Diplomová práce. Použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Inženýrská informatika a automatizace

Transkript

1 Diplomová práce Použití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů Vypracoval: Vedoucí práce: Obor: Specializace: 6 Miroslav Kij Ing. Olga Davidová, Ph. D Inženýrská informatika a automatizace Automatizace

2

3 Strana 3 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav: Automatizace a informatika Akademický rok 5/6 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE pro: Miroslava KIJE který/která studuje v magisterském studijním programu obor: M397 Inženýrská informatika a automatizace Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č./998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VU v Brně určuje následující téma diplomové práce: POUŽIÍ FREKVENČNÍCH CHARAKERISIK PŘI ANALÝZE A SYNÉZE REGULAČNÍCH OBVODŮ a anglickém jazyce: Analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic Stručná charakteristika problematiky úkolu diplomové práce: K řešení analýzy a syntézy regulačních obvodů lze použít také metody, které využívají frekvenční charakteristiky. Cílem diplomové práce je provést jednak ucelený přehled těchto metod a jednak je aplikovat na příkladech. Doporučená osnova práce:. Popsat frekvenční charakteristiky spojitých a diskrétních systémů. Zpracovat metody stability regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 3. Zpracovat metody syntézy regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 4. Vybrané metody uvést na příkladech

4 Strana 4 Rozsah grafických prací: --- Rozsah průvodní zprávy: cca 6 stran Seznam odborné literatury: Balátě, J. Automatické řízení. Praha : Nakladatelství BEN-technická literatura, s. ISBN Kachaňák, A. eória automatického riadenia II. Bratislava : Edičné středisko SVŠ v Bratislavě, s. Kubík, S., Kotek, Z., Strejc, V. & štacha, J. eorie automatického řízení I - Lineární a nelineární systémy. Praha : SNL Praha, s. Švarc, I. eorie automatického řízení I. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 99. s. ISBN Švarc, I. eorie automatického řízení II. Brno : Vysoké učení technické v Brně, s. ISBN Švarc, I. Automatizace - Automatické řízení. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 5. 6s. ISBN Švec, J. Šiška, I. & Vavřín, P. eorie řízení I - Lineární systémy. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 98. 8s. Zítek, P., Hofreiter, M. & Hlava, J. Automatické řízení. Praha : ČVU Praha,. 48s. ISBN Vedoucí diplomové práce: Ing. Olga Davidová, PhD. ermín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 5/6. V Brně dne. listopadu 5 L.S. Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, PhD. ředitel ústavu Prof. Ing. Josef Vačkář, CSc. děkan

5 Strana 5 ANOACE Diplomová práce je zaměřena na analýzu a syntézu regulačních obvodů s využitím frekvenčních charakteristik. Zabývá se zjišťováním stability spojitých a diskrétních regulačních obvodů a rovněž návrhem optimálních parametrů regulátoru z hlediska kvality regulace, a to vše za pomocí frekvenčních charakteristik. ANNOAION he diploma work is focused on the analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic. It is dealt with pinpoint stability of the uninterrupted and unobtrusive control systems and also the proposition of the optimum parameters of the regulator from the aspect of the regulation quality, and that all by means of the frequency characteristics.

6

7 Strana 7 PODĚKOVÁNÍ Na úvod mé diplomové práce bych rád poděkoval mé vedoucí práce Ing. Olze Davidové, Ph.D, za poskytnutí studijních podkladů, absolvování přínosných konzultací s cennými radami a připomínkami, čímž mě vytvořila optimální podmínky pro její vypracování.

8

9 Strana 9 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně dle rad a pokynů vedoucího diplomové práce, s použitím odborné literatury a článků uvedených na internetových stránkách

10

11 Strana OBSAH Seznam použitých symbolů...3 Úvod...5 Analýza a syntéza Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Frekvenční popis spojitých systémů Frekvenční přenos Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Logaritmické frekvenční charakteristiky Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami Stabilita regulačních obvodů Michajlov-Leonhardovo kritérium Nyquistovo kritérium Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami Ukazatele kvality regulace Frekvenční metody syntézy Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu Sériové korekční členy Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky.4 4 Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Frekvenční popis diskrétních systémů Frekvenční přenos Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Logaritmická frekvenční charakteristika Analýza diskrétních systému frekvenčními metodami Stabilita regulačních obvodů Michajlov-Leonhardovo kritérium Nyquistovo kritérium Syntéza diskrétních systémů frekvenčními metodami ypizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik Použití vybraných metod na příkladech Příklady pro spojité regulační obvody Michajlov-Leonhardovo kritérium Nyquistovo kritérium Příklady pro diskrétní regulační obvody Michajlov-Leonhardovo kritérium Nyquistovo kritérium Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik Závěr...69 Seznam použité literatury...7

12

13 Strana 3 SEZNAM POUŽIÝCH SYMBOLŮ a činitel autoregulace a i koeficient jmenovatele přenosu A w modul (amplituda) kmitočtového přenosu řízení uzavřeného regulačního obvodu A r rezonanční převýšení A amplituda e regulační odchylka e (t) trvalá regulační odchylka G přenos rozpojeného regulačního obvodu G R přenos regulátoru G S přenos regulované soustavy k zesílení rozpojeného regulačního obvodu k opt optimální zesílení rozpojeného regulačního obvodu n stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu r proporcionální složka regulátoru r derivační složka regulátoru r - integrační složka regulátoru t r doba regulace t max čas perioda kmitů přechodové charakteristiky 95 doba, za kterou přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% ustálené hodnoty d dopravní zpoždění D derivační časová konstanta I integrační časová konstanta v poruchová veličina w řídicí veličina y regulovaná veličina y hom homogenní rovnice y max maximální překmit y part partikulární integrálγ fázová bezpečnost δ amplitudová bezpečnost ϕ fáze frekvenčního přenosu ω úhlová frekvence používaná pro spojité systémy ω d šířka pásma používaná pro spojité systémy ω d fázové zpoždění ω ř úhlová frekvence řezu používaná pro spojité systémy ω r rezonanční frekvence používaná pro spojité systémy ω h šířka pásma propustnosti používaná pro spojité systémy Ω úhlová frekvence používaná pro diskrétní systémy frekvence řezu používaná pro diskrétní systémy Ω ř

14

15 Strana 5 ÚVOD Bavíme-li se o regulačních obvodech, pak nedílnou součástí se stává posuzování (analýza) jejich stability, tj. schopnosti obvodu ustálit se a vykazovat tak správnou funkci. Pro zjišťování této stability využíváme několika metod. V této práci se zaměřím na metody využívající frekvenční charakteristiky. Aby byla jasná podstata, je nejprve potřeba rozebrat frekvenční charakteristiky pro spojité i diskrétní systémy a teprve poté se zaměřit na jednotlivé metody. Rovněž zde uvedu, jakým způsobem se nastavují parametry regulátoru (syntéza). Pro analýzu regulačního obvodu je vypracována řada metod, díky kterým lze snadno určit stabilitu regulačního obvodu, aniž bychom museli provádět složité výpočty, na které v dnešní době využíváme téměř výhradě výpočetní techniku. Pro návrh regulačního obvodu nejsou prozatím vypracovány exaktní metody, které by jednoznačně vedly k cíli. Stále zde tedy hraje důležitou roli intuice plynoucí ze zkušenosti a citu navrhovatele. V drtivé většině spočívá metoda návrhu v přímé extrapolaci nebo interpolaci z již realizovaných a vyzkoušených řešení. V oblasti syntézy je však zpracována celá řada dobře využitelných metod. Rozhodující je, aby bylo dosaženo převedení požadavků na regulační obvod, které formuluje provozovatel, konstruktér a projektant regulovaného projektu na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodných pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků. V poslední době se rozvíjejí metody syntézy regulačních obvodů, u kterých určování vlastností řízeného systému a jeho řízení probíhá podle jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují výchozí přesnou identifikaci řízeného systému a tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. Náplní této diplomové práce je využití frekvenčních charakteristik při analýze a syntéze regulačních obvodů. Vybrané metody analýzy a syntézy pak budou aplikovány na příkladech, kde jednak bude zkontrolována stabilita regulačního obvodu a také budou navrženy parametry jednotlivých regulátorů (P, I, PI, PD, PID). Výsledky budou prezentovány formou tabulek a grafů a následně vysvětlujícím textem se závěrem o stabilitě či nestabilitě regulačního obvodu a s výsledkem návrhu parametrů regulátoru.

16

17 Strana 7 ANALÝZA A SYNÉZA I přesto, že je v úvodu (kap. ) naznačen popis pojmů analýza a syntéza, zdá se být na místě uvést podrobnější popis, který nás hlouběji vtáhne do problematiky a pomůže nám pochopit níže popsané skutečnosti. Analýza a syntéza patří mezi základní a nejčastěji užívané vědecké metody. Původní význam řeckého slova analýza znamenalo rozložení nějakého komplexu na části a syntéza měla význam spojení rozmanitostí k jednotě v celku. Z metodologického hlediska jsou tato slova používána ve smyslu metod k získávání nových poznatků, nebo ve smyslu metody výkladu poznatků. Syntéza je proti analýze proces opačný, nebo doplňující. Jde o sjednocování, složení nějakého předmětu, jevu či procesu z jeho základních prvků ať již myšlenkově, či fakticky v nějaký celek. oto sjednocování nemusí být jen u jednotlivých částí, které byly předtím vyděleny analýzou. Syntéza má však jako metodologický princip analýzu vždy doplňovat. ím syntéza umožňuje poznání předmětu v jeho úplnosti. Pomocí syntézy nalézáme vztahy nějakého jevu k jiným jevům, zařazujeme jev, nebo proces do většího celku a objasňujeme vztahy a mechanismus funkcí u tohoto jevu. Syntézou lze rozumět také takový proces, při němž hledáme spojováním části v celek takovou strukturu, která by měla námi předem požadované chování. V tomto případě syntéza není pouhou skladbou jednotlivých jevů čí procesů, ale je to zároveň kreace nových celků, případně jejich proměna. Syntéza tedy může být hledáním nejvhodnější varianty dosahované kombinací jednotlivých prvků a jejich vlastností. Jednoduše řečeno pojmem "syntéza" rozumíme stanovení takové struktury a parametrů regulačního obvodu, aby byly splněny požadavky, které klademe na regulační pochod. Syntéza je první etapou návrhu regulačního obvodu. Dalšími etapami návrhu regulačního obvodu je volba jednotlivých členů regulačního obvodu. Při návrhu regulačního obvodu vycházíme z provozních podmínek, kladených na regulační obvod. Do provozních podmínek zahrnujeme např. požadavky na rozměry a hmotnost zařízení (zvláště u létajících objektů - letadel, družic apod.), dále požadavky na pracovní prostředí (vlhkost, agresivita, nevýbušnost), režim provozu (dlouhodobý, krátkodobý), požadavky na typizaci s ohledem na jednoduchost údržby celého zařízení a také požadavky, zda regulační obvod má být složen z přístrojů elektrických, pneumatických nebo hydraulických. Pro tyto fáze návrhu nejsou zatím vypracovány žádné exaktní metody, které by jednoznačně vedly k cíli. Zde stále ještě hraje důležitou roli intuice, zkušenost a konstruktérský cit navrhovatele. V praxi metoda návrhu spočívá především v tom, že přímo extrapolujeme z již realizovaných a vyzkoušených řešení. V otázkách syntézy regulačního obvodu se však můžeme opřít o řadu dobře vypracovaných metod, kterými se zde budeme zabývat. Při syntéze regulačního obvodu je velmi důležité převést požadavky na regulační obvod, které formuluje provozovatel regulovaného objektu (technolog u technologického procesu, pilot letounu apod.), na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodnou pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků. Výchozí předpoklady pro syntézu mohou být zadány různě:. Můžeme volit libovolně strukturu i parametry regulačního obvodu a jsme omezeni jen splněním podmínek fyzikální realizovatelnosti.

18 Strana 8 Analýza a syntéza. Je zadána část struktury i část parametrů regulačního obvodu 3. Je plně zadána struktura a jsou zadány některé parametry regulačního obvodu S případem se v praxi setkáváme zřídka. Vyskytuje se např. při syntéze filtrů. Prakticky všechny úlohy syntézy regulačního obvodu lze zahrnout pod body a 3. Pod bod 3 patří velké množství průmyslových regulací, u kterých lze regulační obvod rozdělit na regulátor a regulovaný systém. Regulátory pro průmyslové regulace se vyrábějí jako univerzální regulátory s pevnou strukturou - obvykle spojitý regulátor PID. Úloha syntézy se zde redukuje pouze na určení nastavitelných parametrů regulátoru. Vhodnost správné volby typu regulátoru ověříme po provedené syntéze regulačního obvodu jeho simulací na matematickém modelu regulačního obvodu a později provozními zkouškami na regulovaném objektu přímo v provozu. Pod bod patří regulační obvody, u kterých neprovádíme rozdělení na regulátor a řízený systém. Jsou to např. servomechanismy, což jsou regulační obvody sloužící k vlečné regulaci polohy nebo jejích derivací. U těchto regulačních obvodů navrhujeme jak jejich strukturu, tak i jejich parametry. ϕ ϕ ovladač servomotor ϕ ϕ Obr.. - Polohový servomechanismus Servomechanismus je tedy regulační obvod, který je tvořen tzv. ovládačem a servomotorem s převodovkou (obr..). Ovladač působící na servomotor je tvořen výkonovým zesilovačem, předzesilovačem s korekcemi a měřícím členem. Při návrhu servomechanismu navrhujeme všechny jeho členy. Servomotor a jeho převodovku navrhujeme podle výkonu požadovaného na výstupní hřídeli. ypem servomotoru je určen výkonový zesilovač, kterým u elektrických servomotorů bývá obvykle tyristorový měnič. Volba měřícího členu je ovlivněna požadovanou přesností servomechanismu. Předzesilovač s jeho korekčními členy navrhujeme podle požadavků na dynamické vlastnosti servomechanismu. Při syntéze servomechanismu vycházíme obvykle z daných vlastností výkonového zesilovače, servomotoru s převodovkou a měřícího členu a určujeme vlastnosti předzesilovače s korekcemi. Při syntéze regulačního obvodu potřebujeme znát. vlastnosti regulovaného objektu,. předpokládaný průběh řídicí veličiny, 3. předpokládané průběhy poruchových veličin a místa jejich vstupu do řízeného systému, 4. omezení akčních veličin, 5. požadavky na kvalitu regulace. Vlastnosti regulovaného objektu určujeme buď analýzou objektu, nebo rozborem experimentálně získaných průběhů veličin v objektu. Obě tyto metody identifikace vedou na sestavení matematického modulu - řízeného systému. Přitom se ukazuje, že některá

19 Analýza a syntéza Strana 9 zjednodušení, která provádíme při analýze vlastností objektu, se v uzavřeném regulačním obvodu nepříznivě projeví tím, že model a reálný objekt se v uzavřeném regulačním obvodu chovají odlišně. Proto jsou výhodné ty metody identifikace, při kterých je identifikovaný objekt zapojen přímo v regulačním obvodu (např. identifikace pomocí adaptivního modelu). Uvedené potíže vedly k tomu, že se v poslední době rozvíjejí syntézy regulačního obvodu, u kterých určování vlastností objektu a jeho řízení probíhá současně podle jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují přesnou identifikaci objektu. yto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. Rozborem fyzikálních jevů, které nastanou během regulačního pochodu, určíme podstatu regulované veličiny i případných poruchových veličin a odhadneme jejich průběh v čase. Fyzikální podstata regulované veličiny bude ovlivňovat volbu čidla, které převádí regulovanou veličinu na signál vhodný k dalšímu zpracování. Časová funkce, podle které se bude měnit regulovaná veličina, bude především ovlivňovat požadavky na kvalitu a přesnost regulace, tj. požadavky na dynamiku regulačního pochodu. Někdy požadujeme, aby regulovaná veličina přesně sledovala řídicí veličinu. Např. u polohových servomechanismů (obr..) požadujeme, aby výstupní poloha ϕ hřídele servomechanismu co nejvěrněji sledovala průběh žádané hodnoty ϕ a vliv poruchových veličin (zatěžovacích momentů) často ani neuvažujeme. Naopak při regulaci teploty, napětí, síťového kmitočtu apod. je často žádaná hodnota trvale konstantní a úkolem regulace je kompenzovat poruchy vstupující do regulovaného objektu. Ve skutečnosti můžou mít žádané hodnoty regulovaných veličin i poruchy vstupující do regulovaného objektu zcela obecný průběh. Pro zjednodušení výpočtu uvažujeme jako vstupní veličiny tzv. typizované funkce, jejichž matematické vyjádření je snadné a z odezvy regulačního obvodu na tyto funkce můžeme soudit na přesnost a kvalitu regulace. Nejčastěji používané typizované funkce jsou jednotkový skok, Diracův impuls, skok rychlosti a zrychlení vstupního průběhu a harmonický průběh. Akční veličina je výstupní veličinou regulátoru a zároveň vstupní veličinou řízeného systému. Velikost akční veličiny je vždy omezena. Omezení akční veličiny je způsobeno jednak tím, že výstupní signál z regulátoru nemůže nabývat libovolně velké hodnoty, a jednak tím, že vstupní signál do regulovaného objektu se může měnit pouze v dovoleném rozsahu, který je dán fyzikální podstatou objektu i ekonomickými omezeními. Omezení jsou v podstatě dvojího druhu. Pro názornost je označíme jako omezení typu "skála" a "propast". Omezení typu "skála" je omezení na dorazech; toto omezení nemůžeme nikdy přesáhnout. Např. regulační ventil má krajní polohy, kdy je plně otevřen nebo uzavřen. Omezení typu "propast" je omezení, jehož překročení může způsobit poruchu zařízení. Proto musíme zajistit, abychom hodnotu tohoto omezení nikdy nepřekročili. Např. napětí nebo proud kotvy motoru nesmí nikdy přesáhnout velikost plynoucí z izolační pevnosti vinutí, popř. jeho přípustného oteplení., Respektování omezení veličin značně komplikuje úlohu syntézy. Proto nejčastěji provádíme syntézu regulačního obvodu bez respektování omezení a potom kontrolujeme, zda při dané velikosti řídicích a poruchových veličin nastane omezení signálů a jak se omezení projeví na dynamických vlastnostech celého regulačního obvodu. [Kubík, 98] Jak již jsme uvedli výše, syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti vychází ze struktury regulačního obvodu, kde není možné respektovat místo a tvar vstupující poruchové veličiny, ale je možno dosáhnout pouze požadovaných frekvenčních vlastností obvodu.

20

21 Strana 3 POUŽIÍ FREKVENČNÍCH CHARAKERISIK U SPOJIÝCH SYSÉMŮ K řízení reálných objektů se rozvíjí metody automatické regulace. Aby tyto metody byly použitelné pro širokou třídu reálných objektů, jsou vytvořeny abstraktní modely reálných objektů, které se nazývají systémy. Abstrakcí velmi široké třídy reálných modelů vznikly spojité systémy, u nichž jsou všechny veličiny funkcemi času t. [Kubík, 98] 3. Frekvenční popis spojitých systémů V této části třetí kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem spojitých regulačních obvodů. Vysvětlím zde, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci frekvenčních charakteristik. 3.. Frekvenční přenos Frekvenční přenos se získá tak, že je na vstup systému přiveden harmonický signál. ypickým harmonickým signálem je sinusový průběh u t) u sin ωt ( (3.) amplituda vstupního signálu úhlová frekvence Na výstupu systému se dostane podle obr. 3. (po odeznění přechodového jevu) opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti vstupnímu signálu posunutý u(t) y(t) y ( t) y sin( ω t ϕ ) (3.) u(t) u t S ϕ y(t) y t Lépe se ale jeví vyjádřit vstupní i výstupní funkci v komplexním tvaru jωt ( t) ue ; j ( ω t ϕ ) ( t) ye (3.3) Obr. 3.

22 Strana Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů o jsou v komplexní rovině vektory, které se otáčí úhlovou rychlostí ω. Poměr těchto vektorů nám definuje frekvenční přenos j( ωt ϕ ) ( t) ye y jϕ G( jω) e jωt ( t) ue u (3.4) kde y u je poměr amplitud a ϕ je fázové posunutí. Základem všeho je důležitý vzorec pro výpočet přenosu z diferenciální rovnice bms G( s) a s n m n... b s b... a s a (3.5) Pro výpočet frekvenčního přenosu z koeficientů diferenciální rovnice lze odvodit následující vztah b G( jω) a m n ( jω) ( jω) m n... b jω b... a jω a (3.6) Vztah je formálně stejný jako vztah (3.5) pro přenos G(s), pouze místo komplexní proměnné s v něm figuruje výraz jω. ím je zároveň dána relace mezi přenosem a frekvenčním přenosem, která spočívá ve formální záměně s za jω eventuálně naopak G ( jω) G( s) G ( s) G( jω) s jω; jω s; (3.7) Zavedení frekvenčního přenosu má velký praktický význam pro řešení regulačních problémů. Frekvenční přenos je základem pro používání frekvenčních metod. Znázornění frekvenčního přenosu ve tvaru frekvenčních charakteristik umožní řešit otázky stability regulačních obvodů, kvalitu regulace i syntézu regulačních obvodů. aké je možno používat experimentálně zjištěné a naměřené frekvenční charakteristiky. 3.. Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Použití frekvenčních charakteristik v komplexní rovině se dá považovat za nejčastější způsob při určování stability regulačních obvodů. Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω) v komplexní rovině, když se za úhlovou frekvenci ω dosazují hodnoty až. [Švarc, ]

23 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 3 Při praktickém sestrojování frekvenční charakteristiky si frekvenční přenos G(jω) ještě v obecném tvaru (před dosazením hodnot ω) upravím na složkový tvar komplexního čísla (rozšířením zlomku číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli). [ G( jω) ] j Im[ G( j )] G ( jω) Re ω Při pohledu na obr. 3.a je možné vidět sestrojení frekvenční charakteristiky ( jω) (3.8) G podle (3.8), kde za ω byla dosazena zvolená čísla. Druhým způsobem, jak lze sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině je z exponenciálního tvaru komplexního čísla (obr. 3.b). Číslo a jb se vyjádří ve složkovém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru. Po úpravách díky Eulerova vztahu [Švarc, ] pro převod goniometrického tvaru na exponenciální se dostaneme vztah G( jω) A( ω) e jϕ (ω ). (3.9) Odvozování Eulerových vztahů zde uvádět nebudu. Uvedu zde pouze dva vztahy. První (3.) v podstatě vyplývá z Pythagorovy věty a slouží k určení velikosti amplitudy A. Druhým vzorcem (3.) zjistím fázi ϕ. Oba údaje se uvádí do tabulky při sestrojování frekvenční charakteristiky v komplexní rovině. A a b b ϕ arctg a (3.) (3.) a) Im b) Im ω ω ω 5 ω a Acosα b Asinα ω Re ω ω ω,5 ω 5 ω G ( jω) G( jω) ω A ϕ ω Re ω ω,5 a jb Obr Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Pro názornost takovou tabulku uvedu a k ní pak sestrojím frekvenční charakteristiku v komplexní rovině. Ke zvoleným hodnotám ω na kalkulačce dopočítám hodnoty Re a Im a výsledky doplním do tabulky 3..

24 Strana 4 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů abulka 3. ω Re(ω) Im(ω) A(ω) ϕ(ω),5,5,.39 -,43,46-7 ',,4 -,74, ',3,83 -,9,3-47 4',4,54 -,95,9-6 8',5,3 -,9, ',7, -,7,7-89 7',8 -,7 -,6, ', -,5 -,45,47-8 6',5 -,6 -,,6-7 5' -, -,,6-39 4' -, -,, -7 33' ω -8 Podle této tabulky pak frekvenční charakteristiku zkonstruuji. Hodnoty ω jsem dosazoval do rovnice, kterou zde neuvádím, ale pro názornost je dobré si ukázat, jak taková tabulka vypadá a hlavně jak vypadá frekvenční charakteristika (obr. 3.3) sestrojená z těchto hodnot. Im,5,8 ω G( jω) Re ω,,,3,5,4 Obr Frekvenční charakteristika v komplexní rovině sestrojená podle tabulky Logaritmické frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině se také někdy nazývá amplitudofázovou frekvenční charakteristikou. Z jednoho bodu této charakteristiky se pro danou frekvenci odečte amplitudu A i fázi ϕ frekvenčního přenosu (3.9)

25 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 5 G( jω) A( ω) e jϕ ( ω ) ím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky, amplitudovou AA (ω) a fázovou ϕϕ (ω), jak je ukázáno na obr Vhledem k úzkému frekvenčnímu pásmu se lineární souřadnice, uvedené na obr. 3.4, příliš nepoužívají. Pokud bych chtěl toto pásmo rozšířit, pak nejdůležitější část charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy by byla nahuštěna v úzkém rozsahu frekvencí [Švarc, ]. aké pracnost konstrukce těchto charakteristik je poměrně velká (stejně jako předchozích charakteristik v komplexní rovině). amplitudo-fázová frekvenční charakteristika v komplexní rovině Im Re A ϕ ω,5 A [ ] ϕ [ ] amplitudová v lineárních souřadnicích A [db],,, ω[/s] fázová v lineárních souřadnicích ϕ [ ] amplitudová v logaritmických souřadnicích, ω[/s] fázová v logaritmických souřadnicích Obr Frekvenční charakteristiky v amplitudových a fázových souřadnicích Proto se začalo upřednostňovat použití těchto charakteristik v logaritmických souřadnicích. Na vodorovné ose obou charakteristik, amplitudové i fázové, je vynesena frekvence v logaritmickém měřítku. ím se dosáhne velkého rozmezí frekvencí ω. U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích se na svislou osu vynáší amplituda frekvenčního přenosu G(jω) a to v jednotkách decibel [db.] A( ω) G( jω) y u e jϕ y u (3.) Decibel je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení. Amplituda A je podíl amplitud výstupního a vstupního sinusového signálu y /u tedy zesílení označené A[dB] vyjádřené vzorcem y (3.3) A [ db] log A[ ] log u U fázových frekvenčních logaritmických charakteristik je fáze vynášena na svislou osu v lineárním měřítku (ve stupních nebo radiánech).

26 Strana 6 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů 3. Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami V této kapitole budou analyzovány vlastnosti spojitých řízených systémů. Budou analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení vlastností a stability systému. Nejprve zde vysvětlím pojem stabilita regulačního obvodu a poté se zaměřím na jednotlivá kritéria stability. 3.. Stabilita regulačních obvodů Stabilita je jedním ze základních požadavků, které se kladou na regulační obvod. Regulační obvod je stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného stavu a odeznění vnějších sil, které tuto odchylku způsobily, se regulační obvod během času znovu vrátí do původního rovnovážného stavu. Jinak řečeno je stabilita vlastnost regulačního obvodu udržet se v okolí rovnovážného stavu nebo se do něj vrátit po odeznění vnějších působících sil. Z hlediska stability se regulační obvod rozlišuje na stabilní, na mezi stability a nestabilní (obr. 3.5). Regulační obvod na mezi stability se obecně považuje za stabilní a vždy se vyžaduje, aby regulační obvod byl za všech okolností stabilní. Zatímco parametry a dynamické vlastnosti regulované soustavy jsou dány konstrukcí soustavy, technologickým procesem apod. a nemůžeme je tudíž měnit, můžeme měnit dynamické vlastnosti regulátoru nastavováním volitelných parametrů regulátoru. ím lze dosáhnout stability (a dalších vlastností) regulačního obvodu. y hom ( t) y hom ( t) ( t) a) b) c) y hom t t t stabilní obvod obvod na hranici stability nestabilní obvod Obr Určení stability regulačního obvodu Jak je uvedeno v [Balátě, 4], nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu uzavřeného lineárního regulačního obvodu je, aby všechny kořeny charakteristické rovnice obvodu měly zápornou reálnou část. Z této definice jasně vyplývá, že aby byl regulační uzavřený lineární obvod stabilní, musí všechny kořeny charakteristické rovnice ležet v levé polorovině komplexní roviny "s" (obr. 3.6). Vzhledem ke skutečnosti, že samotné určení stability je pracné i s použitím výpočetní techniky, protože je zapotřebí vyčíslení kořenů charakteristické rovnice vyššího

27 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 7 než druhého stupně, byla sestavena matematická kritéria, tzv. kritéria stability, která umožňují z charakteristické rovnice určit, zdali jsou její kořeny se zápornou reálnou částí nebo ne, a tím stabilitu obvodu, aniž by se musela daná rovnice řešit. Kritéria stability lze rozdělit na algebraická a frekvenční. Vzhledem k tématu mé práce se budu věnovat jen frekvenčním, mezi něž patří dvě nejpoužívanější, a to Michajlov- Leonhardovo kritérium a Nyquistovo kritérium. nestabilní oblast Im Obr. 3.6 stabilní oblast Re hranice stability 3.. Michajlov-Leonhardovo kritérium Jedná se o frekvenční kritérium, které vychází z charakteristické rovnice uzavřeného regulačního obvodu a s n... (3.4) n a s a Pro označení Michajlov-Leonhardovy křivky se používají symboly N nebo H. V této práci budu používat symbol H. Kritérium hodnotí stabilitu podle křivky, kterou opíše koncový bod charakteristického vektoru H(jω) v komplexní rovině při změně frekvence ω od do ω. Vektor H(jω) vznikne z charakteristické funkce dosazením s jω H n ( jω) an ( jω)... a( jω) a (3.5) ato křivka se nazývá křivkou H(jω) nebo také Michajlovov-Leonhardovou křivkou. (A.V. Michajlov, ruský matematik, jeho práce uveřejněna v roce 938; A. Leonhard, německý technik, práce uveřejněna v roce 943). Křivku H(jω) není nutné vždy kreslit celou, postačí jen vypočítat polohu jejich průsečíků se souřadnými osami. V tom případě se reálná a imaginární část výrazu H(jω) položí rovna nule a z toho se vypočítají frekvence zmíněných průsečíků. Z frekvencí se pak určí jejich poloha a z polohy snadno určíme průběh celé charakteristiky. [Švarc, ] Definice Michajlov-Leonhardova kritéria stability: Uzavřený regulační obvod je stabilní tehdy a jen tehdy, když Michajlova charakteristika H(jω) začíná na kladné reálné poloose [H() a > ] a při změně úhlového kmitočtu ω od do postupně v kladném smyslu (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček) projde n kvadranty (ke n je stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu).

28 Strana 8 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Začíná-li Michajlovova charakteristika H(jω) v počátku souřadnic, pak charakteristický mnohočlen uzavřeného regulačního obvodu H(s) má nejméně jeden nulový kořen a regulační obvod je na nekmitavé mezi stability. Na obr. 3.7 je uveden případ, kdy n 3. Zde je možné pozorovat průběh křivky H ( jω) pro stabilní či nestabilní obvod nebo pro obvod na hranici stability. Im a) b) Im ω H ( jω) ω Re ω H ( jω) ω Re c) Im d) ω H ( jω) Im H ( jω) ω Re ω Re ω e) ω H ( jω) Im ω Re Obr a) stabilní obvod; b) obvod na hranici stability; c), d), e) nestabilní obvod

29 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana Nyquistovo kritérium Budu-li rozebírat toto kritériu, je na úvod potřeba říci, že mezi jeho výhody patří to, že není třeba znát přenos nebo diferenciální rovnici rozpojeného regulačního obvodu, ale stačí vycházet z experimentálně zjištěné frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu. Na rozdíl od algebraických kritérií, kde se zkoumá regulační obvod pouze z pohledu stability, lze za pomoci Nyquistova kritéria určit také kvalitu regulačního obvodu, jednoduše řečeno jak moc je obvod stabilní. Na základě frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu umožňuje Nyquistovo kritérium stability ověřovat stabilitu uzavřeného regulačního obvodu. Frekvenční charakteristika může být k dispozici i v podobě grafu či tabulky získané experimentálně. Nyquistovo kritérium vychází z přenosu rozpojeného regulačního obvodu, který si vyjádřím ve tvaru podílu polynomů G ( s) G ( s) G ( s) S R (3.6) Na obr. 3.8a je ukázka rozpojeného regulačního obvodu. Pokud se na některém místě obvod fiktivně rozpojí, získají se tím samostatné dva regulační členy a také člen s otáčením znaménka v sériovém zapojení. Na vstup se přivede sinusový signál. Na výstupu lze pozorovat stejný signál, který má ovšem jinou amplitudu A a je fázově posunut o hodnotu ϕ. Pokud se fiktivně rozpojený obvod opět spojí, pak kmity, které byly poslány na vstup, se udrží a to i bez opětovného přivedení sinusového signálu. A právě teď se rozhoduje o stabilitě regulačního obvodu. Pokud se totiž tyto kmity po určité době zmírní, jedná se o stabilní regulační obvod. Pokud se naopak zesílí, jedná se o nestabilní regulační obvod. Rozhodujícím případem je posouzení regulačního obvodu na hranici jeho stability. ento případ nastane, pokud je na vstup fiktivně rozpojeného regulačního obvodu přiveden sinusový signál a na výstupu se objeví přesně ten stejný. Jak je vidět na obr. 3.8b, regulační obvod je v sériovém zapojení s G (s) a s členem otáčejícím znaménko. Na výstupu z G (s) je sinusový signál stejný jako na vstupu, se stejnou amplitudou, ale fázově posunutý o 8. Poté je signál přiveden do členu otáčejícího znaménko, kde je znovu posunut o 8 a tím pádem je na výstupu totožný, a to co se týče amplitudy i fázového posunu. Budu-li uvažovat regulační obvod bez členu otáčejícího znaménko a vstupní i výstupní signál bude mít stejnou amplitudu o fázové posunutí o 8, pak frekvenční charakteristika G (s) musí procházet tzv. kritickým bodem [-, ]. Jestliže frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu prochází kritickým bodem [-, ], pak se tedy jedná o obvod na hranici stability. Jestliže při frekvenci, kde je na výstupu signál posunut o 8 oproti vstupu a amplituda výstupních kmitů je větší než vstupních, pak nedochází ke zmírnění signálu a obvod je nestabilní. M N ( s) ( s)

30 Strana 3 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů a) v y G R (s) G S (s) w m m b) m G S (s) G R (s) y -y m G (s) Obr a) rozpojený regulační obvod; b) regulační obvod v sériovém zapojení s G (s) a s členem otáčejícím znaménko Im ω ω Re nestabilní na hranici stability stabilní ( ) jω G Obr Průběhy amplitudo-fázové frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu G (jω)

31 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 3 Pro stabilní rozpojený regulační obvod lze již nyní zformulovat Nyquistovo kritérium stability: Aby byl rozpojený regulační obvod stabilní, pak jeho frekvenční charakteristika G (jω) musí ležet vlevo od kritického bodu [-, ], a to pro frekvence ω od do (obr. 3.9). oto kritérium pojaté pro rozpojený regulační obvod se může použít pouze pro stabilní obvod. U uzavřeného regulačního obvodu nastává určité omezení použitelnosti Nyquistova kritéria. Jmenovatel přenosu N(s) nesmí obsahovat kladné kořeny (kořeny v pravé komplexní polorovině [Švarc, ]). Pak je možné napsat, že je-li rozpojený regulační obvod nestabilní, uzavřený regulační obvod stabilní být může. uto stabilitu lze vyšetřit jen zobecněným Nyquistovým kritériem. Řešení stability obvodu s dopravní zpožděním použitím zjednodušeného Nyquistova kritéria Beru-li v úvahu obvody s dopravním zpožděním, je dobré si stručně vysvětli charakter těchto obvodů. Existují situace, kdy na vstup regulačního obvodu přivedu nějaký signál, ale na výstupu se nic neobjeví. eprve až po uplynutí určité doby se začne výstupní veličina měnit. omuto jevu se říká dopravní zpoždění d. Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním má tvar sd G ( s) e. (3.7) Dopravní zpoždění způsobuje fázové zpoždění o úhel ω d. Modul G (s) se nemění, s. Vyjádřím-li si frekvenční přenos rozpojeného regulačního G d protože modul ( ) obvodu (3.) ve smyslu rovnic (3.8 a 3.9) ( jω) Re[ G( jω) ] j G( jω) G jϕ ( ( ) ( ) ) ω jω A ω e, G Im[ ], j ( ) ( ) ( ) ϕ ω j arg G( jω jω A ω e G( jω) e ), G (3.8) (3.9) (3.) potom frekvenční proces rozpojeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním bude G d [ ]. j ϕ ( ω ) ϕ ( ω ) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) O d j G j G j A e d (3.) Pro zjednodušené Nyquistovo kritérium je podmínkou stability uzavřeného regulačního obvodu bez dopravního zpoždění splnění podmínky

32 Strana 3 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů (3.a) (3.b) Z podmínky (3.b) se určí úhlová frekvence ω (obr. 3.), při které amplitudová a fázová frekvenční charakteristika G (jω) protínají reálnou osu roviny "G (jω)". Při výskytu dopravního zpoždění v regulačním obvodu se vztahy (3.) změní analogicky na (3.3) Při určitém dopravním zpoždění projde frekvenční charakteristika G ( jω) d kritickým bodem [-, ] a uzavřený obvod bude na hranici stability, jak je naznačeno na obr. 3.. Při dalším zvětšování d je obvod již nestabilní, frekvenční charakteristika neponechává bod [-, ] vlevo od svého průběhu. Hodnoty ω a d, při kterých frekvenční charakteristika G ( jω) d Re Im Re Im [ G( jω) ] >, [ G ( jω) ] ω. jωd [ GR ( jω) GS ( jω) e ] jωd G ( jω) G ( jω) e >, [ ] ω. R S prochází kritickým bodem [-, ], se nazývá kritickými hodnotami s označením ω k a dk. Obr K řešení stability uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním zjednodušeným Nyquistovým kritériem Kritický modul má tedy vztah A k Re [ G ( jω )] Im G ( jω ) o k [ ], o k (3.4) a pro kritickou fázi platí: π ϕ ( ω ) ϕ ( ), k k ω d k

33 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 33 Im π arctg Re [ G ( jωk )] [ G ( jω )] k ω k dk. (3.5) Ze vztahu (3.4) vypočítám kritickou úhlovou frekvenci ω k a z kritické fáze ϕ (3.5) kritické dopravní zpoždění dk. ( ) k ω k Jak už jsem uvedl v kapitole 3..3, při zjišťování stability regulačních obvodů využívám i frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. ím se zabývá i Nyquistovo kritérium, které zde uvedu nyní, ale ve zjednodušené formě. Zjednodušené Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích Verzi zjednodušeného Nyquistova kritéria zde uvedu v logaritmických souřadnicích. Předpokladem je, že přenos rozpojeného regulačního obvodu nemá žádný pól v pravé polorovině roviny kořenů "s". Je-li přenos rozpojeného regulačního obvodu ve tvaru tj. s <, s <, s 3, G o ( s) s k O ( s )( s ), (3.6) (nulový pól je zahrnut do levé poloroviny), přitom lze uvažovat relaci koeficientů přenosu (zesílení) k o < k o3 < k o. Amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky přenosu (3.6) jsou zobrazeny v části obr. 3.a. Pro zesílení k přenosu rozpojeného regulačního obvodu je uzavřený regulační obvod stabilní, pro k 3 je na mezi stability a pro k O je uzavřený regulační obvod nestabilní. Rozhodl jsme tak podle polohy bodu [-, ] vzhledem k průběhu jednotlivých amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu. Z obr. 3. vyplývá souvislost průběhů frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích. V části obr. 3.b je amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika, v části obr. 3.c je zakreslena fázová logaritmická frekvenční charakteristika. Frekvenčním bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v komplexní rovině byl bod [-, ]. V tomto bodě modul frekvenčního přenosu rozpojeného regulačního obvodu má hodnotu G O ( jω), (3.7) a fáze má hodnotu ϕ ( ω) 8. V logaritmických souřadnicích si zobrazím odpovídající kritický bod výpočtem [ ] log. A db (3.8)

34 Strana 34 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Jednotková kružnice v komplexní rovině se tedy zobrazí do přímky s hodnotou db (viz obr. 3.b). Fáze má hodnotu stejnou, zůstává nezměněna. Kritickým bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích je bod v amplitudové logaritmické frekvenční charakteristice s amplitudou A[dB] a nazývá se úhlovým kmitočtem řezu ω ř. Při praktické aplikaci teorie automatického řízení je možné narazit na systémy, u kterých je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, tj. n > m. Z toho plyne, že stupeň jmenovatele přenosu rozpojeného regulačního obvodu je vyšší než stupeň čitatele a tedy fáze ϕ má zápornou hodnotu. o je případ i přenosu (3.6), který představuje integrační člen se setrvačností. řádu. Jeho fázová logaritmická frekvenční charakteristika je zobrazena na obr. 3.c. Porovnáním hodnot fáze kritického bodu v částech obr. 3.c a obr. 3.a je vidět, že je možné fázi kritického bodu stanovit na hodnotu ϕ ( ω) 8. (3.9) Potom pro ( ω) > 8 pro ( ω) < 8 ϕ (tj. např. pro 6, ) bude uzavřený obvod stabilní a naopak ϕ (tj. např. pro, ) bude uzavřený regulační obvod nestabilní. Definice stability podle zjednodušeného Nyquistova kritéria v logaritmických souřadnicích Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže pro úhlovou frekvenci řezu ω ř, při které; amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu protíná osu db, bude ϕ ( ω) > 8. Důsledkem je, že amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika protíná osu db vlevo od úhlové frekvence, při němž má fáze hodnotu ϕ ( ω) 8 (viz obr. 3.). Z uvedeného je zřejmá výhoda používání frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. Jestliže vím, že místa lomu amplitudové charakteristiky jsou definována převrácenou hodnotou časových konstant přenosu, snadno poznám, kterou z časových konstant přenosu rozpojeného regulačního obvodu musím změnit, aby uzavřený regulační obvod byl stabilní.

35 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 35 a) b) c) Obr Souvislost zjednodušeného Nyquistova kritéria v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích: a) v komplexní rovině; b) amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika; c) fázová logaritmická frekvenční charakteristika

36 Strana 36 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů 3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami Byla vypracována celá řada metod syntézy regulačního obvodu. Jedny z metod tvoří klasické metody syntézy pomocí frekvenčních charakteristik. yto metody se používají pro syntézu struktury i parametrů regulátorů v regulačních obvodech. Při syntéze regulačního obvodu pomocí frekvenčních charakteristik se vychází z dané frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu nebo jeho části. Syntéza se provádí v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích. Frekvenční metody syntézy v podstatě využívají toho, že nevhodné póly i nuly přenosu rozpojené smyčky se kompenzují nulami a póly přenosu korekčních členů (korekčními členy bývají nejčastěji standardní lineární regulátory typu P, PI, PD, PID apod.) Ukazatele kvality regulace Kvalitu regulace je možné posuzovat podle ukazatelů v časové, frekvenční nebo obrazové oblasti [Davidová, 4]. Z průběhu přechodové charakteristiky se kvalita regulace v časové oblasti určuje z odezvy regulačního obvodu na skokový signál. Právě z této přechodové charakteristiky se určí kvantitativní ukazatele, díky kterým lze hodnotit chování regulačního obvodu. Mezi kvantitativní ukazatele patří maximální překmit y max regulované veličiny, doba regulace t r, trvalá regulační odchylka e a perioda kmitů přechodové charakteristiky. Pro určení kvality regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině. Kvantitativní ukazatele, které jsem zmínili výše, jsou zobrazeny na obr. 3. a ve stručnosti si zde uvedeme jejich popis. maximální překmit y max regulované veličiny maximální hodnota, kterou dosáhne regulovaná veličina doba regulace t r doba, za kterou trvale klesne regulační odchylka pod 5% ustálené hodnoty trvalá regulační odchylka e (t) rozdíl mezi požadovanou a skutečnou hodnotou regulované veličiny perioda kmitů přechodové charakteristiky. Někdy se také používají další ukazatele kvality regulace, jako např.: čas t max doba, kdy dochází k největšímu překmitu počet kmitů. yto ukazatelé kvality dávají přímou informaci o časovém průběhu regulačního pochodu, což je jejich výhodou, ale zároveň platí podmínka, že přechodová charakteristika musí mít kmitavý průběh, nikoliv aperiodický, jinak maximální překmit ani periodu kmitů nelze určit.

37 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 37 y(t) 5% y( ) y( ) y max 5% y( ) t max t t r Obr Ukazatele kvality regulace na přechodové charakteristice Pro kvalitu regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině. Mezi všemi uvedenými ukazateli kvality existuje jednoznačná souvislost. Především jsou důležité dvě hodnoty, a to maximální překmit y max regulované soustavy a doba regulace t r. Je dobré si představit, že jsou regulovány např. otáčky nějakého točivého stroje, pak y max je hodnotou, na kterou musí být stroj ještě pevnostně dimenzován a otáčky y max nesmí např. padnout do kritických otáček stroje. Dalším požadavkem je, aby doba regulace t r nebyla příliš dlouhá a perioda kmitů také někdy nesmí padnout do určitého pásma. Při regulačním pochodu v podstatě dochází k výměně energie. V oblasti podregulování má regulovaná soustava nedostatek energie a je zapotřebí jí energii dodávat, aby se hodnota regulované veličiny zvýšila na požadovanou hodnotu. V oblasti přeregulování má naopak přebytek energie a tu předává okolí, aby se hodnota regulované veličiny snížila na požadovanou hodnotu. o pochopitelně není možné vzhledem např. k setrvačným hmotám apod., tedy je alespoň požadováno, aby výměna energie byla co nejmenší aby regulační plocha byla minimální. Regulační plocha, zmíněná v předešlém odstavci, je podle obr. 3.3 vyšrafovaná plocha nad a nebo pod průběhem regulované veličiny. Minimum regulační plochy znamená také kompromis mezi protichůdnými požadavky na minimální y max a minimální t r. am se totiž ukazují protiklady požadavků na tyto dvě hodnoty. Čím větší je např. zesílení regulátoru r, tím kratší je sice doba regulace, ale tím větší je maximální překmitnutí. Optimum mezi těmito dvěma protichůdnými požadavky je minimum regulační plochy. V praxi se kvalita regulace hodnotí podle charakteristických parametrů regulačního pochodu (viz obr. 3.3).

38 Strana 38 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů y(t) y( ) t Obr Ukázka regulační plochy Vzhledem k tématu mé diplomové práce, ve které se zabývám frekvenčními metodami, bude dále má pozornost upřena na ukazatele kvality regulace ve frekvenční oblasti. Ukazatelé kvality regulace ve frekvenční oblasti Pro hodnocení kvality řízení budu na frekvenční charakteristice uzavřené smyčky definovat následující míry: rezonanční převýšení A r maximální hodnota zesílení (maximální hodnota amplitudy frekvenčního přenosu). Velké rezonanční převýšení znamená velký překmit na přechodové charakteristice. rezonanční frekvence ω r frekvence, při níž frekvenční charakteristika dosahuje hodnoty rezonančního převýšení A r a rozhoduje o relativní stabilitě uzavřeného obvodu šířka pásma propustnosti ω h frekvence, na níž poklesne zesílení o 3 db oproti zesílení na nízkých frekvencích. Širší propustné pásmo znamená rychlejší odezvu systému, tj. kratší dobu náběhu přechodové charakteristiky (dobu, za kterou přejde výstup z % na 9% ustálené hodnoty). Na druhou stranu vyšší mezní frekvence však znamená, že systém může reagovat i na vysokofrekvenční rušení zpravidla přítomné na vstupech systému. yto ukazatele kvality jsou zobrazeny na obr. 3.4, kde je vynesena typická frekvenční charakteristika uzavřeného regulačního obvodu.

39 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 39 Existuje souvislost mezi rezonančním převýšením A r amplitudové charakteristiky a maximálním překmitem y max na přechodové charakteristice. I přes to, že platí čím větší je rezonanční převýšení, tím větší je maximální překmit, tak většina regulačních obvodů se v praxi navrhuje tak, aby A r (.,.5 ), resp. A rdb ( db, 3dB), a to z důvodu urychlení odezvy. Stejně tak existuje souvislost mezi dobou regulace t r a šířkou pásma propustnosti ω h, kde platí nepřímá úměrnost. Čím větší je šířka pásma propustnosti, tím rychlejší je přechodový děj a tím pádem je kratší doba regulace. Doba regulace je omezena vztahem, neboli nerovností π 4π < t r <. ω ω (3.3) ř Pro připomenutí ω ř je úhlová frekvence řezu, při níž je absolutní hodnota frekvenčního přenosu rovna jedné. ř A [db] A r ω r ω h 3dB ω Obr Ukazatele kvality regulace z frekvenční charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu Pro frekvenční návrh uzavřeného regulačního obvodu jsou na frekvenční charakteristice rozpojeného regulačního obvodu definovány ukazatele kvality regulace uvedené v [Davidová, 4]. Jsou to tyto: amplitudová bezpečnost δ říká, kolikrát se ještě může zvětšit zesílení v rozpojené smyčce, než se zpětnovazební systém dostane na mez stability fázová bezpečnost γ je dána úhlem frekvenční charakteristiky γ otevřeného regulačního obvodu při frekvenci ω ř, při kterém se amplituda frekvenční charakteristiky rovná jedné. Fázová bezpečnost je záporně vzatá změna fáze otevřeného obvodu, která přivede uzavřený regulační obvod na hranici stability. yto ukazatele kvality regulace jsou znázorněny na obr. 3.5, kde je vyobrazena frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu.

40 Strana 4 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů γ a) b) Im A [db] /δ Re 4 ( ) jω G ω ř 5 8 γ ωř δ ω f ω ω ϕ [ ] Obr a) frekvenční charakteristika v komplexní rovině; b) amplitudová a fázová charakteristika v logaritmických souřadnicích A [db] 4 db/dek db/dek L ω db/dek ω ř ω L ω 4 db/dek 6 db/dek Obr Logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot Na obr. 3.6 je vyobrazena logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot. V této formě je to nejčastěji používaná logaritmická charakteristika, protože její konstrukce je jednoduchá a rychlá. Frekvence ω a ω se nazývají lomové frekvence, tvoří průsečíky asymptot a jsou na frekvencích, které jsou převrácenými hodnotami časových konstant regulátoru nebo regulované soustavy.

41 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana Frekvenční metody syntézy U syntézy uzavřeného regulačního obvodu se upravuje frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu tak, aby výsledná frekvenční charakteristika uzavřené smyčky měla požadovaný průběh, tedy aby byly splněny ukazatele kvality regulace. Frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu můžeme upravovat dvojím způsobem: Volbou zesílení rozpojeného regulačního obvodu. ím vlastně určím konstantu proporcionálního regulátoru (kap ). Sériovými korekčními členy. Ideálním sériovým korekčním členem jsou vlastně regulátory P, PD, PI, popř. PID (kap ) Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu Pro zvolené rezonanční převýšení A r frekvenčního přenosu uzavřeného regulačního obvodu můžu určit odpovídající zesílení rozpojeného regulačního obvodu. V komplexní rovině provedu jednoduchou konstrukci (Brown - Campbellova konstrukce). Brown - Campbellova konstrukce je zobrazena na obr Nakreslím frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu se zvoleným zesílením k o. Z počátku vedu tečnu ke kružnici zvoleného rezonančního převýšení A r. Pak snadno odvodím, že pro úhel α se zápornou reálnou poloosou platí α arcsin,. (3.3) A r A r Sestrojím kružnici se středem na záporné reálné ose tak, aby se dotýkala v jednom bodě nakreslené frekvenční charakteristiky (bod A) a měla tečnu sestrojenou v bodě B. V bodě dotyku kružnice a tečny (bod B) vedu kolmici na reálnou osu, přečtu její vzdálenost od počátku, označím ji x a zesílení přenosu rozpojeného obvodu vyjádřím vztahem k oopt k o x. (3.3) Im S x A α Re B ( ) jω G Obr Brown - Campbellova konstrukce