Část III. Elemetárí úvod do vyšší algebry Mgr. Davd Zoul 202
2
Obsah Spektrum operátoru 7 Defce spektra operátoru 7 Defce spektrálího poloměru operátoru 7 Prví věta spektra 7 Druhá věta spektra Třetí věta spektra 2 Perosova věta 2 Nlpotece 4 Defce lpotece 4 Prví věta lpotece 4 Důsledek 5 Defce stupě vektoru 5 Druhá věta lpotece 5 Třetí věta lpotece 6 Defce vektorového řetězce operátoru 7 Čtvrtá věta lpotece 7 Pátá věta lpotece 8 Prví věta Jordaova 9 Defce kořeového podprostoru operátoru 2 Defce drektího rozkladu vektorového prostoru 2 Defce kořeového doplňku operátoru 2 Defce kořeového defektu operátoru 22 Druhá věta Jordaova 22 Třetí věta Jordaova 24 Důsledek třetí věty Jordaovy 26 Čtvrtá věta Jordaova 27 Důsledek čtvrté věty Jordaovy 28 Defce relatví báze vektorového prostoru 36 Pozorováí 36 Defce varatího podprostoru operátoru 36 Pátá věta Jordaova 37 Hamlto Cayleyova věta 38 3
Stochastcká matce 39 Defce stochastcké matce 39 Defce stacoárího stavu matce 39 Defce poství matce 39 Prví věta Perro Frobeova 40 Důsledek prví věty Perro Frobeovy 43 Druhá věta Perro Frobeova 44 Expoecela matce 45 Defce expoecely matce 45 Defce ormy matce 45 Defce metrky a prostoru čtvercových matc 45 Prví věta o kovergec 46 Druhá věta o kovergec 47 Defce komutátoru 47 Defce atkomutátoru 48 Prví věta expoecely 48 Pozorováí 49 Zobecěí 49 Druhá věta expoecely 49 Důsledek 50 Třetí věta expoecely 5 Čtvrtá věta expoecely 5 Důsledek 5 Pátá věta expoecely 52 Prví věta o vztahu tracku s determatem 52 Druhá věta o vztahu tracku s determatem 53 Třetí věta o vztahu tracku s determatem 54 Gaussova věta 55 Logartmus matce 56 Úvod do teore duálích prostorů 56 Defce duálího prostoru 56 4
Věta o duálí báz 57 Věta o změě duálí báze 57 Věta o reprezetac 58 Defce duálího zobrazeí 59 Hlaví pozorováí 60 Věta o reprezetac komplexího čísla matcí 60 Defce kougovaé matce 6 Defce atleárího zobrazeí 62 Defce hermtovsky sdružeého zobrazeí 62 Věta o hermtovsky sdružeém zobrazeí 63 Věta o determatu komplexí matce 64 Pozorováí 65 Věta o kaockém zomorfsmu hermtovských operátorů 65 Věta o souču hermtovských operátorů 65 Defce 65 Expoecela athermtovského operátoru 66 Hlaví věta dualty 66 Úvod do teore seqleárích a kvadratckých forem 67 Defce multleárího zobrazeí 67 Defce seqleárí formy 68 Pozorováí 68 Defce Dracova bracketu 70 Defce kvadratcké formy 7 Rekostrukčí věta 72 Matce přechodu seqleárí formy 73 Věta o reprezetac seqleárí formy 74 Defce sgatury kvadratcké formy 74 Věta o setrvačost 75 Jacob Sylvestrova věta 76 Důsledek Jacob Sylvestrovy věty 78 Spektrálí a polárí rozklad operátoru 78 Prví věta spektrálího rozkladu 78 Důsledek prví věty 79 Druhá věta spektrálího rozkladu 80 5
Třetí věta spektrálího rozkladu 80 Schurova věta 8 Důsledek Schurovy věty 8 Rozklad operátoru do proektorů 8 Důsledek 82 Defce eurčtost 83 Pozorováí 83 Hesebergův prcp eurčtost 83 Defce crkulatu 84 Harrova věta 85 Věta o polárím rozkladu operátoru 86 Golde Thompsoova erovost 88 Základy tezorové algebry 89 Defce tezorového prostoru 89 Defce tezoru 89 Pozorováí 90 Asocatvta tezorového souču 90 Komutatvta a dstrbutvta tezorového souču 9 Prví věta tezorové algebry 9 Věta o trasformac tezoru 92 Kovarace a kotravarace 93 Symetrzace a atsymetrzace 94 Symetrzovaý tezorový souč 95 Atsymetrzovaý tezorový souč 95 Defce rozložtelého tezoru 96 Defce symetrcké algebry prostoru 96 Defce atsymetrcké algebry prostoru 96 Expoecela vektorového prostoru 97 6
Spektrum operátoru Defce spektra operátoru Nechť f : V V e leárí operátor a echť λ C, v V : f v = λv. ( ) Potom číslo λ azýváme vlastí hodotou operátoru f a vektor v vlastím vektorem tohoto operátoru. Soubor vlastích hodot daého operátoru azýváme spektrem tohoto operátoru a začíme Sp f. Defce spektrálího poloměru operátoru Nechť Sp f { λ } = e spektrum operátoru f : V V. Potom číslo ρ ( f ) max{ λ } = ( 2 ) azýváme spektrálím poloměrem operátoru f. Defce charakterstcké matce operátoru Nechť f : V λ ( λ ) V e leárí operátor. Potom matc f = f E ( 3 ) azýváme Charakterstckou matcí operátoru f. Prví věta spektra Číslo λ e vlastí hodotou operátoru f : V V právě tehdy, když e kořeem polyomu det f λ, azývaého charakterstckým polyomem operátoru f. 7
Důkaz Rovc ( ) zapíšeme ako = ( λ ) f v v E, ( 4 ) odkud ž sado plye ( λ ) v f E = 0. ( 5 ) Tato homogeí soustava má etrválí řešeí právě tehdy, e-l eí matce sgulárí, t. právě když det f = λ 0. ( 6 ) Rovc ( 6 ) azýváme charakterstckou rovcí operátoru f. Příklad : Nalezňěme celočíselou vlastí hodotu matce 2 0 5 A = 0 2, ( 7 ) 2 4 a í odpovídaící vlastí vektory. Řešeí: Vyřešeí vlastího problému matce A představue vlastě vyřešeí homogeí soustavy f ( v) = 0, ( 8 ) kde pro charakterstcký operátor f matce A platí 8
2 0 5 λ 0 0 2 λ 0 5 f = A λe = 0 2 0 λ 0 0 2 λ =. 2 4 0 0 λ 2 4 λ ( 9 ) Homogeí soustava má etrválí řešeí právě tehdy, e-l eí matce sgulárí, t. právě když ( f ) 2 λ 0 5 det = 0 2 λ = 2 4 λ 2 ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) = 2 4 2 0 2 = 0. ( 0 ) Z této tzv. charakterstcké rovce operátoru f okamžtě plye edá celočíselá vlastí hodota matce A: λ = 2. ( ) Nalezeí vlastích vektorů odpovídaících tomuto prvku spektra A ker f. představue úlohu alezeí Výpočet ádra pro aš kokrétí vlastí hodotu vede a matcovou rovc 0 0 5 v 0 0 0 v 2 0 =. ( 2 ) 2 4 9 v 3 0 Rozepsáím této matcové rovce do složek okamžtě alézáme hledaé ádro: { } ( f ) = v ( v v ) ker R, 2,0. ( 3 ) Vlastí vektory, odpovídaící vlastí hodotě ( ), tedy tvoří vektorový prostor dmeze. 9
Příklad 2: Naděme všechy hodoty reálého parametru a, pro ěž má matce 3 3 A = 2 a ( 4 ) a 3 vlastí hodotu 2. Řešeí: V tomto případě už budeme postupovat rychle: 3 3 λ 0 0 3 λ 3 f = A λe = 2 a 0 λ 0 2 λ a =, a 3 0 0 λ a 3 λ ( 5 ) 3 λ 3 ( f ) det = 2 λ a = a 3 λ 2 2 ( λ ) ( λ ) ( λ ) a a ( λ ) a ( λ ) = 3 3 + 6 2 3 + 3 = 0. ( 6 ) Pro λ = 2 dostáváme a 2 5a + 6 = 0 ( 7 ) čl a,2 2 5 ± = = 2 3 ( 8 ) 0
Druhá věta spektra Nechť charakterstcká rovce operátoru f : V V má všechy kořey edoásobé. Potom exstue dagoálí matce f vzhledem k báz prostoru V tvořeé vlastím vektory f. Důkaz Jelkož počet vlastích vektorů odpovídá stup charakterstcké rovce, tz. Dmez prostoru V, stačí ám dokázat ech ezávslost: Pokud u v = 0, ( 9 ) kde v sou vlastí vektory operátoru f : = λ f v v, ( 20 ) pak by N : f f f f v = λ v, ( 2 ) ebol µ = µ λ = f v v 0, ( 22 ) což e však ekoečě moho ezávslých rovc pro ezámou µ, a to e eřeštelé.
Třetí věta spektra Nereálá vlastí čísla a vektory reálého matcového operátoru A lze sdružt do párů Av = λv Av = λv. ( 23 ) Důkaz Obě rovost sou avzáem komplexě sdružeé a λ v = λv ( 24 ) e zřemý fakt. Perosova věta V ortogoálí matc A stupě 2 2, zapsaé pomocí bloků a, b, c, d, stupě a b A = c d ( 25 ) sou spektra tzv. Grammových matc aa T a dd T steá a avíc platí det a = det d. ( 26 ) Roger Perose (93) 2
Důkaz T Z ortogoalty A plye AA = E zameá T T cc + dd = E což po rozepsáí a bloky mmo é ( 27 ) T a z ekvvaletí rovost A A = E získáme T T a a + c c = E. ( 28 ) Odtud edoduchou úpravou plye, že matce T T a a = E c c, T dd = E cc T, ( 29 ) sou podobé, eboť zřemě platí c T c = c T cc T c T = c cc T c, ( 30 ) čl c T c cc T. ( 3 ) Ozačme pro edoduchost T α = a a, δ = dd T, ( 32 ) potom = B : α B δb. ( 33 ) Odtud 3
det det det det det det det det α = B δb = B δ B = B B δ = = det B B detδ = det E detδ = det δ. Proto rověž ( 34 ) det ( λ ) = det ( λ ) α E δ E, ( 35 ) což zameá, že spektra matc α, δ sou s skutečě rova. Druhá část věty se ž dokazue sadě: det a det a T = detα = detδ = det d det d T, ( 36 ) odkud det a = det d, ( 37 ) 2 2 což po odmocěí dává dokazovaou rovost ( 26 ). Nlpotece Defce lpotece Operátor f : V V pro který N : f = 0 ( 38 ) azýváme lpotetím operátorem. Nemešímu splňuícímu rovost ( 38 ) říkáme stupeň operátoru f. Prví věta lpotece Nechť f : V Potom V e lpotetí operátor stupě, dmeze m m. 0,,2,, : dmker f = m h, ( 39 ) 4
kde h e hodost f a ker Důkaz { } ( f ) V f = v v = 0. ( 40 ) Důkaz plye bezprostředě z defce lpotece a z prví věty homogeí soustavy. Důsledek + ( f ) ( f ) ( f ) = ( f ) 0 ker ker ker ker. ( 4 ) Defce stupě vektoru Nemeší číslo k N splňuící rovost f k k v = λ v = 0 ( 42 ) azýváme stupěm vektoru v. Druhá věta lpotece Tvoří-l spektrum operátoru f : V V pouze uly a e-l ker potom + ( f ) ker ( f ) =, ( 43 ) ker ( f ) = V. ( 44 ) Důkaz Je tedy 5
R + ( f ) R ( f ) =. ( 45 ) To ale zameá, že zobrazeí + f : R f R f R f ( 46 ) e zomorfí a tedy regulárí a R ( f ). Dále platí řetězec mplkací ( f ) 0 ( f ) ( f ) λ : λ = 0 λ = 0 λ v = 0 f v = λ v = 0 ker = v R = h = 0. K důkazu mplkace k + k k ( 47 ) def f = def f def f = dmv h f = dmv ( 48 ) stačí ž e vědět, že k f + = 0 f = 0 ( 49 ) a že vlastí vektory ulové matce tvoří báz prostoru V. Vskutku, přes ulový operátor se každý prvek z V zobrazí a ulový vektor, takže platí ( 44 ). Třetí věta lpotece Je-l operátor f : V uly. Důkaz Je-l stupeň operátoru f, potom platí: V lpotetí eho spektrum tvoří pouze = λ = λ = λ = 0 λ = 0 f v v f v 0 v 0. ( 50 ) 6
Defce vektorového řetězce operátoru Nechť f : V zobrazeí 2 V e lpotetí operátor stupě k. Potom řetězec v v v 0, ( 5 ) kde špka od v k v + zameá ( ) = + f v v, ( 52 ) azveme vektorovým řetězcem délky operátoru f vzhledem k vektoru v. Všměme s, že zřemě k. Čtvrtá věta lpotece V lbovolém systému vektorových řetězců lpotetího operátoru f sou všechy vektory leárě ezávslé právě tehdy, sou-l ezávslé všechy prvky ádra operátoru f. Důkaz Nezávslost vektorů z ker( f ) plye z ezávslost všech vektorů trválě (vz prví věta leárí kombace). Předpokládeme aopak, že zmíěé vektory z ádra sou ezávslé, ale po ech doplěí ostatím zřetězeým vektory dostaeme přec e závslý systém. To zameá, že ěaká etrválí kombace všech vektorů v λ v = 0. ( 53 ) Protože zřemě platí rovost f λ = λ v f ( v ), ( 54 ) 7
musí být ulová ěaká etrválí leárí kombace systému vektorových řetězců zkráceých vyecháím prvího vektoru z každého řetězce. Násobým opakováím tohoto postupu, t. ásobým zmešováím počtu vektorů, které lze etrválě zkombovat, dodeme akoec k závěru, že ty posledí eulové ker f, musí být vektory z každého řetězce, t. vektory áležeící do leárě ezávslé, což e zřemý spor s původím předpokladem o ech závslost. Pátá věta lpotece Nechť f : V vektory v V e lpotetí operátor stupě k. Potom exstuí ( k ) ( k ) v k k k k f v f v v v ( ) ( ) ( ) f v f v f v f v 2 k 2 k k k ( ) ( ) ( ) ( ) f v f v f v f v v v k k k k k 2 k k 2 k 0 0 0 0 0 0 ( 55 ) Důkaz Nademe ěakou báz ker vektor u, pro který f. Ke každému eímu prvku v určíme 8
f u = v. ( 56 ) Vektory, 2 v u pak tvoří báz ker f. Tímto způsobem prodlužueme řetězce dokud eademe báz celého prostoru ker k ( f ) = V. ( 57 ) Prví věta Jordaova Každý čtvercový lpotetí operátor A stupě k lze psát ve tvaru A = CJC, ( 58 ) kde matce J má tzv. Jordaův blokový tvar: J J 0 0 0 0 J, ( 59 ) 0 0 0 J 2 = kde edotlvé bloky maí tvar typu 0 0 0 0 0 0 J =. ( 60 ) 0 0 0 0 0 0 0 9
Mare Eemod Camlle Jorda (838 922) Důkaz Vyádříme zobrazeí x Ax matcí vůč báz sestroeé v páté větě lpotece a apsaé v pořadí k k B = f v,, v, f v,, v,. ( 6 ) k k k ( k ) 2 2 Matce C má tedy ve sloupcích souřadce řetězeých vektorů, a to tak, že posledí sloupec se zobrazí do předposledího atd., až druhý sloupec se zobrazí do prvího a te a ulový vektor. Prví sloupec e tedy vlastím vektorem příslušeícím vlastí hodotě ula. Nechť Cu e ěaký vektor vzhledem k původí báz. Potom C Cu e týž vektor vzhledem k ové báz, t. v báz řetězců. Zřemě platí C Cu = u. ( 62 ) Vektor ACu e zobrazeím vektoru Cu (v původí báz) přes operátor A. Ju e vektor ež e zobrazeím vektoru u přes operátor J (obé vyádřeo v báz řetězců) a CJu e eho vyádřeí v původí báz. Odtud zřemě AC = CJ, ( 63 ) což e totéž, ako ( 58 ). 20
Defce kořeového podprostoru operátoru Nechť λ e elemet spektra operátoru f : V ker λ { } ( f ) V ( λ ) V. Ozačme = v f E v = 0. ( 64 ) Říkáme, že λ e řádu k, estlže platí k k+ ( f ) ( f ) ( f ) = ( f ) ker ker ker ker. ( 65 ) 2 λ λ λ λ Podprostor ker k ( f ) vzhledem k číslu λ, a začíme stručě ker ( f ) λ azýváme kořeovým podprostorem operátoru f λ. Defce drektího rozkladu vektorového prostoru Nechť e dá vektorový prostor V a eho podprostory W, W2,, Wk. Jestlže k v V : v = w, ( 66 ) = kde w W, říkáme, že podprostory W tvoří drektí rozklad prostoru V, což zapsueme V k = W. ( 67 ) = Defce kořeového doplňku operátoru Nechť λ e elemet spektra operátoru f : V R λ { V} ( f ) ( λ ) V. Ozačme = f E v = 0 v. ( 68 ) 2
Říkáme, že λ e řádu k, estlže platí k k+ ( f ) ( f ) ( f ) = ( f ) R R R R. ( 69 ) 2 λ λ λ λ k Podprostor λ ( f ) vzhledem k číslu λ, a začíme stručě R ( f ) R azýváme kořeovým doplňkem operátoru f Defce kořeového defektu operátoru Nechť ker ( f ) λ. λ e kořeovým podprostorem operátoru f : V Potom číslo ( f ) V. dm kerλ ( 70 ) azýváme kořeovým defektem operátoru f a začíme ( f ) defλ. ( 7 ) Druhá věta Jordaova Nechť e dá operátor f : V V. Potom platí λ λ λ R f ker f = V, λ ( λ ) λ f ker f ker f, f R f R f. ( 72 ) Důkaz Dle osmé věty homomorfsmu platí h f + def f = dmv. ( 73 ) λ Stačí tedy dokázat, že λ 22
R λ Nechť ( f ) ker ( f ) { } = 0. ( 74 ) λ ( f ) 0 v R ( 75 ) Potom λ k u V : f u = v. ( 76 ) λ Předpokládeme, že zároveň ( f ) v ker. ( 77 ) λ Potom musí být k λ k+ f v = f u = 0. ( 78 ) λ To však eí možé, eboť R k λ k+ ( f ) R ( f ) =, ( 79 ) λ takže by ž platlo ( f ) Rλ = 0, ( 80 ) ebol f u 0 v, ( 8 ) k λ = = což e zřemý spor s původím předpokladem Zbývá ověřt varac vůč f. Nechť eprve v 0. ( f ) v ker. ( 82 ) λ 23
Potom k+ ker ( f ) = ker ( f ) ker ( f ) f v f v. ( 83 ) Protože zřemě λ λ λ λ f v = f v + λv, ( 84 ) musí platt = λ ker ( f ) f v f v v f v ( 85 ) λ λ λ vz druhá věta leárího obalu. Ze steého důvodu yí položíme ( f ) v = R. ( 86 ) λ Zopakováím celého postupu ověříme, že rověž λ R ( f ) f v, ( 87 ) λ čímž e důkaz hotov. Třetí věta Jordaova ( λ ) λ ( f ) = { λ } f : V V, λ Sp f : V = ker f, f ker f ker f, def, λ = λ ( 88 ) kde { λ } ozačue ásobost vlastí hodoty λ operátoru f. Důkaz Neprve s všměme, že λ ž epatří do spektra zúžeého operátoru 24
f : R f R f. ( 89 ) λ λ Kdyby totž bylo ( f ) ( f ) ( f ) λ Sp : Rλ Rλ, ( 90 ) potom by platlo ( f ) ( f ) ( f ) R = R ker, ( 9 ) λ λ λ což eí možé, eboť ( f ) { } kerλ 0. ( 92 ) Zvolíme s tedy ěaký další prvek spektra λ 2 a podle operátoru ( 89 ) rozložíme prostor ( f ) ( f ) ( f ) R = R ker, ( 93 ) kde R λ λ λ λ 2 2 { λ } 2 f = λ R ( f ) f E. ( 94 ) 2 2 λ Dle druhé Jordaovy věty sme právě obdržel rozklad prostoru V: V = ker f ker f R f. ( 95 ) λ λ λ 2 2 Ze steého důvodu provedeme drektí rozklad prostoru R ( f ) operátoru 2 2 λ dle f : R f R f, ( 96 ) λ čímž obdržíme λ 2 25
( f ) ( f ) ( f ) R = R ker. ( 97 ) λ λ λ 2 3 3 Tímto způsobem postupueme až do chvíle, ež vyčerpáme všechy elemety spektra operátoru f. V tu chvíl však ž Rλ ( f ) = { 0 }, kde sme ozačl počet avzáem růzých elemetů spektra f. Odtud ž sado plyou všecha dokazovaá tvrzeí. Důsledek třetí věty Jordaovy Nechť f : V V e lbovolý operátor. Budž V = ker f R f, ( R ) R. f ker f ker f, f f f ( 98 ) Nechť systém v,, v geerue w geerue R( f ). Nechť J e matce f : ker( f ) ker( f ) matce f : R( f ) R( f ). Potom matce f : V k báz v,, v, w,, wm blokovou matc ker f a systém,, w a J V má vzhledem J J 0 0 J 0 0 J 0 0 J 0 0 J 2 = = N, ( 99 ) kde edotlvé bloky J, =,2,, N sou tvaru 26
J λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 =, ( 00 ) 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ kde počet řádků = { λ }. Každou matc A lze potom vyádřt pomocí podobé matce J výše uvedeých vlastostí, kterou azýváme Jordaovým kaockým tvarem matce A. Platí tedy A = CJC. ( 0 ) Matce C má ve sloupcích vlastí vektory matce A, ebo v řádcích řetězeé vektory v pořadí, ak to bylo popsáo v důkazu prví věty Jordaovy. Čtvrtá věta Jordaova Nechť charakterstcký polyom matce A má celkem kořeů včetě ásobých. Potom A e podobá matc J v Jordaově kaockém tvaru, který určíme z kaockého tvaru charakterstcké matce λe A ásledově: Je-l e e e k ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) 2 k ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) 2 2 2 k ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) 3 3 2 2 l l l ( 02 ) pak Jordaovy buňky příslušé vlastímu číslu λ maí rozměry k k2, Jordaovy buňky příslušé vlastímu číslu λ 2 maí rozměr l l 2, atd., pokud ěkterá z moc eí ulová. 27
Důkaz Máme dokázat, že matce A a J sou podobé právě tehdy, pokud A λe a J λe sou ekvvaletí, t. maí-l steý kaocký tvar e λ ). Matce J má pak steé (steé charakterstcké polyomy charakterstcké polyomy e, e 2,, e ako A. Nechť tedy A, J sou podobé. Potom = Tedy λ ( λ ) J CAC, λe = C( λe) C. J E = C A E C. ( 03 ) Protože každá regulárí matce představue posloupost řádkových ebo sloupcových operací, e J λe ekvvaletí s A λe. Obráceě, echť A λe a J λe sou ekvvaletí. Potom exstuí vertblí matce C(λ) a D(λ) tak, že J λe = C λ A λe D λ ( 04 ) takové, že ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )( λ ) C = J E C + C 0 D = D J E + D 0,, ( 05 ) kde C 0 a D 0 ezávseí a λ. Použtím ( 03 ), ( 04 ), ( 05 ), dostaeme 0 ( λ ) 0 ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )( λ ) C( λ )( A λe) D( λ ) C( λ )( A λe) D ( λ )( J λe) ( J λe) C ( λ )( A λe) D( λ ) ( J λe) C ( λ )( A λe) D ( λ )( J λe) ( J λe) D ( λ ) D ( λ )( J λe) ( J λe) C ( λ ) C ( λ )( J λe) ( J λe) C ( λ )( A λe) D ( λ )( J λe) C A E D = C J E C A E D D J E = = + = = + + = { } ( J λe) E D ( λ ) D ( λ ) C ( λ ) C ( λ ) C ( λ )( A λe) D ( λ ) ( J λe) = + ( 06 ). 28
Kdyby výraz v hraaté závorce byl růzý od ulové matce, byl by celý posledí výraz polyomem stupě alespoň 2, což ovšem eí C A λe D e stupě. Výraz v hraaté závorce e možé, eboť tudíž ulový a platí 0 0 ( λ ) = ( λ ) C A E D J E. ( 07 ) 0 0 Porováím koefcetů u moc λ 0 a λ dostaeme C AD 0 0 C D 0 0 = J, = E. ( 08 ) Tedy vskutku platí C Q, ( 09 ) 0 = 0 odkud ž J = C AC. ( 0 ) 0 0 Důsledek čtvrté věty Jordaovy Čtvrtá věta Jordaova umožňue alézt Jordaův kaocký tvar matce A, estlže ademe kaocký tvar K(λ) charakterstcké matce A - λe. S pomocí třetí věty pak rověž matc podobost C, pro íž platí ( 0 ). ) Nedříve upravíme A - λe elemetárím úpravam a kaocký tvar K(λ): A λe E K ( λ ) Cɶ ( λ ), ( ) E D ɶ ( λ ) ɶ ɶ. přčemž K ( λ ) = C( λ )( A λe) D( λ ) 29
2) Kaocký tvar K(λ) určue Jordaovu matc J. Jeí charakterstckou matc převedeme elemetárím úpravam a kaocký tvar K(λ): ( λ ) J λe E K λ C λ. ( 2 ) E D Platí ( λ ) = ( λ )( λ ) ( λ ) K C A E D. 3) Z předchozích dvou rovc dostaeme J E = C C ɶ A E D ɶ D. ( 3 ) λ λ λ λ λ λ 4) Položme C C Cɶ ( λ ) = ( λ ) ( λ ) ( λ ) = ɶ ( λ ) ( λ ) D D D,, ( 4 ) a vydělme obě rovce ( 4 ) matcí J - λe. Dle důkazu čtvrté věty Jordaovy platí: ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )( λ ) C = J E C + C 0 D = D J E + D 0,, ( 5 ) ebol ( λ ) J λe = C A E D, ( 6 ) 0 0 v důsledku čehož platí ( 09 ) a ( 0 ). 5) K získáí matce C 0 stačí do C(λ) dosadt matc J za λ zleva, k získáí matce D 0 pak dosadt matc J za λ v polyomu D(λ) zprava. 30
Příklad: Nalezěte Jordaův kaocký tvar J matce 0 0 A = 4 4 0 ( 7 ) 2 2 a matc podobost C 0 takovou, aby splňovala rovost ( 0 ). Řešeí: Provedeme elemetárí řádkové a sloupcové operace a matc 3
λ 0 0 0 4 4 λ 0 0 0 A λe E 2 2 λ 0 0 = E 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 2 4 λ 4 0 0 0 0 λ 4λ 4 0 λ 4 0 + 2 2 λ 0 0 0 λ 2 2 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 ( λ 2) 0 λ 4 0 0 λ 2 2 λ 0 2 0 λ 2 2 λ 0 0 ( λ 2) 0 4 λ 0 0 0 0 0 λ 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 2 0 0 2 2 2 0 ( λ 2) ( λ 2) 4 λ 0 0 0 ( λ 2) 4 λ 0. 0 0 0 λ λ 0 λ 0 0 0 ( 8 ) A λe e Tedy kaocký tvar matce 32
0 0 0 0 0 0 K ( λ ) = 0 λ 2 0 0 ( λ ) 0 λ = A E = 2 0 0 ( λ 2) 4 λ 0 0 = Cɶ ( λ )( A λe) Dɶ ( λ ), ( 9 ) a Jordaův kaocký tvar matce A e 2 0 0 J = 0 2. ( 20 ) 0 0 2 Pro alezeí podobostí matce C 0 yí provedeme elemetárí řádkové a sloupcové operace a matc 33
2 λ 0 0 0 0 0 2 λ 0 0 J λe E 0 0 2 λ 0 0 = E 0 0 0 0 0 0 0 0 2 λ 0 0 2 λ 0 0 0 2 λ 0 0 0 0 0 2 λ 0 0 2 λ 0 0 0 0 2 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 λ 0 0 0 0 2 λ 0 0 0 ( 2 λ ) 2 2 0 0 λ 2 0 ( 2 λ ) 0 0 λ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 2 0 0 ( λ 2) 0 λ 2. 0 0 0 λ 0 2 λ Tedy 2 ( λ ) ( λ )( λ ) ( λ ) ( 2 ) 0 0 0 0 0 0 K ( λ ) = 0 λ 2 0 0 0 ( λ ) 0 0 = J E = 0 0 2 0 λ 2 0 2 λ = C J E D. ( 22 ) 34
Srováím ( 22 ) a ( 9 ) spočteme, že J E = C C ɶ A E D ɶ D = C A E D. λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( 23 ) Přtom 0 0 C ( λ ) = 0 0, 2 λ 0 0 0 0 0 0 C ( λ ) = 0 0 0 = 0 0 = ( 24 ) 2 λ 0 4 λ 0 6 2λ 0 0 0 0 0 = λ 0 0 0 + 0 0. 2 0 0 6 0 K získáí matce C 0 takové, že ( λ ) ( λ ) ( λ ) C = J E C + C, ( 25 ) 0 Stačí do C(λ) dosadt za λ zleva matc J: C C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = J 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 + = + = 2 0 0 6 0 4 0 0 6 0 0 = 0 0, 2 0 0 0 = 0 2. 0 35
( 26 ) Výpočtem se lze sado přesvědčt, že tyto matce vskutku splňuí rovost ( 0 ). Defce relatví báze vektorového prostoru O eulových vektorech v,, vřekeme, že sou ezávslé vůč podprostoru W V, pokud λ v W λ = 0. ( 27 ) Řekeme, že systém v,, v dokoce tvoří báz V vůč W, pokud avíc ({ v,, v} ) L W = V. ( 28 ) Pozorováí: Absolutí ezávslost tedy zameá relatví ezávslost vzhledem W = 0, absolutí báze pak relatví báz k trválímu podprostoru { } vůč tomuto podprostoru. Defce varatího podprostoru operátoru Ivaratím podprostorem operátoru f : V podprostor W V, pro který platí f ( W ) V azýváme W. ( 29 ) 36
Pátá věta Jordaova Každý operátor lze ve vhodé báz vyádřt troúhelíkovou matcí. Důkaz Stačí sestrot báz B = v,, v takovou, aby leárí obal každé k-tce vektorů v,, vk byl varatím podprostorem. Máme-l zadaý řetězec varatích podprostorů V V V V, ( 30 ) 2 t. máme-l zobrazeí f : V f V V takové, že V ( 3 ) a začí-l A eho matc vůč postupě doplňovaé báz, má A tvar, v ěmž se postupě zleva doprava sžue ebo zachovává sloupec ul, ímž e zakoče každý sloupec matce A. Jedá se tedy o horí troúhelíkovou matc, v íž edotlvé elemety tvoří bloky odpovídaící doplňuícím prvkům báze V vůč V, amísto čísel. Je-l specelě dmv = dm +, ( 32 ) V sou bloky trválí. 37
Hamlto Cayleyova věta Nechť p e charakterstcký polyom matce A. Potom p ( A ) = 0 Sr Wllam Rowa Hamlto (805 865) Arthur Cayley (82 895) Důkaz Vydeme z drektího rozkladu V = ker. ( 33 ) λ Víme, že p. ( 34 ) { λ } λ = λ λ Nechť = u V. Pšme u v, ( 35 ) kde v kerλ A. Jeomže { λ } λ A E v = 0. ( 36 ) 38
Odtud plye p { λ } = λ takže A A E, ( 37 ) p ( A) v = 0, ( 38 ) a tedy rověž p ( A) u = 0. ( 39 ) Protože tato rovost platí pro každé u V, musí být vskutku p ( A ) = 0. ( 40 ) Stochastcká matce Defce stochastcké matce Stochastckou matcí azýváme matc s edotkovou sumou prvků v každém sloupc Defce stacoárího stavu stochastcké matce Je-l matce A stochastcká, potom vlastí vektor v příslušeící eímu spektrálímu poloměru ρ azýváme stacoárím stavem matce A. Defce poství matce Poství azýváme každou matc, eíž prvky sou všechy ezáporé. 39
Prví věta Perro Frobeova Nechť A e poství matce, ρ eí spektrálí poloměr. Potom ρ e edoásobá a kladá vlastí hodota a pro lbovolou počátečí volbu kladého vektoru x platí ρ ρ ρλ + + A x = A x = cv +, ( 4 ) kde λ e druhý evětší prvek spektra operátoru A, c e kostata závslá a volbě x, v e vlastí vektor příslušeící spektrálímu poloměru ρ. Oskar Perro (880 975) Ferdad Georg Frobeus (849 97) Důkaz Důkaz stačí provést pro případ ρ ( A ) =, eboť vezmeme-l matc B = ρ ( A) A ( 42 ) platí ρ ( B ) =. ( 43 ) Nechť tedy ρ ( A ) = a echť Av = v. ( 44 ) 40
Pšme + v = v + v, ( 45 ) kde { v } v + = max,0. ( 46 ) Vzhledem k postvtě matce A sou vektory poství. Zavedeme-l yí vektor w předpsem + Av, Av rověž w + = m Av, Av, ( 47 ) pak vektory + + z = Av w, z = Av w, ( 48 ) sou opět poství. Pak ovšem platí ( + ) = 2 + + = + 2 + + A v v w z z Av Av. ( 49 ) Proto + v = z + z, ( 50 ) protože e ale každá souřadce ulová vždy alespoň u edoho + z vektorů z, z, musí být dokoce. v v + + = z = z,. ( 5 ) 4
Protože + + 2w = Av + Av + v + v, ( 52 ) platí + + + ( + ) = + + ( + ρ )( + ) A v v v v 2w A v v, ( 53 ) což e možé pouze v trválím případě v = 0, ak by musela exstovat vlastí hodota větší, ež. Exstue tedy edý vektorový řetězec příslušeící vlastí hodotě λ =. Navíc se edá o řetězec edočleý, eboť kdyby y : A E y = v, A E v = 0 = A E y ( 54 ) kde 2, platlo by rověž A y = A E + E y = y + v, ( 55 ) což však eí možé, eboť posloupost A y e omezeá, kdežto posloupost y + v e pro v 0 eomezeá. Pozámka: dá se ukázat, že e-l matce A stochastcká, platí ( A), ρ = c = x. ( 56 ) 42
Důsledek prví věty Perro Frobeovy Nechť ρ e spektrálí poloměr poství matce A. Potom platí lm ( ρ ) A = DΠD, ( 57 ) kde D, D sou vhodé poství dagoálí matce a Π e matce, eíž všechy prvky tvoří edčky. Dále platí m d d =, ( 58 ) = kde m e řád matce A. Vlastí vektor příslušý ρ ( A ) e tvaru d v =. ( 59 ) m d m Je-l A symetrcká, pak D = D, takže m = ( d ) 2 =. ( 60 ) Je-l A stochastcká, pak d m = d = tz., ( 6 ) A lm A = d DΠ. ( 62 ) Koečě, pro symetrckou stochastckou matc A dostáváme rovost 43
d = =. ( 63 ) d m m = Druhá věta Perro Frobeova Nechť A e stochastcká matce a echť exstue dagoálí matce Q taková, že matce AQ e symetrcká. Potom řešeí rovce Au = u ( 64 ) e tvaru u = c Q, ( 65 ) kde c e vhodá kostata. Důkaz Je-l AQ symetrcká, pak AQ = QA T ( 66 ) a rověž T T AAQ = AQA = QA A T, ( 67 ) odkud obecě plye A Q = Q A T. ( 68 ) 44
Proto e matce A Q symetrcká. Díky stochastctě A plye z prví věty Perro Frobeovy lm A = PΠ, ( 69 ) kde P e dagoálí s edotkovou stopou. Díky symetr platí A Q avíc lm A Q = DΠD. ( 70 ) Odtud, srováím ( 69 ) a ( 70 ) vdíme, že D = Q = P, ( 7 ) takže T (,,,) c (,,,) u = A u PΠu = QΠu = Q Expoecela matce Defce expoecely matce T. ( 72 ) A exp A ( 73 )! = 0 Defce ormy matce, { a } A = max. ( 74 ) Defce metrky a prostoru čtvercových matc (, ) d A A = A A. ( 75 ) 45
Prví věta o kovergec Je-l řada = A ( 76 ) 0 kovergetí, kovergue řada = A ( 77 ) 0 v každém bodě matce a platí = 0 = 0 A A. ( 78 ) Důkaz Je zřemé, že A A, ( 79 ) ebol = 0 = 0 A A. ( 80 ) Dále A A = A, ( 8 ) takže 46
= 0 = 0 A A. ( 82 ) Proto = = = 0 = 0 = 0 = 0 A A A A, ( 83 ) čl skutečě platí ( 78 ). Druhá věta o kovergec A k A, ( 84 ) kde k e řád matce A. Důkaz Pro = z ( 84 ) plye A A, ( 85 ) čemuž uvěří mozí. Je-l a prvkem matce A, platí k l l A 2 A = A. ( 86 ) l= a a a k k k Defce komutátoru Výraz [ A; B] AB BA. ( 87 ) azýváme komutátorem matc A a B. Specelě, e-l = AB BA, říkáme, že matce A, B avzáem komutuí, což zameá, že 47
[ A; B] = 0. ( 88 ) Defce atkomutátoru Výraz { A; B} AB + BA. ( 89 ) azýváme atkomutátorem matc A a B. Specelě, e-l AB = BA, říkáme, že matce A, B avzáem atkomutuí, což zameá, že { } A; B = 0. ( 90 ) Prví věta expoecely Pokud spolu matce A a B avzáem komutuí, pak exp A + B = exp A expb = expb exp A. ( 9 ) Důkaz Užeme substtuc m = p. Potom m p A B A B exp A expb = = =! m!! p! = 0 = 0 p= 0 0 p ( ) p p! A B = = + p!! ( p )! p! p= 0 0 p p= 0 ( A B) p. ( 92 ) Povšměme s, že posledí úprava bomcké formule e možá pouze tehdy, když spolu matce A, B komutuí. 48
Pozorováí: exp A e vždy regulárí matcí, pro kterou platí ( exp ) = exp( ) A A. ( 93 ) Zobecěí: Vzorec pro expoecelu součtu lze modfkovat pro případ, že A, B A; B, avzáem ekomutuí, ale obě komutuí se svým komutátorem [ ] t. [ ] = [ ] A; A; B A; B ; B. ( 94 ) Potom platí: exp A exp B = exp + [ ; ] + = exp( + ) exp [ ; ] A 2 A B B A B 2 A B. ( 95 ) Druhá věta expoecely exp A expb exp A = exp exp A B exp A. ( 96 ) Důkaz Z prví věty expoecely víme, že pokud A B komutuí, se svým komutátorem, platí ( 95 ). Dosazeím z této rovce za daých předpokladů plye exp A expb exp A exp B = exp A expb = = exp( A + B) exp [ A; B] exp ( A + B) exp [ A; B] = 2 2 = exp [ A; B]. ( 97 ) 49
Odtud [ ] exp A expb exp A = exp A; B expb, ( 98 ) což lze přepsat ako [ ] exp A C exp A = exp A; B C ( 99 ) a proto [ ] exp A; B expb = exp exp A B exp A = exp A expb exp A. Pozámka: ( 200 ) Teto vztah užíváme k výpočtu expoecely matce M vyádřeé ako M = DBD ( 20 ) s podobou matcí B pokud možo v Jordaově tvaru. Potom tedy platí: expm = exp DBD = D expb D. ( 202 ) Důsledek exp AexpBexp A = = exp B + [ A; B] + ;[ ; ] + ; ;[ ; ] +.! 2! A A B 3! A A A B ( 203 ) Třetí věta expoecely Nechť Av = λv. Potom ( exp ) = ( exp λ ) A v v ( 204 ) 50
Důkaz A λ v λ! v =! = e v. ( 205 ) = 0 = 0 Čtvrtá věta expoecely Nechť A = CDC. ( 206 ) Pak exp A = Cexp DC. ( 207 ) Důkaz ( CDC ) A D = = C C. ( 208 )!!! = 0 = 0 = 0 Důsledek e 0 0 0 e 0 exp A = C C 0 0 e, ( 209 ) kde matce C má ve sloupcích souřadce vlastích vektorů. 5
Pátá věta expoecely Jsou-l reálé část vlastích hodot matce A kladé, potom platí: A = exp ta dt. ( 20 ) Důkaz 0 Obě stray dokazovaé rovost vyásobíme zleva matcí A, čímž postupě dostaeme d AA = A exp( t A ) dt = exp( t A ) dt = exp( t A ) = 0 Pozámka: 0 0 = 0 E = E. Výše uvedeý předpoklad o vlastích hodotách zašťue expoecálě rychlé ubýváí tegradu. Prví věta o vztahu tracku s determatem dt ( 2 ) Nechť O ( t) ozačue matc, eíž všechy prvky sou ěaké fukce O( t ) takové, že O t lm = 0. ( 22 ) t 0 t Potom v lmtě t 0 platí ( t ) = + + O( t) det exp A tr A. ( 23 ) 52
Důkaz Sado ověříme, že pro lbovolou matc A platí = + + exp ta E ta O t. ( 24 ) Dále s uvědomíme, že edetcké permutace přspěí k determatu polyomem, z ěhož lze vytkout t. Teto polyom po vytkutí t ozačíme P a provedeme ásleduící úpravy: ( E A O) = = ( ( δ ) ) s p p p p det + t + t = + ta + O t = π ( ta O ( t) ) tp E t A O( t) = + + + = + tr +. Druhá věta o vztahu tracku s determatem ( 25 ) det exp A = exp tr A. ( 26 ) Důkaz Ozačme det exp( t ) f t = A. ( 27 ) Zřemě platí df t det exp dt ( t + h A) det exp( ta) = lm = h 0 h det exp( ha) = det exp( ta) lm = h 0 h h tr A + O( h) = det exp( ta) lm = tr A f ( t). h 0 h ( 28 ) 53
Jsme u cíle, eboť dferecálí rovce tr f t = A f t ( 29 ) má řešeí f ( t) = c expt tr A, ( 220 ) kde c = f 0 =. ( 22 ) Třetí věta o vztahu tracku s determatem l det Důkaz tr E A = A ( 222 ) ( ) = Neprve provedeme Taylorův rozvo fukce l x : ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )! ( x x0 ) x 2! x 3! x ( + )! x 2 3 + l x = l x + + +. 0 2 3 + 0 0 0 0 Položíme-l x 0 =, máme ( 223 ) + +! x x 0 ( ). ( 224 ) = +! = 0 + l x = 0 + = Provedeme substtuc dostáváme rovost E A = expb a z předchozí věty hed l det E A = l det expb = l exp trb = trb. ( 225 ) 54
A protože B = l( E A ), ( 226 ) plye odtud = 0 = 0 + + ( ) + + E A + tr E A + tr B = tr = ( ) = + + tr A tr A tr A = = =. + + = 0 = 0 = 0 ( 227 ) Gaussova věta Nechť T ˆ k e operátor traslace o k, tz ( ˆ k ) T f = f + k. ( 228 ) Potom platí vztah exp( t ) F ( t) ˆ = T k Z k k, ( 229 ) kde posloupost F s časově proměým prvky F dferecálí rovc k t řeší F ( t) = F ( t) ( 230 ) př počátečí podmíce F k ( 0) δ k0 =. ( 23 ) 55
Důkaz Protože Laplaceův operátor komutue s každým T ˆ k, vyplývá z platost rovce ( 230 ) vskutku d exp ˆ k T k t = F t = F t k dt k Z k Z Logartmus matce Tˆ k. ( 232 ) Hledeme matc A takovou, že pro zadaou regulárí matc B platí exp A = B. ( 233 ) Pomocí Taylorova rozvoe pro logartmus, okamžtě získáme rovost = 0 + E A = l B = B ( 234 ) + pro logartms matce B. Úvod do teore duálích prostorů Defce duálího prostoru Duálím prostorem k prostoru V rozumíme prostor všech leárích forem, t. leárích zobrazeí přřazuících prvkům V prvek z tělesa, ad kterým e prostor V sestroe. Duálí prostor budeme začt V a rověž eho prvky budeme psát čárkovaě. Sčítáí a ásobeí prvkem z tělesa zde defueme epřrozeěším způsobem: ( u + v )( w) = u ( w) + v ( w) ( λu)( w) = λu ( w)., ( 235 ) 56
Pozámka: Odpovídaící obekty duálu ozačueme předpoou kotra. Naopak, pokud sme ž pomeoval obekty ve V, používáme pro ozačeí odpovídaících obektů z V předpou ko. V této sekc budeme používat kovec horích a dolích dexů, přčemž horí dex udává číslo řádku, kdežto dolí dex číslo sloupce. V duálím prostoru e pak přrozeé použít přesě opačý záps oprot prostoru původímu. Budeme tedy začt v prvky duálí báze k báz v tak, že = δ v v. ( 236 ) Věta o duálí báz -tou souřadc vektoru x vůč báz e lze terpretovat ako hodotu -tého prvku duálí báze (akožto formy) v bodě x, t. = = x v v x. ( 237 ) x x Důkaz ( x ) x y x ( y )( x ) = ( y v ) v = v v. v v = v v = = v v = ( 238 ) Věta o změě duálí báze Nechť C e matce přechodu od báze v,, v k báz w,, w, t. platí w,, w = v,, v C. ( 239 ) Potom lze vztah mez duálím bázem vyádřt formulí 57
w v = C. ( 240 ) w v Důkaz Defume ásobeí w w ako w ( w ) a pšme w v ( w,, w ) = E = C ( v,, v ) C. ( 24 ) w v Pozámka: Kdybychom psal edotlvé prvky duálí báze vedle sebe, steě ako v báz původí, potom matce přechodu od báze v,, v k báz w,, w e tzv. kotragradetí matcí C T k matc C, t. platí w,, w = v,, v C T. ( 242 ) Věta o reprezetac ( [ ]) v V! v V : w V : v w = w, v, ( 243 ) kde vektor v tvoří tzv. reprezetuící prvek. Důkaz Nechť { } ( v ) v ker = w w = 0 ( 244 ) 58
e ulový prostor v. Nechť dále v ker( v ) ( 245 ) (mmo é, ker ( v ) takový, aby [, ] e edorozměrý). Vektor v lze pak volt v w = w v. ( 246 ) Forma { [, ]} w w v ( 247 ) má proto steý ulový prostor ako v. Navíc obě formy abývaí steých hodot pro v, takže musí být totožé a V = L v,ker( v ). ( 248 ) Defce duálího zobrazeí Měme leárí zobrazeí f : V { w w f} W. Potom zobrazeí f : W V ( 249 ) azveme zobrazeím duálím k f. Přtom platí = [ ; ] = [ ; ] f w v w Av w A v, ( 250 ) kde A e matce zobrazeí f vůč bázím v,, vm resp. w,, w 59
Hlaví pozorováí Píšeme-l souřadce duálího vektoru do řádky, máme pro duálí zobrazeí tutéž matc vůč bázím w,, w resp. v,, v m ako původí zobrazeí, t. platí f : w w A. ( 25 ) Pokud bychom ovšem psal souřadce do sloupce v duálím prostoru, bude mít zobrazeí matc traspoovaou: f : w T A T w T. ( 252 ) Z toho důvodu také často hovoříme o duálím zobrazeí ako o zobrazeí traspoovaém. Věta o reprezetac komplexího čísla matcí Moža komplexích čísel e zomorfí možě matc dmeze 2 2 tvaru a b a + b b a. ( 253 ) Důkaz Sado ověříme, že se skutečě edá o zomorfsmus: echť sou dáa komplexí čísla z = a + b, z = a + b. 2 2 2 ( 254 ) Potom 60
z z ( a a b b ) + ( a b + b a ) a b a b a + a b + b 2 2 2 2 + z2 b a + b2 a = 2 b + b2 a + a2 z a + a + b + b = z + z 2 2 2 a b a b a a b b a b + b a 2 2 2 2 2 2 2 b a b2 a = 2 ba 2 + b2a aa2 bb 2 2 2 2, z z. 2 2 = ( 255 ) Defce kougovaé matce Nechť e dáa komplexí matce C. Nahradíme-l všechy eí prvky elemety k m komplexě sdružeým, získáme tzv. kougovaou matc k matc C. Pozámka Uvědomme s, že v případě komplexí matce ezameá traspozce pouhou záměu řádkových a sloupcových dexů eích elemetů, ale současé utvořeí komplexího kougátu matce vzklé touto záměou dexů. Příklad: x y x2 y2 T y 2 2 x x y x y y2 x + + 2 x2 y2 x22 y22 = = + + x2 y2 x22 y 22 y2 x 2 y22 x 22 x y x2 y2 y x y2 x 2 = x y x2 y2 =. x2 y2 x22 y x 22 2 y2 x22 y22 y2 x 2 y22 x 22 T ( 256 ) 6
Defce atleárího zobrazeí Nechť V e Hlbertův prostor. Defume zobrazeí : V V vztahem = [, ] v u u v. ( 257 ) Toto zobrazeí, které, ak sado ověříme, splňue erovost ( + ) = + ( λ ) = λ, v v v v 2 2, v v ( 258 ) azveme atleárím zobrazeím. Defce hermtovsky sdružeého zobrazeí Charles Hermte (822 90) Hermtovsky sdružeým zobrazeím azveme zobrazeí f f =. ( 259 ) 62
Věta o hermtovsky sdružeém zobrazeí Každé Hermtovsky sdružeé zobrazeí f * splňue rovost,, f v w = v f w ( 260 ) Hermtovsky sdružeé zobrazeí má v téže báz hermtovsky sdružeou matc A = A T. ( 26 ) Důkaz Nechť v,, v e ortogoálí báze V a echť hermstovsky sdružeý operátor k f : V V zobrazeí. Neprve dokážeme ekvvalec,, f = f = Vskutku, kde f f = e v e atleárí f v w v f w. ( 262 ) ( ), v f w = = f w v f w v, ( 263 ) právě když f = f, ( 264 ) ebol f f =. ( 265 ) Dále platí ( ), f w v = w f v = f v w. ( 266 ) 63
Je-l f v = v a f vk = v bk potom,, k = a = a [ ] f v, vk v, vk vk, vk, = b = b [ ] v, f v k k v, v k v, v, ( 267 ) ( 268 ) ebol, b = a = a, ( 269 ) k k k Čímž e dokázáa druhá část tvrzeí. Věta o determatu komplexí matce Nechť C ɶ ozačue matc typu 2 2, která vzke z komplexí matce C dmeze áhradou eích elemetů submatcem. Potom 2 ɶ. ( 270 ) det C = det C Důkaz Provedeme substtuc C = expl, a díky zomorfost můžeme psát Cɶ = explɶ. ( 27 ) Nyí už e stačí dopočítat 64
2 det explɶ = exp tr Lɶ = exp tr L exp tr L = det expl det expl = = det exp L. ( 272 ) Pozorováí: Stoí za povšmutí, že platí rovost Cɶ = Cɶ T. ( 273 ) Věta o kaockém zomorfsmu hermtovských operátorů f = f ( 274 ) Důkaz * = = f u, v u, f v f v, u = v, f u = f u, v. ( 275 ) Věta o souču hermtovských operátorů ( fg ) Důkaz = g f. ( 276 ) ( ), =, =, f g u v g u f v u g f v. ( 277 ) Př prvé úpravě akládáme ako s ormálím vektorem s g( u ) a ve druhé zase s f ( v ). Defce Operátor f azveme 65
a) Hermtovským (samosdružeým), pokud f = f, b) Athermtovským, pokud f = f ( f) = ( f) c) Utárím, pokud d) Normálím, pokud ff = f f Prvé adektvum přechází v reálém prostoru a symetrcký, druhé a atsymetrcký, třetí a ortogoálí. Expoecela athermtovského operátoru Expoecela athermtovského operátoru e utárím operátorem Důkaz ( exp ) exp exp f f = f f = f = f. ( 278 ) Hlaví věta dualty Lbovolou matc ( m ) tvaru B C lze psát právě edím způsobem ve B = S + W, ( 279 ) kde S e ěaká hermtovská a W ěaká athermtovská matce. Důkaz Neprve ukážeme exstec evýše edoho takového vyádřeí: = f, B = S + W = S + W = S W B = S + W, B + B = 2 S ; B B = 2 W, ( 280 ) odkud 66
S = ( B + B ) ; W = ( B B ). ( 28 ) 2 2 Nyí ukážeme exstec alespoň edoho takového vyádřeí pro B. K tomu stačí ověřt, že pro ( 28 ) platí B = S + W, S = S, W = W : ( 282 ) S + W = ( B + B ) + ( B B ) = B, 2 2 ( ) S = B + B 2 = B + B = B + B = B + B = 2 2 2 = ( B + B ) = S, 2 W = ( B B ) = ( ) = ( ) = ( ) =. 2 B B B B B B W 2 2 2 ( 283 ) Úvod do teore seqleárích a kvadratckých forem Defce multleárího zobrazeí Zobrazeí a kartézském souču vektorových prostorů F V V V C ( 284 ) : 2 azveme multleárím (leárím v každé proměé), pokud platí a) F ( v + v, v2,, v ) = F ( v,, v ) + F ( v, v2,, v ) b) F ( λv, v,, v ) = λf ( v,, v )., 2 ( 285 ) 67
Defce seqleárí formy V případě = 2 hovoříme o tzv. bleárí formě. Tehdy e edůležtěším případem zobrazeí dualty: {( v w ) w ( v) }, :V V C. ( 286 ) Z věty o reprezetac víme, že akékolv bleárí zobrazeí z V V lze přeést a V V vztahem G (, ) = F, v w v w. ( 287 ) Potom e ale zobrazeí v druhé proměé atleárí a kolv leárí, t. platí F (, λ ) = λ F (, ) v v v v. ( 288 ) 2 2 Takovéto zobrazeí azveme seqleárím zobrazeím S : V V C ( 289 ) a emu příslušeící formu seqleárí formou. Pozorováí Nechť ˆ = ( s ) S : V S e lbovolá matce typu. Zobrazeí V C ( 290 ) defovaé předpsem S (, ) = = = x y s x y, ( 29 ) 68
kde x (,, ), y (,, ) = x x = y y V e seqleárí formou a V V. Nechť v,, v e ěaká báze prostoru vektory x, y V, pro ěž platí V. Pak exstuí takové x = y = = = v v x y,. ( 292 ) Tehdy e (, ) = (, ) = (, ) S S x y x S y x y v v v v, ( 293 ),, což lze v matcovém tvaru vyádřt ako S ˆ, = = ˆ x y xsy T y T S T x T. ( 294 ) Všměme s, že pro pevě zvoleé vektory x = x0, y = y 0 sou prostředctvím předpsů x S ( x y0 ),, y S x, y, 0 ( 295 ) dáy leárí formy a V. Vdíme také, že hodota seqleárí formy (obecě každé bleárí formy) e vlastě skalárím součem S x, y = f x, y ( 296 ) kde zobrazeí f e dáo vztahem 69
= ˆ f x S T x. ( 297 ) Defce Dracova bracketu Paul Adre Maurce Drac (902 984) Z předchozího pozorováí plye rovost ( ˆ S x) y = y ( Sˆ x ) T T T T. ( 298 ) Provedeme-l substtuc T T yˆ = y ; xˆ = x ; fˆ xˆ = Sˆ T x T, ( 299 ) můžeme tuto rovost zapsat ako, = ˆ ˆ ( ˆ ) y f ( x) f x y y f x. ( 300 ) Posledí ozačeí pochází od samotého P. A. M. Draca a azývá se Dracův bracket (závorka). Obecě lze tedy skalárí souč psát ako [ ] ˆ ˆ ( ˆ ) x, y = y f x = y x. ( 30 ) Všměme s, obráceého pořadí vektorů (v bracketech komplexě sdružueme vždy levý vektor). Vektory ψ azýváme bra-vektory a 70
ech souřadce zapsueme do řádku. Vektory ψ ozačueme ako ket-vektory a ech souřadce, hermtovsky sdružeé oprot odpovídaícím bra-vektorům, zapsueme do sloupce. Bra-vektory sou prvky duálího prostoru a exstece skalárího souču se ukazue být v stém smyslu ekvvaletem možost rozumého vzáemého přřazeí vektorů prostoru a eho duálu. Pro Dracovské brackety platí ásleduící čtyř rovost ) ϕ ψ + ψ 2 = ϕ ψ + ϕ ψ 2 ( 302 ) 2) ϕ λψ = λ ϕ ψ ( 303 ) 3) ψ ϕ ϕ ψ = ( 304 ) 4) ψ ψ 0 ( 305 ) Mez ket-vektory a bra-vektory exstue edoedozačé atleárí přřazeí ψ ψ,2,2, λ ψ + λ ψ λ ψ + λ ψ 2 2 2 2. ( 306 ) Defce kvadratcké formy Restrkc { v ( v v) } K = S, : V C ( 307 ) S azveme kvadratckou formou příslušeící daé seqleárí formě S. Matc Kˆ ˆ S = S azýváme matcí kvadratcké formy ( 307 ). Kvadratckou formu azveme a) poztvě deftí, estlže v C { 0} K ( v) b) egatvě deftí, estlže v C { 0} K ( v) \ : > 0 \ : < 0 7
c) poztvě semdeftí, estlže v C \ 0 : K v 0 v C : K v = 0 { } d) egatvě semdeftí, estlže v C \ 0 : K v 0 v C : K v = 0 { } e) deftí, estlže u w C K ( u) K ( w) Rekostrukčí věta, : > 0 < 0 Výše uvedeou restrkcí se eztrácí žádá formace o původí seqleárí formě S. Důkaz Stačí ám dokázat, že platí rovost S ( x, y ) = KS ( + ) KS ( ) + KS ( + ) KS ( ) 4 x y x y x y x y. ( 308 ) Vskutku, 4 ( x y) ( x y) ( x y) ( x y) KS + KS + KS + KS = 2 2 2 2 = S ( x + y) S ( x y) + S ( x + y) S ( x y) = 4 = S (, ) 2 S (, ) S (, ) S (, ) 2 S (, ) S (, ) 4 x x + x y + y y x x + x y y y + + S ( x, x) 2 S ( x, y) S ( y, y) S ( x, x) + 2 S ( x, y) + S ( y, y) = = 4 S ( x, y) = S ( x, y). 4 ( 309 ) 72
Matce přechodu seqleárí formy Nechť Â resp. A ˆ e matcí formy S vzhledem k bázím v,, v, resp. v,, v. Nechť matcí přechodu od v k v e matce Ĉ: (,, ) (,, ) v v = v v Cˆ. ( 30 ) Potom platí ˆ ˆT A = C AC ˆ ˆ ( 3 ) Důkaz Matc A ˆ = a lze zázort ako matcový souč v Aˆ = ( v v ), ( 32 ) v kde součem prvků bázem rověž traspoovaě: v v rozumíme S ( v v ) = a. Pšme vztah mez v = ˆ C v v v T ( 33 ) a proásobme sloupce a řádky: v v ( ) ˆT ( ) ˆ v v = C v v C. ( 34 ) v v 73
Tedy vskutku platí ( 3 ), kde pruh vyadřue atleartu v druhém čtel. Věta o reprezetac seqleárí formy Pro hermtovskou kvadratckou formu K S a Hlbertově prostoru H exstue edozačě určeý hermtovský operátor f : V V takový, že (, ),, S v w = f v w = v f w. ( 35 ) Důkaz Nechť S e lbovolá seqleárí forma. Reprezetume leárí formu { v S ( v w) }, : V C ( 36 ) vektorem [ ] w : S v, w = v, w v V. ( 37 ) 0 0 Potom leárí operátor f ( w) = w 0 ( 38 ) splňue hledaou rovost ( 35 ). Dokázal sme tedy obecěší tvrzeí a hermctu K resp. S potřebueme e proto, aby bylo S = S = S = = v, f w v, w w, v w, f w f v, w. ( 39 ) Defce sgatury kvadratcké formy Nechť má kvadratcká forma K ve vhodé báz dagoálí matc, kde + e počet eích kladých dagoálích prvků, počet eích 74
záporých dagoálích prvků a dagoále. Vektor 0 ( +,, ) 0 počet ulových prvků a hlaví s ( 320 ) azýváme sgaturou formy K. Sado ahlédeme, že pokud platí: a) s s s 2 s 3 b) s2 s s2 s3 > 0 = = 0, e forma poztvě deftí > 0 = = 0, e forma egatvě deftí c) s 2 = 0, e forma poztvě semdeftí d) s = 0, e forma egatvě semdeftí e) s s 2 > 0, e forma deftí. Věta o setrvačost Pro reálé symetrcké formy ezávsí sgatura s a volbě báze. Důkaz Měme dvě báze β = v,, v a ɶ β = vɶ,, vɶ, v chž má daá = Dɶ = ɶ. forma f dagoálí tvar daý matcí D { d } a { d } Nechť sou prky obou bází uspořádáy tak, aby platlo d d dɶ dɶ + + + +,. ( 32 ) Nechť 0 e posledí dex, pro který e d > 0. Odvodíme spor 0 s předpokladem, že dɶ 0. 0 Vskutku, kdyby d ɶ 0 počíae od stého dexu <, mohl 0 0 bychom provést ásleduící úvahu: podprostory L v,, v 0 a L vɶ,, vɶ 0 musí mít z důvodu dmeze etrválí průk. Nechť e ím apř. vektor 75
0 = = 0 w = v λ = v µ 0. ( 322 ) Pak ale musí být ( λ ) ( µ ) 2 2 w = d > 0 w = d ɶ 0, ( 323 ) což e dozasta paradox. Jacob Sylvestrova věta Ozačme symbolem e,, e : Â matc formy K vůč ěaké zvoleé báz a (, ) = K e e. ( 324 ) Chceme-l tuto báz ortogoalzovat vůč K, tz. Nalézt ovou báz fk = e ck, ( 325 ) k tak, aby bylo ( k ) < k : K f, f, ( 326 ) stačí volt c kk = det Aˆ ( k ) det A ˆ, ( 327 ) ( k ) kde k =,, : det Aˆ 0 e tzv. k-tý hlaví mor matce Â, t. k 76
a a det a k a k kk. ( 328 ) Carl Gustav Jacob Jacob (804 85) James Joseph Sylvester (84 897) Důkaz Podmíku ( 326 ) lze ahradt podmíkou ( k ) < k : K f, e. ( 329 ) Kalbrac bude vhodé volt ako K f, e =. ( 330 ) k k Pak bude c (, ) = K f f. ( 33 ) kk k k Nalezeí c k pro < k představue řešeí soustavy rovc typu 77
( e e ) < k : K, c = 0, k ( e e ) = k : K, c =, k ( 332 ) tedy soustavy rovc s rozšířeou matcí a ak 0. ( 333 ) a k akk Z Cramerovy věty pak plye dokazovaé tvrzeí. Důsledek Jacob Sylvestrovy věty Nechť má matce kvadratcké formy A všechy hlaví mory eulové. Pak e sgatura formy (,,0) s =, ( 334 ) kde e počet změ zaméek v posloupost det A det A,det A,, det A. ( 335 ) ( 2) Specelě, A e poztvě deftí právě tehdy, sou-l všechy hlaví mory kladé. Spektrálí a polárí rozklad operátoru Prví věta spektrálího rozkladu Dva komutuící operátory f, g : V vlastí vektor. V maí alespoň ede společý 78
Důkaz Ozačme kerλ ( f ) ulový prostor ( f λ ) prvku spektra λ : ker λ { λ } ( f ) Jelkož platí E odpovídaící ěakému = v f v = v. ( 336 ) ( f ) ( ) v = kerλ f v = λv g f v = λg v f g v = λg v, e ( kerλ ) kerλ ( 337 ) g f f. ( 338 ) Pak ale exstue ěaký vlastí vektor restrkce operátoru a ker ( f ) g : ker f ker f, ( 339 ) λ λ který e právě oím hledaým etrválím společým vlastím vektorem obou operátorů. Důsledek prví věty Je-l v společým vlastím vektorem operátorů f a f, pak příslušé vlastí hodoty λ f v = λv, f v = λ v, ( 340 ) splňuí vztah λ = λ. ( 34 ) 79
Důkaz [, ] =, =, = [, ] = [, ] λ v v v f v f v v λ v v λ v v. ( 342 ) Druhá věta spektrálího rozkladu Nechť f ( v) Potom platí = λ v. Ozačme symbolem W ortogoálí doplěk { } f W W. ( 343 ) Důkaz w W : v, f w = f v, w = 0. ( 344 ) Třetí věta spektrálího rozkladu Je-l f : V V ormálí operátor, pak exstue ortogoálí báze prostoru V tvořeá vlastím vektory operátoru f. Důkaz Je-l f ormálí, pak spolu operátory f, f avzáem komutuí. v. Položíme-l f g, plye důkaz z prví věty spektrálího rozkladu. Je-l v společým vlastím vektorem f a f *, potom sou operátory f, f : W W ( 345 ) opět vzáemě hermtovsky sdružeé a samozřemě stále komutuí. Lze tudíž alézt další vlastí vektor společý f a f *, tetokrát v prostoru W. V případě koečé dmeze V, takto alezeme koečým počtem kroků celou báz, čímž e důkaz hotov. 80
Schurova věta Každý operátor lze ve vhodé ortoormálí báz vyádřt troúhelíkovou matcí. Tato troúhelíková matce e avíc pro případ ormálího operátoru dagoálí. Důkaz Issa Schur (875 94) Důkaz plye z páté věty Jordaovy, pokud báz odpovídaící rostoucímu systému varatích podprostorů bereme ortoormálí. Důsledek Schurovy věty Pro každou ormálí matc A exstue komplexí dagoálí matce D a utárí matce U, pro které platí A = UDU UDU. ( 346 ) Je-l avíc matce A utárí resp. hermtovská, resp. athermtovská, sou a dagoále D komplexí edotky, resp. reálá čísla, resp. ryze magárí čísla. Rozklad operátoru do proektorů Pro každý ormálí operátor f : V p : V V takové, že V exstuí ortogoálí proekce 8
p p = δ p, ( 347 ) kde p = ψ p Navíc ψ = E., ( 348 ) f λ p ψ λ ψ, ( 349 ) = = kde λ sou elemety spektra f. Důkaz Vlastí vektory ψ tvoří ortoormálí báz a tedy ψ ψ = δ. ( 350 ) Odtud plye, že p p = ψ ψ ψ ψ = δ ψ ψ = δ p. ( 35 ) Důsledek Rozklad do proektorů f = λ p ( 352 ) 82
umožňue defovat operátor F ( f ) pro akoukolv fukc F ( λ ) defovaou a spektru předpsem ( λ ) F f = F p. ( 353 ) Defce eurčtost Defume středí hodotu velčy F ve stavu ψ ormovaém ako ψ ψ = ( 354 ) coby F = ˆ, ψ ˆ Fψψ = F ψ. ( 355 ) ψ Neurčtostí velčy F azýváme F = ( F F ) 2. ( 356 ) Pozorováí: Všměme s, že F = 0 právě když ψ e vlastím vektorem operátoru ˆF. Hesebergův prcp eurčtost Pro dvě hermtovské velčy F, G platí F G ˆ ; ˆ 2 F G. ( 357 ) 83
Důkaz Zavedeme-l operátory Fˆ = Fˆ F, G = Gˆ G, ( 358 ) sado ahlédeme, že platí ˆ ; ˆ = ˆ ; ˆ F G F G, ( 359 ) díky bleartě komutátoru a faktu, že čísla F, vším. Z Cauchyovy erovost hed plye G komutuí se F G ˆ ψ, ˆ ψ Im ˆ ψ, ˆ ψ ˆ ψ, ˆ ψ ˆ ψ, ˆ ψ F G F G = 2 F G G F = = ( Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ ) ψ, ψ = ˆ ; ˆ ψ, ψ, 2 2 F G ( 360 ) kde Im začíme magárí část, v předposledí úpravě sme využl hermctu Fˆ a G ˆ a posledí úprava vyplývá z rovost komutátorů ( 359 ). Defce crkulatu Nechť a0, a,, a e ěaká číselá posloupost. Matc C a0 a a a a a a a a a a a 0 2 = 2 0 ( 36 ) azýváme crkulatem. 84
Harrova věta Nechť V e vektorový prostor fukcí a grupě 0, ) se skalárím součem, defovaým ako f ( x) g ( x) dx, ( 362 ) 0 geerovaý všem posuy o hodoty ; = 0,,, ( 363 ) ěaké fukce ψ. Nechť dále dmv =. ( 364 ) Pak exstue fukce φ V taková, že eí posuy o hodoty ( 363 ) tvoří ortogoálí báz V. Alfréd Haar (885 933) 85
Důkaz Napšme s matc A vzáemých skalárích součů edotlvých posuů fukce ψ. Naším úkolem bude dagoalzovat kvadratckou formu s uvedeou matcí v ové báz, varatí vůč všem posuům fukce ψ o hodoty ; =,,. ( 365 ) Sado se lze přesvědčt, že matce A e poztvě deftí a symetrcký crkulat. Zbývá tedy alézt ý crkulat B takový, aby platlo B AB = E. ( 366 ) Požadueme-l dokoce B hermtovskou, pak určíme z rovost 2 B = A, ( 367 ) což e problém, který řeší třetí věta spektrálího rozkladu. Věta o polárím rozkladu operátoru Regulárí komplexí matc A lze zapsat v kterémkolv z ásleduících tří tvarů: A = CV = UB = U DV, ( 368 ) kde matce U, U, V, V sou utárí (aaloge komplexích edotek e ψ ), matce B,C sou poztvě deftí a hermtovské, matce D e poztví, dagoálí a hermtovská, tz. reálá. Dále platí, 2 2 A A = B = V D V 2 2 AA = C = U D U U = UV., ( 369 ) 86
Důkaz Pro důkaz stačí prodskutovat spektrálí rozklad matce utě hermtovská a poztvě deftí. Pšme tedy A A, která e A A = V FV, ( 370 ) kde F e dagoálí reálá poztví matce určeá edozačě až a permutac vlastích hodot, která e Jordaovým tvarem matce A A. Položme proto 2 F = D. ( 37 ) Zřemě e pak matce B = V DV ( 372 ) poztvě deftí, hermtovská a 2 B = A A. ( 373 ) Položíme eště U = AB. ( 374 ) Matce U e utárí, eboť 2 BU UB = A A = B U U = E. ( 375 ) Pro U = UV také platí A = UB = UV DV = U DV. ( 376 ) 87
Golde Thompsoova erovost Pro lbovolé dva hermtovské operátory A, B, platí erovost Tr exp( A + B) Tr exp A expb. ( 377 ) Col J. Thompso Sdey Golde Důkaz Rozepíšeme levou pravou strau ako Tr( A + B)! k l TrA B. k! l!, ( 378 ) Vdíme, že stačí dokázat erovost typu Tr ( A B A B ) Tr( A A B B ), ( 379 ) kde čárkam rozlšueme ěaké mocy matc. Předpokládeme, že A a B sou hermtovské matce a B e ž dokoce dagoálí. To smíme dle třetí věty spektrálího rozkladu a díky cyklčost stopy. 88
Rozepíšeme-l yí stopy zmíěých matcových součů v ( 379 ), pak ze zámé erovost mez artmetckým a geometrckým průměrem + + = + 2 + 3, ( 380 ) 2 3 2 2 x y z x y z ; plye erovost ( 379 ). Napšme s to podrobě apř. pro A = A = A =, B = D B = D B = D 2 3 ; ;. ( 38 ) Dostaeme 2 3 2 2 2 2 a Tr Tr Tr 3 d a dk al dl AD A A D A A D,, k + + = k k Základy tezorové algebry Defce tezorového prostoru = 3 Tr A D. ( 382 ) Tezorovým prostorem azýváme tzv. tezorový souč V W vektorových prostorů V, W, t. prostor všech bleárích forem a kartézském souču V W duálích prostorů. Defce tezoru Prvky prostoru V T = v w, ( ) W azýváme tezory a zapsueme e ve tvaru t ( 383 ) 89
kde v, w kartézského souču bází prostorů V a W, azývaý dyadckým součem vektorů v, w, v w e ové ozačeí pro prvek který e prvkem báze V Pozorováí W. Nechť v w v λ, w µ. ( 384 ) potom T T v w v w = v w λ µ. ( 385 ), ( ) Asocatvta tezorového souču Tezorový souč více ež dvou prostorů (apř. U, V, W) lze U V W U V W. Obě dvě zkostruovat ako souč ( ), ebo defce vedou k zomorfím prostorům, o kteréžto vlastost hovoříme eko o asocatvtě tezorového souču. Prvky tezorového souču U V Z zapsueme ako T T u v z u v z = u v z t.,,, z ( ) ( 386 ) Tezor lze tedy chápat ako tabulku čísel dexovaou ěkolka dexy, avšak dávaící formac pouze ve zvoleých bázích v prostorech U, V,..., Z. Se změou báze se měí tabulka složek tezoru. 90