Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Transkript

1 Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí mít oba výrazy znaménko plus nebo oba znaménko mínus. Zapíšeme tento fakt pomocí soustavy nerovnic x 0 x 5 0 nebo x 0 x 5 0 Upravíme... x x 5 x x 5 x, nebo x, 5 Součin bude kladný, když nastane buď první možnost nebo druhá, výsledek dostaneme sjednocením, tedy x, 5,. Velmi podobně rozhodneme, následující případ. Příklad: Pro která x R je kladný kvadratický trojčlen x 9x 8? Řešení: Vyřešením kvadratické rovnice x 9x 8 0 najdeme její kořeny a napíšeme rozklad na součin kořenových činitelů., x 6 x 3 x x 9x 8 x 3x 6 Máme tedy vlastně zjistit, pro která x R platí x 3x 6 0. To je tehdy, budou-li mít "obě závorky" znaménko plus nebo tehdy, když budou obě záporné, stejně jako v předchozím příkladu. x 3 0 x 6 0 nebo x 3 0 x 6 0 x 3 x 6 x 3 x 6 Závěr: x,3 6,.

2 Poznámka: Zápis výpočtu může být různý. Zjišťovali jsme znaménko výrazu, a to se může měnit pouze v nulovém bodě daného výrazu nebo u složitějších tam, kde výraz není definován. Vezmeme tedy v úvahu nulové body kvadratického výrazu, ty obvykle rozdělí reálná čísla na 3 intervaly. Ve všech vnitřních bodech intervalu má výraz stejné znaménko. Stačí tedy zvolit vhodného zástupce, dosadit a vypočítat hodnotu v tomto bodě. K předchozímu příkladu: Body x 3 a x 6 rozdělí, na intervaly, 3,3,6 a 6,. Vyberme si z prvního intervalu například x. Protože 9 8 0, je jisté, že pro x, 3 je x 9x 8 0. Na dalších intervalech se bude střídat znaménko, protože jsou to jednoduché kořeny a při přechodu přes nulový bod liché násobnosti se znaménko vždy změní. Můžeme doplnit a máme výsledek. Samozřejmě si můžete zjistit znaménko na každém intervalu dosazením. Grafické řešení kvadratické nerovnice Výhodou grafického řešení je, že se vyhneme dosazování a dopočítávání hodnot. Grafem kvadratické funkce je parabola a nulové body jsou průsečíky grafu kvadratické funkce s osou x. Načrtneme tedy parabolu, která těmito body prochází. Kde leží graf nad osou, je výraz kladný, kde je pod osou, je záporný. Příklad: Řešte v R nerovnici x x 3 0. Řešení: Vyřešením kvadratické rovnice x x 3 0 najdeme její kořeny a nerovnici upravíme na x x 3 0. Body a 3 naneseme na osu a načrtneme parabolu, která jimi prochází. Na intervalech, kde leží graf nad osou, jsou funkční hodnoty kladné, záporné a nulové jsou pro x, 3. Poznámka: Nemá-li příslušná kvadratická rovnice reálné kořeny, pak jsou všechny hodnoty kvadratického trojčlenu kladné nebo všechny záporné. A nerovnosti potom podle okolností vyhovují všechna x R nebo řešení neexistuje. Příklad: Pro která x R platí x 0? Řešení: Příslušná kvadratická rovnice x 0 má kořeny x, i. Budeme-li nerovnici řešit graficky, parabola nemá průsečík s osou.

3 Protože koeficient u x je kladný, je parabola "otočená nahoru", tedy vrchol má níž než ohnisko. Celý graf leží nad osou x, a to znamená, že zadaná nerovnost platí pro libovolné x R. Řešené příklady: Řešte v R nerovnice:. x 3x 4 0 Řešení: Levá strana bude rovna nule pro x 3 a x 4, nakreslíme tyto body na číselnou osu. Můžeme řešit a) Graficky: Graf leží nad osou (nerovnost platí) x, 4 3,. pro b) Zjištěním znaménka na vzniklých intervalech: Dosadíme-li například x 0, je x 3x 4. To znamená, že pro hodnoty v prostředním intervalu je výraz záporný, v krajních intervalech kladný. Nerovnost je splněna pro, 4 3, x.. x x 3x 4 0 Řešení: Nulové body součinu na levé straně nakreslíme na osu. Nerovnici budeme řešit zjištěním znamének hodnot v jednotlivých intervalech. Protože kdybychom součin roznásobili, dostali bychom polynom 3. stupně.

4 Zvolme například: x 5 x x 3x 4 3 x x x 3x 4 0 x 0 x x 3x 4 x 5 x x 3x 4 08 Není důležitá hodnota, ale její znaménko! A i v tomto případě stačilo zjistit znaménko na jednom intervalu a ostatní jsme mohli střídavě doplnit, protože všechny nulové body jsou jednoduchými kořeny příslušné rovnice. Nerovnost tedy platí pro x, 4, x x 0 Řešení: 4x x 0 x 4 x 0. Nulové body jsou x 0 a x 4. Nakreslíme je na osu a načrtneme parabolu, která jimi prochází. (Vrchol výš než ohnisko, protože u x je záporný koeficient!) Nerovnost je splněna pro 0,4 x. 4. x 4x Řešení: Vypočítáme nulové body. x, R. Protože rovnice nemá reálné kořeny a koeficient u x je kladný, máme Zadaná nerovnice tedy nemá řešení. 5. 6x x 0 Řešení: Nulové body x, 4 5 x 3 x

5 Nerovnost platí pro x,. 3 Příklady na procvičení:. Řešte v R kvadratické nerovnice a) x x 8 0 e) 3 x x 0 b) x x 4 0 f) x 4x 4 0 c) 3x x 0 g) x 4x 4 0 d) x 6x 0 0 h) 3x x 0. Řešte v R nerovnice v součinovém tvaru a) x x 8 0 c) x x 8 0 b) x x 8 0 d) x x x 0 Výsledky:. a), 4, b), c),,, d),, e) 3,, f),, 3 g),,, h), 0 3, ;. a), 8,,,, c) 8,, d),. b) 8,