 0, a 1 a 2...), kde cifry a n jsou čísla 0, 1, nebo 2. Je-li a = 0, a 1 a 2..., b = 0, b 1 b 2... a n N je nejmenší číslo, pro které a n b n, potom v případě b n > a n 31

32 je b > a, pokud nenastal následující výjimečný případ: a n < 2, a n+1 = a n+2 =... = 2 a b n = a n + 1, b n+1 = b n+2 =... = 0. Pak zřejmě a = b. Necht C je množina všech čísel z intervalu [0, 1 ], která lze alespoň jedním způsobem vyjádřit ve tvaru a = 0, a 1 a 2..., přičemž a n 1pro všechna n N. Snadno si rozmyslíme, že C vznikne postupným odstraněním prostředních třetin tzv. styčných intervalů Cantorova diskontinua): nejprve se odstraní interval 1/3, 2/3), v tomto intervalu totiž leží právě všechna čísla, která mají nutně na prvním místě cifru 1. V druhém kroku se ze zbývajících intervalů [0, 1/3 ] a [2/3, 1 ] odstraní prostřední třetiny, tj. intervaly 1/9, 2/9), 7/9, 8/9). V n-tém kroku se odstraní 2 n 1 intervalů délky 3 n, atd. Označíme-li G := [0, 1 ]\C, je G otevřená množina sestávající z otevřených intervalů, které jsou po dvou disjunktní. Intervalů délky 3 n je 2 n 1, proto λ 1 G) = 2n 1 3 n ) = 1. Pro kompaktní množinu C je tudíž λ 1 C) = 0. Necht S je množina těch x = 0, a 1 a 2..., pro něž všechna a n s výjimkou konečného počtu jsou rovna nule. Pak S je spočetná a zobrazení f : C\S [0, 1 ], které bodu 2b 1 /3 + 2b 2 / přiřadí bod b 1 /2 + b 2 / b n je rovno 0 nebo 1) je prosté zobrazení C\S na [0, 1 ]. Proto je množina C nespočetná. e) Dokážeme, že existuje spojitá neklesající funkce ϕ : [0, 1 ] R taková, že ϕ je konstantní na každém styčném intervalu Cantorova diskontinua C a ϕ0) = 0, ϕ1) = 1. Pro každé x z omezeného styčného intervalu Cantorova diskontinua, jehož koncový bod má rozvoj tvaru 2a 1 / a n /3 n, definujeme ϕx) := a 1 /2 + + a n /2 n a j je 0 nebo 1). Dále položíme ϕ0) := 0 a pro x 0, 1 ] definujeme ϕx) := sup {ϕy) : y [0, 1 ]\C, y x}. Potom je funkce ϕ neklesající. Jelikož dále pro každé m, n N, m < 2 n, platí m/2 n ϕ [0, 1 ]\C ), je funkce ϕ spojitá a ϕ1) = 1. Položme ψx) := x + ϕx) ) /2, x [0, 1 ]. Potom ψ zobrazuje spojitě a prostě [0, 1 ] na [0, 1 ], ψ 1 je spojitá a ψ [0, 1 ]\C ) je otevřená množina, jejíž míra je rovna 1/2. Proto λ 1 ψc) ) = 1/2. Z věty 3.4 plyne, že existuje A ψc) taková, že A / L 1. Definujme M := ψ 1 A). Potom M C, tudíž M L 1. Z níže popsané úvahy plyne, že M / B 1. Označme A := {B B 1 : ψb) B 1 }. Protože ψ 1 je spojité zobrazení, je vzor každé otevřené podmnožiny intervalu [0, 1 ] při ψ 1 otevřená množina, tedy každá otevřená množina padne do A. Protože ψ je prosté, je obraz sjednocení spočetně mnoha množin sjednocením obrazů a obraz doplňku množiny je roven doplňku obrazu. Je tedy A σ-algebra a odtud plyne, že B 1 A. f) Necht a < b. Existuje kompaktní množina K [a, b ] taková, že K má prázdný vnitřek a λ 1 K) > 0. Existují tedy řídké množiny kladné Lebesgueovy míry. Necht Q [a, b ] = {r 1, r 2,...}. Pro δ 0, b a) definujme interval I n := r n δ/2 n+1, r n + δ/2 n+1), n N, 32

33 a definujme K δ := [a, b ]\ I n. Potom K δ je kompaktní a ) λ 1 K δ ) = b a λ 1 I n b a Jelikož K δ Q [a, b ]) =, vnitřek množiny K δ je prázdný. δ 2 n ) = b a δ > 0. Necht k N, 1/k < b a. Definujme ještě L := n=k K 1/n. Snadno nahlédneme, že platí λ 1 L) λ 1 K 1/n ) b a 1/n, kdykoli n N, n k, proto λ 1 L) = b a. Jestliže M := {L+m b a) : m Z}, N := R\M, pak M je množina 1. kategorie tj. spočetné sjednocení řídkých množin) a λ 1 N) = 0. Tedy každá množina A R je sjednocením množiny 1. kategorie a množiny míry 0, totiž A = A M) A N). g) Množina kladné míry tedy nemusí obsahovat nedegenerovaný) interval. Platí toto tvrzení: Je-li A L 1, λ 1 A) > 0, potom existuje číslo δ > 0 takové, že δ, δ) A A := {x y : x, y A}. To lze dokázat např. takto: S odvoláním na větu 6.1 lze předpokládat, že A je kompaktní a podle téže věty existuje otevřená množina G taková, že je A G a přitom λ 1 G) < < 2λ 1 A). Protože A je kompaktní množina disjunktní s uzavřenou množinou R\G, existuje δ > 0 takové, že A + x G pro každé x δ, δ). Tvrdíme, že δ, δ) A A. Zvolme v δ, δ). Potom A A + v) G. Kdyby A A + v) =, pak by platilo 2λ 1 A) = λ 1 A) + λ 1 A + v) = λ 1 A A + v) ) λ1 G), což je ve sporu s nerovností λ 1 G) < 2λ 1 A). Vidíme, že A A + v), tj. existují body x, y A takové, že x = y + v, neboli v = x y A A. 33

34 Kapitola 11 Pravděpodobnostní míry a distribuční funkce Říkáme, že F : R R je distribuční funkce, jestliže a) F je neklesající; b) F je zprava spojitá; c) F +) = 0 a F ) = 1. Označíme M 1 R) množinu pravděpodobnostních měr na B Věta. a) Jestliže µ M 1 R) a potom F je distribuční funkce. F x) := µ, x ] ), x R, 11.1) b) Jestliže F je distribuční funkce, potom existuje právě jedna míra µ M 1 R) taková, že platí 11.1). Důkaz. Plyne z věty 3.7 a z věty

35 Kapitola 12 Lebesgueova míra v R d Lemma. Pro I J d je λ d I) = λ di). Důkaz. Necht I J d. Nerovnost λ d I) λ di) je zřejmá z definice vnější Lebesgueovy míry. K důkazu obrácené nerovnosti stačí ověřit nerovnost λ d I) λ d I n ), I n J d, n N, I I n. Nd)) Důkaz provedeme indukcí. Pro d = 1 je N1) nerovnost 10.1) pro funkci G : x x, x R. Předpokládejme, že d 1 a že platí Nd). Necht I, I n J d+1, I I n. Nerovnost Nd + 1) zřejmě platí, pokud I =. Necht I := a, b ], I n := a n), b ] n), n N, a pro c R necht P c) := {x R d+1 : c < x d+1 }. Označme v := d j=1 b j a j ), takže λ d+1 I) = v b d+1 a d+1 ). Necht ε > 0. [Faktor 1 + ε v následující definici představuje malou rezervu, která v důkazu umožní přejít od nekonečného pokrytí ke konečnému. ] Definujme M := { c [a d+1, b d+1 ] : vb d+1 c) 1 + ε) Zřejmě b d+1 M, tedy m := inf M [a d+1, b d+1 ]. Platí vb d+1 m) = sup { vb d+1 c) : c M } { 1 + ε) sup 1 + ε) λ d+1 In P c) )}. λ d+1 In P c) ) } : c M λ d+1 In P m) ), 35