VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES Jan Kohout a a Univerzita obrany, Kounicova 65, 612 00 Brno, ČR, jan.kohout@unob.cz Abstrakt Teplotní závislost nárazové práce při zkoušce rázem v ohybu je rychle zjistitelnou a velmi důležitou charakteristikou konstrukčních materiálů. Pro regresi těchto tzv. tranzitních křivek se nejčastěji používá funkce typu hyperbolický tangens, jejímž grafem je středově symetrická neklesající křivka. Příspěvek navrhuje řadu dalších regresních funkcí, které umožňují popis tranzitních křivek nesymetrických, nemonotónních, s volitelnou křivostí v oblasti jejích ohybů atd. Jejich analytické vyjádření je voleno tak, aby každý z jejich parametrů měl zcela jednoznačný technický či geometrický význam (např. tranzitní teplota, šířka tranzitní oblasti, dolní a horní úroveň nárazové práce, směrnice horní úrovně, parametr asymetrie, parametr křivosti atd.). Použití některých z navržených regresních funkcí je ukázáno při regresi teplotních závislostí konkrétních experimentálních výsledků rázových zkoušek. Abstract Temperature dependence of absorbed energy measured at impact bending test is quickly ascertainable and very important characteristic of structural materials. For regression of these so-called transition curves mostly the function of tangent hyperbolic type is used, whose graph is represented by monotonous centrally symmetric curve. Present contribution proposes many other regression functions, which need not be symmetric or monotonous, with various curvatures at their bends. They are analytically expressed by regression parameters with unambiguous technical or geometrical meaning (e.g. transition temperature, the width of transition region, lower and upper shelf of the curve, the slope of upper shelf, parameter of asymmetry, parameter of curvature etc.). Application of some proposed regression functions is presented by fitting temperature dependences of various impact test results. 1. ÚVOD Při navrhování konstrukcí odolných vůči křehkému porušení se často používá tzv. přístup tranzitní teploty, který zajistí, aby tranzitní teplota materiálu vybraného pro konkrétní aplikaci ležela dostatečně nízko pod oblastí teplot použití navrhované součásti. Jedním z nejběžnějších experimentálních postupů určení tranzitní teploty je rázová zkouška na Charpyho kladivu, při níž je vrubovaná zkušební tyč namáhána rázem v ohybu. Zkoušky se provádějí v dostatečně širokém intervalu teplot a závislost nárazové práce na teplotě se nazývá tranzitní křivka. Zatímco její průběh je u materiálů na bázi kovů s f.c.c. strukturou nevýrazný, u materiálů na bázi kovů s b.c.c. strukturou, popř. i u některých polymerů se nárazová práce mění s teplotou velmi podstatně a tranzitní křivku lze rozdělit na tři teplotní oblasti: nízkoteplotní oblast s křehkým porušením dosahovaným při nízkých hodnotách nárazové práce, přechodovou (tranzitní) oblast s výrazným nárůstem hodnot nárazové práce (a zpravidla i jejich velkým rozptylem) a oblast vyšších teplot s houževnatým lomem zkušebních tyčí, který vyžaduje vysoké hodnoty nárazové práce. Tranzitní křivky však lze konstruovat nejen pro nárazovou práci, ale také pro příčné rozšíření zkušební tyče v bezprostřední blízkosti lomu a pro procentuální podíl křehkého, popř. tvárného porušení na lomové ploše zkušební tyče. 1
Reprezentace souboru naměřených dat pomocí souvislé křivky vyžaduje vhodný postup vyhlazení. Vedle neparametrických vyhlazovacích metod (v současné době téměř výhradně numerických, např. splajnů [1]) existuje možnost regrese pomocí vhodných regresních funkcí obsahujících regresní parametry, jejichž hodnoty spolu s typem regresní funkce jednoznačně popisují tranzitní křivku. Výběr vhodné regresní funkce zapsané pomocí nejdůležitějších a nejužitečnějších parametrů je cílem tohoto příspěvku. Nejčastěji se pro regresi tranzitních křivek používá regresní funkce typu hyperbolický tangens, např. ve tvaru [2] AE= f ( t) = a+ b tgh[ c ( t d)], (1) kde AE je nárazová práce (absorbovaná energie) a t je teplota. Regresní parametry a, b, c a d (jejich hodnoty a standardní odchylky) jsou výsledkem regresních výpočtů. S jinými typy regresních funkcí se setkáme poměrně zřídka. Siefer a Orths [3] uvádějí funkci 2CS AE = + D, (2) 2 [1 B( t A)] + 4BS( t A) + 1 B( t A) která na rozdíl od středově symetrické funkce (1) umožňuje výběrem hodnoty parametru S volit asymetrii křivky, ovšem ohyby křivky (minimálně jeden z nich) mají pro absolutní většinu experimentálních dat nedostatečnou křivost. Funkce Jourise a Shaffera [4] d b( t+ c) AE= a+ (3) d e+ ( t+ c) je použitelná pouze pro a nad tranzitní oblastí. Omezená použitelnost a nejasný význam některých regresních parametrů jsou nedostatky, které se budeme snažit odstranit. Za regresní parametry budou voleny parametry s úzkým vztahem ke geometrickému tvaru tranzitní křivky, popř. parametry mající technický či praktický význam. Regresní funkce jsou vybírány tak, aby popsaly širokou škálu možných tvarů reálných tranzitních křivek, především křivost jejich ohybů, asymetrii a nekonstantní průběh především horní úrovně nárazové práce. 2. VÝBĚR REGRESNÍCH PARAMETRŮ Parametr a v rovnici (1) představuje průměr dolní a horní úrovně tranzitní křivky, parametr b polovinu jejich rozdílu, parametr c souvisí se strmostí tranzitní křivky v tranzitní oblasti a pouze parametr d je volen vhodně, neboť přestavuje teplotu odpovídající středu symetrie křivky, kterou lze ztotožnit s tranzitní teplotou. Vyjádření téže rovnice ve tvaru L+ H H L 2( t ttr ) AE= + tgh (4) 2 2 t obsahuje parametry, jejichž význam je nejen jasný, ale i jednoduchý: L je dolní a H horní úroveň nárazové práce, t tr je tranzitní teplota a t je šířka tranzitní oblasti. To je důležité při hodnocení výsledků regrese i při odhadu počátečních hodnot parametrů, které vyžaduje nelineární regrese. Dále úzká vazba mezi regresními parametry a tvarem tranzitní křivky vede k nízkým hodnotám standardních odchylek regresních parametrů a chceme-li přesnost některého z parametrů dále zvýšit, jeho vztah k tvaru křivky jednoznačně udává, na kterou oblast tranzitní křivky je třeba se zaměřit (např. pro jaké teploty provést doplňující zkoušky). Jsou-li zkoušky rázem v ohybu prováděny až do teplot vysoko nad tranzitní oblastí, lze parametr H nahradit jednoduchou funkcí, např. lineární či exponenciální. Je-li sledovanou vlastností podíl lomu, volíme v případě houževnatého lomu L = 0 a H = 1, popř. 100 %. S funkcí typu tgh x má srovnatelný tvar křivky funkce typu arkus tangens. Zápis [1] L+ H H L π ( t ttr ) AE= + arctg (5) 2 π t vhodný pro regresi tranzitních křivek obsahuje parametry se zcela totožným významem jako rovnice (4). Rozdíl oproti funkci typu tgh x spočívá v tom, že prochází dále od průsečíků 2
asymptot a tečny v inflexním bodě a že se pozvolněji blíží k asymptotám, má tedy menší křivost v ohybech. Srovnání obou funkcí je uvedeno na obr. 1. Křivky jsou normovány tak, aby měly shodnou dolní i horní úroveň a aby měly společnou tečnu v inflexním bodě. 3. VOLBA KŘIVOSTI OBLOUKŮ Křivost oblouků tranzitních křivek lze měnit v širokých mezích pomocí mocnin (a odmocnin) výchozích funkcí tgh x a arctg x, přičemž exponent n je parametrem udávajícím křivost v ohybu n L+ H H L 2 t ttr AE sgn( t ttr ) tgh 2 2 t = + a (6) L+ AE= 1/ n 1/ n n H H L 2 2 t t π tr + sgn( t ttr ) arctg 2 2 π 2 t, (7) kde x znamená absolutní hodnotu a funkce signum je definována vztahy sgn(x) = 1 pro x < 0, sgn(0) = 0, sgn(x) = +1 pro x > 0. Čím větší je hodnota parametru n, tím blíže průsečíkům tečny v inflexním bodě a asymptot graf funkce prochází a tím větší je jeho křivost v ohybech. Příklady pro typ funkce tgh x a n = 0,5 a 2 jsou uvedeny také na obr. 1. Velmi často experimentální tranzitní křivky vykazují různou křivost horního a dolního oblouku. Pak je možné volit pro t < t tr volit jinou hodnotu exponentu n než pro t > t tr. Poloha inflexního bodu zůstává stále uprostřed mezi horní a dolní úrovní nárazové práce. Obr. 1. Srovnání průběhu funkce typu tgh x a jejích mocnin s funkcí typu arctg x. Fig. 1. Compared function courses of tahh x type and its powers with arctan x type. 4. MIMOSTŘEDOVÁ POLOHA INFLEXNÍHO BODU Při uvolnění inflexního bodu ze středové polohy mezi horní a dolní úrovní musíme rozlišit polohu inflexního bodu t in a polohu t 1/2 definovanou hodnotou nárazové práce (L+H)/2. Zavedeme-li parametr asymetrie p jako podíl šířky t 1 tranzitní oblasti pod teplotou t in a šířky t 2 tranzitní oblasti nad teplotou t in, tj. p = t 2 / t 1 (jejich součet t 1 + t 2 = t udává celkovou šířku tranzitní oblasti), dospějeme pro funkci typu tgh x k následujícím vztahům 3
(8) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 2. Obr. 2. Průběh asymetrické funkce typu tgh x pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 2. Course of asymmetric function of tanh x type for various asymmetry parameter values. V případě, že hodnota parametru asymetrie vychází příliš malá či příliš velká, je vhodné volit limitní hodnoty p 0 a p, čímž dostáváme křivky se zlomem na horní či na dolní úrovni nárazové práce. Odpovídající regresní rovnice jsou v prvém případě a ve druhém případě (9) Další možnost, jak nalézt regresní funkci s mimostředovou polohou inflexního bodu, vychází z aproximace funkce tgh x (10) pro a pro. (11) Regresní funkci lze vytvořit ze dvou částí funkcí typu exp(x) a exp( x). S týmž nápadem přišli i Müncner s Piussim [5]. Jejich regresní funkce obsahuje 6 parametrů, z nichž pouze dva mají průhledný význam, význam ostatních je neprůhledný a navíc jsou zřejmě vzájemně závislé. Při skládání regresní funkce ze dvou částí pomocí funkce typu exp(±x) budeme nejdříve požadovat, aby v bodě spojení funkce byla nejen spojitá, ale i hladká (tzn. musí být spojitá její první derivace). Druhá derivace v bodě spojení mění znaménko, proto jej můžeme považovat za jistou analogii inflexního bodu, přestože druhá derivace je nespojitá. Použijeme-li parametry L, H, t in, t a p jako v předcházejícím odstavci, dostaneme regresní funkci (12) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 3. 4
Obr. 3. Průběh funkce typu exp(±x) pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 3. Course of function of exp(±x) type for various asymmetry parameter values. I zde lze v případě, že regrese vede k příliš nízkým či příliš vysokým hodnotám parametru asymetrie, uvažovat limitní hodnoty p 0 a p, tzn. křivky se zlomem. Tak dostáváme a dále, (13) Ovšem i funkci složenou z exponenciál může být symetrická, dostaneme ji dosazením parametru asymetrie p = 1 do vztahu (12) (14) (15) pro niž samozřejmě platí rovnost t in = t 1/2 = t tr. Změna křivosti ohybů u křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je snadná u funkcí typu tgh x zavedením exponentu n, viz vztah (6). U funkcí typu exp(±x) však obdobný přístup nevede ke křivkám vhodným pro regresi tranzitních křivek. 5. NEKONSTANTNÍ HORNÍ ÚROVEŇ Jsou-li zkoušky provedeny i při teplotách výrazně nad tranzitní oblastí, je často třeba horní úroveň nárazové práce místo konstantou popsat jednoduchou funkcí, např. H = H 0 k(t t tr ). Regrese je bezproblémová u rovnic (4) až (7), pouze tranzitní teplota t tr ztratí význam polohy inflexního bodu. Příslušná hodnota nárazové práce pro tuto smluvní tranzitní teplotu bude (L+H 0 )/2. U regresní funkce (12) prosté dosazení vztahu H = H 0 k(t t tr ) poruší spojitost a hladkost regresní funkce. Nové odvození zaručující její spojitost a hladkost vede ke vztahům (16) přičemž teplota t tr zde má význam pouze místa, kde na sebe navazují obě exponenciály, lze ji však opět považovat za smluvní tranzitní teplotu. 6. PŘÍKLADY POUŽITÍ NĚKTERÝCH REGRESNÍCH FUNKCÍ 5
Typické tvary tranzitních křivek uvádí obr. 4 s výsledky zkoušek rázem v ohybu pro zkušební tyče s vruby U a V vyrobené z feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. K regresi byly použity jak symetrické regresní funkce typu tgh x a arctg x, tak i asymetrické funkce těchto typů s odlišnými hodnotami exponentu n pro levé a pravé části křivek. Vykresleny jsou křivky odpovídající minimálnímu součtu čtverců odchylek pro symetrické i asymetrické křivky. Použití asymetrických křivek vedlo k různě velkému poklesu součtu čtverců odchylek. Rozdíl v určení tranzitních teplot pomocí symetrických a asymetrických funkcí nepřekročil 3 C a typická hodnota standardní odchylky tranzitní teploty byla asi 5 C. Obr. 4. Regrese tranzitních křivek feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. Fig. 4. Regression of transition curves of ferritic nodular cast iron [6]. Tranzitní křivky s vysokým stupněm symetrie jsou uvedeny na obr. 5. Horní křivka, které příslušejí levá a horní stupnice, uvádí výsledky zkoušek tyčí s vrubem U z bainitické litiny s kuličkovým grafitem [7]. Regrese pomocí asymetrické funkce (12) s 5 parametry vedla k poměrně nízké hodnotě parametru asymetrie p 0,22, proto byla použita i regresní funkce se zlomem (13) obsahující pouze 4 parametry. Druhá regrese vedla ve srovnání s první k navýšení součtu čtverců pouze o 8 %. Jako tranzitní teplota byla uvažována teplota t 1/2, jejíž hodnota na výběru regresní funkce příliš nezávisí: pro funkci (12) dostáváme t 1/2 = 2,7 C, pro funkci (13) velmi blízkou hodnotu t 1/2 = 3,4 C. Protože hodnoty nárazové práce nad teplotou 50 C klesají, byla provedena i regrese pomocí regresní funkce (16), která ve srovnání s regresí pomocí funkce (12) vedla k poklesu součtu čtverců o 23 %. Ovšem její použití by bylo oprávněnější v případě, že by teplotní rozsah zkoušek končil u vyšších teplot. Příklad asymetrické tranzitní křivky s opačnou asymetrií přestavuje dolní křivka na obr. 6, které příslušejí dolní a pravá stupnice. Uvádí výsledky rázových zkoušek tyčí s vrubem V vyrobených z moderní oceli na plechy pro lodní trupy orientované ve směru válcování [8]. I tentokrát byla výchozí regrese provedena s použitím regresní funkce (12) a protože vypočtená hodnota parametru asymetrie byla značně vysoká (p 18), byla pro regresi použita i regresní funkce se zlomem (14). Protože jak rozdíl v průběhu regresních křivek, tak i rozdíly v součtu čtverců i v hodnotách tranzitní teploty t 1/2 (v obou případech t 1/2 0,7 C) jsou zcela zanedbatelné, je vhodnější použít pro regresi funkci (14) obsahující pouze 4 parametry. Obecně lze říci, že v případě hodnoty parametru asymetrie p menší než 0,1 nebo větší než 10 určené z regrese pomocí funkce (12) je vhodné k regresi použít jednodušší funkci se zlomem (13) nebo (14), přičemž rozdíl v určení tranzitní teploty t 1/2 pomocí hladké funkce a funkce se zlomem obvykle nepřesahuje zanedbatelnou hodnotu 0,1 C. Obr. 5. Příklady regrese výrazně asymetrických tranzitních křivek [7, 8]. Fig. 5. Examples of regression of considerable asymmetric transition curves [7, 8]. 7. DISKUSE Zápis regresních funkcí byl volen tak, aby maximální počet parametrů byl společný se stejným významem. U tranzitní teploty je situace složitější: u symetrických křivek inflexní 6
bod a bod uprostřed dolní i horní úrovně splývají (nejen spolu, ale i se středem symetrie), lze tedy psát rovnost t in = t 1/2 = t tr. U asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu platí tato rovnost také, zatímco u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je již třeba teploty t in a t 1/2 rozlišovat, přičemž zřejmě je vhodnější za tranzitní teplotu brát teplotu t 1/2. U tranzitních křivek s nekonstantní horní úrovní je situace složitější a teplota t tr představuje spíše jistou smluvní charakteristiku. Asymetrie tranzitních křivek je popsána buď dvojicí hodnot exponentu n (u asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu), nebo parametrem p (u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu). Hladké křivky, u nichž dosahuje parametr p příliš velkých či příliš malých hodnot, je vhodné nahradit křivkami se zlomem. Vedle výše uvedených definic tranzitních teplot (t in, t 1/2 atd.) je užitečné definovat tranzitní teplotu také jako teplotu odpovídající definované hodnotě nárazové práce, např. AE(t tr ) = 50 J. Odhad její standardní odchylky je možné provést podle vztahu kde standardní odchylku sd[ae(t tr )] určíme pomocí hodnot a standardních odchylek parametrů a hodnot kovariančních koeficientů, které jsou také výsledkem regrese. Nelineární regrese tranzitních křivek je možná i v rámci MS Excelu, který nalezneme téměř na každém PC. Pro tento účel slouží aplikace Řešitel poskytující přímo hodnoty regresních parametrů. Jejich standardní odchylky nejsou dostupné přímo, ale jejich výpočet lze naprogramovat pomocí v jazyku Visual Basic implementovaném v MS Excelu. 8. ZÁVĚRY 1. Všechny navržené regresní funkce pro popis tranzitních křivek jsou zapsány tak, aby jejich regresní parametry měly jednoduchý a jednoznačný geometrický nebo technický význam. 2. Všechny navržené regresní funkce jsou založeny na funkcích typu tgh x, arctg x a exp(±x). Umožňují popisovat křivky s různou asymetrií, různou křivostí v ohybech křivky a případně i nekonstantní horní úrovní. Z navržených funkcí lze vybrat regresní funkci uspokojivě popisující prakticky libovolný tvar experimentálně získané tranzitní křivky. 3. U symetrických funkcí je tranzitní teplota definována přirozeným způsobem jako střed symetrie. U nesymetrických funkcí se nejlépe osvědčuje definice pomocí střední hodnoty nárazové práce mezi horní a dolní úrovní, která je prakticky nezávislá na výběru regresní funkce. Někdy se tranzitní teplota definuje smluvní hodnotou nárazové práce. 4. Pro výrazně asymetrické tranzitní křivky je vhodnější použít regresní funkci se zlomem. Poděkování Příspěvek vznikl za podpory Ministerstva obrany České republiky v rámci výzkumného záměru MO0 FVT0000404. Poděkování patří i autorům původních prací [6, 8], jejichž experimentální výsledky byly využity v regresních výpočtech. LITERATURA [1] KOHOUT, J. Závěrečná práce PGS. Brno : OVC VUT, 1983. [2] ROLC, S. Kandidátská disertační práce. Brno : VAAZ, 1985. [3] SIEFER, W. a ORTHS, K. Giesserei-Forschung, 1997, roč. 29, s. 153. [4] JOURIS, D.M. a SHAFFER, D.H. Int. J. Press. Vess. & Piping, 1978, roč. 6, s. 3. [5] MÜNCNER, L. a PIUSSI, V. Zváranie, 2000, roč. 49, č. 11-12, s. 252. [6] POUCHA, J. Výzkumná zpráva Z-72-2721, Praha : SVÚM, 1972. (17) 7
[7] KOHOUT, J. Kandidátská disertační práce. Brno : VUT FS, 1993. [8] LEIGHLY, H.P., BRAMFITT, B.L. a LAWRENCE S.J. Pract. Failure Analysis, 2001, roč. 1, č. 2, s. 10. 8