1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

Transkript

1 ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta; důležté formule, kterým lze v ortoormálí áz spočítat skalárí souč, ormu a úhel mez vektory; vztah mez projekcí vektoru do ázového vektoru a příslušou souřadcí v ortoormálí áz Klíčová slova této kaptoly: kolmost (ortogoalta) vektorů, ortogoálí a ortoormálí áze, relace ortoormalty, Croeckerovo delta, zoecěý úhel mez vektory Čas potřeý k prostudováí učva kaptoly: 0,5 +,0 hody (teore + řešeí příkladů)

2 Ortogoalta vektorů Defce Dva vektory x, y z V jsou a see kolmé (ortogoálí) právě tehdy, je-l jejch skalárí souč rove ule Pozámka Také zde je přejímáa ázorá geometrcká termologe pro případy, kdy vektory jsou začě astraktí matematcké ojekty (apř zorazeí, matce apod) Taková geometrzace je ve většě aplkací výhodá, protože umožňuje tutvější přístup k řešeí často eázorých prolémů Ortogoálí a ortoormálí áze Defce Ortogoálí ází vektorového prostoru V vyaveého skalárím součem azýváme takovou áz, jejíž vektory jsou avzájem kolmé, tz jejch skalárí souč je ulový Mají-l avíc všechy vektory áze jedotkovou velkost (eol jsou ormováy k jedé), mluvíme o ortoormálí áz Pozámka Kokrétěj: je-l B {,,, } ortoormálí ází, pak platí pro skalárí souč lovolých dvou jejích prvků, j relace ortoormalty j = δ Symol a pravé j straě, tzv Kroeckerovo delta, je rove pro = j, jak je rove 0 Příklad Nejpoužívaější ortoormálí ází v prostoru j ( 0,,0 ), k ( 0,0,) Skalárí souč v ortoormálí áz R je áze tvořeá vektory (, 0, 0) Důkaz její ortoormalty přeecháváme čteář, Věta Nechť je dá vektorový prostor V se skalárím součem, jeho ortoormálí áze B {,,, } a dva vektory x, y z V, které lze vyjádřt ve tvaru x= x+ x + + x, y = y+ y + + y Pak pro skalárí souč těchto vektorů platí xy xy, = což je zámý tvar výpočtu skalárího souču jako součtu součů příslušých souřadc Důkaz Důkaz je sadý: xy = x yj j = xy j j = xy jδj = xy Cd j= j= j=

3 Pozámka Uvedeý vzorec pro výpočet skalárího souču v ortoormálí áz má velm časté uplatěí Umožňuje totž spočítat skalárí souč dvou vektorů přímo ze zalost jejch souřadc v daé áz Norma v ortogoálí áz Normu dukovaou skalárím součem lze v ortoormálí áz podle uvedeého vzorce rozepsat a tvar x x x = x, což ovšem eí c jého ež zámá Eukldovská formule Výpočet úhlu mez vektory Typckou aplkací předchozí teore je výpočet úhlu mez dvěma geometrckým eo fyzkálím vektory, jejchž souřadce v určté ortoormálí áz záme Ze vztahu a = a cosγ totž plye vzorec a γ = arccos = arccos a a a, a jehož pravé straě vystupují pouze souřadce vektorů a, Pojem úhlu můžeme zoect a počítat uvedeou formulí také zoecěé úhly egeometrckých a efyzkálích vektorů (apř fukcí, matc apod) Souřadce a projekce v ortoormálí áz Věta Souřadce vektoru v lovolé ortoormálí áz je totožá s projekcí tohoto vektoru do příslušého ázového vektoru Důkaz Vypočtěme projekc vektoru x= x+ x + + x do vektoru áze k : x x ( ) ( ) k k = x + x + + x k = xkk k = xk k k = xk, eoť pro vektory áze platí relace ortoormalty = j δ j Pozámka Uvedeá věta exaktě teoretcky popsuje to, co se v geometr eo ve fyzce a středí škole dělá ěžě, když se určují souřadce vektoru jeho rozkladem do souřadých os kartézského systému

4 Shrutí kaptoly: Dva vektory jsou a see kolmé (eo-l jsou ortogoálí) právě tehdy, je-l jejch skalárí souč rove uleuvedeý výrok, zámý z teore geometrckých a fyzkálích vektorů, chápeme yí jako defc platou pro lovolé vektorové prostory Ortoormálí ází azýváme takovou áz, která je tvořea avzájem kolmým vektory Jsou-l tyto vektory avíc jedotkové velkost, hovoříme o ortoormálí áz Mez vektory takové áze platí relace ortoormalty =, kde δ je tzv Croeckerovo delta j j j δ V ortoormálí áz lze velm jedoduše vyjádřt skalárí souč vektorů a ormu vektoru pomocí jejch souřadc Skalárí souč je dá vztahem = xy xy, orma Eukldovskou formulí x = x Pojem úhlu mez vektory, zámý z - a -dmezoálího prostoru geometrckých eo fyzkálích vektorů, lze také zoect a počítat v ortoormálí áz lovolého vektorového prostoru podle vzorce a γ = arccos = arccos a a a V ortoormálí áz platí důležtý výsledek, že souřadce vektoru je totožá s projekcí vektoru do příslušého vektoru áze Teto výsledek se ěžě užívá v geometr a fyzce př určováí souřadc vektorů jejch rozkladem do souřadých os kartézského systému Otázky: Jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů? Formulujte defc ortogoálí a ortoormálí áze Jaký je mez m rozdíl? Co jsou to relace ortoormalty? Vysvětlete výzam symolu zvaého Croeckerovo delta Jakou formulí lze v ortoormálí áz spočítat skalárí souč, ormu a úhel mez vektory? Je možé hovořt o kolmost a úhlu mez vektory v případě, že se ejedá o geometrcké a fyzkálí vektory? Jaký je vztah mez projekcí vektoru do ázového vektoru a příslušou souřadcí v ortoormálí áz? Příklad : Vypočtěte skalárí souč vektorů a, Vektory, j, k tvoří ortoormálí áz a) a = 5+ 8j- 4k, = -+ 5j+ k ; ) a= + 4j, = ( + j- k ) ; c) a= 5+ 8j-4k, = -5a

5 Příklad : Vypočtěte úhel mez vektory a, Vektory jsou dáy svým souřadcem v určté ortogoálí áz a) a = (, 0), = (0, ) ; ) a = (, 0), = (, ) ; c) a = (, 0, 0), = (,, ) ; d) a = (,, 0), = (,, ) Příklad : Určete průmět vektoru a do vektoru Vektory jsou dáy svým souřadcem v určté ortogoálí áz a) a = (, 0), = (0, ) ; ) a = (, 0), = (, ) ; c) a = (, 0, 0), = (,, ) ; d) a = (,, 0), = (,, ) Řešeí příkladů: a) ; ) ; c) 55 π a) ϕ = arccos 0 = ; ) ϕ = arccos π = ; c) ϕ = arccos 0,95 rad 55 ;, 4 d) ϕ = arccos 0, 6 rad 5 6 a) = 0 = a 0; ) a = = (, ); c) a = = (,, ); d) = = (,, ) Další zdroje: POLÁK, J Přehled středoškolské matematky 6 vyd Praha: Prometheus, 997 POLÁK, J Středoškolská matematka v úlohách I vyd Praha: Prometheus, 996 POLÁK, J Středoškolská matematka v úlohách II vyd Praha: Prometheus, REKTORYS, K a spol Přehled užté matematky 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 995 a ZÁVĚR: [Tady klepěte a pšte]