14. cvičení z PSI. 9. ledna Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost.

Podobné dokumenty
14. cvičení z PSI. 9. ledna 2018

13. cvičení z PSI ledna 2017

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,

Statistika pro informatiku (MI-SPI) Cvičení č. 6

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru

Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa

Informační a znalostní systémy

4. Aplikace matematiky v ekonomii

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Bakalářská práce Nejslabší! Máte padáka! Strategie ukládání

Teorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

B) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací.

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zpracoval: 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Principy indukce a rekurentní rovnice

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

4EK211 Základy ekonometrie

Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY

1. Jordanův kanonický tvar

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Dva kompletně řešené příklady

Model tenisového utkání

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Statistická teorie učení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Dijkstrův algoritmus

KGG/STG Statistika pro geografy

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

VYUŽITÍ FLOYDOVA ALGORITMU NA SITÍCH USE OF FLOYD ALGORITHM IN NETWORKS

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

5. Lokální, vázané a globální extrémy

2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký)

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

4EK211 Základy ekonometrie

Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31

Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

1 Projekce a projektory

Úvod do teorie her

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Usuzování za neurčitosti

1 Analytická geometrie

Spolehlivost soustav

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Pravděpodobnost a statistika

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Složitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost

9. cvičení z Matematické analýzy 2

1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5.

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

ANTAGONISTICKE HRY 172

Algoritmizace složitost rekurzivních algoritmů. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010

Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu odhaduje, jak se svět může vyvíjet.

2. Definice pravděpodobnosti

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Transkript:

4. cvičení z PSI 9. ledna 09 4. rozdělení po mnoha krocích) Markovův řetězec je dán obrázkem: 8 9 4 7 6 Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost. a) Klasifikujte všechny stavy a stanovte všechny komponenty. b) Konverguje rozdělení stavů ke stacionárnímu? Za jakých podmínek? Odůvodněte. c) Stanovte přibližně rozdělení pravděpodobností stavů po 0 krocích, pokud jsme vyšli se stavu. Příklad : http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/pisemky/pst8006res.pdf 4. rozdělení po mnoha krocích) Markovův řetězec je dán obrázkem: 6 4 Pro každý stav platí, že všechny hrany z něj vycházející mají stejnou pravděpodobnost. a) Klasifikujte všechny stavy a stanovte všechny komponenty.

b) Vypočtěte pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu 4 v právě třech krocích. c) Stanovte rozdělení pravděpodobností stavů po 000 krocích, pokud jsme vyšli ze stavu. d) Konverguje rozdělení stavů ke stacionárnímu? Příklad : http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/pisemky/pst806res.pdf 4. Aplikace Markovových řetězců - asymptotické pravděpodobnosti stavů) Alice hraje v kasinu hru, kde s pravděpodobností / vyhraje. V každém kole vsadí 000 dolarů. V případě výhry získá 000 dolarů, v případě prohry o 000 dolarů přijde. Alice odejde z kasina, jestliže prohraje všechny své peníze nebo bude mít 4000 dolarů. Jaká je pravděpodobnost, že Alice odejde s prázdnou, měla-li na začátku 000 dolarů? Příklad : http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/psi/pisemky/psi006res.pdf Nakreslíme si příslušný orientovaný graf: 4 0 $ 000 $ 000 $ 000 $ 4000 $ Pro Alici uvažujme stavy - odchází s prázdnou, - má 4000 dolarů a tedy odchází), - má 000 dolarů, 4 - má 000 dolarů a - má 000 dolarů. Stavy jsme si očíslovali tak, aby první byly ty absorpční a teprve po nich následovali ty přechodné. Na začátku má Alice 000 dolarů, tedy je ve stavu číslo a počáteční rozdělení pravděpodobnosti tak je p0) = 0, 0, 0, 0, ). pravděpodobnost, že Alice odejde s prázdnou odpovídá složce pro stav v asymptotickém rozdělení pravděpodobnosti p ). Proč tomu tak je: Platí: Podmíněná) pravděpodobnost P ) i j toho, že se po právě n krocích ze stavu i přesuneme do stavu n kroků j je P ) i j = P n). i,j n kroků To se snadno ukáže indukcí. Jestliže i je absorpční stav, pak podmíněná) pravděpodobnost P i i krocích ze stavu i přesuneme do stavu i je P i i ) ) = P i i = P n). i,i n kroků ) toho, že se po nejvýše n Page

To je proto, že jakoukoliv posloupnost kratší než n můžeme nastavit opakovaným přidáním stavu i protože je absorpční). Jestliže i je absorpční stav, pak podmíněná) pravděpodobnost P ) i i toho, že se po konečně konečně kroků mnoha krocích ze stavu i přesuneme do stavu i je P ) ) ) i i = P i i = lim P i i = lim P n) = P ). n n i,i n i,i konečně kroků A protože p ) = p0) P, můžeme tento závěr ekvivalentně vyjádřit přes rozdělení pravděpodobnosti. kde Pro výpočet asymptotického rozdělení pravděpodobnosti si opět zapíšeme matici přechodu 0 0 0 0 0 0 0 0 ) P = / 0 0 / 0 0 0 / 0 / = I 0, R Q 0 / 0 / 0 ) 0 I =, R = / 0 0 0, Q = 0 / 0 / 0 /. 0 0 / 0 / 0 Opět si určíme matici P := lim n Pn = I 0 I Q) R 0 Spočítáme fundamentální matici F = I Q ) : ) / 0 I Q I = / / 0 / a Tedy 0 0 0 0 0 0 7 6 9 = 4 6 7 F = I Q ) / 0 = / / 0 / ) 0 0 0 0 0 0. I I Q ) ). = 7 6 9 4 6 7 I Q ) R = 7 6 9 0 0 0 = 4. 4 6 7 0 8 7 Celkem tedy dostaneme 0 0 0 0 0 0 0 0 P = 4/ / 0 0 0 / / 0 0 0 8/ 7/ 0 0 0 Page

Pravděpodobnost, že Alice vše prohraje, pokud na začátku měla 000 dolarů, nyní odpovídá hodnotě P ) = 8,. 4.4 Aplikace Markovových řetězců - asymptotické pravděpodobnosti stavů) Alice trefí terč s pravděpodobností /, Bob s pravděpodobností /. Pokud hráč zasáhne terč, střílí dále, pokud mine, je na řadě druhý hráč. Začíná Alice. Alice vyhrává, pokud trefí terč za sebou, Bob vyhrává, pokud trefí terč za sebou. Pro oba hráče stanovte pravděpodobnosti výhry. Cvičení.6: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/markovcvic_print.pdf Pokud bychom rozlišovali nejen to, který hráč je na řadě, ale i kolik již má úspěšných pokusů, potřebovali bychom 7 stavů: V A - vyhrála Alice, V B - vyhrál Bob, A i - Alice má právě za sebou i úspěšných pokusů i {0, }, B i - Bob má právě za sebou i úspěšných pokusů i {0,, }. Odpovídající diagram by byl tento: V B B B B 0 A 0 A V A Protože nás zajímají pouze pravděpodobnosti výhry obou hráčů, můžeme si situaci popsat jednodušším způsobem a to tak, že rozlišíme pouze stavy: V A - vyhrála Alice, V B - vyhrál Bob, H A - na řadě je Alice, H B - na řadě je Bob, kde celou sérii úspěšných pokusů daného hráče považujeme za jeden krok. Tento krok pak končí výhrou hráče s pravděpodobností ) pro Alici, ) pro Boba, nebo se na řadu dostává druhý hráč: Page 4

H A = 9 V A + + = 7 8 8 9 = + V B = 8 H B 4 Stavy si opět očíslujeme tak, aby první byly ty absorpční a teprve po nich následovali ty přechodné: := V A vyhrála Alice), := V B vyhrál Bob), := H A na řadě je Alice), 4 := H B na řadě je Bob). pravděpodobnosti výher Alice a Boba opět zjistíme z asymptotického rozdělení pravděpodobnosti p ) s počátečním rozdělením kde P = p0) = 0, 0,, 0). Je tedy opět potřeba spočítat P pro matici přechodu 0 0 0 0 0 0 I = /9 0 0 8/9 0 /8 7/8 0 ) = I 0, R Q ) ) 0 /9 0, R =, Q = 0 0 /8 ) 0 8/9. 7/8 0 Fundamentální matice tohoto řetězce je F = I Q ) ) ) ) 8/9 8/9 9/ 4 = = 9/) = 7/8 7/8 6/6 9/ a tedy I Q ) ) ) 9/ 4 /9 0 R = = 6/6 9/ 0 /8 ) / /. 7/6 9/6 Celkem tedy dostaneme ) 0 0 0 P I 0 = I Q ) = 0 0 0 R 0 / / 0 0 7/6 9/6 0 0 a asymptotické rozdělení tak je 0 0 0 p ) = p0) P = 0, 0,, 0) 0 0 0 / / 0 0 = /, /, 0, 0). 7/6 9/6 0 0 Page

Zjistili jsme tak vcelku překvapivě), že pravděpodobnosti výhry Alice i Boba jsou stejné a sice ), pokud bude začínat Alice jako první. Poznámka: Uvažujme následující obecnější případ. Pro n, m, a, b N předpokládejme, že Alice má pravděpodobnost zásahu a k výhře musí mít sérii a úspěšných pokusů a podobně n Bob má pravděpodobnost zásahu a k výhře musí mít sérii b úspěšných pokusů a dále, že m n ) a < m ) b a proto opět necháme začít Alici. Kdybychom opět chtěli, aby Alice a Bob měli stejné šance na výhru, zjistíme, že to nastane právě když bude platit n a m b =. V rámci teorie čísel se řešeními této rovnice zabýval Eugène Charles Catalan a v roce 844 vyslovil hypotézu tzv. Catalan s conjecture), že jediné řešení této rovnice v kladných přirozených číslech je právě jen =. Hypotézu potvrdil Preda Mihăilescu v roce 00. 4. Asymptotické pravděpodobnosti) Při obnovování paměti přepisujeme binární informaci, přičemž s pravděpodobností % přepíšeme 0 jako, s pravděpodobností % přepíšeme jako 0. Jaké bude rozdělení pravděpodobností po velkém počtu kroků? Cvičení.0: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/markovcvic_print.pdf 0.0 0.99 0 0.98 0.0 4.6 Maximálně věrohodné odhady) Markovův řetězec má dva stavy a. Pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu je p, pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu je q. Z pozorované posloupnosti stavů odhadněte parametry p, q.,,,,,,,,,,,,,,, ) Cvičení.: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/markovcvic_print.pdf p p q q Page 6