Předmět A3B31TES/Př. 7

Předmět A3B31TES/Př. 7 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 7: Bodeho a Nyquistovy frekvenční charakteristiky PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 1 / 65

Obsah 1 Historie 2 Definice 3 Tabulka hladin intenzit 4 Vliv zpětné vazby na stabilitu systému 5 Geometrické místo kořenů 6 Amplitudová a fázová bezpečnost 7 Úvod - Bodeho charakteristiky 8 Bodeho frekvenční charakteristiky základních členů 9 Logaritmické frekvenční charakteristiky 10 Příklady průběhů 11 Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky 12 Vztah Bodeho a Nyquistovy charakteristiky 13 Příklady Bodeho a Nyquistovy charakteristiky 14 Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 2 / 65

Historie Historie 1 Alexander Graham Bell (1847-1922) Bell Telephony Laboratories pracovníci Bellových lab. 1 Hendrik Wade Bode (1905-1982) rozložení frekv. charakteristik na dílčí složky a jejich kreslení v logaritmickém měřítku (1938!) 2 Harry Nyquist určení stability zpětnovazebních systémů kritérium stability PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 3 / 65

Definice Definice 1 intenzita zvuku I = P S, [W/m2 ] P je výkon, S plocha poměr intenzit: 10 12!!!!! zavedena logaritmická stupnice log() jednotka = Bel [B] X v praxi používáme 10x menší decibel [db] 10 log() 2 hladina intenzity zvuku L = 10 log I I 0 [-] I 0 je hladina slyšení pro f = 1 khz je 10 12 W/m 2 hladina bolesti pro f = 1 khz je 1 W/m 2 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 4 / 65

Tabulka hladin intenzit Tabulka hladin intenzit zdroj zvuku vzdálenost[m] hladina intenzity [db] tikot hodinek 0.1 20 tichý hovor 1 40 normální hovor 0.1 60 křik 0.1 80 orchestr 3-5 80 motorové vozidlo 10 90 startující letadlo 10 110 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 5 / 65

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Astatický systém (např. zesilovač) se třemi zlomy ve frekvenční charakteristice K H(s) = s(s + 1) 2 Frekvenční charakteristika je to astatický systém(viz přednáška 5) pól v počátku!!! takže lze očekávat nekonečné statické zesílení H(0) = a tím nekonečnou hodnotu odezvy na 1 skok v nekonečnu PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 6 / 65

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému CO S TÍM????? PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 7 / 65 Odezva na 1 skok Odezva systému na 1 skok ALE, ALE podezření se potvrdilo

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Vliv velikosti zesílení a zpětné vazby na stabilitu systému Řešení se nabízí zavedeme zápornou zpětnou vazbu a zesilovač zkrotíme Zesilovač je běžně používán ve zpětnovazební 1 síti záporná zpětná vazba především stabilizuje H(0)!!!!!!!!! a zlepší parametry zesilovače... a dále sníží citlivost na rozptyl hodnot součástek změny parametrů vlivem teploty a stárnutí 1 Nakreslit zapojení PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 8 / 65

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Vliv velikosti zesílení a zpětné vazby na stabilitu systému Shrnutí: máme zesilovač, který má nekonečné zesílení pro nulový kmitočet (astatický systém), ale nemůžeme jej použít bez zpětné vazby Otázka: jaké hodnoty může nabývat zesílení 2 K, aby při zavedení zpětné vazby byl systém (zesilovač) stabilní? Názor selského rozumu: čím větší bude hodnotak, tím větší zesílení získáme a zesilovač bude více zesilovat... a bude HEJ OPRAVDU je to tak? 2 Reálné zesilovače mohou mít tuto hodnotu větší než 10 6 - ale tato hodnota platí pro frekvence blízké nule PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 9 / 65

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Vliv velikosti zesílení a zpětné vazby na stabilitu systému Přenos systému bez záporné zpětné vazby H(s) = K s(s + 1) 2 Póly: p 1 = 0, p 2 = 1, p 3 = 1 vadí nám pól v nule! Přenos systému se zápornou zpětnou vazbou po dosazení H ext (s) = KH(s) 1 + KH(s) H ext (s) = K s 3 + 2s 2 + s + K PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 10 / 65

Vliv zpětné vazby na stabilitu systému Vliv velikosti zesílení a zpětné vazby na stabilitu systému Přenos systému se zápornou zpětnou vazbou H ext (s) = K s 3 + 2s 2 + s + K a nyní polohy pólů pro různé hodnoty zesílení K Póly pro K = 0.1: p 1 = 1.2796, p 2 = 0.5874, p 3 = 0.1330 - systém stabilní :-) Póly pro K = 2: p 1 = 2, p 2 = i, p 3 = i - systém osciluje :-O Póly pro K = 10: p 1 = 2.8675, p 2 = 0.4337 + 1.8164i, p 3 = 0.4337 1.8164i - systém nestabilní :-( Závěr: zpětná vazba mění polohu pólů v závislosti na zesílení K Nicméně toto jsme spočítali ale nezměřili!!!!!!!! PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 11 / 65

Geometrické místo kořenů Geometrické místo kořenů 3 Polohy pólů zpětnovazebného systému pro zesílení K (0, 10) 3 root locus PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 12 / 65

Geometrické místo kořenů Ilustrace změny frekvenční charakteristiky po zapojení zpětné vazby pro K = 10 Frekvenční (Bodeho charakteristika pro K = 10 - tuto charakteristiku jsme spočítali, ale neumíme ji změřit!!!! PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 13 / 65

Geometrické místo kořenů Měření frekvenční charakteristiky Celkový přenos systému, jakož i polohu jeho pólů, neumíme změřit při zapojené zpětnovazební smyčce Měřit lze pouze frekvenční charakteristiku rozpojené zpětnovazební smyčky Jak ale zjistit, zda systém při zapojené zpětnovazební smyčce bude kmitat? To umíme vyčíst z tvaru frekvenční charakteristiky a umíme i zjistit, jakou máme jistotu, že systém nebude nestabilní - používáme amplitudovou a fázovou jistotu/bezpečnost PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 14 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Amplitudová a fázová bezpečnost A nyní měříme na rozpojené smyčce, měříme tedy původní přenos H(s) = K K = s(s+1) 2 s 3 +2s 2 +s pro různá K - zde K = 0.1 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 15 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Amplitudová a fázová bezpečnost Charakteristiky 4 pro zpětnovazebný systém se zesílením K = 2 4 POZOR: Nyquistova křivka protíná bod -1 - to znamená, že fáze přenosu celé smyčky je 180 0 a zesílení je 1!!!!!! při záporné zpětné vazbě 180 0 to znamená, že došlo ke KLADNÉ zpětné vazbě 180 0 180 0 = 360 0 a systém je nestabilní (zde je to mez stability tedy pro K < 2 je celý systém stabilní) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 16 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Amplitudová a fázová bezpečnost Charakteristiky pro systém se zesílením K = 10 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 17 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Detail charakteristik pro systém se zesílením K = 10 komplexní frekvenční charakteristika protíná zápornou reálnou osu vlevo od -1 To znamená, že fáze je 180 0 a modul přenosu > 1 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 18 / 65 Amplitudová a fázová bezpečnost

Amplitudová a fázová bezpečnost Amplitudová a fázová bezpečnost Nyquistova charakteristika pro zpětnovazebný systém se zesílením K = 10 kladné i záporné frekvence PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 19 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Odezva na 1 skok Odezva zpětnovazebního systému na 1 skok pro K = 0.1 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 20 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Odezva na 1 skok Odezva zpětnovazebního systému na 1 skok pro K = 1.9 póly leží vlevo od imaginární osy systém klasifikujeme jako stabilní Modul přenosu zpětnovazební smyčky < 1, proto systém sice kmitá, ale kmity odezní Problém: tyto zákmity se objeví při KAŽDÉ rychlé změně amplitudy vstupního signálu PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 21 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Odezva na 1 skok Odezva zpětnovazebního systému na 1 skok pro K = 2 KRÁSNÝ OSCILÁTOR ale my chtěli zesilovač!!! PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 22 / 65

Amplitudová a fázová bezpečnost Odezva zpětnovazebního systému na 1 skok pro K = 10 NO NEKUPTE TO!!! PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 23 / 65 Odezva na 1 skok

Úvod - Bodeho charakteristiky Úvod kreslení a převádění frekvenčních charakteristik PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 24 / 65

Úvod - Bodeho charakteristiky Úvod Logaritmické pravítko - ilustrace logaritmické stupnice PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 25 / 65

Úvod - Bodeho charakteristiky Úvod Násobení pomocí logaritmického pravítka - oktáva (dvojnásobek hodnoty - v log. měřítku má konstantní hodnotu: viz 1 2 a 2 4) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 26 / 65

Úvod - Bodeho charakteristiky Odvození frekvenční charakteristiky I. Přenosová funkce - rozklad na kořenové činitele H(s) = e st D b 2s 2 + b 1 s + b 0 s 2 + a 1 s + a 0 = Ce st D (s s 1)(s s 2 ) (s p 1 )(s p 2 ), kde C je konstanta, e st D je obraz zpoždění signálu beze změny tvaru, s i jsou nuly a p i jsou póly, výrazy (s s i ) kořenové činitele II. Frekvenční charakteristika H(jω) = Ce jωt D (jω s 1)(jω s 2 ) (jω p 1 )(jω p 2 ) = Ke jωt D (jωτ 1 + 1)(jωτ 2 + 1) (jωτ p1 + 1)(jωτ p2 + 1), kde K je konstanta, τ i = 1/s i, τ pi = 1/p i člen e jωt D zpoždění signálu o t D je obraz PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 27 / 65

Úvod - Bodeho charakteristiky Bodeho tvar frekvenční charakteristiky H(jω) = Ke jωt D (jωτ 1 + 1)(jωτ 2 + 1) (jωτ p1 + 1)(jωτ p2 + 1), Pozn1.: tento tvar se používá Pozn2.: Alternativně lze Bodeho charakteristiku psát ve tvaru H(jω) = Ke jωt D (jω/ω 1+1)(jω/ω 2 +1) (jω/ω p1 +1)(jω/ω p2 +1) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 28 / 65

Úvod - Bodeho charakteristiky Modul a fáze Modul H je dán součinem kořenových činitelů v čitateli a podílem kořenových činitelů ve jmenovateli H(jω) = K (jωτ 1 + 1)... (jωτ p1 + 1)... Fáze H je dána součtem a rozdílem fáze dílčích členů arg(h(jω)) = arg((jωτ 1 + 1)) arg((jωτ p1 + 1)) ωt D... Použití logaritmu násobení a dělení modulů kořenových činitelů přejde na sčítání a rozdíl logaritmů log( H(jω) ) = logk + log (jωτ 1 + 1) + log (jωτ 2 + 1) log (jωτ p1 + 1) log (jωτ p2 + 1) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 29 / 65

Bodeho frekvenční charakteristiky základních členů Bodeho frekvenční charakteristiky základních členů Typické členy ve frekvenční charakteristice konstanta nula (pól) v počátku K (jω) ±n, kde n je násobnost pólu, +n platí pro nulu, n platí pro pól reálná nula (pól) (1 + jωτ 1 ) ±n komplexně sdružené nuly (póly) - kvadratický člen (1 + j2ζω/ω 0 ω 2 /ω0) 2 ±n PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 30 / 65

Logaritmické frekvenční charakteristiky Logaritmické frekvenční charakteristiky konstanta 20log K [db], arg(k) = 0, nula (pól) v počátku ±n20log(ω), reálná nula (pól) ±n20log (ωτ) 2 + 1, arg( K) = π arg(jω) ±n ) = ±π/2 arg(jωτ 1 + 1) = ±n arctan (ωτ) v tomto případě používáme asymptotickou aproximaci: ±n20log(1) = 0 pro ωτ < 1, ±n20log(ωτ) pro ωτ > 1 celková změna fáze je ±nπ/2 kvadratický člen H(jω) = ±20n log 1 + j2ζω/ω 0 ω 2 /ω 2 0 v tomto případě se objeví rezonanční převýšení v závisloti na hodnotě ζ Pozn1.: výraz ±n20log(ω) nebo ±n20log(ωτ) je v logaritmických souřadnicích přímka se směrnicí ±n20 db na dekádu (dekáda = změna kmitočtu na destinásobek v log. měřítku) Pozn.2: kmitočet ω 0 = 1/τ nazýváme kmitočtem zlomu asymptotické aproximace - v tomto bodě se protínají obě přímky aproximující funkci ±n20log (ωτ) 2 + 1 Pozn3.: pro kvadratický člen používáme asymptotickou aproximaci jako u reálné nuly - směrnice přímky je v tomto případě ±40n db/dekádu, změna fáze je ±nπ PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 31 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika kladné konstanty K = 1, bode([1],[1]) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 32 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika záporné konstanty K = 1, bode([-1],[1]) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 33 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika nuly v počátku H(jω) = jω, ideální derivační člen, bode([1 0],[1]) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 34 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika pólu v počátku H(jω) = 1 jω, ideální integrační člen, bode([1],[1 0]) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 35 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika reálné nuly H(jω) = 1 + jωτ, bod zlomu 5 má hodnotu 1 [rad/s], bode([1 1],[1]) 5 V bodě zlomu je chyba aproximace 3 db, na dvojnásobném kmitočtu 1 db, na desetinásobném kmitočtu 0.04 db PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 36 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika reálného pólu H(jω) = 1 1+jωτ, bode([1],[1 1]) PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 37 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika kvadratického členu 1 H(jω) = pro ζ (0.05, 1), největší převýšení H a nejstrmější průběh fáze 1+s2ζ/omega 0 +s 2 /omega0 2 nastává pro ζ = 0.0 - ale v obrázku zobrazen průběh pouze do ζ = 0.05, tedy největší převýšení v obrázku je pro ζ = 0.05 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 38 / 65

Příklady průběhů Bodeho log. frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika kvadratického členu 1 H(jω) = pro ζ = 0.1 1+s2ζ/omega 0 +s 2 /omega0 2 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 39 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky Existují dvě základní možnosti 6 1 konstrukce dílčích částí a jejich součet 2 postupná konstrukce: určíme všechny časové konstanty systému (= kmitočty zlomu) a zakreslíme do grafu tím získáme hranice dílčích frekvenčních pásem 7 pro dané frekveční pásmo 8 vybereme příslušný dominantní člen z přenosové funkce (konstanta/nula/pól) kreslíme přímku se směrnicí určenou tímto dominantním členem: začneme na příslušné hranici vlevo a pokračujeme až k další hranici vpravo Ukázat Bodeho pro astaticky/integracni a derivacni system - viz pred 5 - kresleni asymptot nam muze zpusobovat potize 6 Viz následující příklad 7 První kmitočet zlomu je pravou hranicí prvního pásma 8 Začínáme od nejnižšího kmitočtu blízko 0: počátek prvního pásma určuje právě tento kmitočet, konec pásma je dán prvním kmitočtempszlomu určeným v prvním kroku Předmět (= hranice A3B31TES/Př. vpravo) 7 březen 2015 40 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky Příklad Bodeho charakteristiky Pro přenos a s+0.1 H(s) = 10 s 2 +11s+10 A. Frekvenční charakteristika pomocí funkce Bode ne asymptotická B. Asymptotická konstrukce frekvenční charakteristiky a Na přednášce další dva příklady H(s) = 10 s+1 a H(s) = 100 s s+10 s+10 num=10*[1 0.1]; den1=[1 1]; den2=[1 10]; den=conv(den1,den2); H=tf(num,den) figure(1) bode(h) grid figure(2) pzplot(h) % vypis ML % Transfer function: % 10 s + 1 % % sˆ2 + 11 s + 10 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 41 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky A. Bodeho charakteristika pomocí funkce bode v MATLABu PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 42 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky Nuly a póly PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 43 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky Asymptotická Bodeho konstrukce 9 9 Pomocí programu z http://www.swarthmore.edu/natsci/echeeve1/ref/lpsa/bode/bodefiles.html, který generuje dílčí průběhy a ty následně sčítá PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 44 / 65

Konstrukce asymptotické Bodeho charakteristiky... a detail sčítání dílčích průběhů Pozn.: První zlom je na frekvenci 0.1 rad/s = pravá hranice prvního pásma. Graf začíná na frekvenci bližší k nule (0.005 rad/s), která vymezuje začátek prvního frekvečního pásma PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 45 / 65

Vztah Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Vztah Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Nyquistova charakteristika = charakteristika v komplexní rovině Bodeho charakteristika: vynášíme modul nebo fázi v závislosti na frekvenci Nyquistova charakteristika 10 : vynášíme imaginární část frekvenční charakteristiky proti reálné Použití frekvenční charakteristiky: 1 BODE určení přenosových vlastností systému (modul, fáze) lze určit odezvu na sinusové buzení amplitudová a fázová bezpečnost 2 Nyquist určení stability systému (obecnější než Bodeho přístup) výhodné: ze změřeného přenosu systému s otevřenou zpětnovazební smyčkou lze usuzovat na stabilitu systému s uzavřenou smyčkou 10 Body Nyquistovy charakteristiky lze považovat za koncové body vektorů me jφ o velikosti m dané modulovou Bodeho charakteristikou a úhlem φ odečteným z fázové Bodeho charakteristiky PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 46 / 65

Vztah Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Konstrukce Nyquistovy charakteristiky pomocí polárního tvaru kopmlexních čísel PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 47 / 65

Příklady Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Vztah Bodeho a Nyquistovy charakteristiky PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 48 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Bode: 1 frekvenční vlastnosti systému a určení parametrů odezvy na sinusové buzení 2 určení stability 11 amplitudová (GM) i fázová (PM) bezpečnost: GM 12 se určuje pro frekvenci kde fáze je π (tedy 180 o ) je to doplněk k jednotkovému přenosu PM se určuje pro frekvenci kde zisk (modul přenosu) je roven 1 (0 db) je to doplněk k fázi ( π) Nyquist: 1 určení stability z přenosu rozpojené zpětnovazební smyčky 11 Kritické hodnoty z hlediska stability: H(jω) = 1 a arg(h(jω)) = φ = π 12 Příklad na přednášce PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 60 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Příklad oscilátoru kyvadlo póly: s 1,2 = ±jω 0 = ±j1 Frekvenční charakteristika pro uzavřenou zpětnovazební smyčku PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 61 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Simulace kyvadla oscilátoru Příklad oscilátoru simulace s nenulovou poč. podmínkou a a V tomto případě NELZE použít přenosovou funkci Transfer Fcn, neboť potřebujeme nenulovou poč. podmínku PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 62 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Bodeho a Nyquistova charakteristika pro otevřenou zpětnovazební smyčku kyvadla PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 63 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Jak číst Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Významné body Bodeho a Nyquistovy charakteristiky - pomoc při identifikaci systémů: Př. Pro funkci H(s) = K 1 (s+s 0 ) 2 K (jωτ+1) 2 = K (jω/ω 0 +1) 2, K = 1, s 0 = 1/tau = ω 0 = 0.1 vykreslíme Bodeho a Nyquistovu charakteristiku všimněte si korespondencí mezi parametry funkce a vyznačenými body v obou charakteristikách. Je zřejmé, že statické zesílení pro nulový kmitočet K i kmitočet zlomu ω 0 lze z obou charakteristik snadno odečíst Program: K=1; pol=0.1; H1=tf(K,[1/pol 1]) H=1/K*series(H1,H figure(3) bode(h) grid figure(4) nyquist(h) odezva MATLABU Transfer function: 1 10 s + 1 Transfer function: 1 100s 2 + 20s + 1 PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 64 / 65

Použití Bodeho a Nyquistovy charakteristiky Jak číst Nyquistovy charakteristiky PS Předmět A3B31TES/Př. 7 březen 2015 65 / 65