Polynomy a racionální lomené funkce

Transkript

1 Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových činitelů Geometrický význam reálných kořenů 2 Racionální lomená funkce William George Horner

2 Polnom Definice (polnom) Polnomem stupně n rozumíme funkci tvaru P n () = a n + a 1 n a n 1 + a n, kde a, a 1,..., a n R, a a n je celé číslo. Čísla a, a 1,..., a n nazýváme koeficient polnomu. n se nazývá stupeň polnomu. Poznámka Polnom stupně je konstantní funkce, např. P () = 3 1 je lineární funkce, např. P 1 () = je kvadratická funkce, např. P 2 () = Graf polnomu n = n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

3 Lineární funkce Polnom stupně 1 je lineární funkce tvaru = a + b, grafem je přímka. = = Průsečík s osami souřadnic: = = 2 [, 2] 2 3 = = = 2 3 [ 2 3, ] Kvadratická funkce Polnom stupně 2 je kvadratická funkce tvaru = a 2 + b + c, grafem je parabola. = doplnění na čtverec = = ( 2) V = [2, 1] 3 Průsečík s osami souřadnic: = = + 3 [, 3] = = = 1, 2 = 3 [1, ], [3, ] V

4 Kořen polnomu Definice (kořen polnomu) Číslo c se nazývá kořen polnomu P n (), jestliže P n (c) =. Pravíme též, že c je kořenem algebraické rovnice P n () =. Za kořen polnomu považujeme obecně komplení číslo. 1 Čísla c 1 = 1 a c 2 = 3 jsou kořen polnomu P 3 () = , nebot P 3 (1) = a P 3 ( 3) =. Číslo c 3 = 2 není kořenem, protože P 3 (2) = Polnom P 2 () = má právě dva kořen c 1 = +i a c 2 = i. Věta Číslo c je kořenem polnomu P n () stupně n, právě kdž eistuje polnom Q n 1 () stupně n 1 takový, že platí P n () = ( c).q n 1 (). Výraz ( c) se nazývá kořenový činitel polnomu P n (). Číslo c je kořenem polnomu, právě kdž lze tento polnom beze zbtku vdělit kořenovým činitelem ( c). Polnom P 3 () = s kořen c 1 = 1, c 2 = 1, c 3 = 3 zapíšeme P 3 () = ( 1)( ) ( ) : ( 1) = ( 3 2 ) (4 2 4) 3 3 (3 3)

5 (pokračování) P 3 () = ( + 1)( ) ( ) : ( + 1) = ( ) ( ) 3 3 ( 3 3) ( ) : ( + 3) = 2 1 ( ) 3 ( 3) P 3 () = ( + 3)( 2 1) Rozklad na kořenové činitele: P 3 () = ( 1)( + 1)( + 3). Definice (násobnost kořene) Číslo c je k-násobným kořenem polnomu P n () stupně n, právě kdž eistuje polnom Q n k () takový, že platí P n () = ( c) k.q n k (), kde Q n k () je polnom stupně n k a c není jeho kořenem. Násobnost kořene c udává, kolikrát je možné vdělit daný polnom beze zbtku kořenovým činitelem ( c). Kořen s násobností 1 se nazývá jednoduchý kořen. Polnom P 4 () = s dvojnásobným kořenem c 1,2 = 2 lze zapsat P 4 () = ( 2) 2 ( 2 + 1).

6 Základní věta algebr Věta (Základní věta algebr) Polnom stupně n má právě n kořenů (včetně kompleních), přičemž každý k-násobný kořen považujeme za k kořenů. Kořen mohou být jednoduché, vícenásobné; reálné nebo komplení. Má-li polnom komplení kořen a + bi, a, b R, b, pak má také kompleně sdružený kořen a bi, přičemž násobnosti obou kořenů jsou stejné. Komplení kořen polnomu se ted vsktují vžd po dvojicích. Součin kořenových činitelů odpovídajících dvojici komleně sdružených kořenů lze po úpravě napsat ve tvaru kvadratického trojčlenu s reálnými koeficient. ( (a + bi))( (a bi)) = = 2 + p + q Počet reálných kořenů polnomu stupně n je bud n nebo o sudý počet menší (tj. o počet kompleně sdružených kořenů). Polnom lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Naproti tomu polnom sudého stupně nemusí mít žádný reálný kořen. Kvadratický polnom P 2 () = a 2 + b + c a > a < Kořen kvadratického polnomu P 2 () = a 2 + b + c získáme řešením kvadratické rovnice a 2 + b + c = 1,2 = b ± D kde D = b 2 4ac 2a D > dva různé reálné kořen, D = jeden dvojnásobný reálný kořen, D < dvojice kompleně sdružených kořenů

7 Rozklad na součin kořenových činitelů Věta (Rozklad na součin kořenových činitelů) V reálném oboru lze polnom P n () rozložit na součin kořenových činitelů P n () = a ( c 1 ) k 1.( c 2 ) k 2... ( c m ) k m.( 2 +p 1 +q 1 ) l 1... ( 2 +p r +q r ) l r, kde c 1, c 2,..., c m jsou všechn různé reálné kořen s násobnostmi k 1, k 2,..., k m a všechn kvadratické polnom 2 + p 1 + q 1,..., 2 + p r + q r mají kompleně sdružené kořen s násobnostmi l 1,..., l r. k k m + 2l l r = n V reálném oboru jsou činitelé v rozkladu polnomu lineární ( c) nebo kvadratické ( 2 + p + q) (kde D = p 2 4q < ), a to ( c), jde-li o jednoduchý reálný kořen c ( c) k, jde-li o reálný kořen c násobnosti k ( 2 + p + q), jde-li o jednoduché kompleně sdružené kořen ( 2 + p + q) l, jde-li o kompleně sdružené kořen násobnosti l Napište všechn kořen polnomu P () = 3 ( + 1) 2 ( 4)( ). Stupeň polnomu je n = = 8, má ted 8 kořenů. 3 c 1,2,3 = trojnásobný kořen ( + 1) 2 c 4,5 = 1 dvojnásobný kořen 4 c 6 = 4 jednoduchý kořen c 7,8 = 2 ± 4 12 = 2 ± = 1 ± 2 i kompleně sdružené kořen = 2 ± 2 2 i 2 =

8 Geometrický význam reálných kořenů Poznámka Reálné kořen polnomu jsou průsečík grafu tohoto polnomu s osou. Kořen liché násobnosti - polnom mění znaménko v tomto bodě. Kořen sudé násobnosti - polnom nemění znaménko v tomto bodě. P 6 () = ( + 2) 2 ( 1) c 1 = 2: jednoduchý kořen c 2,3 = : dvojnásobný kořen (dotk - lokální etrém) c 4 = 1: trojnásobný kořen (inflení bod) Racionální lomená funkce Definice (racionální lomená funkce) Necht P n () je polnom stupně n a Q m () je nenulový polnom stupně m. Funkce tvaru R() = P n() Q m () se nazývá racionální lomená funkce, a to rze lomená, je-li n < m, nerze lomená je-li n m. Racionální funkce R() = je nerze lomená, protože 3 > 2, racionální funkce R() = racionální funkce R() = je nerze lomená, protože 3 = 3, je rze lomená, protože 3 < 5.

9 Věta Každou nerze lomenou racionální funkci lze vjádřit jako součet polnomu a rze lomené racionální funkce. Provedeme dělení polnomů P n () : Q m () (1) Racionální funkci nerze lomenou R() = součtu polnomu a funkce rze lomené. napište ve tvaru ( ) : ( 2 + 1) = 2 1 ( ) ( 2 + 1) 4 Ted = (2) R() = ( ) : ( 2) = ( ) ( ) 3 ( 2) =