Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina
1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční, tak jsme si libovolně zvolili přenos systému druhého řádu, tak aby byl systém kmitavý. Náš přenos tedy je: 0.05618 z + 0.0534 F( z) z -1.706 z + 0.851 F( p) p + 3 0.8p + 4 b) Abychom alespoň trochu navodili reálné podmínky identifikace systému, zapojili jsme k systému v Simulinku generátor šumu s normálním rozdělením pravděpodobnosti frekvenci 0.01 Hz a amplitudě 0.01, a provedli identifikaci. Přenos tohoto systému po zanedbání nuly je: 3 F( p) p + 0.8397 p + 4.016 Zanedbáním nuly jsme se nedopustili téměř žádné chyby, jelikož rozdíl v přechodových charakteristikách systémů je nepostřehnutelný. Pro jednoduchost zadávání budeme dále uvažovat, že systém je ve tvaru jako v bodě 1a) c) Diskretizujeme systém pomocí: z F( p) 1) s použitím tvarovače nultého řádu: F( z) 1 Z L 1 z p pomocí funkce cd() při T 0,s získáme přenos: 0.05618 z + 0.0534 F( z) z -1.706 z + 0.851 ) pomocí obdélníkové aproximace při T 0,s : z 1 z našem případě nelze použít dopřednou aproximaci p jelikož bychom T z 1 dostali nestabilní systém. Použijeme tedy aproximaci zpětnou p Tz po dosazení vypadá diskretizovaný přenos: F ( z ) s 0.01907 z + 0.0774 z + 0.0176 z - 1.706 z + 0.851 ( z 1) 3) pomocí lichoběžníkové aproximace: p, T 0,s T ( z + 1) diskretizovaný přenos: 3z + 6z + 3 F( z) 11z -19 z + 96
Přechodové charakteristiky se až na obdélníkovou aproximaci moc neliší a poměrně věrně popisují spojitý systém. U impulsových charakteristik je už situace horší, a diskrétní aproximace popisují spojitý systém s větší chybou. Důvodem je rychlost odezvy a volba velké periody vzorkování.
umístění pólů diskretizovaných systému a systému získaného transformací z pt e : pt Umístění pólů systému získaného transformací z e (světle modrá kružnice) je shodné s umístěním systému s tvarovačem nultého řádu. Od pólů ostatních systémů není příliš vzdálený. Všechny póly se nachází uvnitř jednostopé kružnice (modrá kružnice) a stabilita systému tedy zůstane zachována. ) uvažujme polohový servosystém podle následujícího schématu v simulinku: a) Určení zesílení K_krit Kritické zesílení určíme z bosého charakteristiky otevřené smyčky systému. Vyšlo nám K_krit 107.1519. Pro další práci budeme pracovat se zesílením K 80. Přenos poruchy na výstup je: 0.01 F s( p) p 0.03 Fy, v( p) 3 0.01 1+ K F ( p) p + 0.8p + 4 p +.4 s p Procento přenesené poruchy: 0.03 lim Yy, v ( t) lim p Yy, v ( p) 0.015 1.5% p p 0.4
b) Stabilita systému Bodeho charakteristika otevřeného regulačního obvodu s K80: Bezpečnost v zesílení G m.5 [db] Bezpečnost ve fázi Pm 81,5 [ o ] Přechodová charakteristika uzavřeného obvodu F u (p):
c) Korekční článek Experimentálně jsme zavedli do systému korekční článek s přenosem 1 Fč( p) 1.5 p 1 Přechodová charakteristika uz. reg. obvodu s korekčním článkem: Bodeho charakteristika otevřeného systému s korekčním článkem: Bezpečnost v zesílení G m 9,79 [db] Bezpečnost ve fázi Pm 46.5 [ o ] - lepších výsledků se nám nepovedlo docílit
d) Průběh citlivostní funkce S( jω ) před a po korekci modrá čára před korekcí, zelená s korekcí. Je vidět, že korekce výrazně potlačuje harmonické poruchy okolo 1.95 rad/sec, ale lehce je zvýrazňuje od této frekvence směrem dolů. 3) PID regulátor: Požadované hodnoty: G 10% a doba regulace T REG 5 sec lnσ max ξ B0.6 * ln σ p1, 0.918 j1.4 max 1 * z1, 1 j1. 4.6 ωn B B1.53 ξ. T Fs ( p) p Ideální PID: reg n n p n K I p d p d p p PID ( ) D D D 1 0.44 F p K K p K K p p p Přenos otevřené smyčky systému: 3p 6 p 7.36 o s ( ) reg ( ) D 3 F F p F p K p 0.8 p 4 p
GMK otevřené smyčky: Z GMK jsme zvolili konstantu K D 4 a dopočítali zbylé parametry PID regulátoru: K K 8 4 KI.44 KI 9.76 4 d 0.05 Výsledné přechodové charakteristiky:
4) Systém s regulátorem DoF: Schéma uzavřeného regulačního obvodu s regulátorem DOF Gw αt(p) + 1 - C(p) B(p) A(p) D(p) Přenos uzavřeného regulačního obvodu s regulátorem DOF má obecně tvar: Y ( p) T ( p) B( p) Fy, w( p) W ( p) A( p) C( p) B( p) D( p) Jelikož náš systém je druhého řádu, stačí pro libovolnou umístítelnost pólů regulátor prvního stupně. Naším úkolem je tedy nastavit parametry polynomů C( p) p c 0 a D( p) d p d. 44 B M ( p) a parametr tak, aby přenos uzavřeného obvodu byl Fy, w ( p). p. 4 p. 44 A ( p) M 1 0 Porovnáním čitatelů dostáváme vztahb( p) BM ( p). Parametr je nezávislý na kompenzačním polynomu T( p) a je tedy ve všech třech případech stejný α 0. 813. Parametry určíme porovnáním polynomů A( p) C( p) + B( p) D( p) A ( p) T( p). a) kompenzační polynom T( p) p + 0. c(p) p+1.8 d(p) -0.84p-.373 b) kompenzační polynom T( p) p + c(p) p+3.6 d(p) 0.1p-3.1733 Přechodová charakteristika uzavřeného obvodu je všech případech stejná, tj. odpovídá. 44 přechodové charakteristice systému s přenosem F( p), tj. přenos p +. 4 p +. 44 uzavřeného systému je stále stejný. M
Volba polynomu T( p) se projeví ve vnitřních vlastnostech systému. Tou je například 1 citlivostní funkce. Citlivostní funkce je definovaná S( jω). 1 + Fo ( jω) K jejímu určení musíme znát přenos otevřené smyčky systém s regulátorem DOF F ( D j B j jω ) ( ω ) ( ω ) o C( jω) A( jω). Volba polynomu T( p), který není přímo v přenosu otevřené smyčky vidět, je zahrnuta v tvaru polynomů D( p) a C( p), které jsou právě na polynomu T( p) závislé. 5) Stavový regulátor ve smyslu ITAE: 3 Stavový popis systému F( p) p + 0.8p + 4 A A0 0 1 4 0.8, 0 B 3 0 1 Systém se stavovým regulátorem: A 4 K1 0.8 K, 0 B 3 Charakteristický polynom pro kritérium ITAE se musí rovnat: p + (0.8 + K) p + 4 + K1 p + 1.918p + 1.8769 Podle výše uvedeného kritéria ITAE nám vyšel tento stavový regulátor: 1.1 K.4579 1 α 0.514 T T 1 C pi A + BK B ( )
Přechodová charakteristika: 6) Sledování signálu přenos systému s tvarovačem 0.-řádu: 0.05618 z + 0.0534 F( z) z -1.706 z + 0.851 z sin( ωt ) 0.1987z Z-obraz referenčního signálu w(t) : W ( z) z z cos( ωt) + 1 z 1.9601z + 1 přenos regulátoru bude: d z + d z + d z + d FR ( z) ( z 1.9601z 1)( z c ) 3 3 1 0 + + 0 parametry regulátoru získáme srovnáním parametrů a tedy řešením rovnice: (0.05618z + 0.0534)( d3z + dz + d1z + d0) + ( z 1.706z + 0.851)( z 1.9601z + 1)( z + c0 ) z výsledné parametry: d 49.4638; d -81.4669; d 55.4; d -14.1999; c 0.887 3 5 3 1 0 0 přenos regulátoru: 3 49.4638z 81.4669z + 55.4z 14.1999 FR ( z) 3 z 1.079z 0.739z + 0.887 Výsledek ověříme simulací. Na následujícím obrázku je zakreslen referenční signál a výstup systému.
Na následujícím obrázku je regulační odchylka. K nulové odchylce dojde po čase t 1s což je pět kroků regulace. 7) Regulátor s minimálním počtem kroků přenos diskrétního systému s polohovým servomechanismem pro t 0.1: 4.89e-006 z + 1.914e-005 z + 4.7e-006 FD ( z ) 3 z -.885 z +.808 z - 0.931 Jelikož máme systém třetího řádu, regulátor bude řádu druhého.vyřešíme diofantickou 3 rovnici: ( z 1) ( z + c1z + c0) + KS KRb( z) z 1 44 4 43 c( z) c 0.898; c 0.1636; K 34800 1 0 R
přenos regulátoru: ( ) 34800 z - 1.885 z + 0.931 R z + 0.898 z + 0.1636 F z Odezva systému na jednotkový skok (červená diskrétní systém, modrá spojitý systém): Řízení systému: Jak je vidět řízení probíhá ve třech krocích.
8) Rekonstruktor Vlastní čísla matice dynamiky rekonstruktoru musí ležet v pravé polorovině. Využijeme vztahu pro umístitelnost pólů a položíme p * 1, 5, protože chceme, aby rekonstruktor byl rychlejší než náš systém. k Parametry matice K, která má obecně tvar K 1 k, určíme řešením diofantické rovnice det( pi A + KC) ( p + 5). 3.0667 Po dosazení a výpočtu dostáváme K. 4.5466 Schéma zapojení v Simulinku:
porovnání skutečných a rekonstruovaných stavů x 1 a x při počátečních podmínkách 0.5 rekonstruktoru xˆ(0) 1 a systému 0.5 x(0) 1 : Průběh přechodových charakteristik odpovídá skutečnému a rekonstruovanému stavu x 1. Jak je vidět že rekonstruované hodnoty stavů rychle konvergují ke skutečným, zhruba po 1 sekundě. 9) Porovnání stavového regulátoru s rekonstruktorem se stavovým regulátorem Pokud má rekonstruktor nulové počáteční podmínky, tak se charakteristiky překrývají:
0.5 Při nenulových počátečních podmínkách rekonstruktoru xˆ(0) 1 : Stavový regulátor s rekonstruktorem stavu má přechodovou charakteristiku téměř shodnou a stavový regulátor dožene za 5 sekund.