3. TEKUTINY A TERMIKA 3.1 TEKUTINY 3.1.1 TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA Tekutiny: kapaliny a plyny Statika kapalin a plynů = Hydrostatika a Aerostatika Tlak v tekutině Definice tlaku: p df ds, kde df je kolmá k plošce ds Jednotka: Pa = pascal, (milibar = hektopascal, torr = 1 mm Hg) = 133,322 Pa = 400/3 Pa Tlaková síla: je-li působící tlak všude na ploše stejný:, je-li tlak proměnný: a) tlak vyvolaný vnější silou Pascalův zákon Tlak v tekutině způsobený vnější silou je ve všech místech stejný (tlak se šíří v tekutině všemi směry, a to rovnoměrně) z důvodu nestlačitelnosti kapaliny: b) tlak vyvolaný vlastní tíhou tekutiny I. Kapaliny hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země): kde je vnější tlak působící na kapalinu a h je hloubka pod volnou hladinou 91
Pascalův hydrostatický paradox II. Plyny normální atmosférický tlak: (při 0 C, na hladině moře na 45 severní zeměpisné šířky) barometrická rovnice (závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce): je-li je tlak a hustota vzduchu při hladině moře, pak určování nadmořské výšky (např. letecké výškoměry) Archimédův zákon: Rovnováha:. PŘÍKLADY: 3.1-1. Dvě otevřené nádoby tvaru komolého kužele (viz Obr. 3.1-1. A a B), o vnitřních průměrech jsou naplněny dostejné výšky rtutí o hustotě a následně vodou o hustotě. Určete pro obě kapaliny: a) hydrostatický tlak u dna nádoby A, b) hydrostatický tlak u dna nádoby B, c) sílu, kterou kapalina působí na dno nádoby A, d) sílu, kterou kapalina působí na dno nádoby B. Obr. 3.1-1 92
Hydrostatický tlak je dán vztahem, sílu působící na dno nádoby lze odvodit z definičního vztahu pro tlak; Po dosazení:,, kde je plocha dna ( resp. ). Rtuť a) ; b) ; c) ; d). Voda a) ; b) ; c) ; d). 3.1-2. Čelní betonová stěna požární nádrže má tvar lichoběžníku o rozměrech a výšce. Jakou silou působí voda na stěnu, je-li nádrž naplněna do výše po horní okraj stěny? Předpokládejme, že jedna stěna nádrže je svislá. Elementární síla df působící na elementární ploch ds v hloubce x pod hladinou je, je hustota vody., je funkcí (viz obrázek):. 93
Obr. 3.1-2 Konstanty k a q určíme z okrajových podmínek: Je-li => je-li =>. Odtud: Tedy ( ) a celková síla působící na betonovou stěnu je ( ) ( ). Po dosazení: F = 173,72 kn. Svislá stěna je namáhána silou F = 173,72 kn. 3.1-3. Těleso ve tvaru válce o průměru podstavy, výšce a hmotnosti plove v kapalině o hustotě. Zcela ponořené a udržované v klidu je těleso tím, že visí na závěsu v kapalině o hustotě. Určete: a) vztlakovou sílu, působící na plovoucí těleso, b) hustotu jestliže tah v závěsu je. 94
d = 4 cm h = 5 cm m = 8,8.10-2 kg Obr. 3.1-3 a) Vztlakovou sílu,určíme z rovnováhy sil;síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny), Po dosazení: Vztlaková síla je. b) Hustotu určíme z rovnice pro rovnováhu sil; síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny) + tahová síla, kde,, (objem kapaliny vytlačené tělesem=objem tělesa); Po dosazení: ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Hustota kapaliny pro zadané podmínky je. 3.1-4. Cisterna s vodou jela rychlostí. Řidič začal rovnoměrně brzdit a zastavil po. Vypočtěte, jaký úhel s vodorovnou rovinou svírala během brzdění hladina vody v cisterně. [18º 46 ] 95
3.1-5. Vypočítejte účinnost pohotovostního zvedáku, u něhož při poměru zdvihů 160:1 působí na tlačném pístu síla a na pracovním síla. [0,876] 3.1-6. Pohotovostní dřevěný vor hustoty ve tvaru desky o rozměrech a tloušťce plove po hladině nádrže. a) Jaká vztlaková síla působí na vor? b) Kolik lidí průměrné hmotnosti může na voru stát, aniž by si namočili chodidla? c) Zůstane-li na voru pouze 1 člověk, do jaké hloubky bude vor ponořen? [5,3 kn;5 lidí; 7,6cm] 3.1-7. Stanovte a) jakou hmotnost má vzduch v místnosti, b) jakou tíhou působí vzduch na podlahu, c) jakou silou při daném tlaku působí vzduch na podlahu, víte-li, že hustota vzduchu při tlaku (tlak vzduchu v místnosti) je [42,7 kg; 419N; 1,5.10 6 N] 3.1-8. Trajekt tvaru hranolu má délku, šířku a užitnou loubku ponoru, kde je ponor trajektu bez nákladu. Zjistěte: a) kolik vagonů o celkové nosnosti 50 t převeze při maximálním ponoru, b) jaký bude ponor trajektu s nákladem 120 cisteren jedna o hmotnosti 7 t. [960 vagonů; ] Pozn.: Do skript není zařazen příklad k řešení naložení a stability lodi na vodní hladině. Ten lze řešit pomoci popisu tělesa s proměnnou polohou těžiště. Tento fyzikální případ však přesahuje rozsah těchto skript. 96
3.1.2 PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY Dynamika kapalin a plynů =Hydrodynamika a Aerodynamika Ustálené proudění ideální kapaliny S v 2 S 1 + v 2 + 1 Rovnice spojitosti toku (kontinuity) Objemový tok: jednotka: rovnice kontinuity Bernoulliova rovnice Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná. h 1 p 1 S 1 v 1 p 2 h 2 S 2 v 2 kde zleva jednotlivé členy levé strany rovnice vyjadřují hustotu tlakové potenciální energie proudící kapaliny, hustotu potenciální tíhové energie a hustotu kinetické energie proudící kapaliny. Z rovnice tedy vyplývá, že: to vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudící ideální kapaliny (součet všech mechanických energií obsažených v objemové jednotce kapaliny musí být stálý) Rovnice pro vodorovnou trubici: Pozn.: Jestliže při proudění tekutiny ve vodorovné proudové trubici vzrůstá rychlost částic tekutiny, pak klesá její tlak a obráceně. Výtok kapaliny otvorem v nádobě: výtoková rychlost kapaliny je dána Torricelliho vztahem 97
výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je stejná, jako kdyby kapalina padala volným pádem z výšky h Ustálené proudění skutečné kapaliny reálná kapalina není dokonale tekutá, projevuje se vnitřní tření (viskozita), část tlakové energie se mění postupně podél trubice ve vnitřní energii kapaliny W (zvýší se její teplota) Vnitřní tření síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny závisejí na druhu kapaliny kde je součinitel dynamické viskozity (je funkcí teploty) jednotka: tečné napětí: [ ] kinematická viskozita: [ ] viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku Proudění laminární a turbulentní a) nevírové (potenciálové) proudění b) proudění skutečné kapaliny: proudění reálné kapaliny charakterizuje bezrozměrná veličina nazývaná Reynoldsovo číslo pro proudění kapaliny trubicí kruhového průřezu je: kde v je velikost střední rychlosti proudění, d je průměr trubice, je kinematická viskozita a) laminární proudění b) turbulentní proudění 98
přechod od laminárního proudění k turbulentnímu je dán překročením kritického Reynoldsova čísla, z experimentů bylo stanoveno. PŘÍKLADY: 3.1-9. Vypočítejte, jakou rychlostí proudí voda v potrubí o průměru 20 cm, pro hmotnostní tok, víte-li že, hustota vody je. Pro hmotnostní tok a objemový tok platí vztah Pro proudovou trubici platí rovnice kontinuity Po dosazení: Rychlost vody v potrubí je. 3.1-10. Trubicí o průměru 12 cm proudí voda rychlostí. Jakou rychlostí bude vytékat z trysky o průměru1 cm? Z rovnice kontinuity plyne: ( ) Po dosazení: Rychlost vody vytékající z trysky je. 99
3.1-11. Vodorovnou trubicí o průřezu proudí voda rychlostí. Tlak vody je. Jakou rychlost a jaký tlak má voda v rozšířeném místě trubice, kde má trubice průřez. Hustota vody je. (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Z rovnice kontinuity plyne: Z Bernoulliho rovnice:. Získáme vztah Po dosazení: [ ( ) ] [ ( ) ] V rozšířeném místě je rychlost a tlak, rychlost se snížila a tlak zvýšil. 3.1-12. Nádoba válcového tvaru, jejíž plošný průřez je, je naplněn do výšky h vodou. Ve dně nádoby je otvor plošného průřezu. Určete čas, za který hladina vody klesne na. (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Kapalina vytéká rychlostí, která je závislá na výšce její hladiny nad otvorem podle vztahu (Torricelliho vzorec) kde y je výška hladiny v nádobě, měřeno od výtokového otvoru. 100
Za čas vyteče z nádoby otvorem objem (viz obr.) Obr. 3.1-12 Tento objem je roven úbytku kapaliny v nádobě Pak Čas, za který klesne hladina o získáme integrací v mezích. ( ) 3.1-13. Jaký minimální výkon musí mít motor důlního čerpadla, které při průměru pístu a zdvihu má dodávat z hloubky objem za minutu? Měrná hmotnost znečištěné vody je a účinnost zařízení je. 3.1-14. Do uzavřené nádrže s otvorem ve dně je čerpadlem vháněna voda pod tlakem. Jakou rychlostí musí vytékat voda otvorem ve dně, aby hladina zůstávala ve výšce nad dnem? [ ] 3.1-15. V nádobě je voda s hladinou ve výšce. Jak vysoko nade dnem je třeba umístit ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které je nádoba umístěna? [ 101
3.2 TERMIKA TEPLOTA A TEPLO, ROZTAŽNOST LÁTEK Teplotní roztažnost látek a) délková roztažnost pevných látek: Přírůstek délky při zahřátí o, kde je součinitel teplotní délkové roztažnosti (je funkcí druhu látky, uspořádání částic a teploty). U homogenních a izotropních látek při malých teplotních rozdílech lze považovat součinitel za konstantní délkový rozměr se mění lineárně: b) objemová roztažnost pevných látek: Pro homogenní a izotropní tělesa je roztažnost ve všech směrech stejná, tj: kde Pozn.:Výrazná teplotní změna může způsobit vážné komplikace např. v dopravě při změně rozměrů ocelových kolejnic (viz př. 3.2.1-8), resp. při průhybu rozžhavených nosníků při požárech budov, což významně ovlivňuje zásah hasičů. Bylo experimentálně prokázáno, že průhyb nechráněných prolamovaných ocelových nosníků (na 8 m délky) je při teplotě 480 C při asi 135 mm, při teplotě 770 C je to již 378 mm. Průhyb nosníků s vlnitou stojinou potvrzují její větší odolnost: při teplotě 780 C průhyb činil 256 mm. [Zdroj: http://www.tzb-info.cz/5313-zprava-o-pozarni-zkousce-na-experimentalnim-objektu-v-mokrsku] c) objemová roztažnost kapalin: Při malých teplotních rozdílech: kde je součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin. Pro větší teplotní rozdíly vyjadřujeme objem kvadratickou funkcí teploty, tj.: Pozn.:Anomálie vody Při zvyšování teploty vody od 0 C do 3,99 C se objem vody zmenšuje a její hustota se zvyšuje. Hustota vody je největší při teplotě 3,99 C. Při zvyšování teploty nad 3,99 C dochází ke zvětšování objemu vody (tj. snižování hustoty vody). d) objemová roztažnost plynů: Při malých teplotních rozdílech a konstantním tlaku: 102
e) závislost hustoty na teplotě u pevných látek: Předpokládejme lineární objemovou roztažnost Je-li součin malý vzhledem k jedné, lze zjednodušit na tvar: Příklady: 3.2-1. Mějme hliníkové těleso, které má při teplotě tíhu. Jakou hmotnost má jiné těleso z hliníku stejného objemu při teplotě? Součinitel délkové roztažnosti hliníku je. C C K N K kg Hmotnost teplejšího tělesa je dána Hmotnost chladnějšího tělesa je analogicky: jsou shodné. Z těchto rovnic lze vyjádřit objem těles:, neboť objemy obou těles Z pravé strany rovnice získáme hledanou hmotnost chladnějšího tělesa: Při změně teploty tělesa se mění hustota podle přibližného vztahu: Pro zmíněná hliníková tělesa analogicky platí: Dosaďme vztahy pro závislost hustoty na teplotě do vztahu pro hmotnost : 103
Po číselném dosazení je hmotnost chladnějšího tělesa 3.2-2. Expanzní nádoba v topném okruhu slouží k vyrovnání změn objemu vody. V případě pokojové teploty koluje v okruhu vody. Jak se naplní vyrovnávací nádoba za provozu ústředního topení při teplotě? Roztažnost topného systému při zvýšení teploty zanedbejte. Součinitel objemové roztažnosti vody je. kg C K C K K K Konečný objem vody v oběhovém systému po zahřátí na provozní teplotu je dán vztahem pro objemovou roztažnost kapalin: Změna objemu vody vzhledem k původnímu stavu je: Tento objem vody naplní vyrovnávací expanzní nádobu, po číselném dosazení:. 3.2-3. Ve zcela naplněné skleněné baňce s kapilárou je rtuť o objemu při teplotě. Po zahřátí skleněné nádoby i s obsahem na přeteče ven rtuti. Jaký je součinitel objemové roztažnosti rtuti, pokut uvážíme i roztažnost skleněné nádoby, který je označován jako zdánlivý součinitel roztažnosti rtuti. Součinitel objemové roztažnosti rtuti je, součinitel objemové teplotní roztažnosti skla je. výpis veličin: V 0 = 100 cm 3 = 1.10-4 m 3... počáteční objem rtuti i skleněné nádoby byl totožný V = 1 cm 3 = 1.10-6 m 3 t = 80 C T = 80 K r =2.10-4 K -1 s =36.10-6 K -1 Změna objemu rtuti je: 104
Změna objemu skleněné nádoby: Tyto rovnice od sebe odečteme a dostaneme rovnici: Výraz na levé straně rovnice představuje objem rtuti, která z nádoby po zahřátí přeteče ven, výraz v závorce na pravé straně (rozdíl skutečných součinitelů obj. roztažnosti) odpovídá hledanému zdánlivému součiniteli objemové roztažnosti rtuti, tedy: Vyjádřeme neznámou veličinu: po číselném dosazení je = 1,25.10-4 K -1. 3.2-4. Tenká zinková obruč má při teplotě 0 C průměr 1,5 m. Jak se změní počet otáček, pokud tuto obruč kutálíme po vodorovné dráze v délce 200 m při teplotě 50 C a -50 C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti zinku je 29.10-6 K -1. Nejprve si vyjádříme počet otáček, které obruč vykoná při teplotě obvodu obruče:, což určíme z Na dráze délky tedy obruč vykoná otáček: Po číselném dosazení: otáček Pokud obruč zahřejeme na teplotu délkovou teplotní roztažnost:, změní se obvod obruče podle vztahu pro čímž se změní i počet otáček na stejné dráze délky : 105
Po číselném dosazení: otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu přibližně o méně otáček. Analogicky stanovíme změnu obvodu a počtu otáček při teplotě : Po číselném dosazení: více otáček. otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu o 3.2-5. Homogenní ocelový válec má při pokojové teplotě průměr podstavy a výšku. Pokud těleso ponoříme do vodní lázně teploty, o kolik se po vyrovnání teplot změní obsah jeho podstavy, výška válce, celkový objem? Na jakou teplotu by bylo nutné zahřát těleso, aby se jeho objem zdvojnásobil? Je to reálné? Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli je. [ - je to nereálné, teplota je nad teplotou tání oceli] 3.2-6. Základem bimetalového teploměru jsou dva tenké kovové proužky, které jsou pevně spojeny. Jedná se o proužek ocelový a zinkový, jejichž součinitele teplotní délkové roztažnosti jsou a. Při teplotě má ocelový pásek délku, zinkový a shodné příčné rozměry. Určete: A) při jaké teplotě mají stejnou délku, B) při jaké teplotě mají stejný objem? 3.2-7. Skleněná nádoba naplněná až po okraj naftou při teplotě má celkovou hmotnost. Zahřejeme-li nádobu i s obsahem na teplotu, část obsahu kanystru přeteče a výsledná hmotnost je. Určete součinitel objemové roztažnosti nafty: A) jestliže zanedbáme změnu rozměrů nádoby, B) uvažujemeli teplotní součinitel délkové roztažnosti technického skla. 3.2-8. Ocelová kolejnice má při teplotě délku. Jaké bude prodloužení kolejnice na trati délky, jestliže se kolejnice v letních měsících zahřeje až na, resp. jaké bude její zkrácení v zimě, je-li teplota -10 C. Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli. [prodloužení o, zkrácení o ] 3.2-9.* Železné kyvadlo v hodinách kývá jako fyzické kyvadlo kolem vodorovné osy kolmé na tyč, procházející jedním koncem. Hodiny fungují správně při teplotě. Určete, při jaké teplotě dojde ke zpožďování hodin o za každých, je-li součinitel délkové roztažnosti železa? 106
3.3 KALORIMETRICKÁ ROVNICE, FÁZOVÉ PŘECHODY Tepelná kapacita. Měrné a molární teplo. Tepelná kapacita tělesa:, kde je měrná tepelná kapacita tělesa d d Celkové teplo, které látka o hmotnosti m přijme (za předpokladu ) ohřeje-li se z teploty na : d d d Molární tepelná kapacita: Kalorimetrická rovnice Pro dvě tělesa, která jsou izolována od okolí a chemicky na sebe nepůsobí (a při tepelné výměně nedochází ke změně skupenství): 1. těleso a 2. těleso, kde - teplo vydané teplejším tělesem je rovno teplu přijatému tělesem chladnějším - teplota obou těles se vyrovná Obecně pro větší počet těles: Fázové přechody (změny skupenství) - skupenské teplo tání/tuhnutí, sublimace/desublimace, vypařování/kondenzace: kde je měrné skupenské teplo daného procesu pro určitou část termodynamické soustavy(tds). Potom vždy platí: Příklady: 3.3-1. Na teploměru ve vzduchu je zobrazena teplota, po jeho ponoření do vody se teplota zvýší o. Určete tepelnou kapacitu teploměru, jestliže měření teploty vodní lázně probíhá ve vodě o hmotnosti, jejíž měrná tepelná kapacita je a teplota vody před měřením byla. 107
C K C C K konečná teplota g kg C K Mezi teploměrem a vodou došlo k tepelné výměně, jejíž energetickou bilanci vyjadřuje kalorimetrická rovnice rovnice rovnováhy mezi teplem přijatým teploměrem a teplem, které odevzdala vodní lázeň: Teplo odevzdané vodou: Teplo přijaté teploměrem: Dosazení do kalorimetrické rovnice: Vyjádření hledané tepelné kapacity teploměru: Po číselném dosazení. Tepelná kapacita uvedeného teploměru je. 3.3-2. Kolik tepla musíme dodat ledu teploty, abychom z něj získali právě vody, přičemž zbytek bude nadále ledem a soustava voda-led bude v tepelné rovnováze? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je, měrné skupenské teplo tání ledu je. 108
Ze zadání vyplývá, že výsledným stavem soustavy bude rovnováha vody a ledu, tedy kapaliny a pevné fáze, která za normálního tlaku odpovídá teplotě. Aby k tomu došlo, musí led projít dvěma procesy: - veškerý led se musí ohřát na teplotu, k čemuž potřebuje teplo: - část ledu musí při teplotě roztát ve vodu: Celkové teplo je tedy rovno dílčích tepel. Po číselném dosazení je teplo. Zadaná měrná tepelná kapacita vody je v tomto příkladu nadbytečná a při řešení příkladu není potřeba. Ledu je třeba dodat celkově tepla. 3.3-3. Do tepelně izolované nádobě bylo vloženo vody o teplotě a ledu teploty. Kolik syté páry teploty je třeba dodat, aby výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy byla? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je měrné skupenské teplo tání ledu je, měrné skupenské teplo varu vody je. Tepelnou kapacitu nádoby a výměnu tepla s okolím zanedbejte. Pro řešení použijeme kalorimetrickou rovnici, která vyjadřuje rovnováhu mezi přijatým a odevzdaným teplem v termodynamické soustavě. Teplo odevzdává voda a sytá pára při těchto procesech: - voda se ochlazuje na výslednou teplotu 12 C: 109
- pára kondenzuje při teplotě 100 C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá kondenzací páry se ochlazuje na 12 C: Součet těchto tepel vyjadřuje celkové odevzdané teplo v systému. Teplo přijímá led při těchto procesech: - led se ohřívá na teplotu : - led taje při teplotě 0 C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá z ledu se ohřívá na teplotu : Sestavení kalorimetrické rovnice pro tento případ: Q 1 + Q 2 + Q 3 =Q 4 + Q 5 + Q 6 Po dosazení do kalorimetrické rovnice a vyjádření neznámé veličiny (hmotnost syté páry ) dostáváme rovnici: Po číselném dosazení. Aby byla výsledná teplota termodynamické soustavy syté páry., je třeba do systému dodat 3.3-4. Do kalorimetru obsahujícího vody o teplotě, přidáme ledu o teplotě. A) Určete teplotu soustavy v kalorimetru po ustálení rovnováhy a množství ledu a vody, které budou v rovnováze. B) Jak se změní výsledná teplota a poměr fází v případě, že tepelné výměny se účastní i kalorimetr o tepelné kapacitě. Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je, měrné skupenské teplo tání ledu je. A) Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na :, po číselném dosazení vyjde 110
Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t 0 = 0 C:, po číselném dosazení Rozdíl těchto tepel (odevzdané a přijaté ) určuje teplo využité na tání ledu: kde je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě. Po číselném dosazení. Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude, přičemž celkové množství vody v systému bude a množství ledu bude. B) Bude-li se tepelné výměny účastnit i nádoba s vodou a ledem, předpokládejme, že její výchozí teplota bude shodná s teplotou vody v této nádobě, tj.. Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na :, po číselném dosazení vyjde Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t 0 = 0 C:, po číselném dosazení Teplo, které kalorimetr odevzdá do soustavy při ochlazení na :, po dosazení vyjde. Teplo, které je využito na tání ledu: kde je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě. Po číselném dosazení. Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude i v případě účasti kalorimetru 0 C, přičemž celkové množství vody v systému bude 0, 326 kg a množství ledu bude 0,274 kg. 3.3-5. Do vody o objemu a teplotě vložíme dvě rozžhavená tělesa, ocelové a měděné, jejichž společná teplota je a celková hmotnost obou těles je. Jaká bude výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy, jestliže proces probíhá v uzavřené nádobě se zanedbatelnou tepelnou kapacitou. Pokud by bylo do vody vloženo pouze ocelové těleso, výsledná teplota soustavy by 111
byla. Měrná tepelná kapacita vody je, oceli, mědi. 3.3-6. V tepelně izolované nádobě jsou vody o teplotě. Kolik tepla musíme do soustavy dodat, aby voda začala vřít a během varu se odpařila třetina vody? Měrná tepelná kapacita vody je, měrné skupenské teplo varu vody je. Uvažujte, že se a) nádoba neúčastní procesu, b) tepelné výměně podléhá i kalorimetr o tepelné kapacitě. 3.3-7. Do nádoby s vodou teploty vložíme ledu o teplotě. Po ustálení rovnováhy se teplota soustavy ustálí na. Určete, jaké množství vody bylo na počátku v nádobě. 3.3-8. Sada ocelových plátů o celkové hmotnosti byla zahřáta na teplotu a následně ponořena do olejové kalicí lázně o teplotě. Hustota oleje je, měrná tepelná kapacita oleje, měrná tepelná kapacita oceli.určete, jaký objem musí mít olejová lázeň, aby konečná teplota oleje byla. Uvažujte, že při procesu a) nedochází k tepelným ztrátám, b) dochází k tepelných ztrát zářením. 3.3-9. Máte neomezené množství ledu o teplotě a syté vodní páry o teplotě. Kolik čeho potřebujete na přípravu vody o teplotě? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je, měrné skupenské teplo varu vody je, měrné skupenské teplo tání ledu je. 112
3.4 STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU, JEDNODUCHÉ DĚJE Kinetická teorie plynů Střední kvadratická rychlost molekul plynu: kde je Boltzmannova konstanta. Střední energie molekuly jednoatomového plynu: Tlak ideálního plynu: Stavová rovnice ideálního plynu: kde je molární plynová konstanta, je Avogadrova konstanta: Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma stavy plynu v uzavřené nebo izolované soustavě: resp. Stavová rovnice reálného plynu: Van der Waalsova rovnice pro 1 mol plynu: ( ) Van der Waalsova rovnice pro n molů plynu: ( ) 113
Vratné děje v ideálním plynu: 1) izochorický děj: d Charlesův zákon 2) izotermický děj: d 3) izobarický děj: d 4) adiabatický děj:. Příklady: 3.4-1. V litrové nádobě je stlačený kyslík při teplotě a tlaku. Při jaké teplotě dojde ke smrštění nádoby o 1/10 původního objemu a tím ke zvýšení tlaku plynu uvnitř o? Jakou hustotu bude mít plyn ve výchozím a koncovém stavu, je-li jeho molární hmotnost? Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma rovnovážnými stavy uzavřené soustavy ideálního plynu je ve tvaru: Odsud vyjádříme konečnou teplotu Po číselném dosazení Stanovení hustoty kyslíku určíme ze stavové rovnice: 114
Vyjádření hustoty ve výchozím stavu: analogicky pro konečný stav: Po číselném dosazení:. 3.4-2. V nádobě s vadným ventilem je stlačený vodík. Při teplotě je výchozí tlak vodíku. Plyn je uzavřen v nádobě o objemu. Po určité době má plyn v nádobě teplotu při stejném tlaku. Jaké množství plynu muselo mezitím z nádoby uniknout? - předpokládejme, že se objem nádoby nemění - protože se mění počet částic v termodynamické soustavě, nelze použít rovnici pro izochorický děj Pro každý stav (výchozí a koncový) platí stavová rovnice: Tuto dvojici rovnic je třeba řešit jako soustavu, např. vydělením rovnic: Za neznámou koncovou hmotnost dosadíme ze stavové rovnice: Hledaná veličina je tedy dána: 115
po číselném dosazení. Hmotnost kyslíku, která při ději unikla, je dána rozdílem hmotností plynu ve výchozím a konečném stavu, tedy, což je číselně. 3.4-3. Tlaková nádoba obsahuje oxidu uhličitého. Po spojení nádoby s evakuovanou baňkou dojde k poklesu tlaku na čtvrtinu původní hodnoty. Jaký objem musela mít připojená baňka? Předpokládejte, že při tomto procesu nedošlo k žádné teplotní změně. výpis veličin: Po spojení obou nádob bude vnitřní objem Stavová rovnice pro izotermický děj je ve tvaru: Úprava rovnice a vyjádření hledané veličiny: Po číselném dosazení:. 3.4-4. V nádobě smísíme vodíku a kyslíku při teplotě za tlaku. Určete, jakou hustotu bude mít směs plynů v nádobě. Relativní atomová hmotnost vodíku je 1, u kyslíku je to 16. Stavová rovnice pro rovnovážný stav plynu je dána: 116
resp.: Do rovnice dosaďme vztah vyjadřující souvislost mezi hmotností, objemem a hustotou soustavy:, kde je celková hmotnost a úhrnné látkové množství směsi plynů v nádobě, tedy, Dosazení do stavové rovnice: Vyjádření hledané veličiny: Po číselném dosazení je hustota směsi 0,235 kg.m -3. 3.4-5. Plyn uzavřený v nádobě s pružnými stěnami expandoval za konstantního tlaku o svého objemu, přičemž jeho teplota při expanzi dosáhla. Určete počáteční teplotu plynu. 3.4-6. Na dně jezera je vzduchová bublina o poloměru a stoupá z hloubky k hladině. Jaký bude mít poloměr na hladině, jestliže teplota u dna je hladině. Vše se děje za normálního atmosférického tlaku. a na 3.4-7. V nádobě tvaru válce s pohyblivým pístem je uzavřen vodík za normálního tlaku. Výška nádoby je, při kompresi dojde k posunutí pístu o směrem do nádoby. Jaký bude výsledný tlak plynu, jestliže došlou současně k nárůstu teploty o? 3.4-8. vzduchu se při teplotě a tlaku adiabaticky komprimuje na pětinu svého původního objemu. Určete výsledný tlak a teplotu. Poissonova konstanta pro vzduch je. 3.5 TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON 117
První termodynamický zákon: Dle zákona zachování energie: Matematicky lze první termodynamický zákon vyjádřit také ve formě: Pozn.: Do 1. termodynamického zákona dosazujeme za včetně znamének: práci koná termodynamická soustava práci termodynamická soustava spotřebovává (práci konají okolní tělesa) přírůstek vnitřní energie úbytek vnitřní energie teplo dodané soustavě teplo odevzdané soustavou okolí Práce plynu: Celková práce vykonaná při změně objemu z na : Vnitřní energie soustavy ideálního plynu o molekulách (vnitřní energie je rovna součtu kinetických energií molekul ideálního plynu): kde i = 3, 5, 6 pro 1 atomové, 2 atomové a 3 a více atomové molekuly. Molární tepelné kapacity ideálního plynu Mayerův vztah: kde je molární tepelná kapacita při stálém objemu a je molární tepelná kapacita při stálém tlaku. Poissonova konstanta: Tepelné kapacity: 118
plyny jednoatomové dvouatomové 3 a víceatomové c mv 3 2 5 2 R m R m 3R m c mp 5 2 7 2 R m R m 4R m 5 3 7 5 4 3 Změna vnitřní energie: kde, resp. d d První termodynamický zákon: a) pro 1 mol plynu b) pro m kilogramů plynu Vratné děje v ideálním plynu: 1) izochorickýděj: 2) izotermický děj: 3) izobarický děj: Práce plynu: 4) adiabatický děj: d d d 119
resp. Kruhové děje (cykly) Účinnost Carnotova kruhového děje: Hasicí přístroje (ČSN EN-3) : a) práškový: Nejuniverzálnější hasicí přístroj se používá v průmyslu, zemědělství, obchodu, v provozovnách služeb anebo v domácnostech, stejně tak v lékařských ordinacích a muzeích. Hasicí přístroj obsahuje hasicího prášku ABC. Používá se na čerpacích stanicích PHM a LPG, v letištních hangárech, rafineriích ropy, skladech ropných produktů, barev, ředidel apod. b) sněhový (CO 2 ): Hasicí přístroj obsahuje zkapalněný oxid uhličitý, který se po použití odpaří a nezanechá žádné zbytky hasicí látky, čímž nedojde k dalším škodám a zničení zařízení, které nebylo dosud poškozeno požárem (elektrorozvodny, trafostanice, strojovny výtahů, potravinářské provozy atd.). Za dodržení bezpečnostních podmínek lze použít i na elektrické zařízení pod napětím až do 110kV. Speciálním druhem je antimagnetický sněhový prostředek, který je určen k hašení požárů v prostorách s výskytem magnetického pole (např. magnetická rezonance MRI). Veškeré části zařízení jsou vyrobeny z nemagnetických materiálů. Hasicí médium je oxid uhličitý, který při použití nepoškozuje jemnou mechaniku a neznečišťuje okolí. c) vodní:hasí pevné organické látky, jako je dřevo, papír, seno, sláma, textil atd. Tento hasicí přístroj obsahuje potaš (mrazuvzdornou přísadu), díky níž je možné ho používat při okolní teplotě až do -20 C. Používá se v archívech, kůlnách, senících a všude jinde, kde hrozí nebezpečí požáru pevných látek apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. d) pěnový: Vhodný pro hašení požárů polárních i nepolárních hořlavých kapalin, jako např.: benzín, nafta, oleje, ředidla, nátěrové hmoty a líh, dále také na pevné organické látky, kde kromě ochlazovacího účinku vody, která tvoří více než 90% náplně, je významný i dusivý účinek vytvořením pěnového koberce. Používá se na hašení požárů v drogeriích, lékárnách, příručních skladech hořlavých kapalin apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. Výhřevnost paliv: Výhřevnost je vlastnost paliva udávající, kolik tepelné energie se uvolní během spálení jedné jednotky, která je obvykle udávána v kilogramech. Záleží ale na mnoha jiných faktorech, které během uvolňování tepla působí na výhřevnost. Jde hlavně o vlhkost paliva, vzduchu, místo zdroje a čerpání paliva. Proti spalnému teplu není v hodnotě zahrnuto měrné skupenské teplo páry, obsažené ve spalinách. Předpokládá se, že její teplo je nevyužitelné a uniká v plynném stavu se spalinami. kde je uvolněné teplo při spalování a m je hmotnost paliva Příklady: 120
3.5-1. Mějme dusík uzavřený v nádobě o objemu. Jak se změní vnitřní energie plynu a jakou práci plyn vykoná, jestliže za stálého tlaku expanduje na objem. 1. termodynamický zákon je ve tvaru:, kde je dodané teplo do soustavy, změna vnitřní energie a je práce vykonaná plynem. Změna vnitřní energie je dána vztahem: Teploty nejsou dány, ale můžeme je vyjádřit ze stavových rovnic pro počáteční a koncový stav plynu: Při odečtení těchto rovnic získáme: Dosaďme do rovnice pro změnu vnitřní energie za výraz levou stranu získané rovnice, tedy: Po číselném dosazení je změna vnitřní energie rovna. Vykonaná práce při izobarickém ději je dána rovnicí: Po číselném dosazení je vykonaná práce plynem rovna. 3.5-2. Při izotermickém ději za teploty dochází k expanzi dvou kilomolů ideálního plynu na třetinový tlak. Jakou práci plyn vykoná? 121
Elementární vykonaná práce při izotermickém ději je dána rovnicí: d d Celková vykonaná práce je tedy: d Za neznámý tlak dosadíme výraz ze stavové rovnice ideálního plynu: Vykonaná práce: d d d ln Poměr objemů výchozího a koncového stavu lze nahradit převráceným poměrem tlaků, což vyplývá ze stavové rovnice pro izotermický děj: Vykonaná práce: ln ln ln3 Po číselném dosazení je vykonaná práce rovna. 3.5-3. Vzduch o hmotnosti a teplotě se adiabaticky komprimuje o původního objemu. Určete výslednou teplotu a dodanou práci. Adiabatický děj popisuje Poissonova rovnice: Vzduch je považován za ideální dvou-atomový plyn, poissonova konstanta pro adiabatický děj je tedy: 122
V Poissonově rovnice je nutno nahradit neznámé hodnoty tlaků výchozí a konečnou teplotou, které vyplývají ze stavových rovnic pro oba stavy: Po dosazení do Poissonovy rovnice : ( ) ( ) ( ) Po číselném dosazení je konečná teplota 373,4 K Práce, kterou je nutno dodat pro adiabatické stlačení plynu, je dána: Dosaďme za výrazy v závorce pravé strany stavových rovnic pro výchozí a koncový stav: Po číselném dosazení je vykonaná práce při adiabatické kompresi rovna. 3.5-4. Tepelný stroj, který pracuje na základě ideálního Carnotova cyklu, přijímá během jednoho cyklu od ohřívací lázně o teplotě tepla. Jakou maximální práci může plyn vykonat, jestliže teplota chladicí lázně je? 3.5-5. Kolik tepla je třeba dodat kyslíku o teplotě, aby za konstantního normálního tlaku vykonal práci? Jaký bude výsledný objem a teplota plynu? 3.5-6. Kyslík o hmotnosti, teplotě a tlaku podléhá adiabatickému stlačení na polovinu původního objemu a následné izotermické expanzi na 123
původní objem. Určete konečný tlak, teplotu a objem plynu a práci, kterou plyn při izotermickém ději vykonal. 3.5-7. Dusík o hmotnosti izotermicky expanduje, přičemž vykonaná práce při teplotě činí. Jaký je poměr výchozího a koncového tlaku plynu? 3.5-8. Při práci Dieselova spalovacího motoru přijímá pracovní látka od ohřívače teplo a chladiči odevzdá teplo. Teplota ohřívače je, teplota chladicí lázně. Určete skutečnou účinnost motoru a maximální možnou účinnost, jakou by motor mohl mít, kdyby pracoval na základě ideálního Carnotova cyklu. 3.5-9. Jaké množství tuhých paliv je potřeba spálit, aby uvolněným teplem bylo možné ohřát vody z pokojové teploty k bodu varu a při této teplotě nechat polovinu vody odpařit, je-li výhřevnost paliva a účinnost kotle pro ohřev. Měrná tepelná kapacita vody je, měrné skupenské teplo varu vody je. 124
3.6 SDÍLENÍ TEPLA A) Vedení tepla: Tepelný tok je dán vztahem: Hustota tepelného toku je: d d d d d d d d d d Jednorozměrné stacionární vedení tepla homogenní rovinnou stěnou: B) Přestup tepla (přechod tepla z prostředí, ve kterém se šíří teplo prouděním, do prostředí, ve kterém se šíří teplo vedením (nebo obráceně): C)Prostup tepla (tepelná výměna mezi dvěma tekutinami oddělenými stěnou z pevné látky): D) Teplotní záření: Zářivý tok: Zářivost bodového zdroje: Intenzita vyzařování plošného zdroje: Záření absolutně černého tělesa: kde ienův posunovací zákon: je Stefan - Boltzmannova konstanta. 125
Příklady: 3.6-1. Mějme dvě homogenní destičky, které jsou položeny těsně na sebe: hliníková destička tloušťky a železná tloušťky. Předpokládejme, že hustota tepelného toku touto dvojicí destiček je konstantní, tj. jedná se o stacionární vedení tepla. Tuto izolační dvojvrstvu je potřeba nahradit destičkou jedinou o celkové tloušťce. Jaký součinitel tepelné vodivosti by tato jednoduchá homogenní vrstva musela mít, aby vedla teplo stejně jako dvojice destiček? Součinitel tepelné vodivosti hliníku je, železa. mm mm mm m m m konst. (předpokládáme stacionární vedení tepla, hustota tepelného toku je konstantní) Obr. 3.6-1 Hustota tepelného toku pro vedení tepla je dána vztahem: Je-li vedení tepla stacionární, platí pro hustotu tepelného toku první a druhou destičkou: resp.:, kde je teplota hliníkové destičky z vnější strany, je teplota železné destičky z vnější strany a je teplota uvnitř, na rozhraní hliníkové a železné destičky. Teploty vnějších stran destiček jsou neznámé, vyjádří se z předchozích rovnic jako: 126
a analogicky z druhé části rovnice Nahradíme-li soustavu jedinou destičkou, musí platit: Vyjádřené teploty dosadíme do rovnice pro hustotu tepelného toku jedinou destičkou a vyjádříme hledanou veličinu: Po číselném dosazení:. Jednoduchá homogenní vrstva nahrazující izolační dvojvrstvu musí mít součinitel tepelné vodivosti. 3.6-2. Cihlová zeď vnějšího pláště domu propustí každou hodinu určité množství tepla. Tloušťka zdi je a její plocha, přičemž vnitřní teplota vzduchu je, vnější teplota. Stanovte teplo, které stěnou uniká a určete teplotu vnitřního a vnějšího povrchu cihlové zdi. Součinitel tepelné vodivosti stěny je, součinitel přestupu tepla mezi stěnou a vzduchem uvnitř v místnosti a venku. 127
Obr. 3.6-2 Hustota tepelného toku pro vedení tepla stěnou je dána vztahem: Hustota tepelného toku pro přestup tepla mezi tekutinou a stěnou je dána vztahem: Zapišme rovnice pro všechny tři procesy postupně: - přestup vzduch uvnitř/stěna: - vedení uvnitř stěny: - přestup vzduch vně/stěna: Z uvedené trojice rovnic vyjádřeme teplotní rozdíly: Sečteme tyto rovnice a získáme vztah: ( ) Odsud vyplývá vztah pro hustotu tepelného toku: Celkové množství tepla, které prostoupí zdí je: 128
Po číselném dosazení. Každou hodinu prostoupí přes cihlovou zeď tepla. 3.6-3. Určete intenzitu dopadajícího slunečního záření na Zemi, jestliže střední teplota povrchu Slunce je, poloměr Slunce a vzdálenost Země od Slunce je. 3.6-4. Jaké množství energie vyzáří každou minutou povrchu černého tělesa o teplotě? 3.6-5. Jakou teplotu má rozhraní mezi dvěma vrstvami, které přiléhají těsně na sebe, jeli jedna vrstva mosazná o tloušťce a měděná o tloušťce. Vnější strana mosazi je udržována na teplotě a vnější strana skleněné destičky má teplotu. Součinitel tepelné vodivosti mosazi je a mědi. 3.6-6. V ledové kostce o teplotě je zapíchnuta hliníková tyč, jejíž druhý konec je udržován na teplotě. Jaké množství ledu roztaje za dobu? Tyč má délku, průřez, součinitel tepelné vodivosti hliníku je, měrné skupenské teplo tání ledu je. 3.6-7. Na tenkou černou destičku umístěnou ve vakuu kolmo ke směru dopadajících slunečních paprsků dopadá zářivý tok o hustotě. Určete, jakou teplotu bude destička mít v ustáleném stavu. 129