.8. Lineární rovnice s parametrem II Předpoklady: 80 Pedagogická poznámka: Zvládnutí zápisu a obecného postupu (dělení podle hodnot parametru) při řešení parametrických rovnic v této hodině je zásadní podmínkou několika následujících hodin. Proto by Ti, kteří příklady nestihnou a o hodině počítali s problémy, měli dopočítat hodinu doma. Př. : Vyřeš rovnici xp + p 3p 4 + x xp xp + p = 3p 4 + x xp + p = x 4 + 3p xp p 4 x p = p 4 xp + p 3p 4 + x s neznámou x a parametrem p. Chceme vydělit rovnici výrazem p, což může být problém, protože se nesmí dělit nulou. Zjistíme, zda je výraz p někdy roven nule: p = 0 p =. Pokud chceme dělit, musíme p = vyloučit, abychom nedělili nulou. rozvětvení p Můžeme vydělit rovnici výrazem p, protože se určitě nebude rovnat nule: p = Nemůžeme vydělit výrazem p, ale víme, které konkrétní p nás zajímá a můžeme ho x( p ) = p 4 / :( p ) dosadit do rovnice před vydělením. p 4 ( p ) x( ) =. 4 = = p p 0. 4 0 = 0 za x můžeme dosadit cokoliv K = { } K = p { } p = Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je důležitý, protože studenti zjistí, že k hodnotám parametru, které vylučují z dělení, není možné psát rovnou K =. Dalším zajímavým rysem příkladu je jediná hodnota x pro všechna p. Pedagogická poznámka: Následující příklad a příklad 4 jsou sice z hlediska řešení rovnic s parametrem jakoby zbytečné, ale mají obrovský význam pro pochopení podstaty parametrických rovnic. Právě podobným zkoušením studenti poznají, že přehledy na konci příkladů mají svůj význam.
Př. : Pomocí závěrečného přehledu předchozího příkladu rozhodni, zda rovnice xp + p 3p 4 + x vyjde, když dosadíme: a) p =, 3 b) p =, c) p =, π Své rozhodnutí ověř dosazením do rovnice. a) p =, 3 Hodnota parametru se nerovná, jde o první řádku přehledu. Hodnotou x má být dvojka, pro dvojici čísel p =, 3 rovnice nevyjde. xp + p( x) = 3p 4 + x 3 + ( 3) = 3 4 + 3 4 = 5 b) p =, Hodnota parametru se nerovná, jde o první řádku přehledu. Hodnotou x má být dvojka, pro dvojici čísel p =, rovnice vyjde. xp + p( x) = 3p 4 + x + ( ) = 3 4 + 4 = 3 3 = 3 c) p =, π Hodnota parametru se rovná, jde o druhou řádku přehledu. Hodnotou x může být cokoliv, pro dvojici čísel p =, π rovnice vyjde. xp + p 3p 4 + x π + π = 3 4 + π 4π + π = 6 4 + π + π = + π Př. 3: Vyřeš rovnici t 3+ t t t 3+ t t s neznámou x a parametrem t. Chceme vydělit rovnici výrazem t ( 3 + t), ale nesmíme dělit nulou. Kdy je výraz t ( 3 + t) roven nule: t ( 3 + t) = 0 t = 0; t = 3. Pokud chceme dělit, musíme tato čísla vyloučit. rozvětvení na tři větve (vedle sebe se nevejdou proto píšeme pod sebe). 0; 3 t 3 + t, protože se určitě nebude rovnat nule: t můžeme vydělit rovnici výrazem t ( 3+ t) t / : t ( 3+ t) t t ( 3 + t) ( 3+ t) t = 0 nemůžeme dělit, dosadíme
t 3+ t t 0 3 + 0 0 x 0 = 0 můžeme dosadit cokoliv t = 3 nemůžeme dělit, dosadíme t 3+ t t 3( 3 3) x ( 3) = x 0 = 6 nikdy nevyjde K = t 3;0 K = 3 + t t = 0 t = 3 K = Pedagogická poznámka: Častou chybou bývá roznásobení závorek s parametrem na levé straně. Studenti pak pracně zjišťují, jaké hodnoty t mají zakázat. Určitě byste se o tom měli zmínit. Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu (a některých následujících) je větvení příkladu napsáno pod sebe. Důvodem je malá šířka tří sloupců vedle sebe. V sešitech přesto doporučuji studentům tři sloupce zachovat. Př. 4: Pomocí závěrečného přehledu předchozího příkladu najdi řešení rovnice t 3+ t t, pro následující hodnoty parametru t: a) t = b) t = 3 c) t = 5 d) t = 0 a) t = Hodnota parametru je různá do 0 i -3, jde o první řádku přehledu. Pro x platí: = =. 0,5. 3 + t 3+ b) t = 3 Hodnota parametru se rovná -3, jde o třetí řádku přehledu. K =, neexistuje žádné x vyhovující rovnici. c) t = 5 Hodnota parametru je různá do 0 i -3, jde o první řádku přehledu. Pro x platí: ( ) ( ) 3 5 3 5 3 5 3 5 = = = =. 3 + t 3 + 5 3 5 9 5 4 d) t = 0 Hodnota parametru se rovná 0, jde o druhou řádku přehledu. K libovolné reálné číslo. 3 5. = R, za x mohu dosadit 3
Př. 5: Vyřeš rovnici ( ) ( ) x p = p + p x p p p x( p + )( p ) = p( p + ) Chceme vydělit rovnici výrazem ( p )( p ) ( p + )( p ) roven nule: = + s neznámou x a parametrem p. + a nesmíme dělit nulou. Kdy je výraz p + p = 0 p = ±. Pokud chceme dělit, musíme tato čísla vyloučit. rozvětvení na tři větve (vedle sebe se nevejdou proto píšeme pod sebe). p + p, protože se určitě nebude rovnat p ± můžeme vydělit rovnici výrazem nule: x( p + )( p ) = p( p + ) / : ( p + )( p ) p( p + ) ( p )( p + ) p p K = ( p ) p p = nemůžeme dělit, dosadíme x( p + )( p ) = p( p + ) x( + )( ) = ( + ) x 0 = 0 můžeme dosadit cokoliv p = nemůžeme dělit, dosadíme x( p + )( p ) = p( p + ) x ( + )( ) = ( + ) x 0 = nikdy nevyjde K = p ± p K = p p = p = K = Pedagogická poznámka: Občas se objevuje při řešení tohoto příkladu ještě jedna větev řešení pro hodnotu parametru p = 0. Vypadá takto: ( )( ) ( ) x ( 0 + )( 0 ) = 0( 0 + ) x p + p = p p + dosadím p = 0. 0 0. V přehledu pak přibude další řádka: 0 p = K = { 0} Není možné říct, že by tento krok byl vyloženě špatně. Je však vyloženě nesmyslný. Hodnota parametru p = 0 není z hlediska řešení příkladu vůbec zajímavá. Výraz p se v rozkladu na pravé straně vyskytuje, ale nikdy s ním nedělíme a jeho hodnota tak může být libovolná. 4
Řešení pro p = 0, tak je obsaženo už v prvním řádku přehledu a umožňuje nám určit hodnotu p 0 x daleko rychleji: 0 p = 0 =. Př. 6: Vyřeš rovnici p( xp ) p xp = x xp p = x xp x p + = + x p + = p + = x s neznámou x a parametrem p. Chceme vydělit rovnici výrazem ( p + ) a nesmíme dělit nulou. Výraz ( ) větší než nula můžeme dělit pro všechny hodnoty p. p + p + p + p R K = p + p + je vždy Pedagogická poznámka: V předchozím příkladu jde samozřejmě o to, aby studenti neštěpili řešení a vše zahrnuli najednou. Př. 7: Urči, pro které hodnoty parametru p je řešením rovnice ( ) ( ) kladné číslo. Řešíme rovnici: ( ) ( ) xp + p = x + + xp xp xp p p xp + = x + + xp. p xp + = x + + xp x p p = p Budeme chtít zjistit, kdy je možné výrazem v závorce dělit rozložíme ho na součin: p p ( p )( p ) Chceme vydělit rovnici výrazem ( p )( p ) ( p )( p + ) roven nule: ( p )( p ) p = +. + a nesmíme dělit nulou. Kdy je výraz + = 0 = ;. Pokud chceme dělit, musíme tato čísla vyloučit. rozvětvení na tři větve (vedle sebe se nevejdou proto píšeme pod sebe). ; p p +, protože se určitě nebude p můžeme vydělit rovnici výrazem rovnat nule: x( p )( p + ) = p / :( p )( p + ) p = p p + p + p = nemůžeme dělit, dosadíme K = p + 5
x( p )( p + ) = p x( )( + ) = ( ) x 0 = 3 nikdy nevyjde K = p = nemůžeme dělit, dosadíme ( p ) x p p + = p x + = x.0 = 0 můžeme dosadit cokoliv p ; K = p + p = K = p = Nejsme hotoví, zajímá nás, kdy je řešením kladné číslo, projdeme tabulku: p ; x 0 p + řešíme nerovnici 0 p + < 0 p + p + < 0 p < p = K = nevyjde nic, natož kladné číslo p = některá z čísel, která vyšla jsou kladná Rovnice má kladné řešení právě když p ( ; ) { }. Př. 8: Petáková: strana /cvičení a) b) d) strana /cvičení strana /cvičení 3 Shrnutí: Rovnice s parametrem řešíme stejně jako rovnice bez parametru, pouze v okamžiku, kdy provádíme operace, které není možné provést se všemi čísly, rozebereme možné hodnoty parametru a případně rozdělíme řešení. 6