7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava Komarace Value at Risk a Exected Shortfall v rámci Solvency II Ingrid Petrová 1 Abstrakt Řízení rizik je oměrně novou discilínou, která slouží k zajištění říznivého chodu nejen finančních institucí. Přísěvek se zabývá roblematikou nové rávní úravy zůsobu regulace a dohledu v oblasti ojišťovnictví, řiravovanou směrnicí Solvency II. Solvency II sočívá v důkladném systému řízení rizik. Vzhledem k tomu, že dle standardního řístuu jsou solventnostní kaitálové ožadavky ro jednotlivá rizika stanoveny na základě Value at Risk, a to na hladině solehlivosti 99,5 %, je cílem řísěvku alikovat rávě tuto metodiku ke stanovení solventnostního kaitálového ožadavku ro tržní riziko. Hodnoty dále budou srovnány s řístuem Exected Shortfall, který vyovídá o výši očekáváné ztráty, která může s danou ravděodobností nastat. Klíčová slova Solvency II, Solventnostní kaitálový ožadavek, Value at Risk, Exected Shortfall. 1. Úvod Projekt Solvency II ředstavuje novou konceci rávní úravy zůsobu regulace a dohledu v oblasti ojišťovnictví, který by měl nahradit stávající úravu dohledu, a to směrnici Solvency I. Solvency I trí některými nedostatky, a to zejména nedostatečnou citlivostí vůči rizikům. Při výočtu kaitálových ožadavků nejsou brána v úvahu významná rizika jako naříklad tržní riziko. Je orientován ouze na stranu asiv v rozvaze ojišťoven, kde hrají významnou roli technické rezervy, tudíž není věnována řílišná ozornost netechnickým rizikům (tržní riziko, úvěrové riziko). Projekt Solvency II by měl zajistit leší ochranu ojistníků a orávněných osob k ojistnému lnění tím, že sníží ravděodobnost ztrát v důsledku nesolventnosti ojistitelů. Při říravě rojektu Solvency II soluracuje Evroská komise s Evroským výborem orgánů dozoru nad ojišťovnictvím a zaměstnaneckým enzijním ojištěním (CEIOPS), který zajišťuje tzv. kvantatitavní doadové studie (Quantitative Imact Study) viz [6]. Těchto studií se účastní ojišťovny i zajišťovny v rámci Evroské unie ro zvýšení kvality této nové směrnice. Doosud roběhly čtyři tyto studie. Imlementace směrnice Solvency II se ředokladá v říjnu 2012. Cílem řísěvku je na ilustrativním říkladu alikovat metodiku Value at Risk ro stanovení solventnostního kaitálového ožadavku na tržní riziko a výsledné hodnoty orovnat s řístuem Exected Shortfall. 1 Ing. Ingrid Petrová, VŠB Technická univerzita Ostava, Ekonomická fakulta, katedra Financí, Sokolská tř. 33, 701 21 Ostrava 1; e-mail: ingrid.etrova@vsb.cz. Tento řísěvek vznikl v rámci řešení rojektu odorovaného Grantovou agenturou České reubliky č. 402/08/1234.
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava V rvní kaitole řísěvku bude nastíněna tříilířová koncece rojektu Solvency II. V následujících kaitolách bude vymezena metodika Value at Risk a řístu Exected Shortfall. Poslední kaitola bude věnována alikaci metodologie Value at Risk na ortfolio akcií a její komaraci s řístuem Exected Shortfall. 2. Tříilířová struktura Solvency II Projekt Solvency II sočívá v rizikově orientovaném řístuu, tzn., že ojišťovny by měly zkoumat všechna rizika, kterým mohou být v rámci své činnosti vystaveny. Tříiliřová struktura viz Obr. č. 1 rojektu vychází z koncece Basel II, což je rávní úrava regulace ro oblast bankovnictví. V rvním ilíři jsou vymezeny kaitálové ožadavky, v druhém ilíři je osána činnost dozoru v oblasti ojišťovnictví a třetí ilíř obsahuje ovinnost reortingu dozoru a oznámení veřejnosti. Obr. č. 1: Tříiliřová struktura Solvency II Solvency II Proces řezkoumání dozorem Interní kontrola a risk management Kvantitativní ožadavky Kaitálový ožadavek: -minimální kaitálový ožadavek Transarentnost Zřístunění informací -solventnostní kaitálový Intervence a ožadavek Požadavky na ovinnosti dozoru reorting (standardní model nebo interní model) Pilíř II Pilíř I Pilíř III Podstatnými rvky rvního iliře jsou solvetnostní a mimimální kaitálový ožadavek. Solventnostní kaitálový ožadavek odráží úroveň kaitálu, která by ojišťovně měla umožnit absorbovat významné neočekávané ztráty, a tím dává jistotu ojištěncům, že latby ojistného lnění budou rovedeny včas a řádně. Solventnostní kaitálový ožadavek v odstatě ředstavuje kaitál, který musí ojišťovna držet, aby omezila ravděodobnost defaultu na 0,5 %, což odovídá Value at Risk na 99,5 % hladině solehlivosti. Pojišťovny by měly určovat solventnostní kaitálový ožadavek nejméně jednou ročně a výsledky ředávat orgánům dohledu. Dalším kaitálovým ožadavkem je minimální kaitálový ožadavek. Ten ředstavuje kritickou úroveň kaitálu, od kterou by již hodnota kaitálu neměla klesnout, jelikož by zájmy ojistníků byly vážně ohroženy. Při dosažení této úrovně kaitálu by byl nutný zásah orgánu dozoru, což by mohlo vést až k ozastavení činnosti subjektu. Kaitálové ožadavky mohou být určeny omocí standardního řístuu nebo interního modelu. Standardní řístu by měl být rozsáhlejší a také důležitý ro všechny ojišťovny, rotože bude sloužit ro orovnání s interním modelem. Interní modely musí být ředem schváleny orgánem dozoru, aby se zajistila ochrana ojistníků. V druhém ilíři jsou zahrnuty kvalitativní ožadavky a ravidla dozoru latná ro ojišťovny. Orgány dozoru získají leší nástroje dohledu, které umožní účinnější oatření ři osuzování jednotlivých rizik, kterým ojišťovny čelí. Významnou součástí by měly být ožadavky na kvalitní systémy řízení rizik ojišťoven.
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava Třetí ilíř se bude týkat jak zveřejňování výkaznictví a odstatných informací o solventnosti a finanční situaci orgánům dozoru, tak ovinnosti ojišťoven oskytovat informace veřejnosti ro zvýšení tržní konkurenceschonosti. 2.1 Solventnostní kaitálový ožadavek standardní řístu Celkový solventnostní kaitálový ožadavek dle standardního řístuu je dán vztahem = B + OP, (1) kde B je základní solventností kaitálový ožadavek a OP vyjadřuje solventnostní kaitálový ožadavek ro oerační riziko. Právě oerační riziko se v rámci této koncece rávní úravy v oblasti ojišťovnictví stalo novým rvkem, stejně jako tržní riziko. Tržní riziko lynoucí z volatility cen aktiv je oomíjeno ve směrnici latné v současné době. Základní solventnostní kaitálový ožadavek je tvořen solventnostním ožadavkem ro riziko tržní, nedodržení závazku rotistrany, životní uisovací, zdravotní uisovací a neživotní uisovací. Tyto jednotlivé submoduly jsou dále ješte tvořeny dalšími kaitálovými ožadavky. Pro účely bude vhodné vymezit kaitálové ožadavky, které dále sadají od solventnostní kaitálový ožadavek ro tržní riziko. Patří sem následující ožadavky, a to ro riziko úrokových sazeb, akciové, měnové, majetkové a riziko sreadu. Konkrétně tedy bude metodika Value at Risk alikována na ilustrativním říklad ro ortfolio vybraných akcií. Jak již bylo uvedeno výše solventnostní kaitálový ožadavek odovídá hodnotě Value at Risk na hladině solehlivosti 99,5 % v časovém horizontu jednoho roku. Navíc je mezi jednotlivými rizikovými moduly zohledněna korelace, a tím jsou ojišťovny nuceny k větší diverzifikaci rizik. Naříklad v rámci základního solventnostního ožadavku dle standardního řístuu vyadá korelační matice následovně viz Tab. č. 1. mkt def life health nl mkt 1 0,25 1 def life 0,25 0,25 1 health 0,25 0,25 0,25 1 0,25 0,5 0 0,25 1 nl Tab.č.1: Korelační matice v rámci základního solventnostního ožadavku 3. Metodika Value at Risk Míra rizika by v rostředí rizikově váženého kaitálu měla reflektovat kaitálové ožadavky, které subjekt otřebuje v říadě vystavení se riziku. Value at Risk atří mezi obecně řijímanou míru riziku v oblasti řízení finančních rizik již od devadesatých let. Jelikož v říadě, kdy náhodné veličiny nemají normální rozdělení, neslňuje odmínku subadivity. Není tedy ovažován za koherentní míru rizika. Subadivita ředstavuje tu vlastnost, že diverzifikací ortfolia by mělo dojít ke snížení rizika. Další nevýhodou je, že hodnota Value at Risk nevyovídá o velikosti očekávané ztráty, která může s danou ravděodobností nastat. Při alikaci na ortofolio aktiv sočívá základní myšlenka této metodiky viz [4], aby ravděodobnost, že z ortfolia aktiv bude zisk ( Π % ) menší než ředem stanovená hladina
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava zisku ( ZISK ), byla rovna stanovené hladině ravděodonostiα. Je-li zisk vyjádřen jako záorná ztráta ( ZISK = VaR ), lze vztah ro výočet zasat jako Pr Π% Var = α. (2) ( ) Po úravě, za ředokladu normálního rozdělení náhodné složky, je vztah ro výočet Value at Risk ro danou hladinu solehlivosti α 1 α ( ) α kde E ( R ) je střední hodnota výnosu ortfolia, VaR = E R Φ, (3) Φ je inverzní funkce k distribuční funkci normovaného normálního rozdělení na dané hladině solehlivosti α a směrodatnou odchylku ortfolia. 4. Přístu Exected Shortfall 1 α ředstavuje Další alternativou ro řízení rizik je Exected Shortfall označována také jako Conditional Value at Risk. Tato míra rizika slňuje vlastnostni koherentní míry rizika, viz [1]. Riziková míra ρ je koherentní, slňuje-li následující axiomy: 1. Subadivita: ro náhodné veličiny X a Y latí: ρ ( X + Y ) = ρ( X ) + ρ( Y ). 2. Monotonie: jestliže X Y ro libovolné výstuy, ak ρ( X ) ρ( Y ). 3. Pozitivní homogenita: ro libovolnou konstantu c > 0 latí: ρ ( cx ) = cρ( X ). 4. Translační invariance: ro libovolnou konstantu c > 0 latí: ρ ( X + c) = ρ( X ) + c. Exected Shortfall vyjadřuje růměrnou velikost očekávaných ztrát, které řevýší Value at Risk. Hodnota Exected Shortfall ( ES ) na dané hladině solehlivosti α ro ortfolio dle [1] je dána vztahem 1 2 ( Φ ) α ESα ( R ) = ex E ( R ). (4) α 2π 2 5. Alikační část Pro alikační část budou využita data z Burzy cenných aírů Praha, a.s., a to časová řada denních výnosů od I.Q/2001 do II.Q/2009 akcií s nejvyšší tržní kaitalizací. Jsou uvažovány solečnosti ČEZ, Erste bank, Komerční banka a Telefonica O2, řičemž ro výočet střední hodnoty výnosu budou brány v úhavu data od I.Q/2001 do VI.Q/2007 a ro zohlednění rizika, tedy výočtu kovariančí matice, budou zahrnuty roky 2008 a 2009. Budou uvažována tři efektivní ortfolia A, B a M, která budou určena dle odmínek ro Markowitzův a Tobinův model, a to následujcím zůsobem. Na bázi Markowitzova modelu, kdy lze investovat ouze do rizikových aktiv, řičemž není ovolen krátký rodej, budou určeny odíly jednotlivých aktiv ro ortfolio A s minimální směrodatnou odchylkou a ortfolio B s maximálním očekávaným výnosem. Dále bude vytvořeno tržní ortfolio M dle odmínek Tobinova modelu, které jsou shodné s Markowitzovým modelem s tím rozdílem, že zde je možné investovat i do bezrizikového aktiva, kterým bude v našem říadě referenční sazba PRIBOR 1Y k 30. 6. 2009 ve výši 1,11 %. Výsledné hodnoty charakteristik očekávaného výnosu a směrodatné odchylky včetně odílů aktiv v jednotlivých ortfolií udává Tab. č. 2.
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava ( ) A B M E R 17,87 % 37,29 % 31,13 % 20,25 % 35,50 % 30,31 % ČEZ 0 % 100,00 % 58,88 % Erste bank 5,69 % 0 % 0 % Komerční banka 81,35 % 0 % 41,12 % Telefonica O2 12,96 % 0 % 0 % Tab.č.2: Hodnoty očekávaného výnosu a směrodatné odchylky ro daná ortfolia Z výše uvedené tabulky vylývá, že ři ředokladu minimalizace rizika je otimální investovat do akcií Erste bank 5,69 %, do akcií Komerční banky 81,35 % a do akcií Telefonica O2 12,96 %. Naoak ři ožadavku maximalizovat výnos byly investovány všechny rostředky do akcií ČEZu. Portfolio M udává otimální ortfolio aktiv, kdy je dosaženo maximálního oměru dodatečného očekávaného výnosu a rizika. V tomto říadě je za daných odmínek otimální investovat do akcií ČEZu 58,88 % a do akcií Komerční banky 41,12 %. Ná základě zjištěných charakteristik budou stanoveny hodnoty VaR a ES ro jednotlivá ortfolia odle ředokladu nomálního rozdělení na základě vztahů (3) a (4), a to na hladině solehlivosti 99,5 %. Výsledné hodnoty jsou uvedeny v Tab. č. 3. A B M VaR 46,95 % 34,28 % 54,15 % ES 304,19 % 206,10 % 355,41 % Tab. č. 3: Hodnoty VaR a ES ro jednotlivá ortfolia Z Tab. č. 3 je atrné, že hodnota VaR ro ortfolio A je 46,95 %, což znamená, že redikovaná ztráta bude s ravděodobností 0,5 % větší nebo rovna rávě 46,95 %. Naoak hodnota Exected Shortfall, tedy střední hodnota ztráty řevyšující VaR, ro ortfolio A je 304, 91 %. Na Obr. č. 1 je zobrazen graf distribuční funkce normálního normovaného rozdělení a hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall na hladině solehlivost 99,5 %. Obr. č. 1: Grafické znázornění Value at Risk a Exected Shortfall - st 0, 05 -ES -VaR zisk Na základě historických dat byly zjištěny ro jednotlivá ortfolia střední hodnoty a roztyly viz Tab. č. 2, toto však do budoucna nelze ředokládat, roto byla rovedena citlivost jak očekávaného výnosu ortfolia, tak směrodatné odchylky ortfolia na hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall. Hodnoty citlivostní analýzy ro jednotlivá ortfolia jsou uvedeny v Tab. č. 4 a Tab. č. 5.
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava = 0 = 0,10 = 0,20 = 0,30 = 0,40 VaR ES VaR ES VaR ES VaR ES VaR ES A -0,31-0,31-0,05 0,79 0,20 1,90 0,46 3,01 0,72 4,11 B -0,18-0,18 0,08 0,93 0,34 2,03 0,59 3,14 0,85 4,25 M -0,37-0,37-0,12 0,73 0,14 1,84 0,40 2,95 0,66 4,05 Tab.č.4: Analýza vlivu směrodatné odchylky na hodnoty VaR a ES E ( R ) = 0 E ( R ) = 0,10 E ( R ) = 0,20 E ( R ) = 0,30 ( ) E R = 0,40 VaR ES VaR ES VaR ES VaR ES VaR ES A 0,78 3,35 0,68 3,25 0,58 3,15 0,48 3,05 0,38 2,95 B 0,52 2,24 0,42 2,14 0,32 2,04 0,22 1,94 0,12 1,84 M 0,91 3,93 0,81 3,83 0,71 3,73 0,61 3,63 0,51 3,53 Tab.č.5: Analýza vlivu střední hodnoty výnosu na hodnoty VaR a ES Z tabulky ro analýzu vlivu směrodatné odchylky na hodnoty VaR a ES je atrné, že ři nulové hodnotě směrodatné odchylky jsou hodnoty VaR a ES ro jednotlivá ortfolia rovny očekávaným výnosů, což vylývá ze vztahu ro výočet těchto hodnot. Čím nižší je hodnota rizika vyjadřeného omocí směrodatné odchylky oroti očekávanému výnosu, tím jsou nižší i hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall než ro ůvodní hodnoty charakteristik jednotlivých ortfolií. Z analýzy vlivu očekávaného výnosu vylývá, že čím je hodnota výnosu nižší oroti směrodatné odchylce, tím jsou hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall vyšší. 6. Závěr Cílem řísěvku bylo na ilustrativním říkladu alikovat metodiku Value at Risk ro solventnostní ožadavek na tržní riziko a výsledné hodnoty orovnat s řístuem Exected Shortfall. V řísěvku byly ředstaveny významné asekty směrnice Solvency II, která by měla vejít v latnost v říjnu roku 2012. Pozornost byla věnována tříilířové struktuře a standardnímu řístuu, který je jednou z možností ro stanovení solventnosntího a minimálního kaitálového ožadavku. Další možností ojišťoven ři výočtu těchto ožadavků je interní model. Dále byl vymezen rinci metodiky Value at Risk, která slouží ro stanovení solventnostního kaitálového ožadavku dle standardního řístuu. Následně byla rovedena charakteristika řístuu Exected Shortfall, který se dooručuje stanovit ři využití interních modelů. V řísěvku byly nejrve určeny charakteristiky očekávaného výnosu a směrodatné odchylky ortfolií A, B a M na základě ředokladů Markowitzova a Tobinova modelu. Poté byly stanoveny hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall ro daná ortfolia. Hodnota kaitálového ožadavku je tedy obecně vyšší u řístuu Exected Shortfall než u Value at risk. Proto je dooručováno mimo jiné určení také hodnoty Exected Shortfall ři využívání interních modelů ojišťovnami, rotože, jak již bylo řečeno, Value at Risk není koherentní mírou rizika a nevyovídá nic o výši ztráty na dané hladině solehlivosti. Nakonec byla rovedena citlivostní analýza očekávaného výnosu a směrodatné ochylky na hodnoty Value at Risk a Exected Shortfall.
7. mezinárodní konference Finanční řízení odniků a finančních institucí Ostrava Literatura [1] ARTZNER, P., et al. Coherent Measures of Risk [online]. 22. July 1998 [cit. 2009-05-02]. Dostuný z WWW: <htt://www.math.ethz.ch/~delbaen/ft/reri nts/coherentmf.df>. [2] RACHEOV, S. T., STOYANOV, S. V., FABBOZZI, F. J. Advanced Stochastic Models, Risk Assessment, and Portfolio Otimization: The Ideal Risk, Uncertainty, and Performance Measures. New Jersey: John Wiley a Sons, Inc, 2008. [3] ROTAR, V. I. Actuarial Models: The Mathematics of Insurance. Chaman & Hall/CRC, 2007. [4] SANDSTRÖM, A. Solvency: Models, Assessment and Regulation. Chaman & Hall/CRC, 2006. [5] ZMEŠKAL, Z., DLUHOŠOVÁ, D., TICHÝ, T. Finanční modely. Praha: Ekoress, 2004. [6] A Global Framework for Insurer Solvency Assessment [online]. IAA, 2004 [cit. 2008-01- 20]. Dostuný z WWW: <htt://www.actuaries.org/library/paers/glo bal_framework_insurer_solvency_assessment-ublic.df>. [7] QIS 4: Technical Secifications [online]. CEIOPS, 2007 [cit. 2008-02-14]. Dostuný z WWW: <htt://ec.euroa.eu/internal_market/insurance/docs/solvency/qis4/technical_se cifications_en.df>. [8] SHAW, R. A. Solvency II - QIS 3 and Beyond [online]. Wales: 2007 [cit. 2008-03-12]. Dostuný z WWW: <htt://www.actuaries.org.uk/files/df/roceedings/giro2007/ Shaw2.df >. Summary The Comarison of Value at Risk and Exected Shortfall within Solvency II The article is focused on descrition Solvency II roject. There is the three illar aroach introduced. The most imortant is the first illar that contains solvency and minimum caital requirements. The determination of solvency caital requirement according to standard aroach is described. In theoretical art we focused on characterization of the methods Value at Risk and Exected Shortfall. For given ortfolio we determinated Value at Risk and Exected Shortfall for confidence interval. In conclusion we made sensitive analysis of the exected return and the standard deviation on Value at Risk and Exected Shortfall.